Bài tập môn Toán lớp 11 học kì 2

BÀI TẬP MÔN TOÁN LỚP 11 HỌC KÌ 2 
 NĂM HỌC 2016 – 2017 
Dạng 1 
Bài 1 Giới hạn của dãy số 
Tính các giới hạn sau: 
a. 
2
2
2n 3n 1
lim
n 2
 
 
 b. 
3
3
2 8n 3n
lim
n n
  
 
 c. 
3
4
5n 3n 6
lim
2n 7
  

 d. 
2
3
2
8n 3n
lim
n

e. 
23 1
lim
5
n
n

 
 f. 
33
1 2
lim
8 3
n
n


 g.
2
4
2 6 1
lim
4 2 3
n n
n n
 
 
 h. 
   
 2
3 1 2 3
lim
3 2 1
n n n
n n n
  
 
Bài 2 Giới hạn của dãy số 
Tính các giới hạn sau: 
a. 
3 2
3
3n n 3
lim
2 n
  

 b. 
 2
3
n 2 8n
lim
2n 6n
 

 c. 
n
n n
5.4 1
lim
4 3.2


 d. 
   
  
2 3
4
n 1 2n 1
lim
3 4n n 2
 
 
e. 
2
2
2
lim
3 2 1
n n n
n n

 
 f. 
n n
n n
3 2
lim
3.2 2.3

 
g. 
n 1 n 2
n
2 10
lim
1 10
 
 
h. 
n 1 n 2
n n
4.2 7
lim
3.7 6
 

Bài 3 Giới hạn của dãy số 
Bài 3.1. Tính các giới hạn sau: 
a.  3lim 2 3 1n n   b.  2lim 3 1n n   
c.  2lim 3 1n n   c.  2 2lim 2n n n n   
Bài 3.2. Tính các tổng sau: 
1
1 1 1 1 1
1 ..... ....
3 9 27 3 3n n
A

        
 
2
11 1
2 1 .... ...
22 2
n
n
B


        
Bài 4Giới hạn của dãy số 
Bài 4.1. Tính các giới hạn sau: 
a. 
2
2
2 6 1
lim
5 3
n n
n n
 

 b.  2 2lim 4 2 1 1n n n    
c. 
2
lim
2 1n n
 
 
   
 c. 
2
1 2 1
2 3 5
lim
2 3 5
n n n
n n n

  
 
  
Bài4. 2. Tính các tổng sau: 
 
1
2 3
11 1 1
..... ....
4 4 4 4
n
n
A


      
3
1
100 10 1 .... ...
10n
B

     
 TN DÃY SỐ -CSC-CSN 
Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào thõa mãn 0 1 1 21, 2, 3 2 , 2,3,4......     n n nu u u u u n 
A. 1;2;4;8;16;36.. B.1;2;8;16;24;54 C. 2 1nnu   D. 2
n
nu  ( n=0;1;2.) 
Câu 2: Cho dãy số có 
 
1
*
1 2
1
2 3n n n
u
u u u n N 


  
.Khi đó số hạng thứ n+3 là? 
A. 3 2 12 3   n n nu u u B. 3 22 3  n n nu u u C. 3 2 12 3   n n nu u u 3 2 12 3   n n nu u u 
Câu 3: Cho dãy số có công thức tổng quát là 2nnu  thì số hạng thứ n+3 là? 
A. 3
3 2 nu B. 3 8.2 
n
nu C. 3 6.2 
n
nu D. 3 6 
n
nu 
Câu 4: Cho dãy số 
1
1
5
n nu u n


 
u
. Số hạng tổng quát của dãy số trên là? 
A.
 1
2

n
n n
u B.
 1
5
2

 n
n n
u C.
 1
5
2

 n
n n
u D.
  1 2
5
2
 
 n
n n
u 
Câu 5: Cho dãy số 
 
1
2
1
1
1
n
n n
u
u u


  
 Số hạng tổng quát của dãy số trên là? 
 A. 1 nu n B. 1 nu n C.  
2
1 1  
n
nu D. nu n 
Câu 6: Cho dãy số 
1
2
1
1
n n
u
u u n


 
. Số hạng tổng quát của dãy số trên là? 
          2 1 1 1 2 2 1 2 1
. 1 . 1 . 1
6 6 6
n n n
n n n n n n n n n
A u B u C u
     
