Bài tập trọng tâm ôn thi học kỳ II – Toán lớp 11

 BÀI TẬP TRỌNG TÂM ÔN THI 
Học kỳ II – toán 11- năm học 2016-2017
I. Giíi h¹n
Bµi 1. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Bµi 2. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
Bµi 3. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
1) 
2) 
3) 
4)
5)
6)
7) 
Bµi 4. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:
1)
2)
3)
4) 
Bài 5 TÝnh c¸c giíi h¹n sau
1) 2) 3) 
Bµi 6: XÐt tÝnh liªn tôc trªn R cña hµm sè sau
a) 	b) 
Bµi 7: Cho hàm sè f(x) = 
 Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hàm sè liªn tôc t¹i x = - 2 
Bµi 8: CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 
Bài 9:
 a) Chứng minh rằng pt bậc 3 luôn luôn có ít nhất 1nghiệm thực .
b) Chứng minh rằng pt x4 +ax3 +bx2 +cx – 1 = 0 có ít nhất 2nghiệm thực với mọi a,b,c .
c) Chứng minh rằng pt a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b = 0 có nghiệm thực với mọi a,b,c 
II. ®¹o hµm.
Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) 
2)
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) y = (1- 2t)10 
9) y = (x3 +3x-2)20 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
18) y = 
19) y= x 
20) 
21) 
22) 
23) 
24)
25) 
26) 
27) 
28)
29) , ( a là hằng số)
30) y = , ( a là hằng số) 
Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y = sin2x – cos2x
2) y = sin5x – 2cos(4x + 1)
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
 y= sin(sinx)
y = cos( x3 + x -2 ) 
y = x.cotx 
Bài 3: Tìm đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau:
1) 
2)
3) 
4) 
5) y = sin2x – cos2x
6) y = x.cos2x
7) 
8) 
Bài 4: Cho hàm số: y = x3 + 4x +1. Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong các trường hợp sau:
a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1;
b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 31;
c) Song song với đường thẳng d: y = 7x + 3;
d) Vuông góc với đường thẳng D: y = - . 
Bài 5: Chứng minh rằng các hàm số sau thoả mãn các hệ thức:
a) thoả mãn: .
b) 
c) y = a.cosx +b.sinx thỏa mãn hệ thức: y’’ + y = 0 .
d) y = cot2x thoả mãn hệ thức: y’ + 2y2 + 2 = 0
Bài 6: Giải phương trình : y’ = 0 biết rằng:
1) 
2) 
3) 
4)
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11)
Bài 7: Giải các bất phương trình sau:
1) y’ > 0 với 	2) y’ < 4 với 
3) y’ ≥ 0 với 	 4) y’>0 với 	 5) y’≤ 0 với 
Bµi 8: Cho hàm số: . 
1) Tìm m để phương trình y’ = 0: 
a) Có 2 nghiệm.	b) Có 2 nghiệm trái dấu.
c) Có 2 nghiệm dương.	d) Có 2 nghiệm ©m ph©n biÖt.
2) Tìm m để y’ > 0 với mọi x.
III. PhÇn h×nh häc
Bµi 1: Cho h×nh chãp S.ABCD, ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, t©m O; SA(ABCD); 
SA = . AM, AN lµ c¸c ®­êng cao cña tam gi¸c SAB vµ SAD;
CMR: C¸c mÆt bªn cña chãp lµ c¸c tam gi¸c vu«ng. TÝnh tæng diÖn tÝch c¸c tam gi¸c ®ã.
Gäi P lµ trung ®iÓm cña SC. Chøng minh r»ng OP (ABCD).
CMR: BD (SAC) , MN (SAC).
Chøng minh: AN (SCD); AM SC 
SC (AMN)
chøng minh BN SD
TÝnh gãc gi÷a SC vµ (ABCD)
H¹ AD lµ ®­êng cao cña tam gi¸c SAC, chøng minh AM,AN,AP ®ång ph¼ng.
Bµi 2: Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân taïi B , SA(ABC) . Keû AH , AK laàn löôït vuoâng goùc vôùi SB , SC taïi H vaø K , coù SA = AB = a .
Chöùng minh tam giaùc SBC vuoâng .
Chöùng minh tam giaùc AHK vuoâng vaø tính dieän tích tam giaùc AHK .
Tính goùc AK vaø (SBC) .
