Bài tập Hình học 10 - Cơ bản & nâng cao

 Vũ Mạnh Hùng 
Trường THPT Nguyễn Hữu Huân 
Bài Tập 
(09-2006) 
10 
Cơ Bản & Nâng Cao 
Vũ Mạnh Hùng - 17 - 
 Cho ΔABC với A = 120o, AB = 6cm, AC = 10cm. Tính BC, bán kính 
đường tròn ngoại tiếp ΔABC và diện tích ΔABC. 
 Cho ΔABC với A = 60o, AB = 5cm, BC = 7cm. Tính AC, R, r, đường cao 
AH. 
 Cho ΔABC với A = 120o, BC = 7 cm, AC = 5 cm. Tính AB, R, r, trung 
tuyến AM, độ dài phân giác trong AD. 
 Cho ΔABC có AB = 3 cm, BC = 5 cm, CA = 6 cm. Tính diện tích ΔABC, 
chiều cao AH và R. 
 Cho ΔABC vuông tại A có AB = 5, AC = 12, đường cao AH. 
 ¬. Tính bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ΔABC. 
 −. Vẽ đường phân giác trong AD của ΔABC. Tính DB, DC, AD. 
 Cho ΔABC với AB = 8cm và A = 60o nội tiếp trong đường tròn (O) bán 
kính R =
3
37 . Tính độ dài các cạnh BC, AC và diện tích ΔABC. 
 Cho ΔABC với A = 60o (B > C), bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội 
tiếp: R = 
3
313 cm , r = 
2
33 cm. Tính độ dài các cạnh và diện tích ΔABC. 
 Cho ΔABC với B = 60o, đường cao CH = 
2
37 , nội tiếp trong đường tròn 
bán kính R = 
3
313 . Tính độ dài các cạnh và diện tích ΔABC. 
* 
- 16 - Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ & Ứng Dụng 
 Trong ΔABC biết AB = c, BC = a, B = β. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho 
AM:MB = 3:2. Tính khoảng cách từ M đến trung điểm cạnh AC. 
 Cho ΔABC có AB = c, AC = b (b > c), trung tuyến AM vuông góc với AB. 
Tính BC. 
 Cho ΔABC vuông tại A, kéo dài BC về phía C một đoạn CD = AB = 3 cm, 
biết CAD = 30o. Tính các cạnh tam giác. 
ù 
 Cho ΔABC với AC = 13 cm, AB = 7 cm, BC = 15 cm. Tính B, bán kính 
đường tròn ngoại tiếp ΔABC và độ dài đường cao BH. 
 Cho ΔABC với A = 120o, BC = 7 cm, AC = 5 cm. Tính AB, bán kính 
đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ΔABC. 
 Cho ΔABC có A = 60o, BC = 7 cm và diện tích S = 103 cm2. Tính AB, 
AC. 
 Cho ΔABC có AC = 2 cm, AB = 3cm, BC = 4 cm. Tính A, B, C. 
 Cho hình bình hành ABCD có AB = 5 cm, AD = 8 cm, A = 60o. 
 ¬. Tính độ dài 2 đường chéo BD, AC và diện tích của hình bình hành. 
 −. Tính trung tuyến BM và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ΔABD. 
 Cho ΔABC có BC = 23, CA = 22, AB = 6 – 2. 
 ¬. Tính giá trị các góc A, B và độ dài đường cao AH của tam giác. 
 −. Tính độ dài phân giác trong AE của góc A. 
 Cho ΔABC với A = 120o, B = 45o, AC = 22 cm. 
 ¬. Tính BA, BC, R, r , S. 
 −. Gọi I là tâm đ.tròn nội tiếp ΔABC, tính bán kính đ.tròn ngoại tiếp ΔBIC 
 Cho ΔABC biết: 
31
Csin
2
Bsin
6
Asin
+== . 
 ¬. Tính các góc của ΔABC. −. Nếu AC = 4cm. Tính R, S. 
 Cho a = x2 + x + 1, b = 2x + 1, c = x2– 1. Định x để a, b, c là độ dài 3 cạnh 
một tam giác.Với x tìm được, chứng minh rằng tam giác có 1 góc bằng 120o. 