      D. Tất cả đều sai 
Câu 7: Cho dãy số 
1
1
2
1
2n
n
u
u
u

 


  

. Số hạng tổng quát của dãy số trên là? 
1 1 1
/ / / .
1
n n n n
n n n n
A u B u C u D u
n n n n
   
     

Câu 8: Cho tổng 1 2 3 ..........nS n     . Khi đó 3S là bao nhiêu? 
A 3 B. 4 C. 5 D. 6 
Câu 9: Cho tổng   2 2 21 2 ...............S n n    . Khi đó công thức của S(n) là? 
 
  
   
  
 
 21 2 1 1 2 1 2 11
. . . .
6 2 6 6
n n n n n n n nn
A S n B S n C S n D S n
    
    
Câu 10: Tính tổng S(n)= 1-2+3-4+.+(2n-1)-2n+(2n+1) là 
A . S(n)= n+1 B.  S n  -n C.  S n 2n D.  S n n 
Câu 11: Tính tổng  
 
1 1 1 1
.........
1.2 2.3 3.4 1
S n
n n
    

. Khi đó công thức của S(n) là? 
A.  
2


n
S n
n
B.  
1


n
S n
n
C.  
2
2 1


n
S n
n
D.  
1
2

n
S n 
Câu 12: Tính tổng ( ) 1.4 2.7 ........ (3 1)s n n n     . Khi đó công thức của  S n  
           
2 2
. 3 . 1 . 1 . 4A S n n B S n n C S n n n D S n n       
Câu 13: Tính tổng   1.1! 2.2! ........... 2007.2007!S n     . Khi đó công thức của  S n  
.2007! . 2008! . 2008! 1 . 2007! 1A B C D  
Câu 14: Cho dãy số  1
n
nu   . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? 
A. Dãy tăng B. Dãy giảm C. Bị chặn D. Không bị chặn 
Câu 15: Dãy số 
1
1
nu
n


là dãy số có tính chất? 
A. Tăng B. Giảm C. Không tăng không giảm D. Tất cả đều sai 
Câu 16: Cho dãy số sinnu
n

 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây? 
1/ sin
1
nA u
n

 

 B. Dãy số bị chặn C. là dãy tăng D. dãy số không tăng, không giảm. 
Câu 17: Dãy số 
3 1
3 1
n
n
u
n



 là dãy số bị chặn trên bởi? 
1 1
. . .1
2 3
A B C D. Tất cả đều sai 
Câu 18: Chọn khẳng định Đúng trong các khẳng định: Nếu a,b,c lập thành CSC (khác không) 
A Nghịch đảo của chúng cũng lập thành một CSC B Bình Phương của chúng cũng lập thành CSC 
C c,b,a theo thứ tự đó cúng lập thành CSC D. Tất cả các khẳng định trên đều sai 
Câu 19 : Chọn khẳng định Sai trong các khẳng định: Nếu a,b,c lập thành CSN (khác không) 
A Nghịch đảo của chúng cũng lập thành một CSN B Bình Phương của chúng cũng lập thành CSN 
C c,b,a theo thứ tự đó cúng lập thành CSC D. Tất cả các khẳng định trên đều sai 
Câu 20: Cho CSC có tổng 10 số hạng đầu tiên và 100 số hạng đầu tiên lần lượt là 100 và 10. Khi đó tổng của 110 
số hạng đầu tiên là? 
A. 90 B. -90 C. 110 D. -110 
Câu 21: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau. Cho  nCSC u có d khác khôngkhi đó: 
2 17 3 16 2 17 4 15 2 17 6 13 2 17 1 19. . . .A u u u u B u u u u C u u u u D u u u u            
Câu 22: Cho CSN -2;4;-8..tổng của n số hạng đầu tiên của CSN này là? 
  
