Bài tập Tính đơn điệu của hàm số

GV. Nguyễn Vũ Minh TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 1
Nhận luyện thi THPTQG tại BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI 
Giáo viên: Th.S Nguyễn Vũ Minh 
Đt : 0914449230 (zalo) 
Vấn đề 2 : Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. 
 Tính đơn điệu của hàm số: 
 + Hàm số ( )y f x= đồng biến trên khoảng (a;b) ' 0, ( ; )y x a .b⇔ ≥ ∀ ∈ 
 + Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) ( )y f x= ' 0, ( ; ).y x a b⇔ ≤ ∀ ∈ 
Chú ý : 
+ Điều kiện để tam thức bậc hai 2( )f x ax bx c= + + không đổi dấu trên : R
2 a 0ax bx c 0,
0
x
>⎧+ + ≥ ∀ ∈ ⇔ ⎨Δ ≤⎩R 
2 a 0ax bx c 0,
0
x
<⎧+ + ≤ ∀ ∈ ⇔ ⎨Δ ≤⎩R 
 Nếu hệ số a và b có chứa tham số m thì phải xét trường hợp a = 0 
+ Hàm số đồng biến trên khoảng (a,b) thì với ( )y f x=
 1 1( ) ( ) ( ).a x b f a f x f b≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
Các bước xét tính đơn điệu của hàm số : 
 B1 : Tìm TXĐ , tính đạo hàm cấp 1 ( y’) 
 B2 : cho y’ = 0 tìm x 
 B3 : lập bảng biến thiên và kết luận 
Bài 1 : Xét tính đơn điệu của các hàm số sau đây : 
a/ 3 2y 2x 3x 12x 13= + − − b/ 4 2y 3x 6x 2= − + 
c/ 4 2y x 5x= − +1 d/ 4 2y x 6x 8= − − + 
e/ 3y x 3x= − +1 f/ 3 2y x 3x 3x 5= + + + 
g/ 3 2y x 3x 24x 2= − − + + 5 h/ 3 2 1y x x 3x 3= − + − + 
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 2
k/ 
2x 2y
x 1
−= + l/ 
4 31y x x 4x
4
1= − + − + 
m/ 
x 1y
3 x
+= − n/ 
3
2x 1y x 3x
3 3
1= − + + − 
o/ 
2x xy
x 1
− −= +
1
 p/ 4 2y x 4x 3= − + − 
Bài 2 (soạn) : Xét tính đơn điệu của các hàm số sau đây : 
1/ 
4 2 3y x 2x
2
= − + 2/ 
3
2xy 2x 3x 1
3
= − + − + 
3/ 3y 2x 3x 1= + + 4/ 3x 1y x 2 
+= + 
5/ 6/ ( )3y x 2 3x= − − + 4 4 21y x 2x4 2= − + 
7/ 
3
2xy x 2x
3
= − + +1 8/ 
3
22xy x 4x
3
2= − + + − 
9/ 3 2y x 3x= − + 4 10/ 3 2 2y x 3x 9x 3= − + + 
11/ 
3 2 2y x 8x 16x
5
= − + + 12/ 3 2 1y 2x 3x 4= − + 
13/ 
3 2 7y x 9x 9x
4
= − + − 14/ 3 21 3y x x3 2
7
2
= − + − 
15/ 
x 3y
2 x
−= − 16/ 
2xy
3 x
−= + 
Bài 3 : Xét tính đơn điệu của các hàm số sau đây : 
 a) b) 3 2y 2x 9x 12x 3= − + + 3 2y 5x 3x 4x 5= − + − + 
 c) d) 4 3 2y 3x 4x 24x 48x 3= − − + − ( )23 2y x 1 x= − 
Bài 4 : Tìm m để các hàm số sau luôn giảm trên từng khoảng xác định : 
 a/ 
mx 1y
x 2
−= + 
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 3
