Bài tập về đẳng thức Cô-Si

BÀI TẬP VỀ ĐẲNG THỨC CÔ-SI
Bài 1: Cho x > 0 ; y > 0 và (a > 0).
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 
Bài 3: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
	B = 
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = trong đó x > 0.
Bài 5: Cho a, b, x là những số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 6: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 
Bài 8: Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = 
Bài 9: Cho x > 0 ; y > 0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 10: Cho x > y và xy = 5, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 11: Cho x > 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 
Bài 12: Cho , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 
Bài 13: Cho x, y, z 0 thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 
Bài 14: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện 
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
Bài 15: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện 
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 
Bài 16: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện 
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
Bài 17: Cho x, y thỏa mãn điều kiện và x > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = 
Giải
Bài 1: 
	A = (dấu “=” xảy ra x = y = a)
Vậy min A = (khi và chỉ khi x = y = a)
Bài 2: ĐKXĐ: 
	max A2 = 36 max A = 6 (khi và chỉ khi x = 14)
Bài 3: ĐKXĐ: ; 
	B min B = (khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12; y = 3)
	max B2 = 16 max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7)
Bài 4: A = (dấu “=” xảy ra	 
	 )
	Vậy min A = (khi và chỉ khi )
Bài 5: P = (dấu “=” xảy ra )
	Vậy min P = (khi và chỉ khi )
Bài 6:	 Q = (dấu “=” xảy ra 
	 x = 3)
	Vậy min Q = 4 (khi và chỉ khi x = 3)
Bài 7: ĐKXĐ: 
	M = 
	(dấu “=” xảy ra )
	Vậy min M = 10 (khi và chỉ khi x = 4)
Bài 8: N = = 3 . 100 = 300
	(dấu “=” xảy ra x = 10)
	Vậy min N = 300 (khi và chỉ khi x = 10)
Bài 9: P 	= 
	= 12 + 12 + 8 = 32 (dấu “=” xảy ra 	 và )
	 và )
	Vậy min P = 32 (khi và chỉ khi ; )
Bài 10: Q = 
	(dấu “=” xảy ra , kết hợp điều kiện ta được
	x = 5 ; y = 1 và x = -1 ; y = -5)
	Vậy min Q = 8 (khi và chỉ khi x = 5 ; y = 1 hoặc x = -1 ; y = -5)
Bài 11: A = 
	 (dấu “=” xảy ra )
	Vậy min A = 24 (khi và chỉ khi )
Bài 12: B = 
	 (dấu “=” xảy ra )
	Vậy min B = (khi và chỉ khi )
Chú ý: Làm thế nào để có thể biểu diễn được:
	 ?
	Ta đặt	
Sau đó dùng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm được a = b = 1 ; c = 7
Bài 13: a) ; ; 
	 ;
	3A ; A (dấu “=” xảy ra x = y = z = )
	Vậy max A = (khi và chỉ khi x = y = z = )
 b)	B = 
	B = 
B min max (theo câu a)
Lúc đó B = (khi và chỉ khi x = y = z = )
Bài 14:	P2 = 
	Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương, ta được:
	Do đó	P2 
	P2 3.12 = 36 (dấu “=” xảy ra x = y = z = 4)
	Vậy min P = 6 (khi và chỉ khi x = y = z = 4)
Bài 15:	 ;
	 ;
	 ;
	Do đó Q (dấu “=” xảy ra x = y = z =)
	Vậy min Q = 64 (khi và chỉ khi x = y = z = )
Bài 16:	
	Tương tự	 ; 
	Mặt khác	
	Tương tự	 ; 
	Suy ra	
	 = 
	A = 
	(dấu “=” xảy ra )
	Vậy min A = 8 (khi và chỉ khi )
Bài 17: Nếu thì B	(1)
	 Nếu y > 0 thì:
Suy ra	(2)
Vậy	B 	(dấu “=” xảy ra )
Từ (1) và (2) suy ra: max B = (khi và chỉ khi ; )