Bài tập Lượng giác 11

PHAÀN I: HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC .
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số.
a. . b. . c. . d. .
Baøi 2 :Tìm taäp xaùc ñònh haøm soá sau : 
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên D .
Số m dược gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên D 
 y=f(x)=2+3Cosx. b. y=f(x)=3-4Sin2x.Cos2x. c. y=f(x)=2.Sin2x-2Cos2x.
Baøi 4 : Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa caùc haøm soá sau : 
Bài 5. T×m GTLN vµ GTNN cña c¸c hµm sè sau:
	a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b. 	c. 
PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
 * Dạng cơ bản.
- 
- 
- 
- 
Bài 1. Giải các phương trình 
a. . b. Sin2x = -1. c. .
Bài 2. Giải các phương trình:
a. . b. Cos3x-Sin2x=0.
Bài 3. Giải các phương trình.
Sin 3x + Sin5x =0. b.tanx.tan2x=-1 .
Baøi 4 : Giaûi phöông trình : 
 Baøi 5: Giaûi phöông trình : 
Baøi 6: Giaûi caùc phöông trình : 
Baøi 7: Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc : 
Baøi 8: Giaûi caùc phöông trình löôïng giaùc sau : 
 1>3sinx+2=0 2>-2sinx-3=0 3> 
 4>3cosx+5=0 5> 6>
 Lo¹i Dùng Công thức hạ bậc
1. 4cos2(2x - 1) = 1
2. 2sin2 (x + 1) = 1
3. cos2 3x + sin2 4x = 1
4. sin(1 - x) = 
5. 2cosx + 1 = 0
6. tan2 (2x – ) = 2
7. cos2 (x – ) = sin2(2x + ) 
Lo¹i Dùng Công thức cộng, biến đổi
1. sin2x + cos2x = sin3x 2. cos3x – sinx = (cosx –sin3x )
3. 4. sin3x = cos(x – p /5) + cos3x 
5. sin(x + p /4) + cos(x + p /4) = cos7x 
6. Tìm tất cả các nghiệm x của pt: sinxcos+ cosxsin= 
Lo¹i Bài toán biện luận theo m
1. Giải và biện luận 
	2sin(1-2x) = m
2. 3cos23x = m
3. sin3x + cos3x = m
4. m.sin2 2x + cos4x = m
5. Giải và biện luận 
 sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x 
6. Giải và biện luận 
 (3m + 5).sin(x + p/2) = (2m + 3)cosx -m
7. Giải và biện luận 
 cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x 
8. Cho pt sin4x + cos4x = m
Xác định m để pt có nghiệm
Giải pt với m = ¾
Lo¹i Tổng hợp
1. cos22x – sin28x = sin()
2. sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
3. 
4. 
5. Tìm tất cả các nghiệm x của pt:
 sin(2x + = 1 + 2sinx
6. Giải pt:
 4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3cos4x = 3
7. 
 = 
8. 4sin32x + 6sin2x = 3
9. Tìm nghiệm nguyên của pt: 
PHẦN III: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Dạng: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
Sinx+Cos2x=1. b. .
Bài giải.
a. .
b. Điều kiện .