 b/ 
2m x 1y
4x 1
−= − + 
 c/ ( )
3
2x 1y x m 3 x
3
= − + − − + 1
5 
 d/ ( )3 2y x 3 m x 2mx= − + − − + 2 
Bài 5 : Tìm m để các hàm số sau luôn tăng trên từng khoảng xác định : 
 a/ 
mx 4y
x 4
+= − b/ ( ) ( )
3
2 2xy m 1 x 2 m 2 x 4
3
= − − + + − 
 c/ ( ) ( ) ( )
3
2x 2y m 2 m 2 x 3m 1 x m
3
= + − + − − + 
 d/ ( ) ( )
3
2 4xy m 4 x m 2 x 5m
3
= − + − − + 
 e/ ( ) ( ) ( )
3
2xy m 2 2m 3 x 5m 6 x 2
3
= − − − + − + 
Bài 6 (soạn): Tìm m để các hàm số sau : 
 a/ 
mx 1y
x m
+= + luôn giảm trên từng khoảng xác định 
 b/ 
x my
x 3
−= + luôn tăng trên từng khoảng xác định 
 c/ 3 2y x 3mx 3x= + + −1 luôn tăng trên R (Đs : 1 1m− ≤ ≤ ) 
 d/ ( ) ( )3 2 2y x m 1 x m 4 x 9= + − + − + luôn tăng (Đs : 1 3 3
2
m − −≤ hoặc 1 3 3
2
m − +≥ ) 
 e/ ( )3 2y x 3x 2m 1 x 4= − + + − Đồng biến trên R (Đs : ) 1m ≥
 f/ 
2x 1y
x m
−= − nghịch biến trên từng khoảng xác định (Đs :
1
2
m > ) 
 g/ ( ) ( )3 2y x m 2 x m 1 x= − + + + − −3 nghịch biến trên R (Đs: 7 3 5 7 3 5
2 2
m− − − +≤ ≤ ) 
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 4
 h/ ( )3 21y x x m 1 x3= − + + + 9 đồng biến vói mọi x (Đs : ) 3m ≥
 k/ 3 2
1y x mx 4x
3
= + + −1 luôn tăng trên R (Đs : 2 2m− ≤ ≤ ) 
 l/ luôn tăng trên R (Đs : 3 2y x mx 4x 3= + + + 2 3 2 3m− ≤ ≤ ) 
Bài 7 : Tìm m để : 
 a/ (ĐHQG Tp.HCM – 2000) Hàm số 3 2y x 3x mx m= + + + nghịch biến trên 
đoạn có độ dài bằng 1 
 b/ Hàm số ( ) ( )3 21 1y x m 1 x m 1 x3 2= − − − + −3 nghịch biến trên đoạn có độ dài 
bằng 5 
 c/ Hàm số 3 2 2y x m x mx 3m= − + + + + 5 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3 
Bài 8 : Tìm a để hàm số ( ) ( )2 3 21y a 1 x a 1 x 3x3= − + + + + 5 luôn đồng biến trên 
từng khoảng xác định ? (Đs: ) 1 2a a≤ − ∨ ≥
Bài 9 : Tìm m để hàm số ( ) ( )3 21y m 1 x mx 3m 23= − + + − x luôn đồng biến với 
mọi x ? (Đs: ) 2m ≥
Bài 10 : CMR hàm số ( ) ( )3 2 2y x m 1 x m 2 x= − + + − + +m luôn nghịch biến 
Bài 11 : Tìm m để hàm số ( ) ( )3 2 2y x 2 m 1 x 2m m 2 x m 3= − − + − + + − luôn đồng 
biến 
Bài 12 : Tìm a để hàm số sau đây luôn giảm 
 a/ ( ) ( )3 2y x a 1 x 2a 1 x= − + + − + −3 b/ ax a 7y 5x a 3
+ −= − + 
Bài 13 (ĐH Thủy lợi – 1997) : tìm m để hàm số sau đồng biến trên R 
GV. Nguyễn Vũ Minh TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 5
3 2m 1y .x m.x (3m 2).x
3
−= + + −