Bài tập Toán 9 - Tập 1 - Nguyễn Ngọc Dũng

NGUYỄN NGỌC DŨNG - VƯƠNG PHÚ QUÝ - TIÊU KHÁNH
VĂN - BÙI TIẾN LỘC - NGUYỄN CAO ĐẲNG - NGUYỄN ANH
KHOA - NGUYỄN NGỌC THIỆN - NGUYỄN THÀNH ĐIỆP
BÀI TẬP
TOÁN 9TẬP MỘT
A
B
C
D
E
F
H
αβ
γ
γ
δ
n Tóm tắt giáo khoa
n Các dạng toán thường gặp
n Phương pháp giải toán
n Bài tập cơ bản
n Bài tập nâng cao
n Bài tập tổng ôn
(Tài liệu lưu hành nội bộ)
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
Mục lục
Phần I ĐẠI SỐ 5
Chương 1 CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA 7
§1. CÁC PHÉP TOÁN CĂN BẢN VỀ CĂN BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Tìm tập xác định của một biểu thức chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . 7
2 So sánh các biểu thức của căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Các bài toán về hằng đẳng thức
√
A2 = |A| . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§2. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG . . . . 9
1 Tính giá trị các biểu thức căn bậc hai (không chứa ẩn) . . . . . . . . . . . 9
2 Rút gọn các biểu thức căn bậc hai (có chứa ẩn) . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Chứng minh đẳng thức chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Giải phương trình chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Giải bất phương trình chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
§3. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1 Bài tập cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 bài tập nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§4. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1 ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Chương 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT 33
§1. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . 33
§2. HÀM SỐ BẬC NHẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
§3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§4. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§5. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1 ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Phần II HÌNH HỌC 41
Chương 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 43
§1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG 43
§2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
§3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG. GIẢI
TAM GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
§4. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§5. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1 ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 ĐÁP ÁN ĐỀ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 ĐÁP ÁN ĐỀ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Chương 2 ĐƯỜNG TRÒN 57
§1. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN 57
§2. ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
§3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY . . . . . . . . 61
§4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN. DẤU HIỆU
NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§5. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU . . . . . . . . . . . . . . . . 66
§6. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
§7. ÔN TẬP CHƯƠNG II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 4/75
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
Phần I
ĐẠI SỐ
5
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