.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
2.Sin2x-5Sinx+3=0. b. 2.Sin2x-3Cosx=0
 Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau : 
 1/ 2sin2x+3sinx+1=0 2/ sin2x+sinx-2=0 3/ 
 4/ 6-4cos2x-9sinx=0 5/ 6/ sin23x-2sin3x-3=0
 7/ sin2x+cos2x+sinx+1=0 8/ 2sin2x+cos2+sinx-1=0 9/ cos2x+sinx+1=0
 10/ cos2x+5sinx+2=0	 11>cos2x+cos2x+sinx+2=0 12>
Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình sau : 
1/ 3cos2x+2cosx-1=0 2/2sin2x+5cosx+1=0 3>cos2-4cosx+5/2=0
4/cos2+cosx-2=0 5/16-15sin2x-8cosx=0 6/4sin22x+8cos2x-8=0
7/ 8/2cos2x+cosx-1=0 9/sin2x-2cos2x+cos2x=0	
10>sin2x+cos2x+cosx=0 11>
12>(1+tan2x)(cosx+2)-sin2x=cos2x
Baøi 5: Giaûi caùc phöông trình sau : 
1>tan2x-tanx-2=0 2>
3> 4>
D¹ng 2: Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai vµ bËc cao ®èi víi mét hµm sè l­îng gi¸c
1/ 	2/ 4sin3x + 3sin2x = 8sinx 
3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 	4/ 
5/ Cho 3sin3x - 3cos2x + 4sinx - cos2x + 2 = 0(1) vµ cos2x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2)
 T×m n0 cña (1) ®ång thêi lµ n0 cña (2) ( nghiÖm chung sinx = )
6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 	7/ tanx + - 2 = 0 
b / + tanx = 7	c / sin6x + cos4x = cos2x 
8/ sin() - 3cos() = 1 + 2sinx 
9/ 	10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 
11/ tanx + cotx = 4 	12/ 
13/ 	14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0 
15/ 	16/ 2cosx - = 1
17. 	18. 
19. 	20.
21. 	22. 
23. 	24. 
25. 	25. 
* Dạng: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
- Cách giải:
.
Đặt . 
Ta có phương trình cơ bản Û.
- Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a. . b. . c. .
d. . e. 
Bài giải.
a. 
 .
b. 
c. 
d. 
e. 
Đưa về dạng 
D¹ng 3: Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx
1. NhËn d¹ng:
2. Ph­¬ng ph¸p: C¸ch 1: asinx + bcosx = c
§Æt cosx= ; sinx= 
C¸ch 2: 
§Æt 
C¸ch 3: §Æt ta cã 
Chó ý: §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm: 
§¨c biÖt :
gi¶i ph­¬ng tr×nh:
1. , 	2. 
3. , 	4. 
5. , 	6. 
7. 	8. 	 
9. ; 	10. 2sin15x + cos5x + sin5x = 0 (4) 
 12. 13. ( cos2x - sin2x) - sinx – cosx + 4 = 0 	14. 15. 16.
Baøi 9: Giaûi caùc phöông trình : 
PHAÀN IV: PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙCTỔNG HỢP
Chú ý. Các phương trình sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng và hạ bậc công thức biến đổi tổng thành tích, tích thàng tổng, hạ bậc
Áp dụng các công thức ở trên giải các phương trình sau đây:
a. 
pt 
( vì )
b. 
pt 
c. 
Tới đây biết giải rồi chứ? cos6x = 0 hoặc 
d. 
gép cos3x + cos7x và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Đặt nhân tử chung sau khi xuất hiện nhân tử.
e. 
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.
f. 
Đây là bài toán mà các số hạng đều là bậc hai nên ta sẽ hạ bậc nó.
lưu ý: 
pt 
( bỏ mẫu)
pt 
( biến tổng thành tích)
BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
Giải phương trình:  .
Phương trình 
.
Giải phương trình lượng giác 
Đáp số:  
Giải phương trình: 
Phương trình đã cho tương đương với
* 
* .
Giải khác.
Giải phương trình lượng giác sau:  
Giải phương trình: .
Từ phương trình đã cho ta có :
Giải phương trình : .
