Bài tập Toán 11 – Tổng hợp

QUẢ BẠN GẶT ĐƯỢC NGÀY MAI QUYẾT 
ĐỊNH BỞI NHÂN BẠN GIEO HƠM NAY 
Hệ thống bài tập đa dạng. 
Phân dạng rõ ràng. 
Hơn 700 câu trắc nghiệm. 
Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 2 
GIỚI HẠN - HÀM SỐ LIÊN TỤC 
CHUYÊN ĐỀ . 
Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 3 
I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực 
1. Giới hạn đặc biệt: 
1
lim 0
n n
 ; 
1
lim 0 ( )
kn
k
n


  
 lim 0 ( 1)n
n
q q

  ; lim
n
C C

 
2. Định lí : 
 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì 
  lim (un + vn) = a + b 
  lim (un – vn) = a – b 
  lim (un.vn) = a.b 
  lim n
n
u a
v b
 (nếu b  0) 
 b) Nếu un  0, n và lim un= a 
 thì a  0 và lim nu a 
 c) Nếu n nu v ,n và lim vn = 0 
 thì lim un = 0 
 d) Nếu lim un = a thì lim nu a 
3. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn 
 S = u1 + u1q + u1q
2 +  = 1
1
u
q
  1q  
1. Giới hạn đặc biệt: 
 lim n   lim ( )kn k   
 lim ( 1)nq q   
2. Định lí: 
 a) Nếu lim nu   thì 
1
lim 0
nu
 
 b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim n
n
u
v
= 0 
 c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0 
 thì lim n
n
u
v
 = 
. 0
. 0
n
n
nếu a v
nếu a v
 

 
 d) Nếu lim un = +, lim vn = a 
 thì lim(un.vn) = 
0
0
nếu a
nếu a
 

 
* Khi tính giới hạn cĩ một trong các dạng vơ định: 
0
0
, 


,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vơ 
định. 
LƯU Ý: 
1. Định lí kẹp: Nếu n nu v ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0 
2. Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: 
  Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng 0. 
  Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của 
tử và của mẫu. 
  Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đĩ là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng 
dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. 
3. Một số tổng thường gặp 
Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 4 
 
1
1
1 2 3 ... .
2
n n
S n

      
  2 2 2 2
2
1 2 1
1 2 3 ... .
6
n n n
S n
 
      
 
22
3 3 3 3
3
1
1 2 3 ... .
4
n n
S n

       4
( 1)( 1)
1.2 2.3 3.4 ... 1 .
3
n n n
S n n
 
       
5
1 1 1
... .
1.2 2.3 ( 1) 1
n
S
n n n
    
 
   26 1 3 5... 2 1 .S n n      
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
DẠNG 1:


 Giới hạn các giới hạn sau: 
1) 
2
2
2 3
lim
3 2 1
n n
n n
 
 
 2) 
3 2
2 1
lim
4 3
n
n n

 
 3) 
3 2
3
3 2
lim
4
n n n
n
 

4) 
4
2
lim
( 1)(2 )( 1)
n
n n n  
 5) 
1 3
lim
4 3
n
n


 6) 
14.3 7
lim
2.5 7
n n
n n


7) 
1 24 6
lim
5 8
n n
n n
 

 8) 
2
2
4 1 2 1
lim
4 1
n n
n n n
  
  
 9) 
2
2
3 4
lim
2
n n
n n
  
 
10) 
32 6
4 2
1
lim
1
n n
n n
 
 
DẠNG 2:  Giới hạn các giới hạn sau: 
1)  2lim 2 1n n n   2)  2 2lim 2n n n   3)  3 3lim 2 1n n n   
4)  2 4lim 1 3 1n n n    5)  2 2lim 3 1n n n   6)  3 3 2lim 3n n n  
DẠNG 3: GIỚI HẠN DÃY SỐ 
1) 
1 1 1
lim ...
1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n
 
   
  
 2) 
1 1 1
lim ...
1.3 2.4 ( 2)n n
 
   
 