 Cho ΔABC với A = 60o, AB = 5, AC = 8. 
 ¬. Tính BC, diện tích ΔABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC. 
 −. Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại M, N. Tính MN. 
 Cho ΔABC có AB = 6 − 2, BC = 23, CA = 6 + 2. Tính góc A, bán 
kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC và đường cao AH. 
VECTƠ 
Vectơ 
 Tổng của hai vectơ a và b  là một vectơ, kí hiệu a + b , được định nghĩa như 
sau: Từ một điểm O tùy ý, vẽ OA = a, rồi từ A vẽ AB = b . Khi đó OB = a + b . 
 Hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu a – b , là một vectơ được định bởi: 
a – b = a + (– b) 
 Tích của số k với vectơ a , kí hiệu ka, là một vectơ cùng phương với a và: 
 Š Cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0. 
 Š ka = ka 
 Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Nếu a  0 : 
b  cùng phương với a  k: b = ka 
 
 “ BA = – AB. 
 “ OA + OB = OC với OC là đường chéo hình bình hành cạnh OA, OB. 
 “ AC = AB + BC, AC = BC – BA. 
 “ Nếu M là trung điểm đoạn AB và O là 1 điểm tuỳ ý thì: 
  MA + MB = 0 .  OA + OB = 2 OM . 
 “ A, B, C thẳng hàng  AB = kAC. 
 “ G là trọng tâm ΔABC  GA + GB + GC = 0 . 
 “ Nếu a  b  thì: ma + nb  = 0  m = n = 0. 
 “ So sánh 2 vectơ AB và CD: 
  Nếu AB  CD: Không so sánh. 
  Nếu AB  CD và AB = k.CD: AB k.CD khi AB CD
AB k.CD khi AB CD
 =⎨ = −⎩
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJJG . 
 “ Tìm hệ thức liên hệ giữa 4 điểm M, A, B, C với A, B, C thẳng hàng: 
AB = kAC  MB – MA = k(MC – MA)  MA = MB kMC
1 k
−
−
JJJG JJJJG
. 
Chương 1
a b  
O B 
A 
a + b  
- 2 - Vectơ 
1/ Cho hình bình hành ABCD và CE = BD. Chứng minh : 
 ¬. AC + BD = AD + BC −. AB + BC + CD = AB + CE 
 ®. AC + BD + CB = DB + CE + BC 
2/ a, b , c cùng phương và c < b  < a. Khẳng định a + b  + c  a có đúng 
không? 
3/ Cho hình bình hành ABCD tâm O và M là 1 điểm tuỳ ý. Chứng minh: 
MA + MB + MC + MD = 4 MO. 
4/ Chứng minh trong hình bình hành ABCD tìm được duy nhất 1 điểm M sao 
cho MA + MB + MC + MD = 0 . 
5/ Cho lục giác đều ABCDEF. Chứng minh: AB + AC + AE + AF = 2AD. 
6/ Cho tứ giác ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và DC. 
Chứng minh AC + AD + BC + BD = 4 MN. 
7/ Cho ΔABC với M là trung điểm của AB, E là trung điểm của MC, AE cắt 
BC tại F, đường thẳng qua M song song với AE cắt BC tại H. Chứng minh: 
BH = HF = FC. 
8/ Cho ΔABC với D là trung điểm của AC, E là trung điểm của BD, AE cắt BC 
tại M. Chứng minh: BC = 3 BM. 
9/ Nếu M là điểm trên đoạn AB với AM:MB = 2:3 và O là 1 điểm tuỳ ý. 
Chứng minh: OM =  OA +  OB. 
 Cho ΔABC và ΔABC trọng tâm tương ứng G và G. Chứng minh rằng: 
GG = (AA + BB + CC). 
 Cho ΔABC với các trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng: 
AD + BE + CF = 0 . 
 Cho ΔABC trung tuyến AK, BM. Phân tích theo a = AK và b = BM các 
vectơ AB, BC, CA. 
 Cho ΔABC với trung tuyến AM, BN, CP và G là trọng tâm. 
