Bài tập tự luyện: Các vấn đề về khoảng cách (phần 06)

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Các vấn đề về khoảng cách 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - 
a
2a
a
a
I
A
B C
D
S
H
SCD
D
A
I
2a
3a
a
NM
O
B
C
A
H
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang nội tiếp trong đường tròn đường kính AD, 
AD//BC, AD=2a, AB=BC=CD=a, SA (ABCD), d(A,(SCD)) = a 2 , I là trung điểm AD. Tính khoảng 
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BI và SC. 
 Giải 
- 
DC AC
( ).
DC A
DC SAC
S

 

Mà DC  (SCD) => (SAC)  (SCD) theo giao tuyến SC. 
Do đó kẻ AH  SC (HSC) => AH  (SCD). 
AH = d(A, (SCD)) = a 2 . 
- (SCD) chứa SC và // với BI 
=> d(BI, SC) = d(I, (SCD)). 
Ta có: 
( , ( )) 1
2
d I SCD DI
AH DA
  
 => d(I, (SCD))=
1 2
( , ).
2 2
a
AH d IB SC  
Bài 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA=a, OB=2a, OC=3a. M là trung điểm 
OB. Tính d(AM, OC). 
 Giải 
- Gọi N là trung điểm BC, khi đó (AMN) chứa AM và // với OC 
=> d(AM,OC) = d (O, (AMN)). 
- 
MN OB
( ).
MN A
MN AOB
O

 

Mà MN (AMN) => (AOB)  (AMN) theo giao tuyến AM. 
Do đó kẻ OH AM (HAM) => OH (AMN) 
=> OH=d(O,(AMN)). 
 CÁC VẤN ĐỀ VỀ KHOẢNG CÁCH (Phần 06) 
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG 
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn đề về khoảng cách (Phần 06) thuộc 
khóa học Luyện thi đại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn để giúp các 
Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Các vấn đề về khoảng cách 
(Phần 06). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. 
(Tài liệu dùng chung bài 11+12) 
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Các vấn đề về khoảng cách 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - 
120
a
2a
30
M
C'
A'
B'
B
A
C
H
B1
A
30A1
C1
C
B
H
K
- Ta có 
2
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2
.
2 2
a a
OH OH
OH OA OM a a a
         
Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC=2a, 0120ACB  , góc giữa đường thẳng A’C 
và (ABB’A’) bằng 300. M là trung điểm của BB’. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và CC’. 
 Giải 
- (CAB) (ABB’A’) theo giao tuyến AB, 
 nên trong (CAB) kẻ CH AB (HAB) 
=> CH (ABB’A’) => 0( ' , ( ' ') ' 30 .A C ABB A CA H   
- (ABB’A’) chứa AM và // với CC’ 
=> d(AM, CC’) = d(C, (ABB’A’))=CH. 
- Tính CH? 
Áp dụng định lý hàm số cosin ta có: 
AB
2
=CA
2
+CB
2
-2CA.CB.cos 120
0
= a
2
+4a
2
-2a.2a.
1
( )
2

= 7a
2
 => AB=a 7 . 
Mặt khác ta có: 
1
.
2
ABCS AB CH  
 0
1 1
. .sin120 .
2 2
CACB AB CH 
 a.2a.
3
2
= a 7 .CH => CH = a.
3
7
= a
21
7
= d (AM, CC’). 
Bài 4. Cho lăng trụ tam giác ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc giữa cạnh bên AA1 và mặt đáy 
bằng 300. Hình chiếu H của A trên (A1B1C1) thuộc B1C1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và 
B1C1. 
 Giải 
- AH ( A1B1C1) => góc giữa AA1 và (A1B1C1) là góc 1AA H , theo giả thiết 1AA H =30
0
. 
- Xét tam giác vuông AHA1, ta có: 
cos 30
0
= 1
1
A H
AA
=> A1H = AA1cos30
0 
= a
3
2
. 
-  A1B1C1 đều, A1H =a
3
2
=> A1HB1C1. 
- Kẻ HK AA1 (K AA1), ta có: 
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1
B C A H
B C ( A H) B C HK
B C AH
A

