Bài tập Vectơ - Toán Lớp 10

I- Chứng minh đẳng thức vectơ:
Phương pháp:
	1- Biến đổi vế phức tạp để có vế đơn giản
	2- Dùng phép tương đương.
	3- Dùng quan hệ bắc cầu.
Bài 1. Cho tứ giác ABCD .M, N là trung điểm của AD, BC, O là trung điểm của MN. Chứng minh
 a) ; b) 
 c) ; d) .
Bài 2: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh: a) 	b) 
Bài 3: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh: .
Bài 4: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:.
 Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh .
Bài 6: Cho DABC có M là trung điểm của BC , G là trọng tâm , H là trực tâm , O là tâm đường tròn ngoại tiếp . Chứng minh: 	
a) 	b) 	c) 
Bài 7: Cho 4 điểm A,B,C,D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD 
	a) Chứng minh: nếu thì 
	b) Chứng minh: 
	c) Gọi G là trung điểm của IJ. CMR: 
	d) Gọi P, Q là trung điểm của AC và BD; M, N là trung điểm của AD và BC . Chứng minh IJ. PQ, MN có chung trung điểm.
Bài 8: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J là trung điểm của BC và CD. Chứng minh: 
Bài 9: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
	a) CMR: 	b) Với 1 điểm O bất kỳ. CMR: 
II. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Phương pháp:
 Ba điểm A, B, C thẳng hàng Û( 
Bài 1:Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho:.Chứng tỏ rằng A,B,C thẳng hàng.
Bài 2: Cho DABC với I, J , K lần lượt được xác định bởi: 
 	a) Tính 	b) Chứng minh I, J, K thẳng hàng 
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD = AF, AB = AE. Ch. minh: 
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành.
Bài 4: Cho DABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: , . Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng.
Bài 5: Cho DABC . Lấy các điểm M N, P: 
	a) Tính 
	b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Bài 6: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm các điểm M, N định bỡi hệ thức và 
	a). Chứng minh M, G, N thẳng hàng.
	b) Biểu diễn theo và .
IV. Chứng minh 2 điểm trùng nhau
Phương pháp:
	Cách 1: A trùng B Û $M/ .
	Cách 2: A trùng B Û 
Cho DABC , vẽ các hình bình hành ABIJ , BCPQ , CARS. 	Chứng minh: DRIP và DJQS có cùng trọng tâm. 
Cho tam giác ABC, A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có chung trọng tâm.
Cho các tam giác ABC, A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác. CMR: . Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để 2 tam giác có cùng trọng tâm .
Cho DABC. Gọi A¢, B¢, C¢ là các điểm định bởi: , , . Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ có cùng trọng tâm.
5. Cho lục giác ABCDEF. M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, EF, FA. Chứng minh DMPR và DNQS có cùng trọng tâm.
6. Cho và có chung trọng tâm G gọi là trọng tâm tam giác .Chứng minh có trọng tâm G
7. Cho tam giác ABC. Gọi A’,B’,C’ là các điểm xác định bởi ,. CMR: và cùng trọng tâm
8. Cho tứ giác ABCD có trọng tâm G. Gọi G1, G2, G3, G4 lần lượt là trọng tâm các tam giác DABC, DBCD, DCDA, DDAB. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tứ giác G1G2G3G4
Trên các cạnh AB, BC, CA của DABC lấy các điểm A¢, B¢, C¢ sao cho:
	CMR: các tam giác ABC và A¢B¢C¢ có chung trọng tâm.
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Theo hướng phân tích một véc tơ theo hai vectơ không cùng phương
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB=2MC. Chứng minh: 
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho . K là trung điểm của MN. Chứng minh:	a) 	b) 
Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:	
	a) 	b) 	c) 
Cho DABC. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. CMR:
	a) 	b) 	c) 
Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ theo các vectơ .
OABC là hình thang, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ theo các vectơ .
Cho DABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho .
	a) Tính theo .	b) CMR: M, N, P thẳng hàng.
Cho DABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
	a) CMR: 	b) Đặt . Tính theo .
Cho DABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC.
	a) Tính .
	b) Gọi G là trọng tâm DABC. Tính .
Cho DABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
	a) CMR: và 
	b) Gọi M là trung điểm của BC. CMR: .
Cho DABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.
	a) CMR: 	b) Đặt . Tính theo .
 TẬP HỢP ĐIỂM THOÃ MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: a) 	b) 
Cho DABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:	a) 	b) 
Cho DABC. 
a) Xác định điểm I sao cho: .
b) CMR đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức: luôn đi qua một điểm cố định.
c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 
d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 
Cho DABC.
a) Xác định điểm I sao cho: .
b) Xác định điểm D sao cho: .
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: .