Bài toán Căn bậc hai

Nhóm 2: căn thức
Rút gọn biểu thức:
.
.
Rút gọn biểu thức: , (n dấu căn).
Tính tổng: .
CMR: .
Cho a, b > 0 và b < a2. CMR:
Rút gọn biểu thức:
.
.
 + .
.
.
Tính giá trị các biểu thức:
.
.
.
Tính tổng:
S = .
P = .
Giải các phương trình:
.
.
So sánh 2 số: và .
Cho . CMR:
.
Cho a > b > 0. CMR:
.
.
Hãy đề xuất các bài tập mới bằng cách khai thác các bài tập trên.
Chuyên đề căn thức bậc hai bậc ba
1/ Chứng minh : 
Giá trị của biểu thức : chia hết cho 5
2/Tính giá trị của các biểu thức sau :
3/Tính )
4/Cho a,b,c > 0 và . Tính : P = 
Figure 1
5/ Thu gọn các biểu thức:
	a)	
b) 
	c) 
6/Cho biểu thức: 
	a. Rút gọn biểu thức A
 	b.Tìm những giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.
c.Chứng minh rằng : 
Số x = + là nghiệm của phương trình : x4 - 16x2 + 32 = 0
7/ Tính : A = 
8/ Cho . Tính giá trị của biểu thức B = a3 – 6a - 2049
9/Tìm a,b thoả mãn đẳng thức : 
10/ Cho a,b thoả mãn hệ .Tính giá trị của biểu thức : Q = a3 + b3
Căn thức- 
Bài 1. 
Cho . Rút gọn M với 0 # x # 1.
Bài 2. Rút gọn biểu thức: 
, với x < 0.
Bài 3. Cho biểu thức: B = 
Hãy rút gọn biểu thức B rồi tính giá trị của góc nhọn khi x = và 
Bài 1: (4,0 điểm)
	 Cho biểu thức : 
Tìm giá trị của x để .
So sánh với .
Bài 4. Cho biểu thức: .
Rút gọn rồi tính giá trị của x để N = 1/3.
Bài 5: Cho biểu thức: .
Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2000 – M) khi x # 4.
Tìm các số nguyên x để giá trị của M cũng là số nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức: .
Rút gọn P.	2/ So sánh P với 5.
 3/ Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức 8/P chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức: .
Với giá trị nào của x thì A xác định.	3/Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 8: Cho biểu thức: .
Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó hãy rút gọn P.
Tìm các số tự nhiên x để 1/P là số tự nhiên.
Tìm giá trị của P với .
Bài 9: Cho biểu thức: .
Rút gọn P.	2/ Tìm x để .
Bài 10: Cho các biểu thức: .
Với những giá trị nào của x để A có nghĩa?	3/ Rút gọn A và B.
Tìm những giá trị của x để A = B.
Bài 11: Cho các biểu thức: .
Rút gọn P.	 2/Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .
Bài 12: Cho biểu thức: .
Tìm x để A có nghĩa. Hãy rút gọn A.	 3/Tính A với .
Chứng minh rằng: A < 1/3.
Bài 13: Cho hàm số .
Tìm tập xác định của hàm số y = f(x).
Chứng minh y # 3. Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu?
Bài 14: Cho biểu thức: .
Rút gọn P.	2/Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Tìm x để biểu thức nhận giá trị là số nguyên.
Bài 15: Cho biểu thức; với x # 0; x # 1.
Rút gọn P.	2/Tìm x sao cho P < 0.
Bài 16: Cho biểu thức: 
Hãy tìm điều kiện của x để M có nghĩa, sau đó rút gọn M.
Với giá trị nào của x thì M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M?
Bài 17: Cho biểu thức: .
Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(-x) < 0.
Bài 18: Cho biểu thức: .
Rút gọn P.	2/Tìm x để 
Bài 19: Cho với x # 0, x # 1.
Rút gọn M. 	2/ Chứng minh rằng với với x # 0, x # 1, ta có M < 1/3.
Bài 20: Cho biểu thức: .
Rút gọn P.	2/Tìm x để P = 9/2.
Bài 21: Cho biểu thức: .
