Bài toán “Kim đồng hồ”

Bài toán “KIM ĐỒNG HỒ”
I - Bài toán: Kim phút và kim giờ tạo với nhau góc 180 độ?
Đề ra của bài toán như sau:
Nếu kim phút và kim giờ của một chiếc đồng hồ, kim nằm trên hai tia đối nhau thì ta nói rằng chúng tạo với nhau một góc 1800, thời điểm đúng 6h là một thời điểm như vậy.
Câu hỏi là: Trong khoảng thời gian 12 giờ bất kì, có bao nhiêu lần kim phút và kim giờ tạo với nhau một góc 1800? Và đó là những thời điểm nào? Coi thời điểm bắt đầu là 00h và thời điểm kết thúc là 12h 00.
Giải:
Bản chất đây là 1 bài toán chuyển động nên phải biết tốc độ của kim giờ, tôc dộ kim phút và khoảng cách của chúng sau mỗi giờ. 
Nếu ta coi mỗi lần chúng tạo ra góc 180 độ là lúc kim phút trùng/gặp tia đối của kim giờ thì biết được khoảng cách mỗi lần đuổi nhau.
a/ Số lần kim phút và kim giờ tạo với nhau một góc 1800 11 lần
Từ 0 h đến 6h hai kim tạo ra góc 180 độ đúng 6 lần
Từ 6 h đến 7h hai kim không tạo ra góc 180 độ ( phải quá 7h)
Từ 7 h đến 12h hai kim tạo ra góc 180 độ 5 lần
b/ Lấy mặt đồng hồ có 60 vạch, quy tốc độ (theo phút) mỗi kim như sau: 
 - Tốc dộ kim phút là: 1 vạch/ phút
 - Tốc dộ kim giờ là: 1/12 vạch/phút
 à Mỗi phút kim phút nhanh hơn kim giờ là 11/12 vạch
Từ 0h đến 1h muốn nối thẳng nhau kim phút phải qua khoảng cách 30 vạch
 à thời gian hết là 30: 11/12 = 32’ 43”. Lúc đó là 0h 32’ 43”
Từ 1h đến 2h muốn nối thẳng nhau kim phút phải qua khoảng cách 35 vạch
 à thời gian hết là 35: 11/12 = 38’ 10”. Lúc đó là 1h 38’ 10”
Từ 2h đến 3h muốn nối thẳng nhau kim phút phải qua khoảng cách 40 vạch
 à thời gian hết là 40: 11/12 = 43’ 49”. Lúc đó là 2h 43’ 49”
Từ 3h đến 4h muốn nối thẳng nhau kim phút phải qua khoảng cách 45 vạch
 à thời gian hết là 45: 11/12 = 49’ 05”. Lúc đó là 3h 49’ 05”
* Tương tự :
4h – 5h khoảng cách 50 vạch à 50: 11/12 = 49’ 05”. Lúc đó là 4h 54’ 32”
5h – 6h khoảng cách 55 vạch à 55: 11/12 = 60’ 00”. Lúc đó là 6h đúng
6h – 7h khoảng cách 00 vạch à 00: 11/12 = 00 (không có 180 độ)
7h – 8h khoảng cách 05 vạch à 05: 11/12 = 05’ 27”. Lúc đó là 7h 05’ 27”
8h – 9h khoảng cách 10 vạch à10: 11/12 = 10’ 54”. Lúc đó là 8h 10’ 54”
9h – 10h khoảng cách 15 vạch à15:11/12 = 16’21”. Lúc đó là 9h16’21”
10h – 11h khoảng cách 20 vạch à20:11/12 = 21’32”. Lúc đó là 10h 21’ 32”
11h – 12h khoảng cách 25 vạch à25:11/12 = 16’21”. Lúc đó là 11h 27’ 16”
II - Bàn luận: 
a/ Bài toán này tương tự bài toán tính số lần (và thời điểm) kim phút gặp kim giờ trong 12 tiếng đồng hồ. Trường hợp này nếu tính từ 00h dến 12h thì cũng chỉ có 11 lần 2 kim gặp nhau (trùng nhau), vì từ 11h đền 12h hai kim đã gặp nhau lúc 12 h đúng, sau đó từ 12h đến 1h chúng không gặp nhau. 
Rất nhiều bạn tưởng nhầm là 12 lần gặp nhau. Cũng như dề trên tại báo Dân Trí có >2/3 số người trả lời ĐA = 12
b/ Mở rộng: Mời tham khảo Bài toán phát triển sau:
Hãy tính xem từ 3 h đến 7 h kim giờ và kim phút bao nhiêu lần tạo với nhau thành góc vuông (900) ? Đó là những thời điểm nào ?
HD giải:
Trường hợp này nên giải theo góc và độ thuận tiện hơn:
Biết:
Tốc độ của kim phút là 6 độ/phút
Tốc độ của kim giờ là 30/60 =1/2 độ/phút
Gọi : b là góc của kim phút ^ kim giờ sau thời gian t (phút)
 a là góc của kim giờ khi nó ^ kim phút sau thời gian t (phút)
 j là góc của kim giờ và kim phú tại thời điểm gốc 
 (thí dụ lúc 3h có góc j = 900
 t là thời gian (Quy ra phút) để 2 kim vuông góc sau điểm gốc
 Sau thời điểm gốc thì b – [ a + j ] = 90
 Ta có b = 6. t ; a = ½. t ( theo công thức chuyển động đều)
t = [(90 + j ).2]:11
6 t – 1/2 t – j = 90 
 Þ Þ 
Tính được:
Từ 3h – 4h, Với j = 900 Þ t3 x 11/2 = 180 Þ t3 = 32’ 44”
Từ 4 h – 5 h, Với j = 1200 Þ t4 x 11/2 = 210 Þ t4 = 38’ 11”
Từ 5h – 6h, Với j = 1500 Þ t5 x 11/2 = 240 Þ t5 = 43’ 38”
Từ 6h – 7h, Với j = 1800 Þ t6 x 11/2 = 270 Þ t6 = 49’ 55”
PHH biên soan bài giải và bài phát triển 9 - 2015