 
     
 
  2 22 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
/ . . .
1 2 1 2 1 2 1 2
n n n n
A B C D
         
     
Câu 23: Viết 3 số xen giữa các số 2 và 22 để được CSC có 5 số hạng. 
A .7;12;17 B. 6,10,14 C. 8,13,18 D. Tất cả đều sai 
Câu 24: Cho dãy số 7 2nu n  . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây? 
A > Ba số hạng đầu tiên của dãy là: 5;3;1 B số hạng thứ n+1 của dãy là 8-2n 
C > là CSC với d=-2 D Số hạng thứ 4 của dãy là -1 
Câu 25: Cho CSC có 1
1 1
,
4 4
u d   . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? 
A. 5
5
4
s B. 5
4
5
s C. 5
5
4
 s D. 5
4
5
 s 
Câu 26: Cho CSC có d=-2 và 8 72s  , khi đó số hạng đầu tiên là sao nhiêu? 
A. 1 16u B. 1 16 u C. 1
1
16
u D. 1
1
16
 u 
Câu 27: Cho CSC có 1 1, 2, 483nu d s    . Hỏi số các số hạng của CSC? 
A. n=20 B. n=21 C. n=22 D. n=23 
Câu 28: Cho CSC có 1 2, 2, 8 2u d s   . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 
A. S là tổng của 5 số hạng đầu tiên của CSC B.S là tổng của 6 số hạng đầu tiên của CSC 
C .S là tổng của 7 số hạng đầu tiên của CSC D. Tất cả đều sai 
Câu 29: Xác định x để 3 số 21 , ,1x x x  lập thành một CSC. 
A. Không có giá trị nào của x B. x=2 hoặc x= -2 C. x=1 hoặc -1 D. x=0 
Câu 30: Xác đinh a để 3 số 21 3 , 5,1a a a   lập thành CSC. 
. 0 . 1 . 2A a B a C a     D. Tất cả đều sai. 
Câu 32: Cho a,b,c lập thành CSC. Đẳng thức nào sau đây là đúng? 
2 2 2 2 2 2 2 2. 2 2 . 2 2 . 2 2 .A a c ab bc B a c ab bc C a c ab bc D a c ab bc            
Câu 33: Cho CSC có 4 1412, 18u u   . Khi đó số hạng đầu tiên và công sai là 
1 1 1 1. 20, 3 . 22, 3 . 21, 3 . 21, 3A u d B u d C u d D u d              
Câu 34: Cho CSC có 4 1412, 18u u   . Khi đó tổng của 16 số hạng đầu tiên CSC là? 
A 24 B. -24 C. 26 D. – 26 
Câu 35: Cho CSC có 5 2015, 60u u   . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của CSC là? 
A 200 B -200 C 250 D -25 
Câu 36: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC? 
 
1
. 3 . 3 . 3 1
nn
n n nA u B u C u n

     D. Tất cả đều là CSC 
Câu 37: Trong các dãy số sau đây dãy số nào là CSC? 
 
31 1 2
1 1
1 1
. . . . 1
2 1 1
n n
n n n n
u u
A B C u n D u n
u u u u 
    
   
    
Câu 38: Cho CSN có 1 7
1
, 32
2
u u    . Khi đó q là ? 
A.
1
2
 B. 2 C. 4 D. Tất cả đều sai 
Câu 39: Cho CSN có 1 61, 0,00001u u   . Khi đó q và số hạng tổng quát là? 
A.
1
1 1
,
10 10 

 n nq u B.
11, 10
10
   nnq u C. 1
1 1
,
10 10 

 n nq u D.
 
1
11
,
10 10 

 
n
n n
q u 
Câu 40: Cho CSN có 1
1
1;
10
u q

   . Số 
103
1
10
 là số hạng thứ bao nhiêu? 
A số hạng thứ 103 B số hạng thứ 104 C số hạng thứ 105 D Đáp án khác 
Câu 41: Cho CSN có 1 3; 2u q   . Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu? 
A. số hạng thứ 5 B. số hạng thứ 6 C. số hạng thứ 7 D. Đáp án khác 
Câu 42: Cho dãy số 
1
; , 2
2
b

. Chọn b để ba số trên lập thành CSN 
A. b=-1 B. b=1 C. b=2 D. Đáp án khác 
Câu 43: Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN. 
A.
1
2
1
1
2




  n n
u
u u
B.
1 n nu nu C.
1
1
2
5


  n n
u
u u
D.
1 1 3  n nu u 
Câu 44: Trong các dãy số sau, dãy số nào là CSN. 
2
2
1 1 1 1
. 1 . . .
3 3 3 3
n n n nn n
A u B u C u n D u n