 ¬. Chứng minh nếu O là 1 điểm tuỳ ý thì: 
OA + OB + OC = OM + ON + OP = 3 OG. 
 −. Biểu diễn AM, BN, CP  theo a = BC, b  = CA. 
 Trên cạnh Ox của góc xOy lấy 2 điểm A và B sao cho OA = a, AB = 2a. 
Qua A, B kẻ các đường thẳng song song cắt Oy lần lượt tại C, D với OC = b . 
Phân tích CD, OD, AC, BD, AD, CB theo a và b . 
Vũ Mạnh Hùng - 15 - 
 Cho hai đường tròn đồng tâm. Chứng minh tổng bình phương khoảng cách 
từ 1 điểm của đường tròn này đến 2 điểm mút của đường kính của đường tròn 
kia không phụ thuộc vào vị trí của điểm và đường kính. 
 Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm M nằm trên 1 đường kính của 
đường tròn với MO = a, AB là 1 dây cung bất kì song song với đường kính này. 
Tính MA2 + MB2. 
 Xác định tập hợp các điểm M thoả MA. MB = k, trong đó A, B là 2 điểm cố 
định và k  0 là hằng số. 
 Cho ΔABC vuông tại C. Xác định tập hợp các điểm M thoả: 
MA2 + MB2 = 2MC2. 
£. Diện tích 
 Cho ΔABC đều, N là 1 điểm trên cạnh AC sao cho AN = AC. Tính tỉ số 
các bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABN và ΔABC. 
 Cho ΔABC với A = α, BA = c, AC = b. Trên cạnh AC và AB lấy hai điểm 
M, N với M là trung điểm cạnh AC và dt(ΔAMN) = dt(ΔABC). Tính độ dài 
đoạn MN. 
 Cho ΔABC với AB = 2cm, trung tuyến BD = 1cm, BDA = 30o. Tính AD, 
BC và diện tích ΔABC. 
 Đường tròn bán kính R đi qua 2 đỉnh A, B của ΔABC và tiếp xúc với AC tại 
A. Tính diện tích ΔABC nếu A = α, B = β. 
 dt(ΔABC) = 153 cm2, A =120o, B > C. Khoảng cách từ A đến tâm đường 
tròn nội tiếp trong tam giác là 2cm. Tính độ dài trung tuyến BM của ΔABC. 
 Tính diện tích hình thoi ABCD nếu bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC 
và ΔABD là R và r. 
£. Tổng Hợp 
 Cho ΔABC đều, K và M là hai điểm trên AC và AB sao cho AK:KC = 2:1, 
AM:MB = 1:2. Chứng minh KM bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC. 
 Trong hình bình hành ABCD với AB = a, BC = b, B  = α. Tính khoảng cách 
giữa tâm của hai đường tròn ngoại tiếp ΔBCD và ΔDAB. 
 Cho ΔABC với A = α, C = β, AC = b. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD 
= 3DC. Qua B và D kẻ đường tròn tiếp xúc với AC. Tính bán kính đường tròn 
này. 
 Chứng minh trong ΔABC ta có OG2 = R2 –  (a2 + b2 + c2) với G là trọng 
tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam 
giác. 
- 14 - Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ & Ứng Dụng 
 Cho ΔABC, đường tròn nội tiếp trong tam giác tiếp xúc với các cạnh AB, 
BC, CA lần lượt tại M, D, N. Tính độ dài đoạn MD nếu NA=2, NC=3, C = 60o. 
 Đường tròn nội tiếp trong ΔKLM tiếp xúc với KM tại A. Tính độ dài đoạn 
AL nếu AK = 10, AM = 4, L = 60o. 
 Cho ΔABC với B = 60o, AB + BC = 11cm (AB > BC). Bán kính đường tròn 
nội tiếp trong ΔABC là 2:3 cm. Tính độ dài đường cao AH. 
 Cho ΔABC cân tại A với A = α. Đường tròn tâm trên BC bán kính r tiếp xúc 
với các cạnh AB, AC. Tiếp tuyến tại 1 điểm trên đường tròn cắt AB, AC tại M, 
N với MN = 2b. Tính BM, CN. 