Rút gọn P.	2/ Tìm a để .
Bài 22: Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 23: Cho biểu thức: .
Rút gọn A.
Tìm x để A < 1.	3/ Tính giá trị của A với .
Bài 24: Cho biểu thức: 
Rút gọn P.	2/ Cho , tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 25: Cho biểu thức: .
Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và hãy rút gọn P.
Tìm các số nguyên x để giá trị của cũng là số nguyên.
Bài 26: Cho biểu thức: với x # 1.
Rút gọn P(x).	2/ Giải phương trình P(x) = 1.
Bài 27: Xét biểu thức: với x # 0.
Rút gọn P.	2/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 28: Cho biểu thức: 
Rút gọn P. 2/ Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0.
Với giá trị nào của x thì biểu thức 1/P đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 29: Cho 
Rút gọn A	2/ Tìm x thỏa mãn .
Bài 30: Cho biểu thức
Rút gọn P	2/ Tìm giá trị trị nhỏ nhất của P
Tìm x để biểu thức nhận giỏ trị là số nguyên trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.
Đề 1:
Câu 1 :
Chứng minh : số A = là một số nguyên.
Hướng dẫn câu 1: A = 
Câu 2 :Cho a,b,c là các số thực không âm.
Chứng minh : a+ b + c = 
Hướng dẫn câu 2 
Câu 3 : Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn 
Chứng minh : 
Hướng dẫn câu 3: 
 suy ra 
Tương tự : z + x - y = ; x + y - z = 
Do đó ta có : 
Câu 4:
Tìm tất cả các giá trị x,y,z thỏa mãn điều kiện :
Hướng dẫn câu 4:
điều kiện x,y,z ³ 0 và x +z ³y
Vậy x = y ³0 hoặc y = z ³0
Câu 5 :Cho biết (1)
Hãy tính : E = x+ y.
Hướng dẫn câu 5:
Nhân hai vế (1) cho ta có : -3()
Nhân hai vế (1) cho ta có -3()
Cộng 2 và 3 ta có : x+y = 0.
Câu 6 : Cho x và y thỏa (1)
Chứng minh x + y = 1.
Hướng dẫn câu 6:
Cách 1: làm giống câu 5.
Cách 2: 1 suy ra 
Suy ra 
Câu 7: Cho ba số thực x, y, z khác 0 và (1)
Chứng minh : 
Hướng dẫn câu 7:
Điều kiện x+y, y + z và x+z ³0
Bình phương hai vế (1) ta có 
Câu 8 :
Cho a,b,c là các số hữu tỉ. Chứng minh :
 là một số hửu tỉ 
Hướng dẫn câu 8 : Đặt x = a-b , y = b-c và z = c-a ta có x+ y + z = 0
Ta có 
Câu 9: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 
	 b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức :B = 
Hướng dẫn câu 9 :
a) điều kiện để tồn tại là x ³ 0 do đó A = + x ³ 0 Nên MinA = 0 khi và chỉ khi x =0
chú ý : cách giải sai : A = ( ở đây dấu bằng không thể xảy ra vì khi đó là điều vô lí.
b) Điều kiện x Ê 3 ; Đặt y = suy ra y2 = 3-x Do đó B = 3-y2 + y = 
Câu 10 :Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x,y là số dương và 2x + xy = 4.
Hướng dẫn câu 10 :
Ta có A = . áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương 2x và xy ta có : 
A = Ê
Câu 11 : 
Đề II
Câu 1: (Đề thi tuyển sinh THPT Lương Văn Chánh 2005-2006)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k , ta có :
b) Chứng minh rằng : , với mọi số nguyên dương n .
Câu 2: (Đề thi tuyển sinh THPT Lương Văn Chánh 2002-2003)
Tính : T = 
Câu 3: (Đề thi tuyển sinh THPT Lương Văn Chánh 1999-2000)
Rút gọn : B = 
Câu 4: (65/400)
Tìm các số x,y, z thỏa 
Câu 5 : (67/400)
Cho a,b,c là các số hữu tỉ thỏa mãn : ab +bc +ca = 1. chứng minh rằng số :
A = là một số hữu tỉ.