Giải phương trình : 
Phương trình đã cho
Giải phương trình: 
Giải phương trình : 
Giải phương trình    
Giải phương trình lượng giác sau:  
Giải phương trình : 
Giải phương trình lượng giác:  
Phương trình đã cho tương đương với
Đáp số :    
Giải phương trình :  
 Các nghiệm số là 
D¹ng 4: Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp ®èi víi sinx vµ cosx
1. NhËn d¹ng:
§¼ng cÊp bËc 2: asin2x + bsinx.cosx + c cos2x = 0
 	C¸ch 1: Thö víi cosx = 0; víi cosx0, chia 2 vÕ cho cos2x ta ®­îc:
atan2x + btanx + c = d(tan2x + 1)
	C¸ch 2: ¸p dông c«ng thøc h¹ bËc 
§¼ng cÊp bËc 3: asin3x + bcos3x + c(sinx + cosx) = 0 
HoÆc asin3x + b.cos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x = 0 
XÐt cos3x = 0 vµ cosx0, chia 2 vÕ cho cos3x ta ®­îc ph­¬ng tr×nh bËc 3 ®èi víi tanx
2. P.Ph¸p: 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh
1. 3sin2x - sinxcosx+2cos2x =2 	 2. 4 sin2x + 3sinxcosx - 2cos2x=4
3. 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0 	4. sinx - 4sin3x + cosx = 0 
5. 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + )cos2x – 5 - = 0
6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 	7. sin3x - sinx + cosx – sinx = 0 
8. tanxsin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) 	9. 3cos4x - 4sin2xcos2x + sin4x = 0 
10. 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0 	11. 2cos3x = sin3x 
12. cos3x - sin3x = cosx + sinx 	13. sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 
14. sin3(x - /4) =sinx 
D¹ng 5: Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx
	1. NhËn d¹ng:
	2. Ph­¬ng ph¸p: 
* a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c ®Æt t = sin x + cosx 	
 	 at + b = c bt2 + 2at – 2c – b = 0
* a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c ®Æt t = sin x - cosx 	
	 at + b = c bt2 - 2at + 2c – b = 0
1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0	2. sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)
3. 	3. 
1. 1 + tanx = 2sinx + 	2. sin x + cosx= - 
3. sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx 	4. 1- sin3x+ cos3x = sin2x 
5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 	6. sin2x(sin x + cosx) = 2 
7. (1+sin x)(1+cosx)=2 	8. (sin x + cosx) = tanx + cotx
9. 1 + sin3 2x + cos32 x = sin 4x 	10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2
11.* cos4x + sin4x - 2(1 - sin2xcos2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
12. 	13. sinxcosx + = 1 
14. cosx + + sinx + = 
D¹ng 6: Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx
C«ng thøc h¹ bËc 2 	cos2x = ; sin2x= 
 	C«ng thøc h¹ bËc 3	 cos3x= ; sin3x= 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh
1/ sin2 x + sin23x = cos22x + cos24x 	2/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2
3/ sin2x + sin23x - 3cos22x=0 	4/ cos3x + sin7x = 2sin2() - 2cos2
5/ cos4x – 5sin4x = 1 	6/ 4sin3x - 1 = 3 - cos3x 
7/ sin22x + sin24x = sin26x	8/ sin2x = cos22x + cos23x 
9/ (sin22x + cos42x - 1):= 0	10/ 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x
11/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 	12/ 8cos3(x + ) = cos3x
13/ = 1 	14/ cos7x + sin22x = cos22x - cosx 15/ sin2x + sin22x + sin23x = 3/2	16/ 3cos4x – 2cos23x =1
17/ sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x víi	
18/ sin24x - cos26x = sin() víi 
19/ 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3cos4x = 3 	
20/ cos4xsinx - sin22x = 4sin2() - víi < 3 
21/ 2cos32x - 4cos3xcos3x + cos6x - 4sin3xsin3x = 0 
22/ cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x 
D¹ng 7: Ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c bËc cao
* a3 b3=(ab)(a2 ab + b2) 	* a8 + b8 = ( a4 + b4)2 - 2a4b4
* a4 - b4 = ( a2 + b2)(a2 - b2) 	* a6 b6 = ( a2 b2)( a4 a2b2 + b4)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh
1. sin4+cos4=1-2sinx 	2. cos3x-sin3x=cos2x-sin2x 
3. cos3x+ sin3x= cos2x 	4. 