3) 
2 2 2
1 1 1
lim 1 1 ... 1
2 3 n
    
      
    
 4) 
2
2
1 2 2 ... 2
lim
1 3 3 ... 3
n
n
   
   
5) 
1 1 1
lim ...
1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1)n n n n
 
   
     
6) Cho dãy số (un) được xác định bởi: 
1 2
2 1
0; 1
2 , ( 1)n n n
u u
u u u n 
 

  
Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 5 
a) Chứng minh rằng: un+1 = 
1
1
2
nu  , n  1. 
b) Đặt vn = un – 
2
3
. Giới hạn vn theo n. Từ đĩ tìm lim un. 
DẠNG 4: CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠN 
Giới hạn tổng các CSN sau: 
1) 
1 1
2 2 1 ...
22
    2) 
1 1 1
3 1 ...
3 9 27
    3) 
1 1 1 1 1
...
2 4 8 16 32
    
Viết các số sau dưới dạng phân số 
1)1,(01). 2)2,(17). 3)3,020202020.. 4)4,115115115. 
5)3,666666.. 6)1,(23). 7)2,(03). 8)4,(11). 
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
Câu [1] Giới hạn 
2 1
lim
2 3
n
n


 bằng: 
A.1. B. 
2
.
3
 C. 
1
.
2
 D. 
1
.
3
 
Câu [2] Giới hạn 
2
2
2 3 1
lim
2 3
n n
n n
 
 
 bằng: 
A.1. B. 
2
.
3
 C. 2. D. . 
Câu [3] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 
A. lim2 0.n  B. 
3
lim 0.
n

 
 
 
 C. 
2
lim 0.
3
n
 
 
 
 D. lim 0.
3
n


 
 
 
Câu [4] Giới hạn 
3 21
lim
n n
n
 
bằng: 
A. 0. B. 
2
.
3
 C. . D. 1. 
Câu [5] Giới hạn 
3
2 3
2 1
lim
3 4 2
n n
n n
 
 
 bằng: 
A.
1
.
3
 B. 
2
.
3
 C. 
1
.
4
 D. 
1
.
2
Câu [6] Giới hạn 
2
4 1
lim
6
n
n n


 bằng: 
A. 0. B. 4. C. 
2
.
3
 D. 1. 
Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 6 
Câu [7] Giới hạn 
21 2
lim
3 2
n
n


 bằng: 
A. . B. 
2
.
3
 C. 
1
.
2
 D. . 
Câu [8] Giới hạn 
2 3
lim
1
n
n


 bằng: 
A. 2. B. 2. C. 0. D. . 
Câu [9] Giới hạn 
2 1
lim
3 2 1
n n
n n
 
 
 bằng: 
A.
1
.
2
 B. 
1
.
3
 C. 0. D. . 
Câu [10] Giới hạn 
3 3
2
. 1
lim
2 1 1
n n n n
n n
 
 
 bằng: 
A. . B. 0. C. 
1
.
2
 D. 1. 
Câu [11] Với a là số thực dương. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng: 
A. lim 0 1.na a   B. lim 1.na a  
C. lim 0 1.na a   D. lim 1.na a  
Câu [12] Giới hạn  2 2lim 1 1n n n    bằng: 
A. . B. 0. C. 
1
.
2
 D. 
1
.
2
 
Câu [13] Giới hạn 
3 3
2
1
lim
1
n n
n n
 
 
 bằng: 
A. . B. 0. C. 
1
.
2
 D. 1. 
Câu [14] Giới hạn 
2 3
lim
4
n n
n

 bằng: 
A. . B. 
1
.
2
 C. 0. D. 
3
.
4
Câu [15] Giới hạn 
22 3
lim
1 3
n
n


 bằng: 
A. . B. 0. C. 
2
.
3
 D. 
4
.
3
Câu [16] Giới hạn 
1 1
2 2 4
3 4
lim
3 2
n n
n n
 
 


 bằng: 
Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 7 
A.
1
.
7
 B. 
4
.
9
 C. 
1
.
4
 D. 
13
.
75
Câu [17] Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 
A. lim10 0n  . B. 
5
lim 0
4
n
 