Bµi 3: Cho tø diÖn ABCD cã (ABD) (BCD), tam gi¸c ABD c©n t¹i A; M , N lµ trung ®iÓm cña BD vµ BC
a) Chøng minh AM (BCD)
b) (ABC) (BCD)
c) kÎ MH AN, cm MH(ABC)
Bµi 4: Cho tø diÖn ABCD , tam gi¸c ABC vµ ACD c©n t¹i A vµ B; M lµ trung ®iÓm cña CD
a)Cm (ACD) (BCD)
b)kÎ MHBM chøng minh AH(BCD)
c)kÎ HK(AM), cm HK(ACD)
Bµi 5: Cho h×nh chãp S.ABCD, ®¸y ABCD lµ mét h×nh thang vu«ng cã BC lµ ®¸y bÐ vµ gãc 
a) tam gi¸c SCD, SBC vu«ng
b)KÎ AH SB, cm AH (SBC)
c)KÎ AK SC, cm AK (SCD)
Bµi 6: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a; SA=SB=SC=SD=a; O lµ t©m cña h×nh vu«ng ABCD.
a) cm (SAC) vµ (SBD) cïng vu«ng gãc víi (ABCD).	b) cm (SAC) (SBD)
c) TÝnh kho¶g c¸ch tõ S ®Õn (ABCD)
d) TÝnh gãc gi­a ®­êng SB vµ (ABCD).
e) Gäi M lµ trung ®iÓm cña CD, h¹ OHSM, chøng minh H lµ trùc t©m tam gi¸c SCD
f) tÝnh gãc gi­a hai mÆt ph¼ng (SCD) vµ (ABCD)
g) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a SM vµ BC; SM vµ AB.
Bµi 7: Cho h×nh chãp S.ABCD cã SA(ABCD) vµ SA=a; ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng cã ®¸y bÐ lµ BC, biÕt AB=BC=a, AD=2a.
1)Chøng minh c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp lµ c¸c tam gi¸c vu«ng
2)TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a AB vµ SD
3)M, H lµ trung ®iÓm cña AD, SM cm AH(SCM)
4)TÝnh gãc gi÷a SD vµ (ABCD); SC vµ (ABCD)
5)TÝnh gãc gi÷a SC vµ (SAD)
6)TÝnh tæng diÖn tÝch c¸c mÆt cña chãp.
Bµi 8: Cho tø diÖn OABC cã OA, OB. OC ®«i mét vu«ng gãc nhau vµ OA=OB=OC=a
a)Chøng minh c¸c mÆt ph¼ng (OBC), (OAC), (OAB) ®«i mét vu«ng gãc
b)M lµ trung ®iÓm cña BC, cm (ABC) vu«ng gãc víi (OAM)
c)TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a OA vµ BC
d)TÝnh gãc gi÷a (OBC) vµ (ABC)
e)TÝnh d(O, (ABC) )
Bµi 9: Cho chãp OABC cã OA=OB=OC=a; cm
a)ABC lµ tam gi¸c vu«ng
b)M lµ trung ®iÓm cña AC; cm tam gi¸c BOM vu«ng
c)cm (OAC) (ABC)
d)TÝnh gãc gi÷a (OAB) vµ (OBC)
Bµi 10: Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh C, CA=CB=2a, hai mÆt ph¼ng (SAB) vµ (SAC) vu«ng gãc víi mÆt ®¸y, c¹nh SA=a. Gäi D lµ trung ®iÓm cña AB.	a)Cm: (SCD) (SAB)
b)TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (SBC)
c)TÝnh gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (SAB) vµ (SBC) 
Bµi 11: Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a. 
a)TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng AB vµ CD
b)TÝnh gãc gi÷a c©c c¹nh bªn vµ mÆt ®¸y
c)TÝnh gãc gi÷a c¸c mÆt bªn vµ mÆt ®¸y
d)Chøng minh c¸c cÆp c¹nh ®èi vu«ng gãc nhau.
Bµi 12: Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.A’B’C’D’; M, N lµ trung ®iÓm cña BB’ vµ A’B’
a)TÝnh d(BD, B’C’)
b)TÝnh d(BD, CC’), d(MN,CC’)
Bµi 13: Cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A’B’C’ cã AB=BC=a; AC=a
a)cmr: BC vu«ng gãc víi AB’
b)Gäi M lµ trung ®iÓm cña AC, cm (BC’M) (ACC’A’)
c)TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a BB’ vµ AC.	 