5. cos6x - sin6x = cos22x 	6. sin4x + cos4x = 
7. cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) 	8. cos3x + sin3x = cosx – sinx 
9. cos6x + sin6x = cos4x 	 
10. sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 
11. cos8x + sin8x = 	12. (sinx + 3)sin4 - (sinx + 3)sin2 + 1 = 0 
D¹ng 8: Ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0
1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 	2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0
3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 	4/ sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0
5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 	6/ sin2x + cos2x + cosx = 0 
7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4 	
8/ 	9/ 2cos2x - 8cosx + 7 = 	
10/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + cos2x 11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 	 13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
14/ 2sin3x - = 2cos3x + 15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - ) = 0 
16/ cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 	 17/ cos2x - 2cos3x + sinx = 0 	
18/ sin2x = 1+cosx + cos2x 	 19/ 1 + cot2x = 
20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + 	 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0 
22/ 1 + tanx = sinx + cosx 	23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 
24/ 2= 	25/ 2tanx + cotx = 
26/ cotx – tanx = cosx + sinx 	27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 
1. 
2. C1. 
C2. 
3. 
4. 
5. 
6 . 
7. (*) . Ñaët 
8. 
8. (*) . C1. Ta coù : 
Vì 
C2. 
9. 
10. 
 11.
12. 
13.14. 
15. 
16.
17. 
18. . Ñieàu kieän : 
C1. 
C2. 
19. 
20.
21. (1) . Ñieàu kieän :
(1)
22. . Ñieàu kieän :
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
 .Ñieàu kieän :
29. 
 .Ñieàu kieän :
30. 
31. 
 . Ñieàu kieän :
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : v 
32. 
 . Ñieàu kieän :
33. 
 . Ñieàu kieän :
34. C1 : 
Ñieàu kieän : 
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : 
C2 : Ñaët 
Khi 
Khi 
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø :
35. 
Ñieàu kieän : 
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho laø : 
36. .
Ñieàu kieän : 
 (*)
Ñaët : 
 Khi : 
37. 
 Ñieàu kieän : 
 (*)
Ñaët :
 . 
Khi 
38.
. ñieàu kieän:.
Phöông trình trôû thaønh : 
39.
. ñieàu kieän:.
Phöông trình trôû thaønh :
40.
. ñieàu kieän:.
Phöông trình trôû thaønh : 
41.
. 
ñieàu kieän:.Phöông trình trôû thaønh :
42.
. 
Vaäy phöông trình töông ñöông vôùi heä :
43.
. 
Vaäy phöông trình töông ñöông vôùi heä :
44.
. 
Vaäy phöông trình töông ñöông vôùi heä :
Vaäy phöông trình ñaõ cho voâ nghieäm.
45.
. Vì ; 
Vaäy. Daáu ñaúng thöùc xaûy ra khi:
46. (1)
Vaäy 
 ( k Î Z) 
theá vaøo (2) ta coù : 
Vaäy phöông trình voâ nghieäm
47.
.
Vaäy 
Khi 
theá vaøo (2) ta coù : thoûa maõn
Khi 
theá vaøo (2) ta coù : khoâng thoûa
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :
48. . (1)
 Daáu baèng xaûy ra Û sin2x = 0 Û (*)
Daáu baèng xaûy ra Û (**)
Theá (*) vaøo (**) khoâng thoûa neân phöông trình voâ nghieäm 
49. (1)
 (*)
Vì vaø neân (*) 
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : (k Î Z)
50.
 (*)
Vì vaø neân (*) (k Î Z)
51. (*)
Vì vaø neân (*) 
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø : x = 0
52. (*)
Vì vaø neân (*) (k Î Z)
53.
54.
 theá vaøo (2) ta coù nghieäm , (k Î Z)
55.
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :x = 0
56. 
57.Ñaïi hoïc An Giang khoái D naêm 2000
58. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái D naêm 1999
59.Hoïc Vieän Quan Heä Quoác Teá khoái D naêm 1999
. 
60. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái D naêm 1998
61. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái D naêm 1998
62. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái B naêm 1999
63. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái D naêm 1999
. 