 Cho ΔABC, đường tròn nội tiếp trong tam giác tiếp xúc với cạnh BC tại M. 
Tính độ dài 2 cạnh AB, AC nếu BM = 6cm, MC = 8cm và bán kính đường tròn 
nội tiếp là 4cm. 
£}. Định Lí Hàm Số Sin 
 Chứng minh nếu một tam giác có a:cosA = b:cosB thì tam giác đó cân. 
 Chứng minh trong ΔABC: 
a(sinB – sinC) + b(sinC – sinA) + c(sinA – sinB) = 0. 
 ΔABC cân tại A với A = 30o, AB = AC = 5cm. Đường thẳng qua B và tâm 
O đường tròn ngoại tiếp ΔABC cắt AC tại D. Tính BD. 
 Cho ΔABC, đường tròn bán kính r qua A, B cắt BC tại D. Tìm bán kính 
đường tròn qua 3 điểm A, D, C nếu AB = c, AC = b. 
 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tìm bán kính đường tròn đi qua trung điểm 
cạnh AB, tâm hình vuông và đỉnh C. 
 Trong đường tròn bán kính R kẻ hai dây cung MN, PQ vuông góc. Tính 
khoảng cách MP nếu NQ = a. 
 Trong ΔABC với BC = a, A = α, B = β. Tìm bán kính đường tròn tiếp xúc 
với AC tại A và tiếp xúc với BC. 
 Cho ΔABC với BC = a, B = β, C = γ. Đường phân giác góc A cắt đường 
tròn ngoại tiếp ΔABC tại K. Tính AK. 
£~. Độ dài trung tuyến 
 Trong ΔABC với M là trung điểm cạnh AB. Tính CM nếu AC = 6, BC = 4, 
C = 120o. 
 Cho đ.tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên AB lấy 2 điểm M, N sao cho 
AM = MN = NB. Chứng minh với mọi điểm P trên đường tròn PM2 + PN2 
không đổi. 
Vũ Mạnh Hùng - 3 - 
 Cho tứ giác ABCD với AB = a, BC = b , CD = c. Phân tích CA, DB, DA 
theo a, b, c. 
 Cho hình bình hành ABCD với H là trung điểm của AD, F và M là 2 điểm 
trên BC sao cho BF = MC = BC. Phân tích theo a = AB và b  = AD các vectơ 
AM, MH, AF . 
 Cho hình bình hành ABCD tâm O với H là trung điểm của OD, AH cắt CD 
tại F. Phân tích BD, AC, BH, AH, AF  theo a = AB và b = AD. 
 Trong hình thang ABCD tỉ số độ dài 2 cạnh đáy AD và BC bằng m. Đặt AC 
= a và BD = b . Phân tích theo a và b các vectơ AB, BC, CD, DA. 
 Cho hình thang ABCD đáy AB và CD, đường trung bình MP và O là trung 
điểm của MP với AB = a, CD = b , AD = c. Phân tích theo a, b , c các vectơ BC, 
AO, DO, OC và MP . 
 Cho ΔABC với AB = 10cm, BC = 8cm, CA = 5cm. Đường tròn nội tiếp 
trong ΔABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA tương ứng tại M, N, P. 
 ¬. Tìm độ dài các đoạn AM, BN, CP. 
 −. Nếu CN = a, AP  = b . Phân tích BA theo a và b. 
 Cho tứ giác ABCD với AB = b , AC = c, AD = d . 
 ¬. Phân tích BC, CD, DB theo b, c, d. 
 −. Gọi Q là trọng tâm của ΔBCD. Phân tích AQ theo b , c, d. 
Cho ΔABC với AB = a, AC = b . Gọi P, Q, R là 3 điểm sao cho BP = 2BC, 
AQ = AC, AR = AB. Phân tính theo a , b các vectơ RQ và RP . Suy ra P, Q, 
R thẳng hàng. 
 Cho 3 vectơ khác 0 từng cặp không cùng phương a, b, c. 
 Tính a + b  + c nếu a + b  và c cùng phương, b + c và a cùng phương. 