 
 
 C. 
2 5
lim lim .
3 6
   
   
   
 D. 
1 3
lim lim .
3 2
   
   
   
Câu [18] Cấp số nhân lùi vơ hạn 
1
5, 5,1, ,...
5
 Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây: 
A. 
5
1 5
S 

. B. 
1 5
.
5
S

 C. 
5
.
1 5
S 

 D. 
1 5
.
5
S

 
Câu [19] Số thập phân vơ hạn tuần hồn 1,0202020202. chính xác bằng: 
A. Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn, 1
2 1
, .
100 100
u q  
B. Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn, 1
2 1
, ,
100 100
u q  cộng thêm 1. 
C. Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn, 1
1
2, .
100
u q  
D. Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn, 1
1
2, ,
100
u q  cộng thêm 1. 
Câu [20] Tổng S = 1 + 4 + 16 +65536 bằng: 
A. 21845.S  B. 65535.S  C. 262143.S  D. 87381.S  
Câu [21] Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn -3; 0,3; -0,03; 0,003 là: 
A. 
10
.
3
S   B. 
30
.
11
S   C. 
10
.
3
S  D. 
30
.
11
S  
Câu [22] Giới hạn 
 
1 1 1
lim ...
1.2 2.3 1n n
 
   
 
 bằng: 
A. . B. 0. C. 1. D. 2. 
Câu [23] Giới hạn 
2 2 2 2
1 3 5 2 1
lim ...
n
n n n n
 
    
 
 bằng: 
A. . B. 0. C. 1. D. 3. 
Câu [24] Giới hạn 
2 2 2
1 1 1
lim ...
1 2n n n n
 
   
   
 bằng: 
A. . B. 0. C. 1. D. 3. 
Câu [25] Chọn câu đúng trong các câu sau: 
A. 
22 4
lim 0.
n
n
n

 B. 
22 4
lim .
n
n
n

  
Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 8 
C. 
22 4
lim 2.
n
n
n

 D. 
22 4
lim 2.
n
n
n

 
Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 9 
II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 
1. Giới hạn đặc biệt: 
0
0
lim
x x
x x

 ; 
0
lim
x x
c c

 (c: hằng số) 
2. Định lí: 
a) Nếu
0
lim ( )
x x
f x L

 và 
0
lim ( )
x x
g x M

 
 thì:  
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M

   
  
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M

   
  
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x L M

 
0
( )
lim
( )x x
f x L
g x M
 (nếu M  0) 
b) Nếu f(x)  0 và 
0
lim ( )
x x
f x L

 
 thì L  0 và 
0
lim ( )
x x
f x L

 
c) Nếu 
0
lim ( )
x x
f x L

 thì 
0
lim ( )
x x
f x L

 
3. Giới hạn một bên: 
0
lim ( )
x x
f x L

  
 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
  
  
1. Giới hạn đặc biệt: 
 lim k
x
x

  ; lim k
x
nếu k chẵn
x
nếu k lẻ

 

 lim
x
c c

 ; lim 0
k
x
c
x
 
0
1
lim
x x

  ; 
0
1
lim
x x

  
0 0
1 1
lim lim
x xx x
  
   
2. Định lí: 
Nếu 
0
lim ( )
x x
f x L

  0 và 
0
lim ( )
x x
g x

  thì: 
0
0
0
lim ( )
lim ( ) ( )
lim ( )
x x
x x
x x
nếu L và g x cùngdấu
f x g x
nếu L và g x trái dấu





 


0
0 0
0
0 lim ( )
( )
lim lim ( ) 0 . ( ) 0
( )
lim ( ) 0 . ( ) 0
x x
x x x x
x x
nếu g x
f x
nếu g x và L g x
g x
nếu g x và L g x

 

  

   


  

* Khi Giới hạn giới hạn cĩ một trong các dạng vơ 
định: 
0
0
, 


,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng 
vơ định. 
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
DẠNG 1: GIỚI HẠN KHƠNG VƠ ĐỊNH 
1) 
2 3
0
1
lim
1x
x x x
x
  