Câu 6 (80/1001)
Tìm x biết : x = trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa chữ số 5 và 13 một cách vô hạn lần.
Câ 7: (82/1001)
Rút gọn : A = 
Câu 8: (84/1001)
Cho số x = 
a) Chứng tỏ rằng x là nghiệm của phnwơng trình : x2 - 3x - 18 = 0 .
b) Tính x .
Câu 9: (87/1001)chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức sau:
a) 
b) ( Đề thi lớp 10 chất lượng cao THPT Duy Tân 2006-2007)
Câu 10: ( Đề thi lớp 10 chất lượng cao THPT Duy Tân 2006-2007)
a)Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
A = 
b) Giải phương trình: = -x2 + 2x +1
Câu 11: (81/1001)(Thi HSG toàn quốc 1999)
Tính giá trị biểu thức : A = (3x3 +8x2 +2 )2006 với x = 
Câu 12 ( bài 11/tr120 cđbđtvà cực trị)
Cho a,b,c ³ 0
Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 ³ Đề 3:
Câu 1 :
Cho A = 	;So sánh A và B.
Hướng dẫn : Ta có : 
Do đó A > B
Câu 2:Rút gọn biểu thức :
.
Câu 3 ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2001-2002 Hà Tây)
Tìm các giá trị của x,y,z thỏa mãn phương trình:
Hướng dẫn:Đk : x³ 2000 ;y³ 2001 ; z ³ 2002
Phương trình đã cho tương đương 
Do đó ta có : x=2001; y = 2002 ; z= 2003
Câu 4 : ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 1 năm 2002-2003 Hà Nội)
Chứng minh đẳng thức :
Hướng dẫn:
Ta có VT = 
CÂU 5: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 2 năm 2002-2003 Hà Nội)
Chứng minh rằng số : x0 là một nghiệm của phưong trình: x4 - 16x2 + 32 = 0
Hướng dẫn: Ta có
: 
Vậy x0 là nghiệm của phương trình x4 - 16x2 + 32 = 0
Câu 6: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên vòng 2 năm 2002-2003 Hà Tây)
Tìm số n nguyên dương thỏa mãn:
Hướng dẫn:
Đặt 
Phương trình đã cho tương đương a+ Û a2 -6a + 1 =0 có nghiệm a1 = 3-2
- Với a1 = 3-2suy ra (loại).
- Với a1 = 3+2suy ra
Vậy n = 2
Câu 7:
a) Với ba số a,b,c khác 0 và a+ b+c =0 thì 
b) Rút gọn : 
Câu 8 :Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
A = 
Hướng dẫn:
Đk x ³ 2002
Đặt a = ; và b = Ta có a2= x -2001 ị x +2= a2 + 2003 
và x-2002 = b2 ; x = b2 + 2002.
A = 
Ap dụng bất đẳng thức côsi ta có : 
Do đó A Ê ; Đẳng thức xảy ra khi 
CÂU 9: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2003-2004 Đại Học Vinh)
	a) Tính giá trị biểu thức : P = x3 + y 3 - 3(x+y) + 2004.
	Trong đó .
	b) Rút gọn :
	P = 
Hướng dẫn :
Do đó : P = x3 + y 3 - 3(x+y) + 2004= x3-3x + y 3-3y +2004=6+34+2004=2044.
Câu 10:
Tìm số nguyên n thỏa mãn đẳng thức :
Hướng dẫn:
Gọi x = 
Ta có x3 -3x(-2) -2n =0 suy ra n = (83 -2.8.(-2)):2 =280
Câu 11:Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x, y sao cho : 
Hướng dẫn : ta có vì là số vô tỉ nên là những căn thức đồng dạng chứa
Do đó đặt với a, b ẻ N ; Ta có : a+b=3.
