Bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Chương 1
Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số
1.1 Tớnh đơn điệu của hàm số
1.1.1 Định lớ
Giả sử hàm y= f (x) cú đạo hàm trờn khoảng I.
• Nếu f ′(x) > 0, ∀x ∈ I ( f (x) = 0 tại một số hữu hạn
điểm) thỡ f đồng biến trờn I.
• Nếu f ′(x) < 0, ∀x ∈ I ( f (x) = 0 tại một số hữu hạn
điểm) thỡ f nghịch biến trờn I.
• Nếu f ′(x)= 0, ∀x ∈ I thỡ f là hàm hằng trờn I.
1.1.2 Xột sự biến thiờn của hàm số
Để xột chiều biến thiờn của hàm số y= f (x), ta thực hiện
cỏc bước như sau:
ơ Tỡm tập xỏc định của hàm số.
ư Tớnh y′. Tỡm cỏc điểmmà tại đú y′ = 0 hoặc y′ khụng
tồn tại (gọi là cỏc điểm tới hạn).
đ Lập bảng xột dấu y′ (bảng biến thiờn). Từ đú kết
luận cỏc khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm
số.
1.1.3 Bài tập
1. Xột chiều biến thiờn của cỏc hàm số sau:
a) y= 3x2−8x3
b) y= x3−2x2+ x−2
c) y= (4− x)(x−1)2
d) y= x3−3x2+4x−1
e) y= 1
3
x3+ x2+ x+1
f) y= 1
4
x4−2x2−1
g) y=−x4−2x2+3
h) y= x4+8x3+5
i) y= 2x−1
x+5
j) y= x−1
2− x
k) y= 1− 1
1− x
l) y= 2x−1
x2
m) y= 4x
2−15x+9
3x
n) y= 2x
2+ x+26
x+2
o) y=−x+3− 1
1− x
p) y= x
2−1
x2−4
q) y= x
2− x+1
x2+ x+1
r) y= x
x2−3x+2
s) y= 1
(x−5)2
2. Xột chiều biến thiờn của cỏc hàm số sau:
a) y=−6x4+8x3−3x2−1
b) y= 9x7−7x6+ 7
5
x5+12
c) y=
p
2x− x2
d) y= x+3+2p2− x
e) y=p2x−1−p3− x
f) y= x
p
2− x2
g) y=
p
x
x+100
h) y= xp
16− x2
3. Xột sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
a) y= x−sinx trong [0;2pi]
b) y= sin2x
(
−pi
2
< x< pi
2
)
c) y= x+2cosx, x ∈
(
pi
6
;
5pi
6
)
d) y= sin2x− x,
(
−pi
2
< x< pi
2
)
4. Chứng minh rằng:
1
â Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
a) y= x−2
x+2 đồng biến trờn mỗi khoảng xỏc định của
nú
b) y= −x
2−2x+3
x+1 nghịch biến trờn mỗi khoảng xỏc
định
c) y=−x+
p
x2+8 nghịch biến trờn R
d) y= x3−6x2+17x+4 đồng biến trờn R
e) y=
p
2x− x2 nghịch biến trờn [1;2]
f) y=
p
x2−9 đồng biến trờn [3;+∞)
g) y= x+ 4
x
nghịch biến trờn [−2;0) và (0;2]
h) y= x
2−2mx−1
x−m đồng biến trờn R
i) y=−sinx+4x đồng biến trờn R.