 2) 
2
1
3 1
lim
1x
x x
x
 

 3) 
2
sin
4
lim
x
x
x

 
 
 


4) 
4
1
1
lim
3x
x
x x

 
 5) 
2
2
1
lim
1x
x x
x
 

 6) 
2
1
2 3
lim
1x
x x
x
 

DẠNG 2: VƠ ĐỊNH DẠNG 
0
0
Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 10 
1) 
3 2
2
1
1
lim
3 2x
x x x
x x
  
 
 2) 


 
4
3 2
1
1
lim
2x
x
x x x
 3) 
5
3
1
1
lim
1x
x
x


4) 
3 2
4 2
3
5 3 9
lim
8 9x
x x x
x x
  
 
 5) 
5 6
2
1
5 4
lim
(1 )x
x x x
x
 

 6) 
1
1
lim
1
m
n
x
x
x


7) 
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x x x
x
   
 8) 
2
1
...
lim
1
n
x
x x x n
x
   

 9) 
4
3 2
2
16
lim
2x
x
x x


10) 
2
2
4 1 3
lim
4x
x
x
 

 11) 
3
3
1
1
lim .
4 4 2x
x
x

 
 12) 
2
0
1 1
lim
x
x
x
 
13) 
2
2 2
lim
7 3x
x
x
 
 
 14) 
1
2 2 3 1
lim
1x
x x
x
  

 15) 
2
0 2
1 1
lim
16 4
x
x
x

 
 
16) 
3
0
1 1
lim
1 1x
x
x
 
 
 17) 
2
3
3 2
lim
3x
x x
x x
 

 18) 
0
9 16 7
lim
x
x x
x
   
19) 
3
0
1 1
lim
x
x x
x
  
 20) 
3
2
2
8 11 7
lim
3 2x
x x
x x
  
 
 21) 
3
0
2 1 8
lim
x
x x
x
  
DẠNG 3: VƠ ĐỊNH DẠNG ; .



0 
1) 
2
2
1
lim
2 1x
x
x x

 
 2) 
2
2 1
lim
2x
x x
x
 

 3) 
2
3 2
2 1
lim
3 2x
x
x x

 
4) 
2
2
2 3 4 1
lim
4 1 2
x
x x x
x x

   
  
 5)
2
2
4 2 1 2
lim
9 3 2
x
x x x
x x x

   
 
 6) 
2
1
lim
1x
x x
x x

 
DẠNG 4: VƠ ĐỊNH DẠNG  - 
1) 2lim
x
x x x

 
  
 
 2) 2lim 2 1 4 4 3
x
x x x

 
    
 
3) 
32 3
lim 1 1
x
x x

 
   
 
 4) lim
x
x x x x

 
   
 
5)  3 3lim 2 1 2 1
x
x x

   6)  3 3 2lim 3 1 2
x
x x

   
7) 
3
1
1 3
lim
1 1x x x
 
 
  
 8) 
2 2
2
1 1
lim
3 2 5 6x x x x x
 
 
    
Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 11 
9)  
x
x x
2
lim 1

  10) 
x
x x x
2
lim ( 1)

   11) 
x
x x
x
2
1
lim
5 2 
 

12)  
x
x x x
2
lim 3

   13) 
x
x x
x
5 3 1
lim
1
 

 14) 
x
x x x
x x
2
2
2 3
lim
4 1 2

 
  
15)
3
0
1 1
lim
x
x x
x
  
DẠNG 5: GIỚI HẠN MỘT BÊN 
1) 
2
15
lim
2x
x
x


 2) 
2
15
lim
2x
x
x


 3) 
2
3
1 3 2
lim
3x
x x
x
 

4) 
2
2
4
lim
2x
x
x


 5) 
2
2
2
lim
2 5 2x
x
x x


 
 6) 
2
2
2
lim
2 5 2x
x
x x


 
7) 
x
x x
x
2
2
2 3 2
lim
2
 

 8) 
x
x
x x
2
1
1
lim
3 4


 
 9) 
x
x x
x
3
1
3 4 1
lim
1
 

10) Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: 
a) 
3
1 1
0
1 1( ) 0
3
0
2
x
khi x
xf x tại x
khi x
  
   
 

 b) 
2
9
3
( ) 3
3
1 3
x
khi xf x tại x
x
x khi x
    
  
c) 
2
3
4
2
2
8( ) 2
16
2
2
x x
khi x
xf x tại x
x
khi x
x
 

  

 
 d) 
2
2
3 2
1
1( ) 1
1
2
x x
khi x
xf x tại x
x
khi x
  

 
 

11) Tìm giá trị của m để các hàm số sau cĩ giới hạn tại điểm được chỉ ra:: 
a) 
3
1
1
( ) 1
1
2 1
x
khi xf x tại x
x
mx khi x
    
  
 b) 3
2 2
1 3
1
( ) 11 1
3 3 1
khi x
f x tại xx x
m x mx khi x

 
  
    
c) 2
0
( ) 0100 3
0
3
x m khi x
f x tại xx x
khi x
x
  

   
 
 d) 
2
3 1
( ) 1
3 1
x m khi x
f x tại x
x x m khi x
   
  
     
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 
Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 12 
Sử dụng đề sau cho câu [1], [2], [3] 
Cho hàm số  
2
2 1, 0
3 , 0
x x
f x
x x x
 
 
 
. 
Câu [1] Giới hạn  
0
lim
x
f x

 bằng: 
A.1 B.0 C.3 D.-3 
Câu [2] Giới hạn  
0
lim
x
f x

 bằng: 
A.1 B.0 C.3 D.-3 
Câu [3] Giới hạn  
0
lim
x
f x

 bằng: 
A.1 B.0 C.3 D.Khơng tồn tại. 
Câu [4] Cho hàm số  
2 1x
f x
x

 . Giới hạn  
1
2
lim
x
f x

 bằng: 
A.1 B.0 C.2 D.1/2 
Câu [5] Cho hàm số  
x
f x
x
 . Giới hạn  
0
lim
x
f x

bằng: 
A.1 B.0 C.-1 D. Khơng tồn tại. 
Câu [6] Cho hàm số  
2
3 , 0
2, 0
x a x
f x
x a x
 
 
  
. Với giá trị nào của a thì hàm số cĩ giới hạn khi x tiến đến 0: 
A.1 B.0 C.2 D.3 
Câu [7] Cho hàm số  
2
3 , 0
2, 0
x a x
f x
x a x
 
 
  
. Với giá trị nào của a thì hàm số cĩ giới hạn khi x tiến đến 0: 
A.1 B.0 C.2 D.3 
Câu [8] Giới hạn 
2
22
3 2 1
lim
2x
x x
x
 

 bằng: 
A.3. B. 
3
.
2
 C. 
9
.
4
 D. . 
Câu [9] Giới hạn  2
2
lim 2 2 1 3
x
x x x

   bằng: 
A. . B. 0. C. 5. D. 5 6. 
Câu [10] Giới hạn 
2
1
3 2
lim
1x
x x
x
 

 bằng: 
A. . B. 1. C. 1. D. 3. 
Câu [11] Giới hạn 
2
3
9
lim
3x
x
x


 bằng: 
Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 13 
A. . B. 6. C. 
1
.
3
 D. 6. 
Câu [12] Giới hạn 
2
3
9
lim
3x
x
x


 bằng: 
A. . B. 0. C. 1. D. 6. 
Câu [13] Trong các câu sau, câu nào đúng 
A. 
1
1 2
lim
1x
x
x

 

 B. 
1
1 2
lim
1x
x
x

 

 C. 
1
1 2
lim
1x
x
x

 

 D. 
1
1 2
lim
1x
x
x

 

Câu [14] Giới hạn 
2
3 21
6 5
lim
2 1x
x x
x x
 
 
 bằng: 
A. . B. 4. C. 1. D. 0. 
Câu [15] Giới hạn 
21
1
lim
3 2x
x
x x

 
 bằng: 
A.1. B. . C. 
1
.
2
 D. . 
Câu [16] Giới hạn 
2
2 2
lim
2 2x
x
x
 

 bằng: 
A. 2. B. 
1
.
2
 C. 2. D. 
1
.
2
Câu [17] Giới hạn 
2
2
2 2
lim
2 2
 
x
x
x
 bằng: 
A. 2. B. 
1
.
2
 C. 2. D. 
1
.
2
Câu [18] Giới hạn 
3
1 2
lim
6 3x
x
x
 
 
 bằng: 
A.1. B.3/2. C.2/3. D.3. 
Câu [19] Cho hàm số  



1
.
1
x
f x
x
 Trong các dãy số sau, dãy nào thỏa  

 lim 1
n
x
f x : 
A.  
 
  
 
3
: .
2
n
n n
x x B.  
 
  
 
1
: .
4
n
n n
x x C.   : 3 .nn nx x D.   : .
n
n n
x x n 
Câu [20] Cho hàm số  
 


22 1
1
x x
f x
x
, với dãy (xn) bất kì thỏa lim 1nx , thì  

lim
n
n
f x bằng: 
A.2. B.3/2. C.3. D. . 
Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 14 
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC 
1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0  
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

 
  Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: 
 B1: Tính f(x0). 
 B2: Tính 
0
lim ( )
x x
f x

 (trong nhiều trường hợp ta cần tính
0
lim ( )
x x
f x

, 
0
lim ( )
x x
f x

) 
 B3: So sánh 
0
lim ( )
x x
f x

 với f(x0) và rút ra kết luận. 
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đĩ. 
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
  
  
4.  Hàm số đa thức liên tục trên R. 
  Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đĩ: 
  Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. 
  Hàm số y = 
( )
( )
f x
g x
 liên tục tại x0 nếu g(x0)  0. 
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0. 
Nĩi cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất một nghiệm 
c (a; b). 
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = 
 ;
min ( )
a b
f x , M = 
 ;
max ( )
a b
f x . Khi đĩ với mọi T  (m; M) luơn 
tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = T. 
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Câu [1] Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: 
a) 
3
1
( ) 1
1
1 1
x
khi xf x tại xx
khi x
 
 
   
 
 b) 
3 2
1
1( ) 1
1
1
4
x
khi x
xf x tại x
khi x
  
  
 

Bài tập Tốn 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 
Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 15 
c) 
2 3
2
2 7 5
2
( ) 2
3 2
1 2
x x x
khi xf x tại x
x x
khi x
   
 
   
 
 d) 
2
5
5
( ) 52 1 3
( 5) 3 5
x
khi x
f x tại xx
x khi x
 

   
   
e) 
1 cos 0
( ) 0
1 0
x khi x
f x tại x
x khi x
  
 
 
 f) 
1
1
( ) 1
2 1
2 1
x
khi x
f x tại x
x
x khi x
 

   
 
Câu [2] Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: 
a) 
2
1
( ) 1
2 3 1
x khi xf x tại x
mx khi x
  
 
 b) 
3 2
2 2
1
( ) 1
1
3 1
x x x
khi xf x tại x
x
x m khi x
      
  
c) 
2
0
6
( ) 0, 3 0 3
( 3)
3
m khi x
x x
f x khi x x tại x và x
x x
n khi x
 
  
    


d) 
2
2
2
( ) 2
2
2
x x
khi xf x tại x
x
m khi x
     
 
Câu [3] Xét Giới hạn liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 
a) 
3
3
2
1
1( )
4
1
3
x x
khi x
xf x
khi x
  
 
 
  

 b) 
2
3 4 2
( ) 5 2
2 1 2
x x khi x
f x khi x
x khi x
   
 
  
c) 
2
4
2
( )
2
4 2
x
khi x
f x
x
khi x
     
  
 d) 
2
2
2
( )
2
2 2 2
x
khi x
f x
x
khi x
 

  


Câu [4] Tìm các giá trị của m để