Vậy 
Các cặp số x, y cần tìm là : (221;884);(884;221);(0;1989);(1989;0)
Đề 4
Câu 1
Với x, y là các số dương thỏa mãn : 
Tính giá trị biểu thức : S = 
Hướng dẫn :với x,y > 0 ta có :
Do đó : 2000 = S2 +1 suy ra S =
 Câu 2: Trục căn thức ở mẫu : A = 
Hướng dẫn :
A = 
Câu 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 
Hướng dẫn :
Câu 4:Rút gọn biểu thức :
Câu 5:
Cho biểu thức 
 a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.; b) Rút gọn A.; c) So sánh A với 
Câu 6: Không dùng máy tính hãy so sánh: và 
Câu 7: Chứng minh đẳng thức : Với a, b trái dấu.
Hướng dẫn :
Vì a,b trái dấu nên ;Ta có : 
Câu 8: ( Đề thi vào lớp 10 chuyên năm 2003-2004 Đà Nẵng)
Thu gọn biểu thức : P = .
Hướng dẫn.
P = 
 Câu 9:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
P = 
Hướng dẫn:
P = =
Vậy P ³ 1, Đẳng thức xảy ra khi :(-x - 2006)(x+2007) ³0Û -2007Ê x Ê -2006
Câu 10: 
Rút gọn biểu thức : 	P=
Hướng dẫn:
Nếu a+b³ c thì P=2
Nếu a+b< c thì P=2
Câu 11:Tính giá trị biểu thức : P = x3 +3x +2 với 
Một số bài tập tính giá trị biểu thức
Bài 1: Tính 
P
HD: đặt 2003 = x 
Tử thức 	A = [x2 (x + 10) + 31(x + 1) – 1][x(x+5) + 4]
	A = (x3 + 10x2 + 31x + 30)(x + 1)(x + 4)
	A = (x3 + 2x2 + 8x2 + 16x + 15x + 30)(x + 1)(x + 4)
	A = (x + 2) (x + 3) (x + 1) (x + 4) (x + 5)
Mẫu thức	B = (x + 1)(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5)
Suy ra P = 
Bài 2: Tính 
A = Sin210 + Sin220 + . + Sin2890
HD:
A = (Sin210 + Sin2890) + (Sin220 + Sin2880) + .+ (Sin2440 + Sin2460) + Sin2450
A = (Sin210 + Cos210) + (Sin220 + Cos220) + . + (Sin2440 + Cos2440) + Sin2450
A = 44,5
Bài 3: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x2 + 2005x + 1 = 0
và x3; x4 là hai nghiệm của phương trình x2 + 2006x + 1 = 0 
Tính B = (x1 + x3)(x2 + x4)(x1 + x4)(x2 + x3)
HD: Xét phương trình x2 + 2005x + 1 = 0 => 
và phương trình x2 + 2006x + 1 = 0 => 
B = (x12 + x1x4 + x1 x3 + x3 x4)( x22 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4)
B = [x12 + x1 (x3 + x4) + x3 x4] [ x22 + x2 ( x3 + x4) + x3 x4]
B = (x12 + 1 – 2006x1)( x22 – 2006x2 + 1)
B = x12 x22- 2006x12x2 + x12 + x22 – 2006x2 + 1 – 2006x1 x22 + 20062x1x2 – 2006x1
B = 16088121
Bài 4: Cho các số không âm thoả mãn: a2005 + b2005 = a2006 + b2006= a2007 + b2007.
