Bài tập nâng cao Hình học 9

Bµi tËp n©ng cao h×nh häc 9
Bài tập nâng cao chương I
Baøi 1: a) Tìm x vaø y trong moãi hình beân	 
 (a)	 (b) 
b) Tìm x, y, z trong hình c
(c) 
Baøi 2:
1. Cho tam giaùc DEF coù ED = 7 cm, . Keû ñöôøng cao EI cuûa tam giaùc ñoù. Haõy tính:
a) Ñöôøng cao EI.	b) Caïnh EF.
2. Giaûi tam giaùc vuoâng ABC, bieát raèng , AB = 5, BC = 7.
3. Haõy tính caùc goùc nhoïn cuûa moät tam giaùc vuoâng, bieát tæ soá hai caïnh goùc vuoâng laø 13 : 21. 
Baøi 3: Cho tam giaùc ABD vuoâng taïi B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Treân caïnh BD laáy ñieåm C sao cho BC = 3 cm. Töø D keû Dx // AB, noù caét ñöôøng thaúng AC taïi E.
a) Tính AD.
b) Tính caùc goùc BAD, BAC. Töø caùc keát quaû ñoù, coù theå keát luaän raèng Ac laø tia phaân giaùc cuûa goùc BAD khoâng ?.
c) Chöùng minh tam giaùc ADE caân taïi D.
d) Chöùng minh AC laø tia phaân giaùc cuûa goùc BAD.
Baøi 4: Cho hình vuoâng ABCD, caïnh AB = 1 ñôn vò ñoä daøi. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB, AD.
a) Tính dieän tích hình caùnh dieàu AICJ baèng caùc caùch khaùc nhau.
b) Tính sinICJ.
Baøi 5: Cho hình thang caân ABCD (AB // CD) ñöôøng cao AH, AB = 8 cm, CD = 12 cm, AD = 10 cm.
a) Tính AH.
b) Tính soá ño goùc ADC, suy ra soá ño goùc ABC.
c) Tính AC. Vì sao ta khoâng coù heä thöùc 
Bµi 6. Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i B vµ C, AC ^ AD. BiÕt = 580, AC = 8.
a) TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AD, BC
b) Chøng minh AC2 = AB.DC
Baøi 9: Cho rABC coù . Keû BH ^ AC vaø CK ^ AB.
a) chöùng minh KH = BC.CosA
b) Trung ñieåm cuûa BC laø M. Chöùng minh rMKH laø tam giaùc ñeàu
Baøi 7 Cho rABC coù laø goùc nhoïn. Chöùng minh dieän tích cuûa tam giaùc ñoù laø S=AB.AC.sinA. Aùp duïng: a) Tính bieát AB = 4 cm, AC = 7 cm vaø 
b) Bieát = (cm2), AB = 4 cm, AC = 5 cm. Tính soá ño cuûa 
Baøi 8: Cho rABC coù 3 goùc nhoïn, caùc caïnh ñoái dieän vôùi caùc goùc theo thöù töï laø a, b, c. Chöùng minh: .
Baøi 9: Tam giaùc ABC coù AB = 3 cm, AC = 6 cm, = 1200. Keû ñöôøng phaân giaùc AD cuûa . Tính ñoä daøi cuûa AD.
Baøi 10: Cho hình bình haønh ABCD ( ).
	a) Chöùng minh : .
b) Neáu CD = 6 cm, CA = 4 cm, thì töù giaùc ABCD laø hình gì?. Tính dieän tích cuûa töù giaùc ñoù.
Baøi 11: Cho tam giaùc caân ABC ( AB = AC; < 900 ). Keû BK ^ AC.
	a) Chöùng minh : .
	b) Chöùng minh : .
	c) Bieát , tính sinA.
Baøi 12: Cho tam giaùc vuoâng ABC ( = 900 ). Laáy ñieåm M treân caïnh AC. Keû AH ^ BM, CK ^ BM.
	a) Chöùng minh : .
	b) Chöùng minh : .