 Trong ΔABC cho các điểm M, N sao cho AM = αAB, CN = βCM. 
 Đặt a = AB, b  = AC. Phân tích AN và BN theo a và b. 
 Trong ΔABC lấy 2 điểm M, N sao cho AM = αAB và AN = βAC. 
 ¬. Tìm quan hệ giữa α và β để MN và BC cùng phương. 
 −. Nếu α và β chọn sao cho MN và BC không cùng phương. Đặt BC = a, 
MN = b , phân tích AB và AC theo a và b . 
 Cho hình thang cân ABCD đáy AB = a, cạnh xiên AD = b , góc giữa AB và 
AD là 60o. Phân tích theo a và b các vectơ DC, CB, AC, DB. 
- 4 - Vectơ 
 Trên đường thẳng  cho 3 điểm P, Q, R và trên đường thẳng m cho 3 điểm 
P, Q , R sao cho PQ = kQR, PQ = k QR. Chứng minh rằng trung điểm của 
các đoạn PP, QQ, RR nằm trên 1 đường thẳng. 
 Cho ΔABC. Trên các đường thẳng BC, CA, AB cho tương ứng các cặp điểm 
(A1, A2), (B1, B2), (C1, C2) sao cho A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. Chứng minh rằng: 
BC:A1A2 = CA:B1B2 = AB:C1C2. 
Trong ΔABC kẻ đường phân giác CC (C là chân đường phân giác). Phân 
tích CC theo CA và CB. 
 Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp trong ΔABC. Chứng minh rằng : 
BC.IA + CA.IB + AB.IC = 0. 
 Cho ΔABC, tìm tập hợp các điểm M sao cho: 
 ¬. MA+MB+MC = MB – MC. −. 2 MA+MB– MC = MA + MB. 
 Cho hình bình hành ABCD và k > 0. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 
 ¬. MA + MB + MC + MD = k2. −. MA + MB + MC + 3 MD = k. 
ú 
 Cho hình lục giác đều ABCDEF. 
 ¬. Biểu diễn các vectơ AC, AD, AF , EF qua các vectơ u = AB, v  = AE . 
 −. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 
|MA + MB + MC + MD| = 3|MA – MD| 
 ®. Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 
|MA + MB + MC| + |MD + ME + MF | 
đạt giá trị nhỏ nhất. 
 Cho ΔABC trung tuyến CM. Đường thẳng CM cắt các đường thẳng BC, 
CA, AB tương ứng tại A, B, C. Chứng minh: AC+ BC= CA + CB. 
 Tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC, BD vuông góc cắt nhau tại M nội tiếp 
trong đường tròn (O). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh 
rằng IMJO là hình bình hành. 
 Cho ΔABC trọng tâm G. Phân tích AG theo a = AB, b  = AC. 
 Cho hình bình hành ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh CB, 
CD. Tính AC nếu AM = a, AN = b . 
 Cho hình bình hành ABCD, gọi M và N lần lượt là 2 điểm sao cho CM = 
CB, CN = CD. Tính AC, AB, AD nếu AM = a, AN = b . 
Vũ Mạnh Hùng - 13 - 
Hệ thức lượng trong tam giác 
 a, b, c: độ dài các cạnh đối diện các đỉnh A, B, C. 
 ha, hb, hc: độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C. 
 ma, mb, mc: độ dài các trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C. 
 R, r: bán kính các đường tròn ngoại, nội tiếp ΔABC. 
 p = (a + b + c): nửa chu vi. 
S: diện tích tam giác. 
 ƒ Định lí cosin: a2 = b2 + c2 – 2bccosA 
 ƒ Định lí sin: R2
Csin
c
Bsin
b
Asin
a === 
 ƒ Độ dài trung tuyến: 
4
a
2
cbm
222
2
a −+= . 
Chú ý: Từ công thức tính độ dài trung tuyến: AB2 + AC2 = 2AM2 + 
2
BC2 
trong đó M là trung điểm của BC. 