Tính giá trị của biểu thức P = a + b
HD: nhân 2 vế với a
Û 
Từ (1) và (2) => b2005[a(b – 1) – b(b – 1)] = 0
	Û b2005 ( b – 1)( a – b) = 0 (*)
Vì a, b ≠ 0 Nên (*) Û 
Với b = 1 => a = 1 => P = 2
Với a = b => a = b = 1 => P = 2
Thật vậy a = b. Thay vào ta có a2005 + b2005 = a2006 + b2006 Û 2a2005(1 – a) = 0 Û a = 1 => b = 1
Bài 5: Tính 
A = 
B = 
(Với a, b, c đôi một khác nhau cho trước)
HD: a) Xét đa thức A là đa thức bậc 2 đối với biến x 
=> A có nhiều nhất 2 nghiệm 
A = 1 với mọi x
=>
+ Với x = - a => A = 1
+ Với x = - b => A = 1 
b) Tương tự B là đa thức bậc 3 đối với biến x hoặc biến y hoặc biến z 
=> B có nhiều nhất 3 nghiệm
B = 0 với mọi x, y , z
=>
+ Với x = y => B = 0
+ Với x = z => B = 0
+ Với y = z => B = 0
Bài 6: Tính 
A = 
HD: 
A1= = 
A2 = = 
=> A = 
	b) B = 
	B = 
	B = 
Bài 7: Tính 
Cho x > 0 thoả mãn x2 + = 7. Tính N = x5 + 
HD: * x2 + = 7 Û 
	* (x2 + )() = 21 Û x3 + x + + = 21
	* x3 + = 18
	* (x3 + )( x2 + ) = 126 Û x5 + = 123
Bài 8: Cho a, b, c ≠ 0. Tính T = x2007 + y2007 + z2007 
Biết x, y, z thoả mãn: 
HD: Từ 
Û - + - + - = 0
Û x2. + y2. + z2. = 0
Do a, b, c ≠ 0 => x = y = z = 0 => T = x2007 + y2007 + z2007 = 0.
Bài 9: Chứng tỏ x = là nghiệm của phương trình
	x3 – 3x – 18 = 0
Tính x = ?
HD: Từ x = 
Û x3 = 9 + 4 + 9 - 4 + 3 + 3
Û x3 = 18 + 3
Û x3 – 3x – 18 = 0
*) Tính x như sau x3 – 3x – 18 = 0
Û x3 – 27 – 3x + 9 = 0 
Û (x – 3)(x2 – 3x + 6) = 0 (x2 – 3x + 6 ≠ 0) Û x – 3 = 0 Û x = 3
Bài 10: Cho (x + )() = 3. Tính x + y
HD: Ta có (x + )() = 3. Nhân liên hợp ta có
(x - ) (x + )() = 3(x - )
(x + ) (y + )() = 3(y - )
Û Û 
Từ (1) và (2) => x + y = 0
Bài 11: Cho a, b, c thoả mãn 
Tính Q = 99 + a4 + b4 + c4 
HD: * Từ a + b + c = 0 => a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 0 => ab + ac + bc = - 7
=> a2b2 + a2c2 + b2c2 +2(a2bc + b2ac + abc2) = 49
=> a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc(a+ b + c) = 49 => a2b2 + a2c2 + b2c2 = 49
* a2 + b2 + c2 = 14 => a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) = 196
=> a4 + b4 + c4 = 98
* Q = 99 + a4 + b4 + c4 = 197
Bài 12: Cho a là số tự nhiên được viết bằng 222 chữ số 9. Tính tổng các chữ số của N mà N = a2 + 3
HD: * Có a = 9999 = 10222 – 1 
* a2 + 3 = (10222 – 1)2 + 3 = 10444 – 2.10222 + 1 + 3 = 10222.98 + 4 
* Tổng các chữ số của số N là: 9 + 8 + 4 = 21
Bài 13: Tính S = 
HD: Cách 1* TQ = = 
= = = 
Cách 2 *) Nếu a, b, c là ba số bất kì thoả mãn a + b + c = 0
Ta luôn có 
Chứng minh: 
=> 
Bài 14: Tính S = 
HD: S = = 2007
Bài 15: Cho x, y thoả mãn 
Tính Q = x2 + y2 
HD: * Từ (1) có : x3 = - 2y2 + 4y – 3 = -2(y2 – 2y + 1) – 1 
Û x3 = - 2(y – 1)2 – 1 ≤ -1Û x ≤ -1 (3) 
* Từ (2) ta có: x2 + x2y2 = 2y Û (1 + y2) = 2y Û x2 = ≥ 0
* Do (y – 1)2 = y 2 – 2y + 1 => y2 + 1 ≥ 2y 