j) y= x3+ x−cosx−4 đồng biến trờn R
k) y= cos2x− x nghịch biến trờn R
l) y= cos2x−2x+3 nghịch biến trờn R
m) y= 3x−sin(3x+1) đồng biến trờn R
n) y=−5x+cot(x−1) nghịch biến trờn R
o) y= cosx− x nghịch biến trờn R
p) y= sinx−cosx−2p2x nghịch biến trờn R
5. Chứng minh rằng:
a) y= x−2
x+2 đồng biến trờn mỗi khoảng xỏc định của
nú
b) y= −x
2−2x+3
x+1 nghịch biến trờn mỗi khoảng xỏc
định
c) y=−x+
p
x2+8 nghịch biến trờn R
d) y= x3−6x2+17x+4 đồng biến trờn R
e) y= x3+ x−cosx−4 đồng biến trờn R
f) y= cos2x− x nghịch biến trờn R
g) y= cos2x−2x+3 nghịch biến trờn R
h) y=
p
2x− x2 nghịch biến trờn [1;2]
i) y=
p
x2−9 đồng biến trờn [3;+∞)
j) y= x+ 4x nghịch biến trờn [−2;0) và (0;2]
k) y= 3x−sin(3x+1) đồng biến trờn R
l) y= x
2−2mx−1
x−m đồng biến trờn R
m) y=−5x+cot(x−1) nghịch biến trờn R
n) y= cosx− x nghịch biến trờn R
o) y= sinx−cosx−2p2x nghịch biến trờn R
6. Chứng minh rằng:
1) sinx 0
2) sinx> x, ∀x< 0
3) x− x
3
6
 0
4) x− x
3
6
> sinx ∀x< 0
5) sinx< x− x
3
6
+ x
5
120
x> 0
6) cosx> 1− x
2
2
, ∀x 6= 0
7) phương trỡnh x3 − 3x+ c = 0 khụng thể cú hai
nghiệm thực trong đoạn [0,1].
1.1.4 Điều kiện biến thiờn của hàm số
ơ Hàm đa thức f (x) đồng biến trờn D khi và chỉ khi
f ′(x)ấ 0,∀x ∈D
ư Hàm đa thức f (x) nghịch biến trờn D khi và chỉ khi
f ′(x)ẫ 0,∀x ∈D
đ Hàm nhất biến f (x) = ax+b
cx+d đồng biến trờn mỗi
khoảng xỏc định khi và chỉ khi
f ′(x)> 0,∀x ∈D
¯ Hàm nhất biến f (x) = ax+b
cx+d nghịch biến trờn mỗi
khoảng xỏc định khi và chỉ khi
f ′(x)< 0,∀x ∈D
° Tam thức bậc hai f (x)= ax2+bx+ c= 0, (a 6= 0)
• f (x)≥ 0,∀x ∈R⇔
{
∆≤ 0
a> 0
• f (x)≤ 0,∀x ∈R⇔
{
∆≤ 0
a< 0
1.1.5 Bài tập
1. Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để
a) y= x3−3mx2+ (m−2)x−1 đồng biến trờn R. Đs:
−23 ẫmẫ 1
b) y=− x
3
3
+ (m−2)x2+ (m−8)x+1 nghịch biến trờn
tập xỏc định. Đs: −1ẫmẫ 4
c) y= 1
3
x3+mx2+(m−6)x−2m−1 đồng biến trờn R.
d) y=− x
3
3
+ (m−2)x2+ (m−8)x+1 nghịch biến trờn
R
e) y = m−1
3
x3+mx2+ (3m−2)x+3 đồng biến trờn
tập xỏc định. Đs: mẫ 12
2
â Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
f) y=mx3−(2m−1)x2+4m−1 đồng biến trờn R. Đs:
m= 12
2. Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để
a) y= mx+1
x−m đồng biến trờn từng khoảng xỏc định
của hàm số. Đs: m 1
b) y= 2mx−m+10
x+m nghịch biến trờn từng khoảng
xỏc định của hàm số. Đs: −52 <m< 2
c) y = mx+4
x+m đồng biến trờn từng khoảng xỏc
định.
d) y= x+2+ m
x−1 đồng biến trờn từng khoảng xỏc
định.