       
Câu 45: Xác định x để 3 số 2x-1;x; 2x+1 lập thành CSN? 
A.
1
3
 x B. 3 x C.
1
3
 x D. Không có giá trị nào của x 
Câu 46: Cho CSN có 2 5
1
; 16
4
u u  . Tìm q và số hạng đầu tiên của CSN? 
A. 1
1 1
;
2 2
 q u B. 1
1 1
,
2 2
   q u C. 1
1
4,
16
 q u D. 1
1
4,
16
   q u 
 TN GIỚI HẠN DÃY SỐ 
Câu 1. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? 
 A. 
1
n
 B. 
1
n
 C. 
2 1n
n

 D. 
cosn
n
Câu 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? 
 A. 
5
3
n
 
 
 
 B. 
1
3
n
 
 
 
 C. 
5
3
n
 
 
 
 D. 
4
3
n
 
 
 
Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? 
 A.  0,909
n
 B.  1,012
n
 C.  1,013
n
 D.  1,901
n
 
Câu 4. Dãy số nào sau đây không có giới hạn? 
 A.  0,99
n
 B.  1
n
 C.  0,99
n
 D.  0,89
n
 
Câu 5. Gọi 
 1
lim
4
n
L
n



. Khi đó L bằng 
 A. 
1
5
 B. 
1
4
 C. – 1 D. 0 
Câu 6. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? 
 A. 
1
2n
 B. 
1
n
 C. 
4
3
n
 
 
 
 D. 
 1
n
n

Câu 7. Cho 
1 4
5
n
n
u
n

 . Khi đó un bằng 
 A. 
3
5
 B. 
3
5
 C. 
4
5
 D. 
4
5
 
Câu 8. Cho 
2 5
5
n n
n n
u

 . Khi đó limun bằng 
 A. 0 B. 1 C. 
2
5
 D. 
7
5
Câu 9. Gọi 
cos2
lim 9
n
L
n
  thì L bằng số nào sau đây? 
 A. 0 B. 3 C. 3 D. 9 
Câu 10. Tổng của cấp số nhân vô hạn 
 
1
11 1 1
, , ,..., ,...
2 4 8 2
n
n


 là 
 A. 1 B. 
1
3
 C. 
1
3
 D. 
2
3
 
Câu 11. Tổng của cấp số nhân vô hạn 
 
1
11 1 1
, , ,..., ,...
3 9 27 3
n
n


 là 
 A. 
1
4
 B. 
1
2
 C. 
3
4
 D. 4 
Câu 12. Tổng của cấp số nhân vô hạn 
 
1
1
11 1 1
, , ,..., ,...
2 6 18 2.3
n
n



 là 
 A. 
8
3
 B. 
3
4
 C. 
2
3
 D. 
3
8
Câu 13. Tổng của cấp số nhân vô hạn: 
 
1
1
11 1 1
1, , , ,..., ,...
2 4 8 2
n
n



  là 
 A. 
2
3
 B. 
2
3
 C. 
3
2
 D. 2 
Câu 14. Kết quả  3lim 5 3L n n  là 
 A.  B. – 4 C. – 6 D.  
Câu 15. Biết  2lim 3 5 3L n n   thì L bằng 
 A.  B. 3 C. 5 D.  
Câu 16.  3 2lim 3 2 5n n   bằng 
 A.  B. – 6 C. – 3 D.  
Câu 17. 
2
3
lim
4 2 1n n

 
 bằng 
 A.  B. 
3
4
 C. – 1 D. 0 
Câu 18. 
4
2
lim
5 2 1n n 
 bằng 
 A. 
2
5
 B. 
1
2
 C. 0 D.  
Câu 19. 
3
4
3 2 1
lim
4 2 1
n n
n n
 
 
 bằng 
 A. 0 B.  C. 
3
4
 D. 
2
7
Câu 20. 
4
4
2 2 2
lim
4 2 5
n n
n n
 
 
 bằng 
 A. 0 B.  C. 
1
2
 D. 
3
11
Câu 21. 
2 4
4
5 3
lim
4 2 1
n n
n n

 
 bằng 
 A. 
3
4
 B. 0 C. 
5
4
 D. 
3
4
Câu 22. 
3
2
2 3
lim
4 2 1
n n
n n

 
 bằng 
 A. 
3
4
 B. 
5
7
 C. 0 D.  
Câu 23. Dãy số nào sau đây có giới hạn là ? 
 A. 2 33nu n n  B. 
2 34nu n n  C. 
24 3nu n n  D. 
3 43nu n n  
Câu 24. Dãy số nào sau đây có giới hạn là - ∞? 
 A. 4 33nu n n  B. 
3 43 2nu n n  C. 
23nu n n  D. 
2 34nu n n   
Câu 25. 
24 5 4
lim
2 1
n n
n
  