 ƒ Diện tích tam giác: 
 ¬. S = aha = bhb = chc −. S = absinC = acsinB = bcsinA 
 ®. S = 
R4
abc ¯. S = pr °. S = p(p –a)(p – b)(p – c) (công thức Héron) 
£|. Định Lí cosin: 
 Giả sử a và b là độ dài cạnh hình bình hành, d1, d2 là độ dài hai đường chéo. 
Chứng minh d 1 + d2 = 2(a2 + b2). 
 Chứng minh trong ΔABC nếu a = 2bcosC thì tam giác đó cân. 
 Trong ΔABC biết AC = 13cm, AB + BC = 22cm, B = 60o. Tính AB, BC. 
 Trong ΔABC biết AB = 3cm, AC = 5cm, A = 120o. Tính độ dài đường phân 
giác trong BD và các đoạn AD, CD. 
 Trong ΔABC biết B = 120o, AB = 6cm, AC = 10cm. Tính BC. 
 Tính độ dài phân giác trong của góc A trong ΔABC biết BC = 18cm, AC = 
15cm, AB = 12cm. 
 Cho ΔABC đều cạnh a. Trên các đoạn BC và AB lấy lần lượt hai điểm D, E 
sao cho BD = a, AE = DE. Tính CE. 
 Cho tứ giác lồi ABCD với E, F, H, G lần lượt là trung điểm của AB, BC, 
CD, DA và O là giao điểm của EH, FG. Tìm độ dài các đường chéo của tứ giác 
ABCD nếu EH = a, FG = b, FOH = 60o. 
- 12 - Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ & Ứng Dụng 
 Cho ΔABC với A(5;0), B(0;1), C(3;3). Tìm các góc trong của tam giác. 
 Cho ΔABC với A(1;1), B(0;2), C(2;–1). Trong các góc trong của tam giác 
có góc tù không ? 
 Trong mpOxy lập phương trình tập hợp những điểm M cách đều 2 điểm 
A(3;–1), B(–3;5). 
 Trong mpOxy cho 2 điểm A(2;2), B(5;–3). Lập phương trình tập hợp các 
điểm M sao cho MA. MB = AB2. 
 Cho A(–2;1), B(4;–2). 
 ¬. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA:MB = 1:2. 
 −. Tìm tập hợp tâm của những đường tròn đi qua A, B. 
 Cho 2 điểm A(3;–2), B(– 4;3). 
 ¬. Lập phương trình đường tròn (C) đường kính AB. 
 −. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) tại A. 
 Cho đường tròn tâm I(–3;2) và điểm A(1;1) trên đường tròn. Lập phương 
trình tiếp tuyến với đường tròn tại A. 
 Lập phương trình tập hợp những điểm M sao cho MA. MB = 2MI2 trong đó 
A(0;5), B(– 4;3) và I là trung điểm đoạn AB. 
 Cho 3 điểm A(3;–5), B(–3;3), C(–1;–2). 
 ¬. Chứng minh rằng A, B, C là các đỉnh của 1 tam giác. Tìm toạ độ điểm D 
sao cho ABDC là hình bình hành. 
 −. Tìm toạ độ điểm E sao cho AE = 2AB – 3AC. 
 ®. Tính chu vi và diện tích ΔABC. 
 ¯. Tìm toạ độ trọng tâm G, toạ độ trực tâm H của ΔABC, toạ độ tâm I của 
đường tròn ngoại tiếp ΔABC. Chứng minh I, H, G thẳng hàng. 
 °. Tìm giao điểm của đường phân giác ngoài góc A với BC. 
 Cho 2 điểm A(1;3), B(3;1). Tìm toạ độ điểm C sao cho ΔABC đều. 
 Cho ΔABC vuông tại A, với AB = 3a, AC = 4a. Gọi M, N là 2 điểm sao cho 
BM = BA, BN = BC. Tìm trên CA điểm K sao cho BK  MN. 
& 
Vũ Mạnh Hùng - 5 - 
 Cho ΔABC, gọi M, N là 2 điểm sao cho AB = –3 AM, AN = 3NC, I và J lần 
lượt là trung điểm của đoạn MN và BC. 
 ¬. Phân tích AI, IJ theo a = AB, b  = AC. 