Bình phöông 2 veá ta ñöôïc 
64. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái B naêm 2000
65. Ñaïi hoïc Quoác Gia Haø Noäi khoái D naêm 2000
Ñaët : .
66. Hoïc Vieän Quaân Y khoái B naêm 2001
.Ñaët : 
67. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Haø Noäi khoái B naêm 2000
68. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Haø Noäi khoái B naêm 2001
. 
Ñieàu kieän : . Ñaët :
69. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Haûi Phoøng khoái B naêm 2001
.
Ñaët :
 70. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm TP Hoà Chí Minh khoái D naêm 2000
71. Ñaïi Hoïc Thaùi Nguyeân khoái D naêm 1997
72. Ñaïi Hoïc Thaùi Nguyeân khoái D naêm 2000
Giaûi phöông trình treân khi 
Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình treân coù nghieäm?
Giaûi
a) Khi , phöông trình coù daïng : 
b) 
Ñaët : . 
Neáu phöông trình voâ nghieäm
Neáu phöông trình coù hai nghieäm 
Vaäy phöông trình coù nghieäm khi 
72. Ñaïi Hoïc Vaên Hoùa Haø Noäi khoái D naêm 2001
. Trong ñoù laø goùc coù 
73. Ñaïi Hoïc Y Khoa Haø Noäi khoái B naêm 1997
.
74. Ñaïi Hoïc Y Khoa Haø Noäi khoái B naêm 1997
.
75. Ñaïi Hoïc Y Khoa Haø Noäi khoái B naêm 1998
. 
76. Ñaïi Hoïc Y Khoa Haø Noäi khoái B naêm 1998
. 
Ñieàu kieän :
 do ñk 
Vaäy phöông trình voâ nghieäm.
77. Ñaïi Hoïc Y Döôïc TP. Hoà Chí Minh khoái B naêm 1997
78. Ñaïi Hoïc Y Döôïc TP. Hoà Chí Minh khoái B naêm 1998
Xaùc ñònh a ñeå hai phöông trình sau töông ñöông 
Giaûi
Hai phöông trình sau töông ñöông
79. Ñaïi Hoïc Y Döôïc TP. Hoà Chí Minh khoái B naêm 2001
Xaùc ñònh a ñeå phöông trình sau coù nghieäm : 
Giaûi
 . 
Vôùi phöông trình (1) luoân coù hai nghieäm thoûa maõn ñieàu kieän 
Nhö vaäy , phöông trình ñaõ cho coù hai nghieäm khi vaø chæ khi phöông trình (1) coù nghieäm thoûa maõn
80. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2002 khoái B 
81. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2002 khoái D
Tìm x thuoäc ñoaïn [0;14] nghieäm ñuùng phöông trình :
Giaûi
Vì 
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø:
82. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2002 khoái A 
Tìm x thuoäc ñoaïn nghieäm ñuùng phöông trình :
Giaûi
Ñieàu kieän : 
. Vì nghieäm cuûa phöông trình laø:
83. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2003 khoái D
Ñieàu kieän : 
84. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2003 khoái B
Ñieàu kieän : 
84. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2004 khoái B
Ñieàu kieän : 
85. Ñeà thi chung cuûa Boä giaùo duïc – ñaøo taïo naêm 2004 khoái D
86. Ñaïi Hoïc Daân Laäp Vaên Lang naêm 1997 khoái B & D
87. Ñaïi Hoïc Thuûy Saûn naêm 1997 khoái A
88. Trung Hoïc Kyõ Thuaät Y Teá 3 naêm 1997 
89. Ñaïi Hoïc Quoác Gia TP. Hoà Chí Minh naêm 1997 khoái A 
Cho phöông trình : . Bieát laø moät nghieäm cuûa (*) . Haõy giaûi phöông trình (*) trong tröôøng hôïp ñoù . 
Giaûi
Vì laø nghieäm cuûa phöông trình (*) neân cuõng laø nghieäm cuûa phöông trình (1) 
Nghóa laø :
Vaäy phöông trình trôû thaønh : 
90. Ñaïi Hoïc Quoác Gia TP. Hoà Chí Minh naêm 1997 khoái D 
Tìm caùc giaù trò m ñeå phöông trình sau coù nghieäm . 