Baøi 13: Cho rABC coù = 600. Keû BH ^ AC vaø CK ^ AB.
	a) Chöùng minh : KH = BC.cosA.
	b) Trung ñieåm cuûa BC laø M. Chöùng minh rMKH laø tam giaùc ñeàu.
Baøi 14: Cho tam giaùc ABC coù BC = a. . Veà phía ngoaøi cuûa rABC, veõ caùc hình vuoâng ABDE vaø ACFG. Giao ñieåm caùc ñöôøng cheùo cuûa hai hình vuoâng laø Q vaø N. Trung ñieåm cuûa BC vaø EG laø M vaø P.
	a) Chöùng minh rAEC = rABG.
	b) Chöùng minh töù giaùc MNPQ laø hình vuoâng.
	c) Bieát . Tính dieän tích hình vuoâng MNPQ theo a vaø .
Baøi 15: Cho hình chöõ nhaät MNPQ coù 4 ñænh naèm treân 4 caïnh cuûa hình thoi ABCD ( M Î AB, N Î BC, P Î CD, Q Î DA ). Caùc caïnh hình chöõ nhaät song song vôùi caùc ñöôøng cheùo cuûa hình thoi. Bieát AB = 7 cm. .
	a) Tính dieän tích hình thoi ABCD.
b) Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M treân caïnh AB sao cho dieän tích hình chöõ nhaät MNPQ ñaït giaù trò lôùn nhaát vaø tính giaù trò lôùn nhaát ñoù.
Baøi 16: Cho hình bình haønh ABCD coù ñ.cheùo AC lôùn hôn ñ.cheùo BD. Keû CH ^ AD vaø CK ^ AB.
	a) Chöùng minh rCKH ~ rBCA.
	b) Chöùng minh .
	c) Tính dieän tích töù giaùc AKCH bieát , AB = 4 cm vaø AD = 5 cm.
Baøi 17: Cho rABC (= 900 ). Töø trung ñieåm E cuûa caïnh AC keû EF ^ BC. Noái AF vaø BE.
	a) Chöùng minh AF = BE.cosC.
	b) Bieát BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính dieän tích töù giaùc ABFE.
	c) AF vaø BE caét nhau taïi O. Tính .
Baøi 18: Cho hình vuoâng ABCD coù ñoä daøi moãi caïnh baèng 4 cm. Trung ñieåm cuûa AB vaø BC theo thöù töï laø M vaø N. Noái CM vaø DN caét nhau taïi P.
	a) Chöùng minh CM ^ DN.
	b) Noái MN, tính caùc tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc .
	c) Noái MD, tính caùc tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc vaø dieän tích tam giaùc MDN.
Baøi 19: Cho hình chöõ nhaät ABCD; = 0,8 ; AD = 42 mm, keû CE ^ BD vaø DF ^ AC.
	a) AC caét BD ôû O, tính .
	b) Chöùng minh töù giaùc CEFD laø hình thang caân vaø tính dieän tích cuûa noù.
c) Keû AG ^ BD vaø BH ^ AC, chöùng minh töù giaùc EFGH laø hình chöõ nhaät vaø tính dieän tích cuûa noù.
Baøi 20: Cho ñoaïn thaúng MN = 6 cm. Veõ ñöôøng troøn taâm M baùn kính 3,6 cm. Veõ ñöôøng troøn taâm N baùn kính 4,8 cm, chuùng caét nhau taïi A vaø B.
a) Chöùng minh : 
b) Tính soá ño caùc goùc cuûa rMAB.
Baøi 21: Cho tam giaùc vuoâng ABC ( = 900 ). Keû ñöôøng thaúng song song vôùi caïnh BC caét caùc caïnh goùc vuoâng AB vaø AC taïi M vaø N. Bieát MB = 12 cm vaø NC = 9 cm, trung ñieåm cuûa MN vaø BC laø E 
vaø F .
	a) Chöùng minh ba ñieåm A, E, F thaúng haøng.
	b) Trung ñieåm cuûa BN laø G. Tính ñoä daøi caùc caïnh vaø soá ño caùc goùc cuûa rEFG.
	c) Chöùng minh rEFG ~ rABC.