=> x2 = ≤ = 1( y ≠ 0) => - 1 ≤ x ≤ 1 (4)
* Kết hợp (3) và (4) => x = -1. Thay vào (1) hoặc (2) => y = 1
Vậy Q = 2
Bài 16: Tính tổng 
S = 2 + 2.3 + 3.4 +  + 2008.2009
S = a + a(a + 1) +  + (a + n – 1)(a + n) (a, n ẻ Z)
HD: a) S = 2 + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) +  + 2008(2008 + 1)
S = 2 + 22 + 2 + 32 + 3 +  + 20082 + 2008
S = (12 + 22 + 32  +  + 20082) + ( 1+ 2+ 3 + + 2008)
S= 
b) ý b tương tự
Chú ý: S = 12 + 22 + 32 +  + n2 ( n ẻ N) , S = 
Chứng minh bằng quy nạp 
* n = 1 => S = 1 đúng
* n = 2 => S = 5 = 1 + 22 đúng
* n = 3 => S = 14 = 1+ 22  + 32 đúng
* Giả sử đúng với n = k tức là ta có S = 1 + 22  +  + k2 = 
Ta chứng minh công thức đúng với n = k + 1
Bài 17: Tính S = 1.3 – 2.4 + 5.7 – 6.8 + + 1997.1999 – 1998.2000
HD: S = - 5 – 13 – 21 – 29 -  - 3997
S = - 
Chú ý dãy S = - 5 – 13 – 21 – 29 -  - 3997 các số hạng của tổng lập thành cấp số cộng công sai d = - 8
Bài 18: Tính S = + + 
Trong đó a, b, c > 0 và thoả mãn ab + bc + ca = 1
HD:
* ab + bc + ca = 1 Û (a + c)b = 1 – ac Û b = 
* 1 + b2 = 1 + => 1 + b2 = 
* Tương tự 
1 + a2 = ;	1 + c2 = 
* S = a(b + c) + b(a + c) + c(a + b) = ab + ac + ab + bc + ac + bc 
S = 2
Bài 19: Tính tổng 
S = a1 + a2 +  + a99 với an = ( n = 1, 2, 3,  , 99)
HD: * Cách 1 a1 = ;	a2 = ; .; a99 = 
* Cách 2: Xét tổng quát
* an = = = 
* a1 = 1 - ;	a2= - ;	a3 = - ; .; a99 = 
=> S = a1 + a2 +  + a99 = 
Bài 20: Cho các số thực a, b, x, y thoả mãn hệ: 
Tính giá trị của biểu thức
A = ax5 + by5 , B = ax2009 + by2009
HD: * Cách 1: ax2 + by2 = 5 => 
Cộng vế với vế => 9 + 3xy = 5(x + y) (1)
* ax3 + by3 = 9 => 
Cộng vế với vế => 17 + 5xy = 9(x + y) 	(2)
* Từ (1) và (2) => 
* (x + y)(ax4 + by4) = 51 Û ax5 + by5 = 33
* Cách 2: Ta có 
Suy ra ax5 + by5 = 25 + 1
	ax2009 + by2009 = 22009 + 1
Tổng quát: axn + byn = 2n + 1
Bài 21: Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 (1). Tính S = a2 + b9 + c1945
HD: + Ta có 
	a2 + b2 + c2 = 1 => - 1 ≤ a, b, c ≤ 1.
Từ (1) => a3 + b3 + c3 = 1 Û a2(a – 1) + b2(b – 1) + c2(c – 1) = 0
Do – 1≤ a, b, c ≤ 1 => a2(a – 1) + b2(b – 1) + c2(c – 1) ≤ 0
=> a, b, c ẻ (0;1) => b2 ằ b9; c2 ằ c1945
=> S = 1
Bài 22: Giả x, y, z là các số thực khác 0 thoả mãn:
Tính giá trị của biểu thức P = 
HD: Từ (1) có : 
Û 
Û (
Û xz(x + z) + y2(x + z) + xy( x+ z) + yz(x + z) = 0 
Û (x + z)[x(y + z) + y(y + z)] = 0
Û (x + z)(y + z)(x + y) = 0Û Kết hợp với (2), Ta có:
+ Với x = - z => y = 1 => x = z = 0
+ Với y = - z => x = 1 => y = z = 0
+ Với x = - y => z = 1 => x = y = 0 => P = 1
MộT Số BàI TậP THAM KHảO Từ CáC ĐÊ THI VàO TRƯờNG 
CHU VĂN AN Và AMSTERDAM
1. Đề thi CVA& Amsterdam 1995 - 1996
	Cho các biểu thức: A = và B = 
	a) Rút gọn A và B.	b) Tìm giá trị của x để A = B.