Cho phöông trình : . 
Giaûi
. Ñaët : 
Laäp baûng xeùt daáu ñaïo haøm treân ñoaïn ta coù : 
Vaäy phöông trình coù nghieäm khi : 
91. Ñaïi Hoïc Luaät TP. Hoà Chí Minh naêm 1997 khoái A 
Cho phöông trình :
Giaûi phöông trình treân khi 
Xaùc ñònh tham soá a ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x treân khoaûng 
Giaûi
a) 
Khi phöông trình trôû thaønh : 
b) 
Laäp baûng xeùt daáu ñaïo haøm treân khoaûng ta thaáy phöông trình coù nghieäm khi 
92. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông naêm 1997 khoái D 
.
 Ñieàu kieän : 
93. Ñaïi Hoïc Baùch Khoa Haø Noäi naêm 1994 
. 
Ñieàu kieän : 
94. Ñaïi Hoïc Baùch Khoa Haø Noäi naêm 1996 
Tìm nghieäm cuûa phöông trình :
thoûa maõn baát phöông trình :
Giaûi 
Nghieäm cuûa (1) thoûa (2) khi . Vaäy 
95. Ñaïi Hoïc Kyõ Thuaät TP. Hoà Chí Minh naêm 1994 
96. Ñaïi Hoïc Kyõ Thuaät TP. Hoà Chí Minh naêm 1995 
97. Ñaïi Hoïc Kyõ Thuaät TP. Hoà Chí Minh naêm 1998 
98. Ñaïi Hoïc Kyõ Thuaät TP. Hoà Chí Minh naêm 1998 
99. Ñaïi Hoïc Y Döôïc TP. Hoà Chí Minh naêm 1998 
100. Ñaïi Hoïc Y Döôïc Haø Noäi naêm 1996 
101. Ñaïi Hoïc Giao Thoâng Vaän Taûi naêm 1995 
. Ñieàu kieän : 
102. Ñaïi Hoïc Giao Thoâng Vaän Taûi naêm 1996 
. Ñieàu kieän 
103. Ñaïi Hoïc Giao Thoâng Vaän Taûi naêm 1996 
a)
b)
Ñieàu kieän 
104. Ñaïi Hoïc Giao Thoâng Vaän Taûi naêm 1998 
Ñieàu kieän :
105. Hoïc Vieän Quan Heä Quoác Teá naêm 1995 khoái D 
Ñieàu kieän :
106. Ñaïi Hoïc Kieán Truùc Haø Noäi naêm 1995 khoái A 
Ñieàu kieän :
107. Ñaïi Hoïc Kinh Teá Quoác Daân naêm 1998 khoái A 
 (*)
Xeùt sinx = 0 thì phöông trình khoâng thoûa.
Vaäy (*) 
108. Ñaïi Hoïc Kinh Teá naêm 1994 
Cho phöông trình :
Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm.
Giaûi phöông trình khi 
Giaûi
. Ñieàu kieän :
Ñaët 
Laäp baûng xeùt daáu treân khoaûng (–1;1) ta coù : f(–1)= –1 ; f(1) = 1 ; f(0) = 
Vaäy phöông trình coù nghieäm khi : 
b) Vaäy khi thì phöông trình voâ nghieäm . 