Baøi 22: Cho rABC, keû AH ^ BC, bieát BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75. Treân AH laáy ñieåm O sao cho OH = 2 cm.
	a) Chöùng minh rABC laø tam giaùc vuoâng.
	b) Treân caïnh AB laáy ñieåm M, treân OB laáy ñieåm P vaø treân OC laáy ñieåm N sao cho
	. Tính ñoä daøi caùc caïnh vaø soá ño caùc goùc cuûa rMPN. 
Bài tập nâng cao chương II
1- Đường tròn và sự xác định của đường tròn
Baøi 1: Cho hình thang caân ABCD (AD // BC); .
a) Chöùng minh A, B, C, D naèm treân cuøng moät ñöôøng troøn. Haõy xaùc ñònh taâm O vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn naøy.
b) Chöùng minh AC ^ OB.
Baøi 2 Cho rABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O). Goïi H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc, N, P, Q laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AH, AB, AC. Chöùng minh OPNQ laø hình bình haønh.
Baøi 3: Cho rABC, caùc goùc ñeàu nhoïn. Veõ ñöôøng troøn taám ñöôøng kính AB, veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AC. Ñöôøng thaúng OS caét ñöôøng troøn (S) taïi D vaø E, caét ñöôøng troøn (O) taïi H vaø K (caùc ñieåm xeáp ñaët theo thöù töï D, H, E, K).
a) Chöùng minh BD, BE laø nhöõng ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc ; CK, CH laø nhöõng ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc .
b) Chöùng minh BDAE, AHCK laø nhöõng hình chöõ nhaät.
Baøi 4: Cho ñöôøng troøn (O) döôøng kính AB. Veõ baùn kính OC vuoâng goùc vôùi AB taïi O. Laáy ñieåm M treân cung AC. Haï MH ^ OA. Treân baùn kính OM laáy ñieåm P sao cho OP = MH.
a) Tìm quó tích caùc ñieåm P khi M chaïy treân cung AC..
b) Tìm quó tích caùc ñieåm P laáy treân baùn kính OM sao cho OP baèng khoaûng caùch töø M ñeán AB khi M chaïy khaép ñöôøng troøn (O).
2. Tính chất đối xứng của đường tròn 
Baøi 1: Cho hai ñöôøng troøn baèng nhau (O ; R) vaø (O’; R) vaø hai daây AB, CD baèng nhau theo thöù töï thuoäc hai ñöôøng troøn aáy sao cho B vaø C naèm giöõa A vaø D vaø AB < 2R. 
a) Chöùng minh raèng AD // OO’.
b) Chöùng minh raèng AC = OO’ = BD.
 c) Goïi I laø trung ñieåm cuûa AD, chöùng toû raèng ñieåm I naèm treân moät ñöôøng coá ñònh khi caùc daây AB, CD thay ñoåi vò trí sao cho AB, CD luoân luoân baèng nhau vaø B, C luoân naèm giöõa A, D.
Baøi 7: Cho goùc . Laáy ñieåm I coá ñònh treân tia phaân giaùc Ot cuûa goùc xOy laøm taâm veõ ñöôøng troøn sao cho noù caét Ox taïi A, Oy taïi B (A vaø B khoâng ñoái xöùng nhau qua Ot). Haï ID ^ Ox, IE ^ Oy.
a) Chöùng minh DA = EB.
b) Goïi T laø taâm ñöôøng troøn qua A, I, B. Chöùng minh rTAI, rTBI laø caùc tam giaùc ñeàu. Xaùc ñònh vò trí cuûa T moät caùch nhanh nhaát.
c) Tìm quó tích ñieåm T khi ñöôøng troøn taâm I coù ñoä lôùn baùn kính thay ñoåi (nhöng vaãn caét Ox, Oy).
d) Tìm quó tích ñieåm H, tröïc taâm cuûa rAIB (theo ñieàu kieän caâu c).
Baøi 8: Cho tam giaùc vuoâng caân ABC (AB = AC) ñöôøng cao AH. Treân ñoaïn thaúng HC laáy ñieåm K roài döïng hình chöõ nhaät AHKO. Laáy O laøm taâm, veõ ñöôøng troøn baùn kính OK, ñöôøng troøn naøy caét caïnh AB taïi D, caét caïnh AC taïi E. Goïi F laø giao ñieåm thöù hai cuûa ñöôøng troøn (O) vôùi ñöôøng thaúng AB. Chöùng minh:
a) rAEF laø tam giaùc caân.
b) DO ^ OE.
c) D, A, O, E naèm treân cuøng moät ñöôøng troøn.
3. V ị trí t ương đối của đường th ẳng và đường tròn – 
Tính chất của tiếp tuyến - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Baøi 1: Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’). Moät tieáp tuyeán chung ngoaøi MM’, moät tieáp tuyeán chung trong NN’ (M, N naèm treân (O) ; M’, N’ naèm treân (O’)). Caùc ñöôøng thaúng MM’ , NN’ caét nhau taïi tieáp ñieåm P vaø caùc daây MN, M’N’ caét PO, PO’ töông öùng taïi caùc ñieåm Q, Q’.
 a) Chöùng minh raèng caùc tam giaùc MPO, M’O’P ñoàng daïng, suy ra .
 b) Chöùng minh raèng .
c) Keùo daøi MQ, M’Q’ caét nhau taïi ñieåm I. Chöùng minh raèng ba ñieåm O, I, O’ thaúng haøng. 
Baøi 9: Cho goùc . Moät ñöôøng troøn taâm I baùn kính R = 5 cm, tieáp xuùc vôùi Ox taïi A, tieáp xuùc vôùi Oy taïi B. Töø M thuoäc cung nhoû AB veõ tieáp tuyeán thöù ba, noù caét Ox taïi E, caét Oy taïi F.
a) Tính chu vi rOEF. Chöùng toû raèng chu vi ñoù coù giaù trò khoâng ñoåi khi M chaïy treân cung nhoû AB.
b) Chöùng minh coù soá ño khoâng ñoåi khi M chaïy treân cung nhoû AB.
Baøi 10: Cho ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB = 2R vaø moät daây AC taïo vôùi AB goùc 300. Tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taïi C caét ñöôøng thaúng AB taïi D. Chöùng minh raèng:
a) rOAC ~ rCAD.
b) DB.DA = DC2 = 3R2.
Baøi 11: Cho rABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH. Ñöôøng troøn taâm I ñöôøng kính BH caét AB taïi E, ñöôøng troøn taâm J ñöôøng kính HC caét AC taïi F. Chöùng minh raèng:
a) AH laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (I) vaø (J) taïi H.
b) EF laø tieáp tuyeán cuûa (I) taïi E, tieáp tuyeán cuûa (J) taïi F.
Baøi 12: Cho rABC caân taïi A. Ñöôøng cao AH vaø BK caét nhau taïi I. Chöùng minh:
a) Ñöôøng troøn ñöôøng kính AI ñi qua K.
b) HK laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AI.
Baøi 13: Cho nöûa ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB. Laáy ñieåm D treân baùn kính OB. Goïi H laø trung ñieåm cuûa AD. Ñöôøng vuoâng goùc taïi H vôùi AB caét nöûa ñöôøng troøn taïi C. Ñöôøng troøn taâm I ñöôøng kính DB caét CB taïi E.
a) Töù giaùc ACED laø hình gì ?
b) Chöùng minh rHCE caân taïi H.
c) Chöùng minh HE laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taâm I.
Baøi 14: Cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB. Töø A vaø B veõ hai tieáp tuyeán Ax, By vôùi nöûa ñöôøng troøn. Laáy M laø moät ñieåm tuøy yù treân nöûa ñöôøng troøn, veõ ñöôøng tieáp tuyeán, noù caét Ax taïi C, caét By taïi D. Goïi A’ laø giao ñieåm cuûa BM vôùi Ax, B’ laø giao ñieåm cuûa BM vôùi By. Chöùng minh raèng:
a) rA’AB ~ rABB’ , suy ra AA’.BB’ = AB2.
b) CA = CA’ ; DB = DB’.
c) Ba ñöôøng thaúng B’A’, DC, AB ñoàng qui.
Baøi 15: Cho ñöôøng troøn taâm O, tieáp tuyeán Ax taïi ñieåm A cuûa ñöôøng troøn. Treân Ax choïn hai ñieåm B, C tuøy yù (C naèm giöõa A vaø B) veõ hai tieáp tuyeán BD, CE vôùi ñöôøng troøn ñaõ cho.
a) Chöùng minh: .
b) Giaû söû B, C ôû veà hai phía ñoái vôùi ñieåm A, chöùng minh raèng trong tröôøng hôïp naøy =1800.
4. V ị trí tương đối của hai đường tròn
Baøi 1: Cho hai ñöôøng troøn (O ; 4 cm) vaø (O’ ; 3 cm) caét nhau taïi 2 ñieåm phaân bieät A vaø B. bieát OO’ = 5 cm. Töø B veõ 2 ñöôøng kính BOC vaø BO’D.
 a) Chöùng minh 3 ñieåm C, A, D thaúng haøng;
 b) Chöùng minh tam giaùc OBO’ laø tam giaùc vuoâng;
c) Tính dieän tích caùc tam giaùc OBO’ vaø CBD;
d) Tính ñoä daøi caùc ñoaïn AB, CA, AD.
Baøi 2: Hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) tieáp xuùc ngoaøi taïi ñieåm A. Ñöôøng thaúng OO’ caét hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) laàn löôït ôû B vaø C (khaùc ñieåm A). DE laø moät tieáp tuyeán chung ngoaøi cuûa hai ñöôøng troøn, D Î (O) ; E Î (O’). Goïi M laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng BD vaø CE. Chöùng minh raèng: a) ;
 b) MA laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’); c) MD.MB = ME.MC.
Baøi 4: Cho moät ñöôøng troøn (O ; R), moät ñöôøng troøn (O1 ; r1) tieáp xuùc trong vôùi (O ; R) vaø moät ñöôøng troøn (O2 ; r2) vöøa tieáp xuùc trong vôùi (O ; R) vöøa tieáp xuùc ngoaøi vôùi (O1 ; r1).
 a) Tính chu vi tam giaùc OO1O2 theo R.
 b) Döïng hai ñöôøng troøn (O1 ; r1) vaø (O2 ; r2) bieát R = 3 cm ; r1 = 1 cm.
Baøi 5: Cho ñöôøng troøn (O ; R), ñöôøng thaúng d vaø ñieåm A naèm treân d. Döïng ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi (O ; R) ñoàng thôøi tieáp xuùc vôùi d taïi A.
Baøi 9: Cho hình bình haønh ABCD (AB > AD). Laáy A laøm taâm veõ ñöôøng troøn baùn kính AD, noù caét AB taïi E. Laáy B laøm taâm veõ ñöôøng troøn baùn kính BE, noù caét tieáp ñöôøng thaúng DE taïi F.
a) Chöùng minh hai ñöôøng troøn (A ; AD) vaø (B ; BE) tieáp xuùc nhau.
b) Chöùng minh F, B, C thaúng haøng.
Baøi 11: Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) baùn kính laàn löôït laø 3R vaø R tieáp xuùc ngoaøi nhau taïi A. Ñöôøng thaúng d1 qua A caét (O) taïi B, caét (O’) taïi B’. Ñöôøng thaúng d2 vuoâng goùc vôùi d1 taïi A caét (O) taïi C, caét (O’) taïi C’.
a) Chöùng minh BC’, CB’ vaø OO’ ñoàng qui taïi moät ñieåm M coá ñònh.
b) Chöùng minh caùc tieáp tuyeán chung ngoaøi PP’ vaø TT’ caét nhau taïi M.
c) Goïi I laø chaân ñöôøng vuoâng goùc haï töø A xuoáng BC’. Tìm quó tích ñieåm I khi d1 vaø d2 thay ñoåi vò trí (vaãn qua A vaø vuoâng goùc vôùi nhau).
Baøi 12: Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) tieáp xuùc nhau taïi A. Goùc vuoâng xAy quay xung quanh ñieåm A, Ax caét (O) taïi B, Ay caét (O’) taïi C.
a) Chöùng minh OB // O’C.
b) Goïi C’ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa C qua O’. Chöùng minh B, A, C’ thaúng haøng.
c) Qua O veõ d ^ AB, noù caét BC taïi M. Tìm quó tích ñieåm M khi caùc daây AB, AC thay ñoåi vò trí nhöng vaãn vuoâng goùc vôùi nhau.
5. Ôn tập chương II
Bµi 1: Cho ®­êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi nhau t¹i A. Gäi BC lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi cña (O) vµ (O’); B, C lµ hai tiÕp ®iÓm. TiÕp tuyÕn chung trong cña hai ®trßn t¹i A c¾t BC t¹i M.
Chøng minh r»ng A, B, C thuéc ®­êng trßn ( M ; BC/2 )
§­êng th¼ng OO’ cã vÞ trÝ g× ®èi víi ®­êng trßn ( M ; BC/2 )
X¸c ®Þnh t©m cña ®­êng trßn ®i qua 3 ®iÓm O, O’, M.
Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®i qua 3 ®iÓm O, O’, M.
Bµi 2: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ trung ®iÓm O cña AB. Trªn mét nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ hai tia
 Ax, By vu«ng gãc víi AB. Mét gãc vu«ng cã ®Ønh lµ O cã hai c¹nh c¾t Ax vµ By t¹i C vµ D. 
Gäi C’ lµ giao ®iÓm cña tia CO víi tia ®èi cña tia By. Chøng minh:
Tam gi¸c CDC’ lµ tam gi¸c c©n.
§­êng th¼ng CD lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB.
§­êng trßn ngo¹i tiÕp rCOD lu«n tiÕp xóc víi mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh khi gãc vu«ng t¹i O thay ®æi
Bµi 3: Cho hai ®­êng trßn (O) vµ (O’) ngoµi nhau. C¸c tiÕp tuyÕn chung ngoµi MN, PQ ( M,P n»m trªn (O); N, Q n»m trªn (O’) ).
CMR: MN ®èi xøng víi PQ qua ®­êng th¼ng OO’.
CMR: 4 ®iÓm M, N, P, Q n»m trªn mét ®­êng trßn.
Nèi MQ c¾t (O), (O’) t­¬ng øng t¹i c¸c ®iÓm thø hai A, B. Chøng minh MA = QB.
Bµi 4: Cho ®­êng trßn (O) vµ tiÕp tuyÕn xy t¹i tiÕp ®iÓm C n»m trªn (O).
CMR nÕu d©y AB song song víi xy th× CA = CB.
CMR nÕu mét ®­êng th¼ng d song song víi xy ®ång thêi tiÕp xóc víi (O) t¹i mét ®iÓm D th× 3 ®iÓm C, O, D th¼ng hµng.
Cho hai ®­êng th¼ng song song d1 , d2 c¸ch nhau mét kho¶ng b»ng 3 cm, mét ®iÓm M n»m gi÷a hai ®­êng th¼ng d1 , d2 vµ c¸ch d1 mét kho¶ng b»ng 1 cm. H·y dùng mét ®­êng trßn ®i qua M vµ tiÕp xóc d1 , d2.
Bµi 5: Cho 2 ®­êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc víi nhau t¹i A. Qua A kÎ ®­êng th¼ng a c¾t (O) t¹i C, c¾t (O’) t¹i C’ vµ ®­êng th¼ng b c¾t (O) t¹i B, c¾t (O’) t¹i B’. Chøng minh BC // B’C’.
Höôùng daãn giaûi
§2. Tính chaát ñoái xöùng
Baøi 2: a) Ta chöùng minh ñöôïc AA’ = BB’; suy ra AD = BE
b) Vì neân deã daøng chöùng minh 
Ta chöùng minh ñöôïc rATI = rBTI
Neân . Suy ra ñoù laø nhöõng tam giaùc ñeàu.
Laáy A (hoaëc B) laøm taâm veõ cung troøn (A ; AI) noù caét cung nhoû AB taïi T, ñoù chính laø taâm ñöôøng troøn qua A, I, B.
c) Ta chöùng minh ñöôïc raèng ñöôøng troøn taâm T baùn kính TI ñi qua O. Thaät vaäy, giaû söû (T) caét IO taïi O’ vaø caét O’T taïi T’.
Ta coù . Nhöng . Suy ra , do ñoù .
Ta coù . Neáu O’B vaø OB laø hai ñöôøng thaúng phaân bieät thì coù moät goùc ôû vò trí goùc ngoaøi coøn goùc kia laø goùc trong cuûa rBOO’, nhö vaäy chuùng khoâng theå baèng nhau ñöôïc. Do ñoù BO vaø BO’ truøng nhau, O’ truøng vôùi O.
PHAÀN THUAÄN: Ta coù TI = TO Þ T thuoäc trung tröïc cuûa OI coá ñònh. Ñeå ñöôøng troøn taâm T caét caùc tia Ox, Oy thì laø caùc goùc nhoïn. Do ñoù T naèm ôû mieàn trong goùc xaùc ñònh bôûi Ou ^ Ox, Ov ^ Oy. Do ñoù T thuoäc ñoaïn thaúng T1T2 vöøa thuoäc trung tröïc cuûa OI, vöøa thuoäc mieàn trong cuûa goùc uOx (ñeå A, B phaân bieät).
PHAÀN ÑAÛO: Laáy T’ thuoäc ñoaïn T1T2 veõ ñöôøng troøn baùn kính TI, noù caét Ox taïi A’, caét Oy taïi B, ta phaûi chöùng minh ñöôøng troøn (I ; IA’) qua B. (Chöùng minh rIDA’ = rIEB’ Þ IA’ = IB’).
KEÁT LUAÄN: Quó tích T laø ñoaïn thaúng T1T2, khoâng keå T1, T2.
	d) AIBT laø hình thoi neân tröïc taâm H cuûa rAIB naèm treân ñöôøng thaúng TI, Bz ^ AI, ta chöùng minh ñöôïc Bz ^ BT.
Ta chöùng minh ñöôïc H thuoäc (I) vaø H ñoái xöùng vôùi T qua I.
Quó tích caùc tröïc taâm H laø ñoaïn thaúng H1H2 ñoái xöùng cuûa T1T2 qua I khoâng keå H1, H2.
Baøi 3 
a) Ta c/m ñöôïc AO laø phaân giaùc cuûa goùc FAE neân AO laø truïc ñoái xöùng
cuûa goùc FAE. AO laø ñöôøng thaúng chöùa ñöôøng kính cuûa (O) neân AO laø 
truïc ñoái xöùng cuûa ñöôøng troøn (O). F laø giao ñieåm cuûa AB vôùi (O).
Hình ñoái xöùng cuûa F laø giao ñieåm cuûa AC vôùi (O), ñoù chính laø ñieåm E.
F vaø E ñoái xöùng nhau qua AO. Vaäy rAEF laø tam giaùc caân.
b) Ta c/m ñöôïc: .
Suy ra hay DO ^ OE.
c) Laáy I laø trung ñieåm cuûa DE, ta coù ID = IA = IE = IO. Vaäy D, A, O, E naèm treân moät ñöôøng troøn taâm I baùn kính DE/2.
Baøi 4:
 Ta coù C vaø D ñoái xöùng qua O.