e) y = mx−1
x+m đồng biến trờn từng khoảng xỏc
định. Đs: m ∈R
1.2 Cực trị
1.2.1 Cỏc qui tắc tỡm cực trị
1.2.2 Bài tập
1. Tỡm cực trị cỏc hàm số sau
a) y= 3x2−2x3
b) y= x3−2x2+2x−1
c) y=−1
3
x3+4x2−15x
d) y= x
4
2
− x2+3
e) y= x4−4x2+5
f) y=− x
4
2
+ x2+ 32
g) y= −x
2+3x+6
x+2
h) y= 3x
2+4x+5
x+1
i) y= x
2−2x−15
x−3
j) y= (x−2)3(x+1)4
k) y= 4x
2+2x−1
2x2+ x−3
l) y= 3x
2+4x+4
x2+ x+1
m) y= x
p
x2−4
n) y=
p
x2−2x+5
o) y= x+
p
2x− x2
p) y= x+ 1
x
2. Tỡm cực trị cỏc hàm số sau
a) y= x−4sin2x
b) y= sin2x
c) y= cosx−sinx
d) y= sin2x
e) y= sin2x−p3cosx trờn [0,pi]
f) y= 2sinx−cos2x trờn [0,pi]
1.2.3 Điều kiện để hàm số cú cực trị
• Hàm số cú k cực trị ⇔ phương trỡnh y′ = 0 cú k
nghiệm phõn biệt và đổi dấu qua cỏc nghiệm đú.
• Hàm bậc 3 y = ax3 + bx2 + cx+ d cú 2 cực trị (cực
đại và cực tiểu) ⇔ phương trỡnh y′ = 0 cú 2 nghiệm
phõn biệt.
• Hàm số đạt cực trị tại x= x0 thỡ y′(x0)= 0. Sau đú ta
dựng dấu hiệu I hoặc dấu hiệu 2 thử lại xem đú là
cực đại hay cực tiểu.1
• Hàm số đạt cực tiểu tại x0 điều kiện là
{
y′(x0)= 0
y′′(x0)> 0
• Hàm số đạt cực đại tại x0 điều kiện là
{
y′(x0)= 0
y′′(x0)< 0
1.2.4 Bài tập
1. Tỡm m để hàm số:
a) y=mx3+3x2+5x+2 đạt cực đại tại x= 2
b) y = x3−mx2−mx−5 đạt cực tiểu tại x = 1. Đs:
m= 1
c) y=−x3+mx2−4 đạt cực tiểu tại x= 6
d) y = x3 + (m+ 1)x2 + (2m− 1)x+ 1 đạt cực đại tại
x=−2. Đs: m= 72
e) y= x3−3mx2+ (m−1)x+2 đạt cực trị tại x= 2.
f) y= x
2+mx+1
x+m đạt cực trị tại x= 2.
2. Tỡm m để hàm số:
a) y= (m+2)x3+3x2+mx−5 cú cực đại, cực tiểu.
b) y = x3−3(m−1)x2+ (2m2−3m+2)x−m(m−1) cú
cực đại, cực tiểu.
c) y= x3−3mx2+ (m2−1)x+2 đạt cực đại tại x= 2.
d) y= x3−2mx2+1 cú cực đại và cực tiểu. Đs: m 6= 0
e) y= m
3
x3−2x2+(3m+1)x−1 cú cực đại và cực tiểu.
Đs: −43 <m< 1,m 6= 0
f) y= x
2−mx+2
x−1 cú cực đại và cực tiểu. Đs: m< 3
g) y= x4−mx2+2 cú 3 cực trị. Đs: m> 0
h) y=−mx4+2(m−2)x2+m−5 cú một cực đại x= 12 .
3
â Nguyễn Hồng Điệp LATEX201512
i) y= x
2−2mx+2
x−m đạt cực tiểu khi x= 2.
j) y = x
2− (m+1)x−m2+4m−2
x−1 cú cực đại, cực
tiểu.
k) y= x
2− x+m
x−1 cú một giỏ trị cực đại bằng 0.