Chương 1
CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
§1. CÁC PHÉP TOÁN CĂN BẢN VỀ CĂN BẬC HAI
1 Tìm tập xác định của một biểu thức chứa căn bậc hai
Bài 1: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
√−3x+ 2a)
√
−4
−2x+ 3b)
√
x+ 2 +
√
3− xc)
2√
x+ 4− 1d)
Bài 2: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:√
x(x+ 2)a)
√−5x2 + 20b) √−5x2 − 3x+ 8c)
1√
x2 + 4x+ 4
d)
Bài 3: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
√
x2 + 1a)
−3√
x2 − x+ 1b)
√−5x2 − 3x+ 8c)
1√
x2 + 4x+ 4
d)
Bài 4: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:√
|x|+ 1a) 3x− 1√
4x2 + |x|+ 6
b)
√
2x+ 4√
| − 5x2 − 3x+ 8|
c)
√
|x|√
x2 + 4x+ 4
d)
Bài 5: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:√
x+ 2
√
x− 1a)
√
4x+ 4− 6√4x− 5b) 3√
x2 − 4√x− 2.√x+ 2
c)
Bài 6: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:(
1
x−√x +
1√
x− 1
)
:
( √
x+ 1
x− 2√x+ 1
)
a)
(
x− 3√x
x− 9 − 1
)
:
(√
x+ 2√
x− 2 −
√
x− 2√
x+ 2
− 2
√
x
x− 4
)
b)
7
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 7: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
1√
3x− 2a) 2−
√
1− 4xb) 3
x2 − 6x+ 8c)
√
x2 − x+ 1d) √−x2 + 2x− 5e) √2x2 + 1 + 2
3− 2xf)
3 +
√−x2g)
√
−5
x− 2h)
Bài 8: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:
√
x2 − 5a) 1√
x2 + 2x− 3b)
1√
x−√x− 0, 5
c)
−3
1−√x2 − 3d)
√
1
x− 1e)
2
1−√xf)
2 So sánh các biểu thức của căn bậc hai
Bài 1: So sánh
2 và
√
7a) 7 và
√
48b) 10 và
√
101c)
6 và
√
37d)
Bài 2: So sánh
3
√
3− 2√2 và 2a) 3√12 và 2√26b) 4− 2√2 và 3−√3c)
Bài 3: So sánh
3−√7
2
và 0a)
15−√107
−22 và 0b)
Bài 4: Cho biểu thức P =
x+
√
x+ 1√
x
Tìm x để P có nghĩaa) So sánh P và
√
Pb) So sánh P và |P |c)
Bài 5: So sánh
√
10 +
√
17 + 1 và
√
61a)
√
24 +
√
99 + 3 và 18b)
√
33−√17 và 6−√15c)
3 Các bài toán về hằng đẳng thức
√
A2 = |A|
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:√
(2−√5)2a)
√
6− 2√5(√3− 2)
√
6 + 2
√
5b)√
(a− 2)2 với a < 2c) 1
a− b.
√
a2 + b2 − 2ab với a > bd)
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:√
6 + 2
√
5a)
√
9− 6√2b)
√
12 + 6
√
3c)√
7− 2√6d)
√
7 + 4
√
3e)
√
13− 4√3f)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 8/75
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:
1
2
√
12− 8√2 +
√
16− 12√2− 4√2a)
√
6 + 2
√
2 + 2
√
6 + 2
√
3b)√
11 + 2
√
10− 4√2− 4√5c)
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
√
4x2 + 4x+ 1
4x2 − 1 với x >
−1
2
a) 9 + x+
√
4− 4x+ x2 với x < 2b)
√
9x2 − 6x+ 1−√9x2 + 6x+ 1 với x > 0c)
Bài 5: Chứng minh các biểu thức sau:√
4 + 2
√
3 +
√
4− 2√3 = 2√3a)
√
6 + 2
√
5−
√
6− 2√5 = 2b)√
4
(2−√5)2 −
√
4
(2 +
√
5)2
= 8c)
Bài 6: Giải các phương trình sau
√
x2 = 1a)
√
4x2 − 4x+ 1 = 3b)√
x+ 2
√
x− 1 = 5c)
√
x2 − 3x+ 6 + 4√x2 − 3x+ 2 = 1d)
§2. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP
KHAI PHƯƠNG
1 Tính giá trị các biểu thức căn bậc hai (không chứa ẩn)
Bài tập cơ bản
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
√
48− 2√75 +√108− 1
7
√
147a)
2√
7−√5 −
1
3
√
63 +
1
4
√
20b)
12
√
3
5
9
− 4√0, 5 + 2√2− 64√0, 125c) 6
2−√10 +
6
2 +
√
10
d)
√
27− 6
√
1
3
+
√
3− 3√
3
e) 2
√
3− 3√27 + 4√48− 2√75f)
42
√
1
7
−√112 + 7 +
√
7
1 +
√
7
g) 2
√
28 + 2
√
63− 3√175 +√112−√20h)
(√
44 +
√
11
)√
11i)
√
24− 6
√
1
6
− 3
√
2√
3
j)
3
√
27−√98− 7 (√3−√2)k) 4
3 +
√
5
− 8
1 +
√
5
+
15√
5
l)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 9/75
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
3
√
2− 2√3√
3−√2 −
10
1 +
√
6
m)
(
2 +
3 +
√
3√
3 + 1
)
.