108. Ñaïi Hoïc Kinh Teá naêm 1995 
. Ñieàu kieän :
109. Ñaïi Hoïc Quoác Gia Haø Noäi naêm 1995 
110. Ñaïi Hoïc Quoác Gia Haø Noäi naêm 1996 
Ñieàu kieän :
111. Ñaïi Hoïc Quoác Gia Haø Noäi naêm 1996 
Ñieàu kieän :
112. Ñaïi Hoïc Quoác Gia TP. Hoà Chí Minh naêm 1997
Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghieäm: 
Giaûi
Ta coù : 
Khi ñoù phöông trình coù daïng : 
Phöông trình coù daïng : 
Laäp baûng xeùt daáu ñaïo haøm treân ñoaïn ta coù : 
Döïa vaøo ñoù ta suy ra phöông trình coù nghieäm 
113. Ñaïi Hoïc Quoác Gia Haø Noäi naêm 1997
Ñieàu kieän :
114. Ñaïi Hoïc Quoác Gia Haø Noäi naêm 1998
Ñieàu kieän : 
115. Ñaïi Hoïc Quoác Gia TP. Hoà Chí Minh naêm 1998
116. Ñaïi Hoïc Quoác Gia Haø Noäi naêm 1998
117. Ñaïi Hoïc Luaät Haø Noäi naêm 1995
118. Ñaïi Hoïc Moû Ñòa Chaát naêm 1995
119. Ñaïi Hoïc Moû Ñòa Chaát naêm 1995: 
Vaäy phöông trình ñaõ cho voâ nghieäm .
120. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông Haø Noäi naêm 1995
121. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông naêm 1995
122. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông Haø Noäi naêm 1995
123. Ñaïi Hoïc Ngoaïi Thöông TP. Hoà Chí Minh naêm 1997
124. Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Haø Noäi naêm 1997
125. Ñaïi Hoïc Toång Hôïp TP. Hoà Chí Minh naêm 1997 khoái D
(*)
126. Ñaïi Hoïc Toång Hôïp TP. Hoà Chí Minh naêm 1994 
127. Ñaïi Hoïc Taøi Chính – Keá toaùn naêm 1997 
128. Ñaïi Hoïc Xaây Döïng Haø Noäi naêm 1994 
129. Trung Hoïc Kinh Teá naêm 2002 
130.
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI VỚI 1 HÀM LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Giải các phương trình sau:
	a) .	b) 
	c) 	d) 
Bài 2. Giải phương trình sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 3. Giải phương trình sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 4. Giải các phương trình sau: 
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 5. Giải phương trình lượng giác sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 6. Chứng minh rằng phương trình: luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 7. Cho phương trình: 
Giải pt khi .
Tìm m để phương trình có nghiệm trên .
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS
Bài 8. Giải các phương trình sau:
	a) 4sinx – 3cosx = 2 	b) sinx - cosx = 1
c) sin3x + cos3x = 1 	d) sin4x + cos4x = 
Bài 9. Giải các phương trình sau:
	a) 3sinx + 4cosx = 5	b) 
	c) 	d) 5cos2x – 12cos2x = 13 	
Bài 10. Giải các phương trình sau:
	a) 
	b) 2sin12x + cos5x + sin5x = 0 
	c) cos5x – sin3x = (cos3x – sin5x)
Bài 11. Giải các phương trình sau:
cosx + sinx = 3 - 
b) 3sin3x - cos9x = 1 + 4sin33x
c) 4sin3x - 1 = 3sinx - cos3x
Bài 12. Giải các phương trình sau:
	a) cos5x –sin5x = sin7x – cos7x
b)
c) cos2x - sin2x = 1 + sin2x
Bài 13. Giải phương trình:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 14. Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 15. Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau:
 y = 	trong khoảng ( -p ; p)
Bài 17. Tìm m để pt : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có 2 nghiệm.
Bài 18. Tìm m để pt : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm. 
Các phương trình đưa về pt lượng giác cơ bản
Bài 1: Giải phương trình: 
a/.; 	b/.
c/.; 	d/.
e/.; 	f/.
Bài 2: Tìm nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho:
a/. với ; 	b/. với 
Bài 3: Tìm x thuộc nghiệm đúng phương trình: 
Một số bài tập thuộc dạng pt bậc 2 đối với một hàm lượng giác
Giải các phương trình: 
a/.; 	b/. 
c/. ; 	d/. 
e/.; 	f/. 
Một số bài tập thuộc dạng : Asinx + Bcosx = C
Giải các phương trình: