Bài tập Hình học 11 - Chuyên đề: Quan hệ song song

	TÀI LIỆU
	CHUYÊN ĐỀ
	QUAN HỆ SONG SONG
MỤC LỤC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Đường thẳng và mặt phẳng
	1. Mở đầu (sgk)
	2. Các tính chất
	* Tính chất thừa nhận 1:
	Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
	* Tính chất thừa nhận 2:
	Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
	* Tính chất thừa nhận 3:
	Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
	* Tính chất thừa nhận 4:
	Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
	* Tính chất thừa nhận 5:
	Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học không gian đều đúng.
	* Định lí:
	Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.
	3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
	a) Đường thẳng song song với mặt phẳng
	b) Đường thẳng cắt mặt phẳng
	c) Đường thẳng thuộc mặt phẳng
	4. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
	a) Mặt phẳng song song với mặt phẳng
	b) Hai mặt phẳng trùng nhau
	c) Hai mặt phẳng cắt nhau
	5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
	a) Đường thẳng song song với đường thẳng
	b) Hai đường thẳng cắt nhau
	c) Hai đường thẳng trùng nhau
d) Hai đường thẳng chéo nhau
6. Điều kiện xác định mặt phẳng
	- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng
	- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó.
	- Một mặt phẳng được xác định nếu biết nó đi qua hai đường thẳng cắt nhau.
7. Hình chóp và hình tứ diện
	a) Hình chóp
	- Định nghĩa
	Hình gồm n tam giác đó và đa giác A1A2An gọi là hình chóp và được kí hiệu là S.A1A2An.
 	Nếu đáy của hình chóp là một tam giác, tứ giác, ngũ giác, thì hình chóp tương ứng gọi là hình chóp tam giác, tứ giác hoặc ngũ giác...
	b) Tứ diện
	Định nghĩa:
	Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọi là tứ diện) và được kí hiệu là ABCD. 
	c) Thiết diện của hình chóp
	Định nghĩa:
	Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng α là một đa giác phẳng tạo bởi các đoạn giao tuyến của α với các mặt bên hay mặt đáy của hình chóp.
	Ví dụ: Trong hình vẽ, tứ giác MNPQ là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng α. 
II. Đường thẳng song song
	1. Định nghĩa
	Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
	Kí hiệu: a // b
	2. Các định lí.
	* Định lí 1: (tiên đề Ơ-clít trong không gian) 
	Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước ta dựng được một và chỉ một đường thẳng song song với thẳng đã cho.
	Hệ quả:
	Nếu từ một điểm B của mặt phẳng α, ta dựng đường thẳng b song song với đường thẳng a nằm trong α thì đường thẳng b nằm trong α.
	* Định lí 2:
	Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào cắt đường này ắt phải cắt đường kia.
	* Định lí 3: 
	Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
	* Định lí 4: (định lí về giao tuyến)	
	Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng song song cho trước thì giao tuyến của chúng cùng phương với hai đường thẳng ấy.
	* Định lí 5:
	Hai góc trong không gian có các cạnh song song và cùng chiều thì bằng nhau.
	3. Góc của hai đường thẳng trong không gian.
	Góc của a và b, kí hiệu a,b, là góc α α≤90o tạo bởi a’ và b’ vẽ từ điểm O bất kì lần lượt song song với a và b.
	Nếu a,b=90o ta nói a vuông góc với b
	Kí hiệu a⊥b.
III. Đường thẳng song song với mặt phẳng.
	1. Định nghĩa
	Đường thẳng d và mặt phẳng α gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung
	Kí hiệu: d // α.
	2. Điều kiện song song.
	* Định lí 6:
	Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với một mặt phẳng là đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó chứa trong mặt phẳng.
	Hệ quả 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng α thì bất kì mặt phẳng α nào chứa d mà cắt α thì sẽ cắt α theo giao tuyến song song với d.
	Hệ quả 2: Cho mặt phẳng α song song với đường thẳng d. Nếu từ một điểm M của α ta dựng đường thẳng a song song với d thì a nằm trong mặt phẳng α. 
	3. Các tính chất khác.
	 * Định lí 7: 
	Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.
 	* Định lí 8: 
	Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b. Qua đường thẳng này ta dựng được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng kia.
	* Định lí 9: 
	Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b. Từ một điểm bất kì O không thuộc mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia, ta dựng được một và chỉ một mặt phẳng song song với hai đường thẳng đã cho.
IV. Mặt phẳng song song.
	1. Định nghĩa.
	Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.
	2. Điều kiện song song của 2 mặt phẳng.
	* Định lí 10: 
	Nếu mặt phẳng α chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng β thì α song song với β.
	3. Dựng mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho trước.
	* Định lí 11:
	Qua một điểm O bất kì nằm ngoài mặt phẳng α cho trước bao giờ cũng dựng được một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng α. 
	Cách dựng:
	- Trong α dựng a, b cắt nhau
	- Qua O dựng a’ song song với a, b’ song song với b
	- Mặt phẳng (a’, b’) là mặt phẳng qua O và song song với α.
	Hệ quả:
	Cho hai mặt phẳng α và β song song với nhau. Một điểm O thuộc mặt phẳng β. Nếu Ox song song song với α thì Ox thuộc mặt phẳng β.
	4. Các tính chất khác
	* Định lí 12: 
	Cho hai mặt phẳng α và β song song với nhau. Một mặt phẳng γ khác lần lượt giao với hai mặt phẳng α và β qua hai giao tuyến a và b thì a // b.
	* Định lí 13:
	Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
	* Định lí 14:
	Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng nhau.
	* Định lí 15: (Định lí Ta-lét trong không gian)
	Ba mặt phẳng đôi một song song chắn ra trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
V. Hình lăng trụ
	1. Định nghĩa
	Hình lăng trụ là một khối đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai đáy đều song song với nhau.
	Hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’
	- ABCD, A’B’C’D’: đáy
	- ABB’A’, BCC’B’: mặt bên
	- AA’, BB’, CC’, DD’: cạnh bên
	- ACC’A’, BDD’B’: mặt chéo.
	Tuỳ theo đa giác đáy, ta có: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác
	2. Tính chất
	Trong hình lăng trụ
	- Các cạnh bên song song và bằng nhau
	- Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành
	- Hai đáy là hai đa giác bằng nhau có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
	3. Hình hộp
	a) Định nghĩa
	- Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
	- Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật là hình hộp chữ nhật.
	- Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.
	b) Tính chất
	Trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các đường chéo AC’, A’C, BD’, B’D cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
B. PHƯƠNG PHÁP, VÍ DỤ
VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG
THEO CHỦ ĐỀ
Chuyên đề 1
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 1)
1. Phương pháp:
	- Tìm điểm chung của hai mặt phẳng
	- Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Chú ý: Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng đó. Giao điểm (nếu có) của 2 đường thẳng này chính là điểm chung của 2 mặt phẳng.
2. Ví dụ
	VD1: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD).
Giải:
trong (BCD), 
mà
từ (1) và (2) suy ra I là giao điểm của CD và (MNP)
(ACD): gọi E là giao điểm 
của AD với MI
suy ra E là giao của (MNP) với
(ABD)
do đó 
	VD2: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC.
	a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NDA).
	b) Cho I, J là hai điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (IJD). 
Giải:
a) dễ thấy
từ (1) và (2) suy ra 
b) 
từ (3) và (4) suy ra 
VD3: Cho tứ diện ABCD, O là một điểm bên trong tam giác BCD, M là một điểm trên AO.
	a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MCD) với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).
	b) I, J là 2 điểm trên BC và BD. Tìm giao tuyến của (IJM) và (ACD).
Giải:
a) Xét (MCD) và (ABO).
(BCD): kéo dài BO cắt CD tại N.
từ (1) và (2) suy ra
b)
(BCD): kéo dài IJ cắt CD tại K
từ (3) và (4) suy ra 
	3. Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
	Hướng dẫn: Tìm giao điểm của AC và BD.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD, AB > CD). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
	Hướng dẫn: Tìm giao điểm của AD và BC.
Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng. Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC. Tìm giao tuyến của (BCD) và (MNP).
 	Hướng dẫn: Tìm giao điểm của MN với BC.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một điểm bên trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của:
	a) (AMN) và (BCD) 	
	b) (DMN) và (ABC). 
	Hướng dẫn: 
	a) Tìm giao điểm của AM với BD, AN với CD
	b) Tìm giao điểm của DM với AB, DN với AC.
Bài 5:  Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và (SCD).
Bài 6: Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho MN không //BC,trong tam giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao tuyến sau: 
	a) (MNI)(ABC) b) (MNI)(BCD) 
 	c) (MNI)(ABD) d) (MNI)(ACD)
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Tìm các giao tuyến sau: 
	a) (SAC)(SBD) 
	b) (SAB)(SCD) 
	c) (SAD)(SBC)
Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AD và BC
 	a)Chứng minh rằng IB và JA là 2 đường thẳng chéo nhau
 	b)Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) (JAD)
 	c)Gọi M là điểmnằm trên đoạn AB;N là điểm nằm trên đoạn AC .Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) (DMN).
Bài 9: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là điểm nằm trên đường thẳng BD nhưng ngoài đoạn BD.Trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn AB và AD lần lượt tại K và L.Trong mặt phẳng (BCD) ta vẽ một đường thẳng qua I cắt hai đoạn CB và CD lần lượt tại M và N.
	a) Chứng minh rằng 4 điểm K,L,M,N cùng thuộc một mặt phẳng 
	b) Gọi O1= BNDM ; O2 = BLDK và J = LMKN. Chứng minh rằng ba điểm A, J, O1 thẳng hàng và ba điểm C,J,O2 cũng thẳng hàng
	c) Giả sử hai đường thẳng KM và LN cắt nhau tại H,chứng minh rằng điểm H nằm trên đường thẳng AC.
Bài 10: Cho tứ diện ABCD. Gọi A’,B’,C’,D’lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB và ABC.
	a) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA’ và BB’ cùng nằm trong một mặt phẳng 
	b) Gọi I là giao điểm của AA’ và BB’,chứng minh rằng : 
	c) Chứng minh rằng các đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng quy. 
Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
	1. Phương pháp
	Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng α, ta tìm trong α một đường thẳng c cắt a tại điểm A nào đó thì A là giao điểm của a và α. 
	Chú ý: Nếu c chưa có sẵn thì ta chọn một mặt phẳng β qua a và lấy c là giao tuyến của α và β.
	2. Ví dụ
	VD1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. K là một điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK).
Giải:
trong (BCD), K không là trung điểm của BD nên cho NK∩CD = I. I∈NK⇒I⊂(MNK)I∈CD⇒CD∩(MNK) = I
ta có I∈CD⇒I⊂(ACD), 
do đó AD∩MI = J⇒J⊂MNK.
suy ra AD∩(MNK) = J. 
	VD2: Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh SC lấy một điểm E không trùng với hai điểm S và C. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với (ABE).
Giả i: 
(ABCD): AC∩BD = O.
(SAC): SO∩AE = I.
(SBC): BI∩SD = F.
do đó giao tuyến của (ABE) với 
(SBD) là BI.
mà F⊂ABE, F∈CD
suy ra F là giao điểm của SD
với (ABE).
	VD3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành, O là tâm của đáy; M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với (MNB) và giao điểm K của đường thẳng SD với (MNB).
Giải:
trong (SAC), MN∩SO = I.
mà MN⊂MNB⇒SO∩MNB=I.
trong (SBD), BI∩SD=K.
mà BI⊂MNB⇒SD∩MNB=K.
	VD4: Cho tứ diện ABCD và M, N lần lượt là hai điểm trên AC và AD. Gọi O là một điểm bên trong tam giác BCD.
	a) Tìm giao điểm của MN và (ABO)
	b) Tìm giao điểm của AO và (MNB).
Giải:
a) trong (BCD): lấy BO∩CD = E.
trong (ACD): lấy AE∩MN=F.
mà AE⊂ABO⇒F⊂(ABO).
do đó F là giao điểm của MN với (ABO).
b) trong (ABE): lấy AO∩BF=H.
mà BF⊂MNB nên H là giao điểm
của AO với (MNB).
	3. Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ đường thẳng đi qua A không song song với các cạnh của hình bình hành và cắt đoạn BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC.
 	a) Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng (C’AE)
	b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (C’AE) với mặt phẳng (SAD).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
	a) Tìm giao điểm I của đoạn thẳng AM và (SBD). CMR: IA = 2IM
	b) Tìm giao điểm P của đường thẳng SD và (ABM)
	c) Gọi N là một điểm tùy ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và với (SBD).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC.
	a) Tìm giao điểm M của CD và mp(C’AE).
	b) Tìm thiết diện của hình chop cắt bời mặt phẳng (C’AE).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh SC.
	a) Tìm giao điểm của AM và mp(SBD)
	b) Lấy một điểm N trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và (AMN).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm tam giác SAD.
	a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). Chứng minh I ở trên đường thẳng CD và IC = 2ID
	b) Tìm giao điểm J của (OMG) với AD. Tính tỉ số .
	c) Tìm giao điểm K của (OMG) với SA. Tính tỉ số .
Bài 6: Cho I, J lần lượt là hai điểm bên trong tam giác ABC và ABD của tứ diện ABCD. M là một điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm của IJ và mặt phẳng (ABM).
Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trong tam giác BCD lấy điểm N. Tìm các giao điểm sau:
 a) BC(DMN) b) AC(DMN) c) MN(ACD).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD. Trong tứ giác ABCD lấy một điểm O, tìm giao điểm của AM với các mặt phẳng (SBC), (SCD).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Trên cạnh SC lấy một điểm E
	a) Tìm giao điểm F của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE)
	b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB ,CD và EF đồng quy.
Bài 10: Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M ,trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm N,K.Tìm các giao tuyến sau: 
 a) CD(ABK) b) MK(BCD) 
 	c) CD(MNK) d) AD(MNK).
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SC
	a) Xác định I = AN ∩ (SBD) và J = MN ∩ (SBD)
	b) Tính các tỉ số ; và .
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB.Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SB và SC
	a) Xác định giao tuyến (SAD) ∩ (SBC)
	b) Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)
	c) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ).
Bài 13: Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC.Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của:
	a)CD với mặt phẳng (MNP) b)AD với mặt phẳng (MNP).
Bài 14: Cho tứ diện SABC. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB.Trên đoạn SC ta lấy điểm K sao cho CK = 3KS.
	a) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK)
	b) Gọi M là trung điểm IH.Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC).
Bài 15: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC.Trên cạnh BD, ta lấy điểm K sao cho BK = 2KD.
	a) Tìm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng DE = DC
	b) Tìm giao điểm F của đường thẳng AD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh rằng FA = 2FD
	c) Chứng minh rằng FK song song IJ
	d) Gọi M và N là hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD.Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (IJK).
Bài 16: Cho tứ diện SABC.Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC sao cho SA’ = SA; SB’ = SB; SC’ = SC.
	a) Tìm giao điểm E,F của các đường thẳng A’B’ và A’C’ lần lượt với mặt phẳng (ABC)
	b) Gọi I và J lần lượt là các điểm đối xứng của A’ qua B’ và C’. Chứng minh rằng IJ = BC và BI = CJ
	c) Chứng minh rằng BC là đường trung bình của tam giác AEF.
Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy. 
	1. Phương pháp
	- Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của 2 mặt phẳng đó.
	- Muốn chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba.
	2. Ví dụ
	VD1: Cho tam giác ABC và tam giác DEF không nằm trong cùng một mặt phẳng. AB cắt DE tại M, BC cắt EF tại N, AC cắt DF tại L. Chứng minh M, N, L thẳng hàng.
Giải:
theo gt: EF ∩ BC = M, GF ∩ CD = N và M, N ⊂ (BCD) 
nên (BCD) ∩ (EFG) = MN
lại có EG ∩ BD = L, L ⊂ (BCD) 
nên (BCD) ∩ (EFG) = ML (hoặc NL)
từ đó suy ra M, N, L thẳng hàng.
	VD2: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là 3 điểm trên 3 cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng quy.
Giải:
ta có CD (BCD) và CD (ACD)
F AC, H AD HF (ACD)
và H EG (gt) HF (EFG)
I BC I (BCD)
và I EF I EFG
do đó IG (BCD), (EFG)
từ những điều trên ta suy ra CD, IG, HF đôi một là giao tuyến của các mặt phẳng (BCD), (ACD), (EFG)
vậy CD, IG, HF đồng quy tại một điểm K.
	3. Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hai điểm cố định A, B ở ngoài mặt phẳng sao cho AB không song song với . M là một điểm di động trong không gian sao cho MA, MB cắt tại A’, B’. Chứng minh A’B’ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, E là một điểm trên cạch BC, F là một điểm trên cạnh SD.
 a) Tìm giao điểm K của BF và (SAC).
 b) Tìm giao điểm J của EF và (SAC).
 c) Chứng minh ba điểm C, K, J thẳng hàng.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mặt phẳng (MNK).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là 2 điểm trên cạnh AD và SB.
	a) Tìm các giao điểm K, L của IJ và DJ với mặt phẳng (SAC)
	b) AD cắt BC tại O, OJ cắt SC tại M. Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng.
Bài 5: Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm của AC,BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng (a)  qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mặt phẳng (β) qua BC cắt SD, SA lần lượt là tại P và Q.
	a) Gọi I = AM ∩ DN và J = BP ∩ EQ.Chứng minh bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng
	b) Giả sử AN ∩ DM = K; BQ ∩ EP = L.Chứng minh S, K, L thẳng hàng.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là một điểm trên cạnh AD và K là một điểm trên cạnh SB.
	a) Tìm giao điểm E, F của IK và DK với (SAC)
	b) Gọi O = AD BC, M = SC OK. Chứng minh bốn điểm A, E, F, M thẳng hàng.
Bài 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3, G4 lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng AG1, BG2, CG3, DG4 đồng quy.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD. Mặt phẳng (P) cắt SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng A’C’, B’D’ và SI đồng quy.
Bài 8: Cho tứ giác ABCD và điểm S không thuộc (ABCD). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C.
	a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD vớ mặt phẳng (ABM)
	b) Giả sử hai cạnh AB và Cd không song song, hãy chứng minh ba đường thẳng AB, CD, MN đồng quy.
Bài 9: Cho hình vuông ABCD, ABEF không cùng thuộc một mp. Trên AC lấy điểm M, trên BF lấy điểm N sao cho ; .