(
2− 3−
√
3√
3− 1
)
n)
1
3 +
√
8
− 1
3− 2√2o)
6 + 3
√
3√
3 + 2
+
1
1−√3 −
√
3
1 +
√
3
p)
−3
5 + 2
√
7
− 1
3 +
√
7
+
6√
7− 2 +
5−√7
2
q)
(
5√
15
−√10− 3
√
5− 5√3√
3−√5
)2
r)
√
27− 3√2√
3−√2 +
12
3 +
√
3
+
6√
3
s)
3
√
3− 2√2√
3−√2 + 3
√
2
3
+
4
2−√6t)√(√
3 + 1
)2 −√(1−√3)2u) √(4−√15)2 +√(3−√15)2v)√(√
3− 2)2 +√(1 +√3)2w) √(3− 2√2)2 −√(√2 + 5)2x)
(√
3−√2)2 +√24y) √2√7 + 3√5− 4√
5− 1z)
Bài 2. Tính giá trị các biểu thức sau:√
11− 6√2−
√
11 + 6
√
2a)
√(
2−√5)2 +√14− 6√5b)
(
2 +
√
7
)√
11− 4√7c)
√(
3 +
√
2
)2
+
√
6− 4√2d)√
5− 2√6−
√(√
2− 5√3)2e) √2√3−√5−√√20 + 6f)
√
2
√
8 + 3
√
7−
√
11− 4√7g) √96− 6
√
2
3
+
3
3 +
√
6
−
√
10− 4√6h)
1√
7−√24 + 1
− 1√
7 +
√
24− 1
i)
√
9− 4√5√√
5− 2
.
√√
5 + 2j)
√
10− 4√6√√
6− 2
.
√√
6 + 2k)
√(√
2−√3)2
2
−
√
7
2
+ 2
√
3l)
1
5
(√
11− 2√10√
10− 1 +
√
11 + 2
√
10√
10 + 1
)2
−
√
8
5
m)
√
5 + 2
√
6 +
√
8− 2√15√
7− 2√10
.
(
7− 2√10)n)
(
2 +
√
3√
7− 4√3
− 2−
√
3√
7 + 4
√
3
)
:
√
3o)
√
3 +
√
5.(
√
10 +
√
2)(3−√5)p)
(√
35 + 5
)√
6−√35q)
√
13− 4√3−
√
2
2 +
√
3
r)
2
3−√5 +
√
2
7 + 3
√
5
s)
√
2√
3−√5
+
√
3−√5
2
t)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 10/75
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
2√
5 + 1
+
√
2
3−√5 − 5
√
1
5
u)
2 +
√
3
√
2 +
√
2 +
√
3
+
2−√3
√
2−
√
2−√3
v)
3 +
√
5
√
2 +
√
3 +
√
5
+
3−√5
√
2−
√
3−√5
w)
√√
2− 1 +
√√
2 + 1−
√
2
√
2 + 2x)
√
3−√5.(3 +√5)√
10 +
√
2
y)
(
14√
14
+
√
12 +
√
30√
2 +
√
5
)
.
√
5−√21z)
Bài 3. Tính giá trị các biểu thức sau:√
4 +
√
15 +
√
5−√21√
6 +
√
35
+ 1a)
√
47 + 21
√
5√
5 + 2
−
√
47− 21√5√
5− 2b)
(2−√3)
√
26 + 15
√
3−(2+√3)
√
26− 15√3c)
√
16 + 4
√
15−
√
8− 4√3−
√
3−√5d)
3 +
√
2
2
√
2− 1 −
√
1 +
√
2√
2− 1e)
√
2
√
3− 3
2
√
3 + 3
.(2 +
√
3)f)
√ √
3
8
√
3 + 3
√
21
.(3
√
2 +
√
14)g)
√
3
√
5− 1
2
√
5 + 3
.(
√
2 +
√
10)h)
√ √
5 + 2
5
√
5 + 11
+
√√
5− 2√
5 + 1
i)
√
3
√
3− 4
2
√
3 + 1
−
√ √
3 + 4
5− 2√3j)
Bài tập nâng cao
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:√√
2− 1 +
√√
2 + 1−
√
2
√
2 + 2a) √√
7−√3−
√√
7 +
√
3√√
7− 2
b)
√
11 +
√
5 +
√
11−√5√
11 + 2
√
29
−
√
3− 2√2c)
√
2 +
√
3.
