Bài tập môn Toán cao cấp A1

ĐỀ SỐ 1, K15, THI NGÀY 24-12-2012 
Câu 1. 
Xét tính liên tục của hàm số sau tại tại 𝑥 = 0: 
𝑓 𝑥 = 
ln cos2 𝑥
𝑥2
 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 0
0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0
 . 
Câu 2. 
Tính các giới hạn sau: 
𝑎) lim
𝑥→0
arcsin𝑥 − 𝑥
𝑥2arctan𝑥
; 𝑏) lim
𝑥→0
 1 + 𝑥 
1
𝑥
𝑒
1
𝑥
. 
Câu 3. 
Tính các tích phân sau: 
𝑎) 
8𝑥3 + 16𝑥
 𝑥2 + 4 2
𝑑𝑥 ; 𝑏) 
cos3𝑥𝑑𝑥
 sin 𝑥
3
−
𝜋
4
−
𝜋
2
. 
Câu 4. 
Tính tích phân suy rộng 
1
𝑥2
sin
1
𝑥
∞
2
𝜋
𝑑𝑥. 
Câu 5. 
Giải phương trình 𝑦′ + 𝑥𝑦 = 𝑒𝑥
2
𝑦3 . 
Câu 6. 
Giải phương trình sai phân 𝑥𝑛+4 − 3𝑥𝑛+3 + 3𝑥𝑛+2 − 3𝑥𝑛+1 + 2𝑥𝑛 = 5 ∙ 2
𝑛+1 . 
Câu 7. 
Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất hai loại sản phẩm. Giả sử tổng chi phí kết hợp là 
𝑇𝐶 = 3𝑄1
2 + 5𝑄2
2 + 7𝑄1𝑄2. Giá của các loại sản phẩm lần lượt là 230$ và 305$. Hãy tìm mức sản lượng 
các loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất. 
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1, NGÀY 24-12-2012 
Câu 1 (1 điểm). 
lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→0
ln cos2 𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→0
ln 1 − sin2 𝑥 
𝑥2
= lim
𝑥→0
− sin2 𝑥
𝑥2
= −1 ≠ 𝑓 0 , 
nên 𝑓 gián đoạn tại 𝑥 = 0. 
Câu 2 (1+1 điểm). 
a) lim
𝑥→0
arcsin 𝑥−𝑥
𝑥2arctan 𝑥
= lim
𝑥→0
arcsin 𝑥−𝑥
𝑥3
=
𝐿
lim
𝑥→0
1
 1−𝑥2
−1
3𝑥2
= lim
𝑥→0
1− 1−𝑥2
3𝑥2 1−𝑥2
= lim
𝑥→0
1− 1−𝑥2 
3𝑥2 1−𝑥2 1+ 1−𝑥2 
= lim
𝑥→0
1
3 1 − 𝑥2 1 + 1 − 𝑥2 
=
1
6
. 
b) Đây là giới hạn dạng 1∞ , nên lim
𝑥→0
 1+𝑥 
1
𝑥
𝑒
1
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑒
1
𝑥
 1+𝑥 
1
𝑥
𝑒
−1 
. 
lim
𝑥→0
1
𝑥
 1 + 𝑥 
1
𝑥
𝑒
− 1 = lim
𝑥→0
 1 + 𝑥 
1
𝑥𝑒−1 − 1
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑒
1
𝑥 ln
 1+𝑥 −1 − 1
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑒
1
𝑥 𝑥−
𝑥2
2
+𝑜 𝑥2 −1
− 1
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑒
−𝑥
2
+
𝑜 𝑥2 
𝑥 − 1
−𝑥
2 +
𝑜 𝑥2 
𝑥
∙ lim
𝑥→0
−𝑥
2 +
𝑜 𝑥2 
𝑥
𝑥
= 1 ∙ lim
𝑥→0
−1
2
+
𝑜 𝑥2 
𝑥2
 =
−1
2
. 
Giới hạn phải tìm bằng 𝑒
−1
2 . 
Cách khác: 
lim
𝑥→0
ln 
 1 + 𝑥 
1
𝑥
𝑒
1
𝑥
= lim
𝑥→0
1
𝑥
ln 1 + 𝑥 
𝑥
− 1 = lim
𝑥→0
ln 1 + 𝑥 − 𝑥
𝑥2
=
𝐿
lim
𝑥→0
1
1 + 𝑥 − 1
2𝑥
= lim
𝑥→0
−1
2 1 + 𝑥 
=
−1
2
. 
Câu 3 (1+1 điểm). 
𝑎) 
8𝑥3 + 16𝑥
 𝑥2 + 4 2
𝑑𝑥 = 
4𝑥2 + 8
 𝑥2 + 4 2
𝑑 𝑥2 + 4 =
𝑡=𝑥2+4
 4𝑡 − 8 𝑑𝑡
𝑡2
= 
4
𝑡
−
8
𝑡2
 = 4 ln 𝑡 +
8
𝑡
+ 𝐶 = 4 ln 𝑥2 + 4 +
8
𝑥2 + 4
+ 𝐶. 
𝑏) 
cos3𝑥𝑑𝑥
 sin𝑥
3
−
𝜋
4
−
𝜋
2
= 
 1 − sin2𝑥 𝑑 sin𝑥
 sin𝑥
3
−
𝜋
4
−
𝜋
2
=
𝑡= sin 𝑥
3
 1 − 𝑡6 𝑑𝑡3
𝑡
−
1
 2
6
−1
= 3 𝑡 − 𝑡7 𝑑𝑡
−
1
 2
6
−1
= 3 
𝑡2
2
−
𝑡8
8
 |−1
−
1
 2
6
= 3 
1
 2
3 
1
2
−
1
16
 − 
1
2
−
1
8
 =
21
16 2
3 −
9
8
. 
Câu 4 (1 điểm). 
1
𝑥2
sin
1
𝑥
∞
2
𝜋
𝑑𝑥 =
𝑡=
1
𝑥
− sin 𝑡 𝑑𝑡
0
𝜋
2
= sin 𝑡 𝑑𝑡
𝜋
2
0
= − cos
𝜋
2
+ cos 0 = 1. 
Câu 5 (1 điểm). 
 Giả sử 𝑦 ≠ 0. Ta có: 𝑦′ + 𝑥𝑦 = 𝑒𝑥
2
𝑦3 ⟺ 𝑦′𝑦−3 + 𝑥𝑦−2 = 𝑒𝑥
2
. 
Thay 𝑧 = 𝑦−2 ⟹ 𝑧′ = −2𝑦′𝑦−3, ta có phương trình vi phân tuyến tính: 
1
−2
𝑧′ + 𝑥𝑧 = 𝑒𝑥
2
⟺ 𝑧′ − 2𝑥𝑧 = −2𝑒𝑥
2
. 
Phương trình này có nghiệm tổng quát là 
𝑧 = −2𝑒𝑥
2
𝑒−2 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒2 𝑥𝑑𝑥 = −2 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥
2
= −2𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥
2
. 
. 
Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là 
𝑦2 −2𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥
2
− 1 = 0. (0,5 điểm) 
 Dễ thấy 𝑦 ≡ 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho. (0,5 điểm) 
Câu 6 (1,5 điểm). 
 Phương trình đặc trưng 
4 - 33 + 32 - 3 + 2 = 0  ( - 1)( - 2)(2 + 1) = 0 
 có tập nghiệm {1; 2; 𝑖; −𝑖}. (0,5 điểm) 
 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là 
𝑥 𝑛 = 𝐶1 + 𝐶22
𝑛 + 𝐶3 cos
𝑛𝜋
2
+ 𝐶4 sin
𝑛𝜋
2
. (0,5 điểm) 
 Một nghiệm riêng 𝑥𝑛
∗ của xn+4 – 3xn+3 + 3xn+2 – 3xn+1 + 2xn = 102
n
 có dạng 𝑥𝑛
∗ = 𝐴𝑛2𝑛 . Thay vào 
phương trình đã cho rồi giản ước cho 2n ta có 
A[(n+4)2
4
 – 3(n+3)23 + 3(n+3)22 – 3(n+1)2 + 2n] = 10. 
Cho n = 0  A = 1  𝑥𝑛
∗ = 𝑛2𝑛 . 
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 
𝑥𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑥𝑛
∗ = 𝐶1 + 𝐶22
𝑛 + 𝐶3 cos
𝑛𝜋
2
+ 𝐶4 sin
𝑛𝜋
2
+ 𝑛2𝑛 . (0,5 điểm). 
Câu 7 (1,5 điểm). 
Hàm lợi nhuận của sản phẩm là 
Π 𝑄1;𝑄1 = 230𝑄1 + 305𝑄2 − 3𝑄1
2 − 5𝑄2
2 − 7𝑄1𝑄2 . (0,5 điểm) 
Π𝑄1
′ = 230 − 6𝑄1 − 7𝑄2 
Π𝑄2
′ = 305 − 7𝑄1 − 10𝑄2 
Giải hệ: 
230 − 6𝑄1 − 7𝑄2 = 0
305 − 7𝑄1 − 10𝑄2 = 0
 , 
ta có 𝑄1 = 15; 𝑄2 = 20. 
Π𝑄12
" = −6, Π𝑄22
" = −10, Π𝑄1𝑄2
" = −7 ⟹ 𝐷 = Π𝑄12
" Π𝑄22
" − Π𝑄1𝑄2
" 
2
= 11. (0,5 điểm) 
𝐷 > 0, Π𝑄12
" < 0 ⟹ Π đạt cực đại tại 𝑄1 = 15,𝑄2 = 20 và tại đó 𝜋 = 4775. (0,5 điểm) 
ĐỀ SỐ 2, K15, THI NGÀY 24-12-2012 
Câu 1. 
Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là 𝑃 = 600 − 2𝑄 $ và tổng chi phí là 𝐶 = 0,2𝑄2 + 28𝑄 +
200 &. Tìm mức sản xuất 𝑄 để lợi nhuận tối đa, tìm mức giá 𝑃 và lợi nhuận khi đó. 
Nếu chính quyền đặt thuế 22 $ cho mỗi đơn vị sản phẩm thì lợi nhuận tối đa đạt được với mức giá bao 
nhiêu? 
Câu 2. 
Tính các giới hạn sau: 
𝑎) lim
𝑥→0
cos 𝑥𝑒𝑥 − cos 𝑥𝑒−𝑥 
𝑥3
; 𝑏) lim
𝑥→+∞
 𝑥 + 2𝑥 
1
𝑥 . 
Câu 3. 
Tìm cực trị của hàm số 
𝑧 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 2𝑦 − 𝑦2 (𝑥 > 0; 𝑦 > 0). 
Câu 4. 
Tính các tích phân sau: 
𝑎) 
𝑑𝑥
𝑥 𝑥2 − 1
; 𝑏) 
𝑑𝑥
2 cos 𝑥 + 3
𝜋
2
0
. 
Câu 5. 
Xét sự hội tụ và tính tích phân suy rộng sau (nếu hội tụ) 
𝑑𝑥
 𝑥2 + 1 2
∞
0
. 
Câu 6. 
Giải phương trình 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥3𝑦3 . 
Câu 7. 
Giải phương trình 𝑦𝑡+2 + 4𝑦𝑡+1 + 3𝑦𝑡 = 16. 
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2, NGÀY 24-12-2012 
Câu 1 (1 điểm). 
Hàm lợi nhuận của sản phẩm là 
𝜋 𝑄 = 𝑇𝑅 − 𝐶 = 𝑃 ∙ 𝑄 − 0,2𝑄2 + 28𝑄 + 200 = −2,2𝑄2 + 572𝑄 − 200. 
Do 𝜋 𝑄 = −2,2 𝑄 − 130 2 + 36980 ≤ 𝜋 130 = 36980, nên với 𝑄 = 130 ta có lợi nhuận tối đa. Khi 
đó, 𝑃 = 600 − 2 ∙ 130 = 340. (0,5 điểm) 
Khi tính cả thuế, ta có 𝜋 𝑄 = −2,2𝑄2 + 572𝑄 − 200 − 22𝑄 = −2,2𝑄2 + 550𝑄 − 200. 