   

=> HK là đoạn vuông góc chung của A A1và B1C1 
=> HK = d(A A1, B1C1). 
- Tính HK? 
1AA 1 1
1 1
. .
2 2
HS A H AH AA HK   => A1H.AH = AA1.HK => HK=
1
1
3
.
A H.AH 32 .
AA 2
a
AH
AH
a
  
Xét tam giác vuông AA1H, ta có: 
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Các vấn đề về khoảng cách 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - 
B
A
S
C
D
H
E
K
K
SDC
D
A
H
K
O
N
M
C
B
A
A'
B'
C'
H
sin 30
0
=
1
AH
AA

1 3 3
.
2 2 2 2 4
AH a a a
AH HK
a
      
Bài 5. Chóp SABC đáy ABC là tam giác vuông cân A, AB = a, góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng 
60
0
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC theo a. 
 Giải 
- Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC). 
Ta có 060SAH SBH SCH    
=> AH=BH=CH => H là trung điểm của BC. 
- Gọi D là điểm đối xứng với A qua H 
=> AB//CD => AH//(SCD) 
=> d(AB,SC) = d(AB,(SCD))=d(A,(SCD)). 
- Gọi E là trung điểm của CD. 
Khi đó (SHE) (SCD) theo giao tuyến SE, 
nên trong (SHE) kẻ HK SE(KSE) 
=> HK (SCD) => HK=d(H,(SCD)). 
- Ta có: 
2 2 2
1 1 1
HK HS HE
  
Mà : 
- Xét tam giác vuông SHA, ta có: tan60
0
=
SH
AH
=> SH=AH.tan60
0
=
1
2
. 2a tan60
0
=
1
2
. 2. 3a =
6
2
a
. 
- Xét tam giác vuông HEC ( vuông tại E), ta có: HE2 = HC2 - EC2 = 
2
2 22( ) ( )
2 2 4
 
a a a
Do đó: 
22 2 2 2
2
1 1 1 2 4 14 3
3 3 146
( )
42
      HK a
HK a a aaa
- Ta có: 
1
( , ( )) 2
HK DH
d A SCD DA
  
1 1 3
( , ( )) .
2 2 14
  d A SCD HK a 
Bài 6. Cho lăng trụ đều ABCA’B’C’ (lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi 
M, N lần lượt là trung điểm của AA’, BB’. Tính d(B’M, CN). 
 Giải 
- B’M//AN => B’M//(ACN) 
=> d(B’M//CN)= d(B’M,(ACN))= d(B’,(ACN))=d(B,(ACN)). 
(BB’ cắt (ACN) tại trung điểm N của BB’ 
=> d(B’,(ACN))= d(B,(ACN)) ). 
- Gọi O là trung điểm BC, kẻ OKCN(KCN). Khi đó: 
(OAK)  (ACN) => OH=d(O, (ACN)). 
- Ta có: 
2 2 2
1 1 1
OH OK OA
  
Mà: 
- Tam giác vuông OKC đồng dạng với tam giác vuông NBC ( C chung) 
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) Các vấn đề về khoảng cách 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - 
N
ACN
B'
B
 
2 2
2 2
2 2
( )
2 2 2
a a
OK CO OK OK
a aNB CN aCB BN
a
    


 
2
2
.
2 2 4
5 2 55
24
a a a
a
OK
aa
   
+) OA=
3
2
a
. 
2
2
2 22 2 2 2
1 1 1 20 4 64 3 3
.
3 3 64 83
20 4
a a
OH OH
OH a a aa a
         
Ta có: 
1
( , ( )) 2
OH CO
d B ACN CB
  
- d(B,(ACN)) = 2.OH=
3
4
a
 = d(BM’, CN). 
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng 
 Nguồn : Hocmai.vn