Bài tập Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 
*************** 
Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C trên nửa 
đường tròn. Gọi D là một điểm trên đường kính AB, qua D kẻ đường 
vuông góc với AB cắt BC tại F, cắt AC tại E. Tiếp tuyến của nửa đường 
tròn tại C cắt EF tại I. Chứng minh: 
a) I là trung điểm của EF. 
b) Đường thẳng OC là tia tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam 
giác ECF. 
HD: a) CI là tiếp tuyến của (O) nên CO
CI  90oICO  
Lại có ACO là góc chắn nửa đường tròn 
nên 90oACO  . 
Ta có ICB CAB (góc tạo bởi tia tiếp tuyến 
và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 
cung CB). 
Mà CAB DFB (cùng phụ với FBA) 
CAB CFE  ( DFB ). 
 ICF CFE CAB   CIF là tam giác cân tại C CI=IF (hai cạnh 
tương ứng). 
CM tương tự ta có CEI là tam giác cân tại I  CI=IE (hai cạnh tương 
ứng). 
CI=IE=IF. 
Mà CEI là tam giác vuông tại C CI là đường trung tuyến của tam 
giác hay I là trung điểm của EF (đpcm). 
b) CEI là tam giác vuông tại C có I là trung điểm của cạnh huyền 
EF nên O là tâm của đường tròn ngoại tiếp CEI. 
Mà OC IC (gt) nên OC là tiếp tuyến của đường tròn (I) hay OC là 
tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp CEI (đpcm). 
Bài 2: Cho đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh Ax và Ay của góc xAy lần 
lượt ở B và C. Đường thẳng kẻ qua C song song với Ax cắt (O) tại D. 
AD cắt (O) tại M, CM cắt AB ở N. Chứng minh: 
a) ANC đồng dạng với MNA. 
b) AN = BN. 
HD: Ta có CD//Ax (gt) 
 ADC DCy (hai góc so le trong). 
Mà ADC là góc nội tiếp chắn cung 
CM; DCy là góc tạo bởi tiếp tuyến 
và dây cung chắn cung CD 
CD CM (t/c). 
Lại có ACM là góc tạo bởi tiếp 
tuyến và dây cung chắn cung CM 
 ACM DMC . 
 ACM NMA ( DMC ). 
ANC MNA(g-g) (đpcm). 
Bài 3: Cho đường tròn (O) và điểm C nằm bên ngoài đường tròn (O). 
Qua C kẻ hai tiếp tuyến CA và CB với (O). Vẽ đường tròn (O’) đi qua C 
và tiếp xúc với AB tại B cắt (O) ở M. Chứng minh rằng AM đi qua trung 
điểm của BC. 
Bài 4: Cho (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung ngoài MN 
(M thuộc (O), N thuộc (O’); M, A, N cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ 
OO’) cắt đường nối tâm OO’ tại I. Chứng minh AI là tiếp tuyến của 
đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. 
Bài 5: Cho (O;R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên 
tia đối của tia CO lấy điểm S. SA cắt đường tròn tại M, tiếp tuyến của 
đường tròn ở M cắt CD tại P, BM cắt CD tại T. Chứng minh: 
a) PT.MA = MT.OA. 
b) PS = PM = PT. 
c) Biết PM = R, tính TA.SM theo R. 
HD: a) Ta có: OAM CMT (góc nội 
tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây 
cung cùng chắn cung AB). 
OAM AMO (OAM cân tại O). 
OTB MAO (cùng phụ với BOT ). 
 AMO CTM ( OTB ). 
OMA PMT(g-g). 