 bằng 
 A. 0 B. 1 C. 2 D.  
Câu 26. Kết quả  lim 10n n  là 
 A. +∞ B. 10 C. 10 D. 0 
Câu 27. Kết quả 
2
2
3 2 4
lim
4 5 3
n n
n n
 
 
 là 
 A. 0 B. 1 C. 
3
4
 D. 
4
3
 
Câu 28. Nếu lim nu L thì lim 9nu  bằng 
 A. L + 9 B. L + 3 C. 9L  D. 3L  
Câu 29. Nếu lim nu L thì 
3
1
lim
8nu 
 bằng bao nhiêu? 
 A. 
1
8L 
 B. 
1
8L 
 C. 
3
1
2L 
 D. 
3
1
8L 
Câu 30. 
2 3
lim
2 5
n
n


 bằng 
 A. 
5
7
 B. 
5
2
 C. 1 D.  
Câu 31. 
4
4
10
lim
10 2
n
n
 bằng bao nhiêu? 
 A.  B. 10000 C. 5000 D. 1 
Câu 32. 
2
1 2 3 ...
lim
2
n
n
   
 bằng bao nhiêu? 
 A. 0 B. 
1
4
 C. 
1
2
 D.  
Câu 33. 
33
lim
6 2
n n
n


 bằng 
 A. 
1
6
 B. 
1
4
 C. 
3 2
6
 D. 0 
Câu 34.  2 2lim 1 3n n n   bằng bao nhiêu? 
 A. +∞ B. 4 C. 2 D. – 1 
Câu 35. 
sin 2
lim
5
n n
n


 bằng số nào sau đây? 
 A. 
2
5
 B. 
1
5
 C. 0 D. 1 
Câu 36. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? 
 A. 
2
2
2
5 3
n
n n
u
n n



 B. 
2
1 2
5 3
n
n n


 C. 
2
2
1 2
5 3
n
n n


 D. 
2
2
2
5 3
n
n
u
n n



Câu 37. Dãy số nào sau đây có giới hạn là +∞? 
 A. 
2
2
2
5 5
n
n n
u
n n



 B. 
2
1 2
5 5
n
n n


 C. 
21
5 5
n
n
u
n



 D. 
2
3
2
5 5
n
n
u
n n



Câu 38. Dãy số nào sau đây có giới hạn +∞? 
 A. 
2
2
9 7
n
n n
u
n n



 B. 
2007 2008
1
n
n
u
n



 C. 22008 2007nu n n  D. 
2 1nu n  
Câu 39. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng – 1? 
 A. 
2
3
2 3
lim
2 4
n
n

 
 B. 
2
2
2 3
lim
2 1
n
n

 
 C. 
2
3 2
2 3
lim
2 2
n
n n

 
 D. 
3
2
2 3
lim
2 1
n
n

 
Câu 40. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0? 
 A. 
2
3
2 3
lim
2 4
n
n

 
 B. 
3
2
2 3
lim
2 1
n n
n

 
 C. 
2 4
3 2
2 3
lim
2
n n
n n

 
 D. 
3
2
3 2
lim
2 1
n
n


Câu 41. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là  ? 
 A. 
2
3
2 3
lim
4
n
n


 B. 
2
2
2 3
lim
2 1
n n
n


 C. 
2 4
3 2
2 3
lim
2
n n
n n

 
 D. 
3
2
3 2
lim
2 1
n
n


Câu 42. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 
1
5
? 
 A. 
2
2
2
5 5
n
n n
u
n n