√
2 +
√
2 +
√
3.
√
2 +
√
2 +
√
2 +
√
3.
√
2−
√
2 +
√
2 +
√
3d)
√
2 +
√
2.
√
3 +
√
7 +
√
2.
√
3 +
√
6 +
√
7 +
√
2.
√
3−
√
6 +
√
7 +
√
2e)
Hướng dẫn:√√
2− 1 +
√√
2 + 1−√2
√√
2 + 1a) Đặt A =
√√
7−√3−
√√
7 +
√
3.
Tính A2.
b)
Đặt A =
√√
7−√3−
√√
7 +
√
3.
Tính A2.
c) Thực hiện phép nhân từ phải sang trái.d)
Thực hiện phép nhân từ phải sang trái.e)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 11/75
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
2 Rút gọn các biểu thức căn bậc hai (có chứa ẩn)
Bài tập cơ bản
Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
5
√
x+ 4
x+
√
x− 2 +
√
x− 1√
x+ 2
−
√
x+ 2√
x− 1 với x > 0 và x 6= 1.a)
15
√
x− 11
x+ 2
√
x− 3 +
3
√
x− 2
1−√x −
3√
x+ 3
với x > 0 và x 6= 1.b)
(
x
√
x
x
√
x+ x+
√
x+ 1
+
1
x+ 1
)
:
√
x− 1
x+ 1
với x > 0.c)
(
1√
x− 2 −
1√
x
)
:
(√
x− 1√
x− 2 −
√
x+ 2√
x+ 1
)
với x > 0 và x 6= 4.d)
( √
x
x− 4 +
2
2−√x +
1√
x+ 2
)
:
(√
x− 2 + 10− x√
x+ 2
)
với x > 0 và x 6= 4.e)
( √
x
x− 9 +
2√
x+ 3
+
3
3−√x
)
:
(√
x− 3 + 12− x√
x+ 3
)
với x > 0 và x 6= 9.f)
(
x
√
x− 1
x−√x −
x
√
x+ 1
x+
√
x
)
.
x− 1
2 (x− 2√x+ 1) với x > 0 và x 6= 1.g)
1
2 (
√
x− 1) .
(
x2 − 8√x
x+ 2
√
x+ 4
+ 1
)
− x−
√
x− 1
2
√
x
với x > 0 và x 6= 1.h)
(
1−
√
x√
x+ 1
)
:
(√
x+ 3√
x− 2 +
√
x+ 2
x− 5√x+ 6 −
√
x+ 2√
x− 3
)
với x > 0 và x 6= 4;x 6= 9.i)
(
1− x√x
1−√x +
√
x
)
.
(
1−√x
1− x
)2
với x > 0 và x 6= 1.j)
(
6x+ 4
3
√
3x3
−
√
3x
3x+ 2
√
3x+ 4
)2
.
(
1 + 3
√
3x3√
3x+ 1
−√3x
)
với x > 0 và x 6= 4
3
.k)
2
3
 1
1 +
(
2
√
x+ 1√
3
)2 + 1
1 +
(
2
√
x− 1√
3
)2
 . 2017x+ 1 với x > 0.l)
( √
b
a−√ab −
√
a√
ab− b
)
.
(
a
√
b− b√a) với a > 0, b > 0, a 6= b.m)
(
a
√
a+ b
√
b√
a+
√
b
+
b
√
a− a√b√
a−√b
)(
a+ b+
√
ab
a
√
a− b√b
)2
với a > 0, b > 0 và a 6= b.n)
Bài tập nâng cao
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 12/75
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 1. Cho biểu thức A =
(
2x+ 1√
x3 − 1
−
√
x
x+
√
x+ 1
)(
1 +
√
x3
1 +
√
x
−√x
)
a) Tìm điều kiện có nghĩa của A.
b) Rút gọn A.
c) Tìm x để A = 3.
d) Tìm x để A có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2. Cho biểu thức A =
( √
x
x− 9 +
2√
x+ 3
+
3
3−√x
)
:
(√
x− 3 + 12− x√
x+ 3
)
a) Tìm điều kiện xác định của A và rút gọn A.
b) Tìm x ∈ Z để A có giá trị nguyên.