OA MA
PM MT
 (các cặp cạnh tương 
ứng) 
Hay PM.MA=MT.OA (đpcm). 
b)PMT là tam giác cân đỉnh P (
PMC PTM ). 
Chứng minh tương tự ta có SPC 
cân tại P. 
PS=PM=PT (đpcm). 
c)CD là đường trung trực của AB mà T thuộc AB nên TA=TB 
TAB TBA (t/c) 
Ta có OAT MST(g-g) 
OA AT
MS ST
 hay OA.ST=AT.MS 
AT.MS=OA.2.PM=2R
2
. 
Bài 6: Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc 
với đường tròn ở A, qua T trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến TM với 
đường tròn. Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M 
trên AB và đường thẳng d. Chứng minh: 
a) Các đường thẳng AM, PQ và OT đồng quy tại I. 
b) MA là tia phân giác của góc QMO và góc TMP. 
c) Các cặp tam giác AIQ và ATM; AIP và AOM là các cặp tam giác 
đồng dạng. 
HD: a) d là tiếp tuyến của (O) tại A 
nên OAT 90o . 
Suy ra tứ giác AQMP là hình chữ 
nhật.  QP và AM là hai đường 
chéo cắt nhau tại trung điểm I của 
mỗi đường. 
Ta có TM và TA là hai tiếp tuyến 
cắt nhau tại T  TOAM tại trung 
điểm của AM. 
TO, AM và QP cắt nhau tại I. 
b)Ta có: QMA MAO (hai góc so le 
trong). 
AMO MAO (AMO cân tại O). 
  AMO QMA MAO  
AM là phân giác của góc QMO 
(đpcm). 
Chứng minh tương tự ta có AM là phân giác của góc TMP (đpcm). 
c)AIQ cân tại I QAI IQA  . 
ATM cân tại T QAM TMA  . 
AIQ ATM (g-g) (đpcm). 
Chứng minh tương tự ta có AIP AOM (g-g) (đpcm). 
Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC 
tại P. 
a) Chứng minh PAC đồng dạng với PBA. 
b) PA
2
=PB.PC và MB
2
=MA.MD. 
c) Tia phân giác trong của góc A cắt BC tại D và (O) tại M. Chứng 
minh AD
2
=AB.AC-BD.DC. 
HD: a) Ta có ABC CAP (góc nội tiếp 
và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung 
cùng chắn cung AC). 
PAC PBA(g-g) (đpcm). 
b)Ta có: PAC PBA (cmt) 

PA PC
PB PA
 hay PA
2
=PB.PC (đpcm). 
Chứng minh tương tự ta được: 
 MB
2
=MA.MD. 
Bài 8: Từ điểm C ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến CA, CB với 
đường tròn (O). Đường tròn tâm K đi qua B, C và tiếp xúc với AB tại B 
cắt (O) tại B và M. 
a) Chứng minh đường thẳng AM đi qua trung điểm I của BC. 
b) Chứng minh KCB đồng dạng với OAB. 
Bài 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), At là tiếp tuyến của 
(O). Đường thẳng qua O song song với At cắt AB và AC lần lượt tại M 
và N. Chứng minh AB.AM=AC.AN. 
HD: Ta có NAt ABC (góc tạo bởi tiếp 
tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng 
chắn cung AC). 
Lại có ANM NAt (hai góc so le trong). 
 ANM ABC (= ANt ). 
ABC ANM (g-g). 

AB AC
AN AM
 (hai cặp cạnh tương ứng). 
Hay AB.AM=AC.AN (đcmp). 
Bài 10: Cho đường tròn (O), dây MN và tiếp tuyến Mx. Trên Mx lấy 
điểm T sao cho MT=MN. Tia TN cắt (O) tại S. Chứng minh: 
a) SM=ST. 
b) TM
2
=TN.TS. 
HD: a) Ta có MT=MN(gt) nên MNT 
cân tại M  NTM TNM (2 góc kề đáy). 
Mà TMS TNM (góc tạo bởi tiếp tuyến và 
dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung 
SM). 
 STM SMN ( SNM ). 
STM cân tại S ST=SM (đpcm). 
b)Ta có STM MTN(g-g). 

TS TM
MT TN
 
 hay TM
2
=TN.TS(đpcm).