 B. 
1 2
5 5
n
n
u
n



 C. 
21 2
5 5
n
n
u
n



 D. 
2
1 2
5 5
n
n
u
n n



Câu 43. Nếu  2 2lim 2 4L n n n       thì L bằng 
 A.  B. 7 1 C. 
7
2
 D. 0 
Câu 44. Gọi  2 2lim 2 4L n n n       . Khi đó L bằng 
 A.  B. 6 C. 3 D. 2 
Câu 45. 
24 1 2
lim
2 3
n n
n
  

 bằng 
 A. 1 B. 
3
2
 C. 2 D.  
Câu 46. 
cos2
lim 9
3
n
n
 bằng 
 A.  B. 
29
3
 C. 9 D. 3 
Câu 47.  2 2lim 2 2n n n n   có kết quả là 
 A. 1 B. 2 C. 4 D.  
Câu 48. Dãy số nào sau đây có giới hạn 
1
3
 ? 
 A. 
2 3
3 2
3
9 1
n
n n
u
n n


 
 B. 
2
2
2
3 5
n
n n
u
n
 


 C. 
4 3
3 2
2 1
3 2 1
n
n n
u
n n
  

 
 D. 
2
3
2 5
3 4 2
n
n n
u
n n
  

 
Dạng 2 
Bài 1: Tính các giới hạn sau: 
 a.  3 2
x 2
lim 4x 2x x 1

   b. 
  3x 3
x 1
lim
2x 1 x 2

 
 c. 
x 0
1
lim x 1
x
 
 
 
 d. 
2
x 3
x 9
lim
x 3


e. 
2
1
2 3 1
lim
1x
x x
x
 

 f. 
2
3x 4
x 5x 4
lim
x 64
 
 
g. 
x 1
x 5 2
lim
x 1
 
 
h. 
2x 2
x 2 6 x
lim
x 4
  

i. 
2
1
5 2 7
lim
2 1 3x
x x
x x
 
 
Bài 2: Tính các giới hạn sau: 
a.  3 2
x 2
lim 4x 2x x 1

   b. 
  3x 3
x 1
lim
2x 1 x 2

 
 c. 
x 0
1
lim x 1
x
  
  
  
 d. 
2
x 3
x 9
lim
x 3


e. 
2
1
2 3 1
lim
1x
x x
x
 

 f. 
2
2x 4
x 5x 4
lim
x 16
 
 
g. 
x 1
x 5 2
lim
x 1
 
 
h. 
2
x 2
x 4
lim
x 2 6 x

  
Bài 3: Tính các giới hạn sau: 
a. 
3
3x
x x 1
lim
3x 4
 

 b. 
2
2x
3x 1
lim
8 3x 2x

 
 c. 
3
2x
3x 3x 4
lim
x 5
  

d.  4 2
x
lim x 3x 6

   e.  3 2lim 4 3
x
x x x

   f.  2
x
lim 4x x 2x

 
g.  2
x
lim x x 2x

 
h.  
x
lim x 2 x 2

  
k.  3 3
x
lim x x x

  
Bài 4. Tính các giới hạn sau: 
a.  2
x 3
lim x 2x 3

  b. 
x 2
4x 1
lim
x 2
 

 c. 
2
2
x 5
x 6x 5
lim
25 10x x
  
 
 d. 
2
x 3
9 x
lim
3 x



Bài 5. Cho hàm số: 
2
2
4
2
( ) 2 10
2 1 2
x
khi x
f x x x
x khi x
 

  
  
. Tính      
22 2
lim , lim , lim
xx x
f x f x f x
   
. 
Bài 6 Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại 0 1x  : 
3 1
1
( ) 1
2 1
x
khi x
f x x
Ax khi x
 

 
  
Ôn tập chương 4 
Bài 1. Tính các giới hạn sau: 
a.
3
x 1
x x 5
lim
x 3
  

 b. 
2
2x 3
3x 2x 21
lim
x 9
 

 c. 
x 2
x 2
lim
x 1 3 x

  
d.  3
x
lim 3x x 8

   e.  2
x
lim 9x 3 3x

  f. 
 2 3
4
1
lim
2x
x x
x x

 
Bài 2. Tính các giới hạn sau: 
a.  n 1 nlim 4 2.3  b.  
 
n n 2
n 1
3 2
lim
4. 3 1


 
 
 c. 
  
 
2 3
4
2
lim
4
n n n
n n
 

 4 2lim 4 3 3

  
x
x x 
4 2
3 4x
2x 4x 1
lim
3 5x x 4x
 
  
2 3
3
( 2)(3 2 ) 4
lim
1 5 6
  
 x
x x x
x x
 2lim 2 5
x
x x

  
3 2lim ( 2 3 5)
x
x x

   2
2
(2 1) 3
lim
5x
x x
x x
 

2 6
lim
4x
x
x


2
2 1
lim
9 3x
x
x x

 
2 2 4
lim
3 1x
x x x
x
  

22 1
lim
3x
x x
x
  

  2lim 4 4 3 2 5x x x x       
2 2lim 1 1
x
x x x x

     
TN. GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Câu 51.  2
1
lim 7
x
x x

  bằng 
 A. 5 B. 7 C. 9 D.  
Câu 52.  2
2
lim 3 3 8
x
x x

  bằng 
 A. 2 B. 5 C. 9 D. 10 
Câu 53. 
2
1
3 2
lim
1x
x x
x
 

 bằng 
 A. 1 B. 1 C. 2 D.  
Câu 54. 
3 2
1
3 2
lim
2x
x x
x
 

 bằng 
 A. 5 B. 1 C. 
5
3
 D. 
5
3
 
Câu 55. 
4 5
4 61
3 2
lim
5 3 1x
x x
x x

 
 bằng 
 A. 
1
9
 B. 
3
5
 C. 
2
5
 D. 
2
3
 
Câu 56. 
2 5
41
3
lim
5x
x x
x x

 
 bằng 
 A. 
4
5
 B. 
4
7
 C. 
2
5
 D. 
2
7
Câu 57. 
2 3
22
lim
3x
x x
x x

 
 bằng 
 A. 
4
9
 B. 
12
5
 C. 
4
3
 D.  
Câu 58. 
4 5
4 51
2
lim
2 3 2x
x x
x x

 
 bằng 
 A. 
1
12
 B. 
1
7
 C. 
2
7
 D.  
Câu 59. 
3
22
lim
1x
x x
x x

 
 bằng 
 A. 
10
7
 B. 
10
3
 C. 
6
7
 D.  
Câu 60. 3
1
lim 4 2 3
x
x x

  bằng 
 A. 5 B. 3 C. 1 D. 5 
Câu 61. 
3
231
1
lim
3 2x
x
x

 
 bằng 
 A. 0 B. 1 C. 
3
1
4 2


 D. 
2
3
 
Câu 62. 
4 3 2
4
2 2 3
lim
2x
x x x
x x
  

 bằng 
 A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 
Câu 63. 
4
4
3 2 3
lim
5 3 1x
x x
x x
 
 
 bằng 
 A. 0 B. 
4
9
 C. 
3
5
 D.  
Câu 64. 
4 5
4
3 2
lim
5 3 2x
x x
x x

 
 bằng 
 A. 
2
5
 B. 
3
5
 C.  D.  
Câu 65. 
4 5
4 6
3 2
lim
5 3 2x
x x
x x

 
 bằng 
 A.  B. 
3
5
 C. 
2
5
 D. 0 
Câu 66. 
4 5
5 4
3 4 2
lim
9 5 4x
x x
x x
 
 
 bằng 
 A. 0 B. 
1
3
 C. 
5
3
 D. 
2
3
Câu 67. 
4 2
22
4 3
lim
7 9 1x
x x
x x
 
 
 bằng 
 A. 
1
15
 B. 
1
3
 C. 
35
9
 D.  
Câu 68. 
4 2
21
4 3
lim
16 1x
x x x
x x
 
 
 bằng 
 A. 
1
8
 B. 
3
8
 C. 
3
8
 D.  
Câu 69. 
3
| 3 |
lim
3 6x
x
x


 bằng 
 A. 
1
2
 B. 
1
6
 C. 0 D.  
Câu 70. 
3
2
1
1
lim
3x
x
x x


 bằng 
 A. 1 B. 0 C. 
1
3
 D.  
Câu 71. 
1
2
lim
1x
x
x


 bằng 
 A. 
1
2
 B. 
1
2
 C.  D.  
Câu 72. 
2
1
1
lim
1x
x
x


 là 
 A.  B. 2 C. 1 D.  
Câu 73. 
3
2
2
2 3
lim
2x
x x
x x
 