Bµi 14: 
Cho h×nh l¨ng trô ®øng ABC.A’B’C’ cã ®¸y ABC vu«ng t¹i C, CA=a; CB=b, mÆt bªn AA’B’B lµ h×nh vu«ng. Tõ C kÎ ®­êng th¼ng CHAB, kÎ HKAA’
a) CMR: BCCK , AB’(CHK)
b) TÝnh gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng (AA’B’B) vµ (CHK)
c) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn (AA’B’B).
NỘI DUNG ÔN THI HỌC KỲ II
Môn : TOÁN – Khối 11
GIẢI TÍCH.
Cấp số cộng, cấp số nhân.
Tính giới hạn hàm số (dạng cơ bản, dạng vô định .
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định.
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) y = f(x) 
Tính đạo hàm của hàm số 
MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO.
Phần xét tính liên tục của hàm số:
	1/ Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a/ 	b/ 
1/ Tìm a để hàm số liên tục trên TXĐ của chúng:
a/ 	b/ 
1. Tìm 3 số lập thành cấp số cộng biết tồng và tích.
2. Tìm 3 số lập thành cấp số nhân biết tồng và tích.
Bài 1: Tính u1 và công sai d của cấp số cộng sau biết : 
 a/ b/ c/ d/ 
 e/ i/ 
Bài 2 : Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 21và tổng bình phương của chúng bằng 155 .
Bài 3 : Xác định cấp số cộng biết : cấp số cộng có 13 số hạng , tổng các số hạng đó là 143 ,hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 36 .
Bài 4 : tính số đó ba góc của tam giác ABC biết số đo ba góc đó là cấp số cộng .
Bài Ba số khác nhau a, b, c có tổng là 30. Đọc theo thứ tự a, b, c ta được một cấp số cộng; đọc theo thứ tự b, a, c ta được một cấp số nhân. Tìm công sai của cấp số cộng và công bội của cấp số nhân đó.
4. Tính các giới hạn sau :
	a. 	.	b..
	c. 	.	d..
5.	Tính các giới hạn sau :
	a..	b.
	c.	d.
	e.	f.
	g.	h.
	i.	j..
	k.	l. 
6.	Tính các giới hạn sau :
	a.	b.
	c.	d.
12) 	13) 
14) 	15) 
16)	17) 
7/ Tính các giới hạn sau :
a/ 	b/	c/ 	
d/	e/ 
7.Viết phương trình tiếp tuyến
7.1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) = biết:
	a/ Tiếp điểm có hoành độ bằng 3
	b/ Tiếp điểm có tung độ bằng 5
	c/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -2
	d/ Tiếp tuyến đó đi qua A(2;4)
7.2 Cho hàm số y= x3 -3x+1
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số taị điểm x=2;
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiếp tuyến song song vói đường thẳng 45x-y+54=0 ;
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= -x+1
Viết phương trình tiếp tuyến biêt tiếp tuyến đi qua điểm M()
8/ Tính đạo hàm của các hàm số sau tại x0 kèm theo:
	1/ 	2/ 
9/ Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1/ 
2/ 	3/	4/
10/Cho hàm số f(x)= .Tính f(n)(x) với mọi n2.
11/Tính đạo hàm các hàm số sau 
a) y= x+1+ 	 f) y= 
b) y= g) y= cos3x .cos2x
c) y= tan(sinx) h) y= 
d) y= cot i) y= 
e) y= sin 32x –cos2 3x 	f) y= 
g/ y= 	k/ y= 
12/ Giải phương trình y’=0 với y= 
HÌNH HỌC.
1/ 	Tính góc gữa hai đường thẳng;
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc gữa hai mặt phẳng.
2/ Bài toán tìm điểm cách đều các đỉnh của tứ diện (hình chóp)
 MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO.
1/Cho tứ diện ABCD, có tam giác BCD vuông tại C , cạnh AB (BCD) và 
AB = a, biết BC = b, AC = c.
	a. Tính khoảng cách từ B đến AD.
	b. Xác định điểm I cách đều 4 điểm A,B,C,D. Tính AI
2/ Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông , cạnh bên SA (ABCD) và SA = a,
 AB = a
Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
Xác định điểm I cách đều 5 điểm S,A,B,C,D. Tính SI
Chứng minh (SAC) (SBD)
Tính góc giữa hai mp (SBC) và (ABCD)
Gọi K,H lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD. Chứng minh HKSC
3/ Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a,
Chứng minh : ACSD ; BD SA.
Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.
Chứng minh điểm O cách đều 5 đỉnh S,A,B,C,D ( Với O là tâm của hình vuông ABCD)
Gọi M,N là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh MNSO
Tính góc giữa các cặp đường thẳng AN và BC; BN và SC; AM và SO
4/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB=a,BC= a.Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a.
 a.Tìm điểm O cách đều các điểm S,A,B,C,D và tính khoảng cách từ O đến các điểm đó.
 b.Tính góc giữa các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
5/ Cho tứ diện SABC có SA =SB =SC có tam giác SAB và SAC là những tam giác đều . Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC.
a/ Tìm góc giữa hai mp (ABC) và (IJK)
b/ Tìm góc giữa SA và BC
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II-MÔN TOÁN – LỚP 11
A. PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Chương III : DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương pháp quy nạp toán học:
Để c/m mệnh đề A(n) đúngnN* ta thực hiện:
B1: C/m A(n) đúng khi n=1.
B2: nN* giả sử A(n) đúng với n=k, cần chứng minh A(n) cũng đúng với n=k+1.
2. Dãy số tăng, dãy số giảm:
 Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu với mọi ta có .
 Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu với mọi ta có .
Phương pháp để chứng minh một dãy số tăng hoặc giảm 
Cách 1: (un) là dãy số tăng Û un < un+1 " n ÎN*
Cách 2: (un) là dãy số tăng Û un+1 - un > 0" n ÎN* (xét dấu un+1 - un)
Cách 3: un >0 " n, (un) là dãy số tăng Û < 1
3. Dãy số bị chặn:
a) Dãy số được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số sao cho .
b) Dãy số được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số sao cho .
c) Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là, tồn tại một số và một số sao cho .
4. Cấp số cộng 
Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (un) là cấp số cộng un=un-1 + d, n 2.
+ d không đổi gọi là công sai.
+ Kí hiệu cấp số cộng : u1, u2, u3, , un, 
 *. Tính chất (un) là cấp số cộng , (k 2)
* . Số hạng tổng quát: Số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức : un=u1+(n-1)d
* Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng:
Cho cấp số cộng (un), gọi Sn=u1+u2++un
, n 1.
Chú ý: , n 1
5. Cấp số nhân(un) là CSN 
Số q được gọi là công bội của CSN.
* Tính chất: Cho cấp số nhân (un). Ta có: " k ³ 2, k Î N*
* Số hạng tổng quát: Cho cấp số nhân (un).
 với q 
*Tổng n số hạng đầu tiên của CSN
Giả sử có cấp số nhân (un) với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó: Sn = u1 + u2 + ... + un
Nếu q=1 thì un = u1 với mọi n. Khi đó: Sn = nu1.
Nếu q, ta có kết quả: với q
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Dãy số nào sau đây không bị chặn trên:
A) 	B) 	C) 	 D)
Câu 2. Cho dãy số () với . Khi đó số hạng bằng:
A) 25n	B) 10n	C) -25n	D) 
Câu 3. Cho cấp số cộng ().Đẳng thức nào sau đây là đúng:
A) 	 B) 	 C) 	D) 
Câu 4. Cho cấp số nhân ().Đẳng thức nào sau đây là đúng:
A) 	 B) 	C) 	D) 
Câu 5. Cho cấp số cộng x; 1; y; 9. Khi đ ó:
A) x = -3, y = 5	B) x = -5, y = 3	C) x = -1, y = 7	D) x = -2, y = 6
Câu 6. Cho cấp số nhân 3 số hạng: 2,5 ; x; 40. Hãy chọn kết quả đúng:
A) x = 10	B) x = 5	C) x = 20	D) x = 25
Câu 7.Cho dãy số () với . Khi đó:
7.1. Số hạng thứ 100 bằng:
A) 299 	B) 2100	C) 2101	D)200
7.2. Tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng:
A) 299 - 1	B) 2100 - 1	C) 2101 - 1	D) 1 - 2101
Câu 8. Cho cấp số cộng -2; -5; -8; -11;... Khi đó công sai d và tổng 20 số hạng đầu tiên là:
A) d = 3; S20 = 510; 	B) d = -3; S20 = -610	
C) d = -3; S20 = 610 	D) d = 3; S20 = -510
Câu 9. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng:
A) 	B) 	C) 	D) 
Câu 10. Ba số xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng là:
A) 7; 12; 17	 	B) 6; 10; 14	C)8; 13; 18	D) 5; 10; 17
Câu 11. Cho cấp số cộng có . Tổng của 5 số hạng đầu tiên là:
A) 	B)	C) 	D) 
Câu 12. Cho cấp số cộng có . Số hạng đầu tiên là:
A) 0,3	B) 	C) 	D) -0,3
Câu 13. Cho cấp số cộng có . Tổng của 20 số hạng đầu tiên là:
A) 200	B)-200	C)250	D)-250
Câu 14. Cho tam giác có số đo 3 góc lập thành một cấp số cộng. Biết số đo một góc là 250, số đo 2 góc còn lại là:
A) 650; 900	B)750; 800	C) 600; 950	D)700; 850
Câu 15. Cho cấp số nhân với u1 = -1; q = - 0,1. Số 10-103 :
A) là số hạng thứ 103 của cấp số nhân đã cho.