3. Tỡm m để hàm số khụng cú cực trị
a) y= x3−3x2+3mx+3m+4
b) y=mx3+3mx2− (m−1)x−1
c) y= −x
2+mx+5
x−3
d) y= x
2− (m+1)x−m2+4m−2
x−1
4. Tỡm a,b, c,d để hàm số
a) y= ax3+bx2+ cx+d đạt cực tiểu bằng 0 tại x= 0
và đạt cực đại bằng
4
27
tại x= 1
3
b) y= ax4+ bx2+ c cú đồ thị đi qua gốc toạ độ O và
đạt cực trị bằng –9 tại x=p3.
c) y= x
2+bx+ c
x−1 đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.
d) y= ax
2+bx+ab
bx+a đạt cực trị tại x= 0 và x= 4.
e) y= ax
2+2x+b
x2+1 đạt cực đại bằng 5 tại x= 1.
f) y= ax3+bx2+ cx+d đạt cực đại tại x= 0, f (0)= 0
và đạt cực đại tại x= 1, f (0)= 1
g) y= x3+ax2+ bx+ c đạt cực trị bằng 0 tại x =−2
và đồ thị hàm số đi qua điểm A (1,0)
h) y= x3−mx2+
(
m− 2
3
)
x+5 cú cực trị tại x= 1. Khi
đú hàm số đạt cực tiểu hay cực đại? Tớnh cực trị
tương ứng.
i) y = x3 + ax2 + bx+ c đạt cực tiểu tại điểm x =
1, f (1) = −3 và đồ thị của hàm số cắt trục tung
tại điểm cú tung độ là 2.
1.3 Giỏ trị lớn nhất - Giỏ trị nhỏ
nhất của hàm số
1.3.1 Bài tập
1. Tỡm GTLN, GTNN của hàm số
a) y= 2x3+3x2−12x+1 trờn [–1;5]
b) y= 3x− x3 trờn [–2;3]
c) y= x4−2x2+3 trờn [–3;2]
d) y= x4−2x2+5 trờn [–2;2]
e) y= 3x−1
x−3 trờn [0;2]
f) y= x−1
x+1 trờn [0;4]
g) y= 4x
2+7x+7
x+2 trờn [0;2]
h) y= 1− x+ x
2
1+ x− x2 trờn [0;1]
i) y=
p
100− x2 trờn [–6;8]
j) y=
p
25− x2 trờn [−4,4]
k) y= ∣∣x2−3x+2∣∣ trờn [−10,10]
l) y= x−sin2x trờn
[
−pi
2
,pi
]
m) y= 2sinx+sin2x trờn
[
0,
3pi
2
]
n) y= 1
sinx
trờn
[
pi
3
,
5pi
6
]
2. Tỡm GTLN, GTNN của hàm số sau
a) y= x
x+2 trờn (−2,4]
b) y= x+ 1x trờn (0,+∞)
c) y= x− 1x trờn [0,2)
d) y= x2+ 1
x
(x> 0)
e) y= x
4+ x2+1
x3+ x (x> 0)
f) y= 1
cosx
trờn
(
d f racpi2,
3pi
2
)
g) y= 1
sinx
trờn (0,pi)
3. Tỡm GTLN, GTNN của cỏc hàm số sau
a) y= 2sin2x+2sinx−1
b) y= 2sin2x−cosx+1
c) y= cos2x−2sinx−1
d) y= cos22x−sinxcosx+4
e) y= sin4x+cos2x+2
f) y= cos3x−6cos2x+9cosx+5
g) y= sin3x−cos2x+sinx+2
h) y= 2sinx−1
sinx+2
i) y= 1
cos2x+cosx+1
j) y= sin4x+cos4x
k) y= sin3x+cos3x
l) y= 2cos
2x+|cosx|+1
|cosx|+1
m) y= x
2−1
x4− x2+1
n) y= 4
p
x2−2x+5+ x2−2x+3
o) y=−x2+4x+
p
x2−4x+3
4