Bài 3. Cho biểu thức M =
√
x+ 2√
x+ 3
+
8
√
x+ 19
x+
√
x− 6 +
1
2−√x .
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức M .
c) Tìm x để M > 3.
Bài 4. Cho biểu thức sau: A =
√
x
√
x− 1√
x− 1 +
√
x với x > 1
Với giá trị nào của x thì biểu thức B = A+
9
A
có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.
Bài 5. Cho biểu thức A =
2x− 3√x− 2√
x− 2 với x > 0 và x 6= 4.
a) Tìm các giá trị của x để giá trị của A 6 5.
b) Tìm các giá trị của x để
2
A
nhận giá trị nguyên.
3 Chứng minh đẳng thức chứa căn bậc hai
Bài tập cơ bản
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau
9 + 4
√
5 =
(√
5 + 2
)2
a)
√
23 + 8
√
7−√7 = 4b)
11 + 6
√
2 =
(
3 +
√
2
)2
c)
(
3 + 2
√
3√
3 + 2
+
2 + 2
√
2√
2 + 1
)
:
(√
2 +
√
3
)
= 1d)
(
3
√
2 +
√
6√
12 + 2
−
√
54
3
)
.
2√
6
= −1e)
(
5 + 2
√
6√
3 +
√
2
)2
−
(
5− 2√6√
3−√2
)2
= 4
√
6f)
2 +
√
3
√
2 +
√
2 +
√
3
+
2−√3
√
2−
√
2 +
√
3
=
√
2g)
√
2 +
√
3 =
√
6
2
+
√
2
2
h)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 13/75
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau√
a+
√
a2 − b
2
+
√
a−√a2 − b
2
=
√
a+
√
ba) √
a+
√
a2 − b
2
−
√
a−√a2 − b
2
=
√
a−√bb) (
2 +
a−√a√
a− 1
)
.
(
2− a+
√
a
1 +
√
a
)
= 4− a với a > 0, a 6= 1c)
(
x
√
x− y√y√
x−√y +
√
xy
)
:
(√
x+
√
y
)2
= 1 với (x > 0, y > 0, x 6= y)d)
√
a2 + x2 +
√
a2 − x2√
a2 + x2 −√a2 − x2 −
√
a4
x4
− 1 = a
2
x2
với |a| > |x|e)
a+ b− 2√ab√
a−√b :
1√
a+
√
b =
= a− b với a > 0, b > 0 và a 6= bf)
(√
n+ 1−√n)2 =√(2n+ 1)2 −√(2n+ 1)2 − 1 với n ∈ Ng)
Bài tập nâng cao
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau
|x+ y|+ |x− y| =
∣∣∣x+√x2 − y2∣∣∣+ ∣∣∣x−√x2 − y2∣∣∣ với |x| ≥ |y|
HD: Bình phương hai vế.
a)
3
√
2 + 3
√
20− 3√25 = 3
√
3
√
5− 3√4
HD: Nhận xét 2 vế không âm sau đó bình phương.
b)
√
3−√5−
√
3 +
√
5 = −√2
HD: Đánh giá âm dương, bình phương hai vế hoặc nhân hai vế với
√
2.
c)
4− 2√3√
3− 1 =
3
√
6
√
3− 10
HD: Rút gọn vế trái sau đó lập phương hai vế.
d)
3
√
2 +
√
5 +
3
√
2−√5 = 1
HD: Đặt x =
3
√
2 +
√
5 +
3
√
2−√5. Đưa về phương trình bậc 3 theo x rồi giải phương
trình.
e)
3
√
9 + 4
√
5 +
3
√
9− 4√5 = 3
HD: Tương tự câu trên.
f)
3
√
3
√
2− 1 = 3
√
1
9
− 3
√
2
9
+ 3
√
4
9
HD: Lập phương hai vế. Rút nhân tử chung cho vế phải rồi nhân liên hiệp.
g)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 14/75
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
4 Giải phương trình chứa căn bậc hai
Bài tập cơ bản
Bài 1. Giải phương trình:
√
x2 + 9 = 5a)
√
4x2 − 20x+ 25 = 1b)
√
x2 − x− 2 = √x− 2c) √x2 − 9 = √3− xd)
√
x− 1 + 1 = xe) √25x2 − 30x+ 9 = x+ 7f)
√
x+ 3 +
√
2− x = 5g) √2x+ 5 +√8− 2x = 5h)
√
x+ 1 = 8−√3x+ 1i) √3x2 − 9x+ 1 = x− 2j)
√
3x+ 7−√x+ 1 = 2k) √x2 − 2x− 4 = √2− xl)
√
x2 + 6x+ 9 = |2x− 1|m) √x2 + x+ 1 = 3− xn)
√
x+
√
x− 5 = √5o) √x2 + 10x− 5 = 2 (x− 1)p)
√
17 + x−√17− x = 2q) √5x− 1−√3x− 2−√x− 1 = 0r)
√
x+ 10−√3− 4x = 2√x+ 2s) √x2 − 2x− 8 = √3 (x− 4)t)
√
x2 − 6x+ 6 = 2x− 1u)
Bài tập nâng cao
Bài 1. Giải phương trình:
√
x2 − x+√x2 + x− 2 = 0a)
√
(x− 1)2 +√x2 + 4x+ 4 = 3b)
√
25x− 50 +
√
x− 2 + 1
2
= 8
√
9x− 18
16
c)
√
x− 1 + 2√x− 2 = 2d)√
x+ 6− 6√x− 3 = 1e) 1
x+
√
1 + x2
+
1
x−√1 + x2 = −2f)√
x+ 2
√
x− 1 +
√
x− 2√x− 1 = 2g)
√
2x+
√
4x− 1 +
√
2x−√4x− 1 = √6h)
3 +
√
x+ 2
√
x− 1 = 2
√
x+ 4
√
x− 4i) √x2 + 3x+ 12 = x2 + 3xj)
√
x2 + 2x = −2x2 − 4x+ 3k)
√
(x+ 1) (x+ 2) = x2 + 3x− 4l)
−x2 + 2x+ 4
√
(3− x) (x+ 1) = 9m) (x+ 5) (2− x) = 3√x2 + 3xn)
√
x2 − 3x+ 3 +√x2 − 3x+ 6 = 3o) √3− x+ x2 −√2 + x− x2 = 1p)
x2 +
√
x2 + 11 = 31q)
√
x+ 1 +
√
3− x−
√
(x+ 1) (3− x) = 2r)
√
3− x+√x− 1− 4√4x− x2 − 3 = −2s) √x+ 1 +√8− x+
√
(x+ 1) (8− x) = 3t)
1 +
2
3
√
x− x2 = √x+√1− xu) √x− 2 +√x+ 2 = 2√x2 − 4 + 2x+ 2v)
√
x+ 1 +
√
4− x−
√
(x+ 1) (4− x) = 5w) x+√4− x2 = 2 + 3x√4− x2x)
√
3x− 2+√x− 1 = 4x−9+2√3x2 − 5x+ 2y) √2x+ 3+√x+ 1 = 3x+2√2x2 + 5x+ 3−
16
z)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 15/75
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
Hướng dẫn:
√
x2 − x+√x2 + x− 2 = 0
⇔
{ √
x2 − x = 0√
x2 + x− 2 = 0
a)
√
(x− 1)2 +√x2 + 4x+ 4 = 3
⇔
√
(x− 1)2 +
√
(x+ 2)2 = 3
⇔ |x− 1|+ |x+ 2| = 3
b)
√
25x− 50 +
√
x− 2 + 1
2
= 8
√
9x− 18
16
⇔ 5√x− 2 +
√
x− 2 + 1
2
= 6
√
x− 2
Đặt t =
√
x− 2 ≥ 0
c)
√
x− 1 + 2√x− 2 = 2
⇔
√(√
x− 2 + 1)2 = 2
⇔
∣∣√x− 2 + 1∣∣ = 2
d)
√
x+ 6− 6√x− 3 = 1
Tương tự câu trên.
e)
1
x+
√
1 + x2
+
1
x−√1 + x2 = −2 (∗)
ĐKXĐ: x ∈ R.
(∗)⇔ −x+√1 + x2 − x−√1 + x2 = −2
f)
√
x+ 2
√
x− 1 +
√
x− 2√x− 1 = 2 (∗)
ĐKXĐ: x ≥ 1
Bình phương hai vế ta ta được phương
trình:√
x2 − 4(x− 1) = 2−x⇔
√
(x− 2)2 = 2−x
.
Đáp số: S = [1; 2]
g)
√
2x+
√
4x− 1 +
√
2x−√4x− 1 = √6
Tương tự bài g). Đáp số: x = 1
h)
3 +
√
x+ 2
√
x− 1 = 2
√
x+ 4
√
x− 4 (∗)
ĐKXĐ: x ≥ 4
(∗)⇔ 3 +
∣∣√x− 1 + 1∣∣ = 2 ∣∣√x− 4 + 2∣∣
⇔ √x− 1 = 2√x− 4
i)
√
x2 + 3x+ 12 = x2 + 3x
Đặt t =
√
x2 + 3x+ 12
j)
√
x2 + 2x = −2x2 − 4x+ 3
Đặt t =
√
x2 + 2x
k)
√
(x+ 1) (x+ 2) = x2 + 3x− 4
Đặt t =
√
(x+ 1) (x+ 2) =
√
x2 + 3x+ 2
l)
−x2 + 2x+ 4
√
(3− x) (x+ 1) = 9
Đặt t =
√
(3− x) (x+ 1) = √−x2 + 2x+ 3
m) (x+ 5) (2− x) = 3√x2 + 3x
Đặt t =
√
x2 + 3x
n)
√
x2 − 3x+ 3 +√x2 − 3x+ 6 = 3
Đặt t =
√
x2 − 3x+ 3 hoặc t = √x2 − 3x+ 6
o)
√
3− x+ x2 −√2 + x− x2 = 1
Đặt t =
√
3− x+ x2 hoặc t = √2 + x− x2
p)
x2 +
√
x2 + 11 = 31
Đặt t =
√
x2 + 11 hoặc bình phương hai
vế đưa về phương trình trùng phương.
q)
√
x+ 1 +
√
3− x−
√
(x+ 1) (3− x) = 2
Đặt t =
√
x+ 1 +
√
3− x
⇔ t2 = 4 + 2
√
(x+ 1) (3− x)
r)
√
3− x+√x− 1− 4√4x− x2 − 3 = −2
Đặt t =
√
3− x+√x− 1
⇔ t2 = 2 + 2√4x− x2 − 3
s)
√
x+ 1 +
√
8− x+
√
(x+ 1) (8− x) = 3
Đặt t =
√
x+ 1 +
√
8− x
⇔ t2 = 9 + 2
√
(x+ 1) (8− x)
t)
Chuyên toán 9 - 10 - 11 - 12 - THPT Quốc Gia tại Quận 7 Trang 16/75
NG
UY
ỄN
NG
Ọ
C
D
ŨN
G
` Bài tập Toán 9 - HKI ` Thầy NGUYỄN NGỌC DŨNG Tel: 0976 071 956
1 +
2
3
√
x− x2 = √x+√1− x
Đặt t =
√
x+
√
1− x
⇔ t2 = 1 + 2√x− x2
u)
√
x− 2 +√x+ 2 = 2√x2 − 4 + 2x+ 2
Đặt t =
√
x− 2 +√x+ 2
⇔ t2 = 2√x2 − 4 + 2x
v)
√
x+ 1 +
√
4− x−
√
(x