 −. Phân tích AB, AC theo m = IJ, n  = MN. 
 Cho đường tròn tâm O và 2 dây cung AB, CD vuông góc và cắt nhau tại E. 
 ¬. Chứng minh rằng: OA + OB + OC + OD = 2OE. 
 −. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh rằng OIEJ là 
hình bình hành. 
 ®. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA + MB + MC + MD = 2a (a > 0) 
 Từ 1 điểm M ngoài đường tròn tâm O, kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với đường 
tròn. Phân tích MO theo a = MA và b = MB nếu AMB = 2α. 
 Cho hình bình hành ABCD, gọi M, N là 2 điểm sao cho MB = –2MA, ND = 
CD, G là trọng tâm ΔBMN. Đặt AB = b , AC = c. 
 ¬. Tính AN theo b và c. −. Tính AG theo b và c. 
 ®. Nếu I là 1 điểm sao cho BI = kBC. Xác định k để A, G, I thẳng hàng. 
 Cho ΔABC trọng tâm G, P là 1 điểm sao cho AP =kAB. Đặt AB = b, AC = c 
 ¬. Tính CP theo b, c, k. Định k để C, P, G thẳng hàng. 
 −. Tìm tập hợp các điểm M sao cho 4MA + MB + MC = MB – MC. 
 Cho ΔABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AM và P là điểm sao 
cho CM = 3 CP 
 ¬. Chứng minh rằng NB + 5NC = 6NP. 
 −. Gọi K là điểm sao cho AK = kAB. Tính PK, NK theo b = AB và c = AC. 
Định k để N, K, P thẳng hàng. 
 Cho hình bình hành ABCD, gọi M và N lần lượt là 2 điểm sao cho CM = 
CB, CN = CD. 
 ¬. Tính AM, AN theo b = AB và c = AC. 
 −. I, J là 2 điểm sao cho CI = αCD, BJ = βBI. Định α, β sao cho J là trọng 
tâm ΔAMN. 
 Cho ΔABC, M và N là 2 điểm sao cho BM = 2BC – AB, CN = kAC – BC. 
 ¬. Định k để C, M, N thẳng hàng. 
 −. Định k để MN qua trung điểm I của AC. Tính IM:IN. 
 Cho ΔABC, E và F là 2 điểm sao cho EC = – 2EA, FA = – 2FB. 
- 6 - Vectơ 
 ¬. Tính EF theo b = AB và c = AC. 
 −. I là trung điểm của EF, AI ∩ BC = K. Xác định điểm K và tính AI:AK. 
 Cho ΔABC và v = 3MA – 2MB – MC với M là điểm bất kì. 
 ¬. Chứng minh rằng v là vectơ không đổi. 
 −. Dựng AD = v. AD cắt BC tại E, chứng minh rằng 2EB + EC = 0. 
 ®. Dựng MN = v . Gọi P là trung điểm của CN, chứng minh rằng MP đi qua 
1 điểm cố định khi M thay đổi. 
÷ 
Trục Toạ Độ & Hệ Trục Toạ Độ 
| Trục toạ độ (trục, trục số): 
 ’ Trục là 1 đường thẳng trên đó có xác định 1 điểm O và 1 vectơ đơn vị i, kí 
hiệu (O,i). Trục còn được kí hiệu là xOx hoặc Ox. 
 ’ Toạ độ của điểm và vectơ trên trục: 
 + x là toạ độ của điểm M  OM = x.i . 
 + a là toạ độ của a  a = a.i. 
 ’ Độ dài đại số của AB trên trục, kí hiệu AB, là toạ độ của AB: AB = AB.i 
AB = | AB | n u AB i
| AB | n u AB i
⎨−⎩
JJJG JJJG G
JJJG JJJG GÆ
Æ

 
 ’ Hệ thức Chasles: AB + BC = AC. 
} Hệ Trục toạ độ: 
 ’ Toạ độ điểm và vectơ: 
 + M(x;y)  OM = x.i  + y.j. + a = (a1;a2)  a = a1.i + a2.j. 
Trong đó i = (1;0), j = (0;1) lần lượt là các vectơ đơn vị t