2. Đề thi CVA& Amsterdam 1996 - 1997
Cho biểu thức: P = 
	a) Rút gọn P.	b) Tìm a để |P| = 1. 	c) Tìm các giá trị của a ẻ N sao cho P ẻ N.
3. Đề thi CVA& Amsterdam 1997 - 1998
Cho biểu thức: P = 
	a) Rút gọn P. 	b) Tìm x để P < .
4. Đề thi CVA& Amsterdam 1998 – 1999
Cho biểu thức: P = 
	a) Rút gọn P. 	b) Cho . Tìm giá trị lớn nhất của P.
5. Đề thi CVA& Amsterdam 1999 – 2000
Cho biểu thức: P = 
	a) Rút gọn P. 	b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0.
	c) Với giá trị nào của x thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
6. Đề thi CVA& Amsterdam 2000 – 2001
Cho biểu thức: P = 
	a) Rút gọn P. 	b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh rằng: biểu thức chỉ nhận đúng một
giá trị nguyên.
7. Đề thi CVA& Amsterdam 2001 – 2002
Cho biểu thức: P = 
	a) Rút gọn P. 	b) Tìm x để .
8. Đề thi CVA& Amsterdam 2002 – 2003
Cho biểu thức: P = 
	a) Rút gọn P.
	b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = .
9. Đề thi CVA& Amsterdam 2003 – 2004
Cho biểu thức: P = 
	a) Rút gọn P. 	b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên.
10. Đề thi CVA& Amsterdam 2003 – 2004
Cho biểu thức: P = 
	a) Rút gọn P. 	b) Tìm x để > 2.
11. Đề thi CVA& Amsterdam 2005 – 2006
Cho biểu thức: P = 
	a) Rút gọn P.
	b) Tìm x để P = .
56. Rút gọn các biểu thức :
57. Chứng minh rằng .
58. Rút gọn các biểu thức :
.
59. So sánh : 
60. Cho biểu thức : 
Tìm tập xác định của biểu thức A.
Rút gọn biểu thức A.
61. Rút gọn các biểu thức sau : 
62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c > 0. Chứng minh đẳng thức : 
63. Giải bất phương trình : .
64. Tìm x sao cho : .
66. Tìm x để biểu thức có nghĩa: .
67. Cho biểu thức : .
b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2.
a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa.
68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : (20 chữ số 9)
71. Trong hai số : (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ?
72. Cho biểu thức . Tính giá trị của A theo hai cách.
73. Tính : 
74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 
75. Hãy so sánh hai số : ; 
76. So sánh và số 0.
77. Rút gọn biểu thức : .
78. Cho . Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc 
hai
82. CMR trong các số có ít 
nhất hai số dương (a, b, c, d > 0).
84. Cho , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z.
83. Rút gọn biểu thức : .
87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác 
thì các đoạn thẳng có độ dài cũng lập được thành một tam giác.
88. Rút gọn : a) b) .
91. So sánh : a) 
89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có : . Khi nào có đẳng thức ?
90. Tính : bằng hai cách.
92. Tính : .
95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì .
96. Rút gọn biểu thức : A = .
97. Chứng minh các đẳng thức sau : 	(a, b > 0 ; a ≠ b)
 (a > 0).
98. Tính : .
	.
99. So sánh : 
100. Cho hằng đẳng thức : 
 (a, b > 0 và a2 – b > 0).
áp dụng kết quả để rút gọn : 
với 	(a > 1 ; b > 1)
101. Xác định giá trị các biểu thức sau :
 với .
102. Cho biểu thức 
a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x).
103. Cho biểu thức .
b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0.
a) Rút gọn biểu thức A.	b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số 
nguyên.
105. Rút gọn biểu thức : , bằng ba cách ?
106. Rút gọn các biểu thức sau : 
.
107. Chứng minh các hằng đẳng thức với b