Laáy B’ ñoái xöùng cuûa A qua O thì B’ coá ñònh. CA coù hình ñoái xöùng qua O
Laø DB’ neân CA = DB’, do ñoù DB = DB’.
Suy ra D naèm treân trung tröïc d cuûa BB’.
§3. Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng thaúng vaø ñöôøng troøn – Tieáp tuyeán
Baøi 9: 
a) EM = EA ; FM = FB. Suy ra OE + EF + OF = OA + OB.
rOIB coù ; ta tính ñöôïc ; do ñoù:
OE + EF + OF = 2R.
Giaù trò 2R khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí ñieåm M.
b) Ta tính ñöôïc .
Suy ra . Vaäy coù soá ño khoâng ñoåi khi M chaïy treân cung nhoû AB.
Baøi 10:
a) Tính soá ño caùc goùc, ta ñöôïc .
Hai tam giaùc OAC vaø CAD coù 
Vaäy rOAC ~ rCAD.
b) Tam giaùc COB laø tam giaùc ñeàu, (coù nhieàu caùch chöùng minh),
. Deãõ daøng chöùng minh ñöôïc rOAC ~ rBCD. Suy ra BD = R. 
rDCB ~ rDAC Þ . Do ñoù DA.DB = DC2 maø DB = R , DA = 3R.
Vaäy DA.DB = DC2 = 3R2.
Baøi 11: 
a) Goïi I laø trung ñieåm cuûa BH thì I laø taâm ñöôøng troøn ñöôøng
kính BH. Goïi J laø trung ñieåm cuûa HC thì J laø taâm ñöôøng troøn
ñöôøng kính BH.
Ta coù IH ^ AH suy ra AH laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính HC.
Vaäy AH laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn (I), (J).
b) Chöùng minh khoâng khoù khaên AFHE laø hình chöõ nhaät. Goïi P laø giao ñieåm AH vaø EF. Ta coù PE = PF = PH = PA. 
Chöùng minh rPEI ~ rPHI (c.c.c), suy ra . Vaäy EF laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (I).
Chöùng minh rPFJ ~ rPHJ (c.c.c), suy ra . Vaäy EF laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (J)
Baøi 12:
a) Goïi O laø trung ñieåm cuûa AI ta coù OA = OI = OK. Vaäy ñöôøng troøn taâm O 
ñöôøng kính AI ñi qua K.
b) Ta coù rAOK caân Þ (goùc nhoïn coù caïnh töông öùng vuoâng goùc).
Ta laïi coù HK = HB neân . Töø ñoù ta c/m ñöôïc OK ^ HK.
Vaäy HK laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn O.
Baøi 13:
ACED laø hình thang vuoâng
b) Ñaët AB = 2R, AD = 2x, DB = 2y thì HA = HD = x.
Ta coù caùc heä thöùc sau: x + y =R hay HI = R
OH = OA – AH = (x + y) – x = y hay OH = y
Hai tam giaùc OHC vaø IEH coù: OH = IE = y ; OC = IH = R ; (ñv)
Suy ra rOHC = rIEH (c.g.c).
Do ñoù HC = EH hay HCE laø tam giaùc caân taïi H.
c) Do rOHC = rIEH neân , töùc laø HE ^ IE. Vaäy HE laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn taâm I
Baøi 14: a) Töï giaûi.
b) CA = CM (hai tieáp tuyeán caét nhau taïi C)
Laáy I laø trung ñieåm cuûa AM, CI laø ñöôøng trung bình cuûa rAA’M.
Vaäy CA = CA’. Töông töï DB = DB’.
c) Ta coù AA’ // BB’. Laïi coù .Vaäy B’A’, DC, AB ñoàng qui.
Baøi 15: a) CO ^ AE taïi P, BO ^ AD taïi Q.
Goïi I laø giao ñieåm cuûa OP vaø AQ.
Hai tam giaùc PAI vaø QOI coù: 
Suy ra .
b) Töù giaùc AQOP’ coù 
maø toång caùc goùc trong töù giaùc loài laø 3600