B) là số hạng thứ 104 của cấp số nhân đã cho.
C) là số hạng thứ 102 của cấp số nhân đã cho.
D) không phải là một số hạng của cấp số nhân đã cho.
Câu 16.Cho dãy số . Chọn b để dãy số trên là một cấp số nhân:
A) b = -1	B) b = 1	C) b = 2	D) b = -2
Câu 17. Cho cấp số nhân 1; Số hạng thứ 10 bằng:
A) 29	B) 210	C) 2-9	D) 2-10
Câu 18. Các giá trị của x để 3 số 2x – 1; x; 2x + 1 lập thành một cấp số nhân là:
A) 	B) 	 	C) 	 	D) .
Câu 19. Dãy số nào là cấp số nhân?
A) 1; 0,2; 0,04; 0,008; ...	B) 2; 22; 222; 2222; ...
C) x, 2x, 3x, 4x, 5x,...	D) 
Câu 20. Cho cấp số nhân có u1 = -3; q = . Số 
A) là số hạng thứ 6 của cấp số nhân đã cho.
B) là số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho.
C) là số hạng thứ 7 của cấp số nhân đã cho.
D) không phải là một số hạng của cấp số nhân đã cho.
Câu 21. Cho cấp số nhân có Khi đó:
A) 	B) 	C)	D)
Câu 22.Cho dãy số . Công thức số hạng tổng quát của dãy này là:
A) 	B)	C)	D)
Câu 23. Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát un = 2n + 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A) (un) là cấp số cộng với công sai là d = 3
B) (un) là cấp số cộng với công sai là d = 2
C) (un) là cấp số nhân với công bội là q = 3
D) (un) là cấp số nhân với công bội là q = 2
Câu 24. Một cấp số nhân có 3 số hạng a, b, c khác 0 và công bội q ≠ 0. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A) 	B) 	C) 	D) 
Câu 25. Đặt Sn = , . Khi đó :
A) 	B) 	C) 	D) 
Bài tập tự luận
Bài 1: Chứng minh bằng phương pháp qui nạp:, ta có 2n > 2n + 1
Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết 
Bài 3: Cho dãy số (un), biết: 
a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp qui nạp
Bài 4: Xác định cấp số nhân (un), biết :
Bài 5: Người ta xếp 3655 học sinh theo đội hình đồng diễn là một tam giác: hàng thứ nhất có 1 học sinh, hàng thứ hai có 2 học sinh, hàng thứ ba có 3 học sinh, ...Hỏi có bao nhiêu hàng?
Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức chia hết cho 6.
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn luôn có
Bài 8: Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó?
Bài 9: Bốn số lập thành một cấp số cộng. Biết rằng tổng của chúng bằng 22 và tích của chúng bằng 166. Tìm 4 số đó.
------- ( Hết) -------
Chương 4 : GIỚI HẠN 
I. Vấn đề 1: Dãy số có giới han 0
* Phương pháp
a) 	b) 	c) 	d) 
e) Nếu |q| < 1 thì lim 
f) Nếu thì Vn = 0 thì lim un = 0
4.1. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0.
a) 	b) 	c) 
4.2. Chứng minh hai dãy số (un) và (vn) với:
:	 có giới hạn 0
4.3. Chứng minh rằng các dãy số (un) sau đây có giới hạn 0
a) 	b) 	c) 
4.4. Cho dãy số (un) với 
a) Chứng minh rằng với mọi n.
b) Bằng phương pháp qui nạp chứng minh rằng với mọi n.
c) Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.
II. Vấn đề 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn
* Phương pháp
1) 
2) Sử dụng định lí 1 và định lí 2 .
3) Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) với công bội q.
Ta có: 
4.5. Cho dãy số (un) với . Chứng minh lim un = 15
4.6. Tìm các giới hạn sau:
a) 	b) 	c) 	d) 
4.7. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 
4.8. Tìm giới hạn:
a) 	b) 
4.9. Tìm giới hạn 
4.10. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 
4.11. Tìm các giới hạn sau:
a) 	b) 	c) 
4.12. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 
c) 
4.13. Tìm các giới hạn
a) 	b) 
4.14. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 
4.15. Tìm giới hạn 
4.16. Tìm giới hạn 
4.17. Tìm tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a) 	b) 
4.18. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777 dưới dạng phân số.
III. Vấn đề 3: Dãy số có giới hạn vô cực
* Phương pháp
1) 	2) 	3) 	4) 
5) nếu q > 1	6) Nếu lim (–un) = +¥ thì lim un = –¥
7) 	8) Nếu thì 
9) Các qui tắc tìm giới hạn vô cực.
4.20. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 
4.21. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 
4.22. Tìm giới hạn của các dãy số (un), với:
a) 	b) 
4.23. Tìm các giới hạn sau:
a) 	b) 
4.24. Tìm giới hạn của các dãy số (un), với:
a) 	b) 
4.25. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 
§GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
I. Vấn đề 1: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn
4.26. Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số. Tìm các giới hạn sau:
a) 	b) 
4.27. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 	c) 	d) 
e) 	f) 
4.28. Tìm các giới hạn sau:
a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 
4.29. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 
4.30. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 
4.31. Tìm các giới hạn
a) 	b) 
4.32. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 
II. Vấn đề 2: · Giới hạn một bên
· Giới hạn vô cực 
Phương pháp
 1. Cho hàm số f(x) = . Tìm 
2. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 	c) 	d) 
3. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 	c) 
4. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 
5. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 
6. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 	c) 	d) 
7. Tìm các giới hạn:
a) 	b) 
c) 	d) 
8. Tìm giới hạn: 
III. Vấn đề 3: Các dạng vô định và ¥ - ¥
* Phương pháp
Khi tìm giới hạn các dạng này, ta phải thực hiện một vài phép biến đổi để có thể sử dụng các định lí và qui tắc đã biết. Làm như vậy ta gọi là khử dạng vô định.
1. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:
a) 	b) 
2. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:
a) 	b) 
3. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:
a) 	b) 
4. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:
a) 	b) 
5. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:
a) 	b) 
6. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:
a) 	b) 
7. Xác định dạng vô định và tìm các giới hạn sau:
a) 	b) 
§ HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. Vấn đề 1: Hàm số liên tục tại một điểm
* Phương pháp
Để chứng minh f(x) liên tục tại xo, ta qua 3 bước
· B1: Tính f(xo)
· B2: Tìm 
· B3: So sánh f(x) và 
Nếu thì kết luận f(x) liên tục tại điểm x = xo.
Nếu x >1
Nếu x = 2
Nếu x ≠ 2
1. Xét tính liên tục của hàm số: . Tại điểm xo = 2.
Nếu x ≤1
2. Cho hàm số: 
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm xo = 1.
3. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm xo = 3.
a) 
Nếu x =3
Nếu x ≠ 3
b) 
Nếu x = 1
Nếu x ≠ 1
4. Cho hàm số 
Xác định a để hàm số f(x) liên tục tại điểm xo = 1.
II. Vấn đề 2: Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn
* Phương pháp
1. Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a, b) Û f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a, b).
2) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và:
Nếu x< 1
Nếu x ≥ 1
1. Xét tính liên tục của hàm số: 
Trên tập xác định của nó.
Nếu x = 3
Nếu x ≠ 3
2. Xét tính liên tục của hàm số: 
Trên tập xác định của nó.
Nếu x ≥ 0
Nếu x < 0
3. Cho hàm số: 
Định a để hàm số f(x) liên tục trên 
Nếu x > 1
Nếu x = 1
Nếu x < 1
4. Cho hàm số 
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm:
a) xo = 0	b) xo = 1
III. Vấn đề III: 
Chứng minh phương trình có nghiệm nhờ tính liên tục của hàm số
*Phương pháp
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b).
1. Chứng minh phương trình: , có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (–1, 1).