Do 𝜋 𝑄 = −2,2 𝑄 − 125 2 + 34175 ≤ 𝜋 125 = 34175, nên với 𝑄 = 125 ta có lợi nhuận tối đa. Khi 
đó, 𝑃 = 600 − 2 ∙ 125 = 350. (0,5 điểm) 
Câu 2 (1+1 điểm). 
1) lim
𝑥→0
cos 𝑥𝑒𝑥 −cos 𝑥𝑒−𝑥 
𝑥3
= lim
𝑥→0
−2 sin 𝑥
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2
 sin 𝑥
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2
𝑥3
= lim
𝑥→0
−2𝑥
𝑒𝑥 +𝑒−𝑥
2
𝑥
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2
𝑥3
=
−1
2
lim
𝑥→0
𝑒2𝑥 − 𝑒−2𝑥
𝑥
=
−1
2
lim
𝑥→0
𝑒4𝑥 − 1
𝑥
lim
𝑥→0
1
𝑒2𝑥
=
−4
2
= −2. 
2) lim
𝑥→+∞
 𝑥 + 2𝑥 
1
𝑥 = lim
𝑥→+∞
𝑒
ln 𝑥+2𝑥 
𝑥 =
𝐿
lim
𝑥→+∞
𝑒
1+2𝑥 ln 2
𝑥+2𝑥 =
𝐿
lim
𝑥→+∞
𝑒
2𝑥 ln 2 2
1+2𝑥 ln 2 = lim
𝑥→+∞
𝑒
ln 2 2
1
2𝑥
+ln 2
= 𝑒ln 2 = 2. 
Câu 3 (1,5 điểm). 
𝑧𝑥
′ = 2 − 2𝑥 2𝑦 − 𝑦2 ; 𝑧𝑥
′ = 2𝑥 − 𝑥2 2 − 2𝑦 (𝑥 > 0; 𝑦 > 0). 
 𝑧(𝑥; 𝑦) có hai điểm dừng là 𝑀1 1; 1 ; 𝑀2 2; 2 . 
 𝑧𝑥2
′′ = −2 2𝑦 − 𝑦2 ; 𝑧𝑦2
′′ = −2 2𝑥 − 𝑥2 ; 𝑧𝑥𝑦
′′ = 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 . 
𝐷 𝑥; 𝑦 = 𝑧𝑥2
′′ 𝑧𝑦2
′′ − 𝑧𝑥𝑦
′′ 
2
= 4 2𝑥 − 𝑥2 2𝑦 − 𝑦2 − 2 − 2𝑥 2 2 − 2𝑦 2 . (0,5 điểm) 
 𝐷 1; 1 = 4 > 0; 𝑧𝑥2
′′ = −2 < 0 ⟹ hàm số đạt cực đại tại 𝑀1 1; 1 ; 𝑧 1; 1 = 1. (0,5 điểm) 
 𝐷 2; 2 = −16 < 0 ⟹ hàm số không đạt cực trị tại 𝑀2 2; 2 . (0,5 điểm) 
Câu 4 (1+1 điểm). 
𝑎) 
𝑑𝑥
𝑥 𝑥2 − 1
= 
𝑥𝑑𝑥
𝑥2 𝑥2 − 1
=
𝑡= 𝑥2−1
𝑡𝑑𝑡
 𝑡2 + 1 𝑡
= 
𝑑𝑡
𝑡2 + 1
= arctan𝑡 + 𝐶 = arctan 𝑥2 − 1 + 𝐶. 
𝑏) 
𝑑𝑥
2 cos𝑥 + 3
𝜋
2
0
=
𝑡=tan
𝑥
2
2
1 + 𝑡2
2
1 − 𝑡2
1 + 𝑡2
+ 3
𝑑𝑡
1
0
= 2 
𝑑𝑡
𝑡2 + 5
𝑑𝑡
1
0
=
2
 5
arctan
𝑡
 5
|0
1 =
2
 5
arctan
1
 5
. 
Câu 5 (1 điểm). 
𝐼 = 
𝑑𝑥
𝑥2 + 1
=
𝑥
𝑥2 + 1
− 𝑥𝑑
1
𝑥2 + 1
=
𝑥
𝑥2 + 1
+ 2 
𝑥2
 𝑥2 + 1 2
𝑑𝑥 
=
𝑥
𝑥2 + 1
+ 2 
𝑥2 + 1 − 1
 𝑥2 + 1 2
𝑑𝑥 =
𝑥
𝑥2 + 1
+ 2𝐼 − 2 
𝑑𝑥
 𝑥2 + 1 2
⟹ 
𝑑𝑥
 𝑥2 + 1 2
=
𝑥
2 𝑥2 + 1 
+
1
2
𝐼 =
𝑥
2 𝑥2 + 1 
+
1
2
arctan𝑥 + 𝐶. (0,5 điểm) 
𝑑𝑥
 𝑥2 + 1 2
∞
0
= lim
𝑡⟶∞
𝑑𝑥
 𝑥2 + 1 2
𝑡
0
= lim
𝑡⟶∞
𝑡
2 𝑡2 + 1 
+
1
2
arctan𝑡 = 0 +
1
2
𝜋
2
=
𝜋
4
. (0,5 điểm) 
Cách khác: 
𝑑𝑥
 𝑥2 + 1 2
∞
0
=
𝑥=tan 𝑡
1
 tan2𝑡 + 1 2
𝜋
2
0
𝑑 tan 𝑡 = cos2 𝑡
𝜋
2
0
𝑑𝑡 
1 + cos 2𝑡
2
𝜋
2
0
𝑑𝑡 = 
𝑡
2
+
sin 2𝑡
4
 |0
𝜋
2 =
𝜋
4
. 
Câu 6 (1 điểm). 
 Giả sử 𝑦 ≠ 0. Ta có: 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥3𝑦3 ⟺ 𝑦′𝑦−3 + 2𝑥𝑦−2 = 2𝑥3 . 
Thay 𝑧 = 𝑦−2 ⟹ 𝑧′ = −2𝑦′𝑦−3, ta có phương trình vi phân tuyến tính: 
1
−2
𝑧′ + 2𝑥𝑧 = 2𝑥3 ⟺ 𝑧′ − 4𝑥𝑧 = −4𝑥3. 
Phương trình này có nghiệm tổng quát là 
𝑧 = −4𝑥3𝑒−4 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒4 𝑥𝑑𝑥 = −4𝑥3𝑒−2𝑥
2
𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒2𝑥
2
= 𝑥2 𝑑𝑒−2𝑥
2
+ 𝐶 𝑒2𝑥
2
= 𝑥2𝑒−2𝑥
2
− 𝑒−2𝑥
2
𝑑𝑥2 + 𝐶 𝑒2𝑥
2
= 𝑥2𝑒−2𝑥
2
+
𝑒−2𝑥
2
2
+ 𝐶 𝑒2𝑥
2
= 𝑥2 +
1
2
+ 𝐶𝑒2𝑥
2
. 
Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là 
𝑦2 𝑥2 +
1
2
+ 𝐶𝑒2𝑥
2
 − 1 = 0. (0,5 điểm) 
 Dễ thấy 𝑦 ≡ 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho. (0,5 điểm) 
Câu 7 (1,5 điểm). 
Phương trình đặc trưng 𝑘2 + 4𝑘 + 3 = 0 có các nghiệm là −1; −3. 
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là 
𝑦 𝑡 = 𝐶1 −1 
𝑡 + 𝐶2 −3 
𝑡 . (0,5 điểm) 
Một nghiệm riêng của phương trình 𝑦𝑡+2 + 4𝑦𝑡+1 + 3𝑦𝑡 = 16 có dạng 𝑦𝑡
∗ = 𝐴. 
Thay vào phương trình này, ta có: 𝐴 + 4𝐴 + 3𝐴 = 16 ⟺ 𝐴 = 2. (0,5 điểm) 
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 𝑦𝑡 = 𝑦 𝑡 + 𝑦𝑡
∗ = 𝐶1 −1 
𝑡 + 𝐶2 −3 
𝑡 + 2. (0,5 điểm)