Bài tập Giải tích 12 - Cực trị của hàm số

Giải Tích 12 Chương 1: Khảo Sát Hàm Số 
Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 1 
BÀI: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
I. LÝ THUYẾT: 
1. Tìm Các Điểm Cực Trị Của Hàm Số: 
 Quy tắc 1: 
+ Tìm miền xác định. Tính '( )f x . 
+ Tìm các điểm tại đó '( )f x bằng 0 hoặc '( )f x không xác định. 
+ Lập BBT suy ra các điểm cực trị. 
 Quy tắc 2: 
+ Tìm miền xác định. Tính '( )f x . 
+ Giải phương trình '( ) 0f x  và kí hiệu ix  1,2,...i  là các nghiệm của nó. 
+ Tính ''( )f x và tính ''( )if x 
+ Dựa vào dấu của ''( )if x suy ra tính chất cực trị 
  Nếu ''( ) 0if x  thì hàm số đạt CĐ tại ix 
  Nếu ''( ) 0if x  thì hàm số đạt CT tại ix 
 Chú ý: Chỉ sử dụng QT2 trong trường hợp: việc xét dấu y’ phức tạp, bài toán 
không đòi hỏi sự biến thiên  
  Hàm số đạt cực trị tại  0 0 0,M x y 
 
 
0 0
0' 0
(*)


 


y x y
y x , (*): y’ đổi dấu khi x đi qua 0x . 
2. Xét cực trị của hàm số có chứa tham số: 
 Hàm số không có cực trị ' 0 y vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. 
 Hàm số có hai cực trị ' 0 y có hai nghiệm phân biệt 
'
0
0

 
  y
a
 Hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của Oy 0 
c
a
 Hàm số có hai cực trị nằm về hai phía của Ox  yCĐ.yCT 0 
 Hàm số đạt cực trị tại 0x khi  0' 0y x . 
 Hàm số đạt cực đại tại 0x khi 
 
 
0
0
' 0
'' 0



y x
y x
 Hàm số đạt cực tiểu tại 0x khi 
 
 
0
0
' 0
'' 0



y x
y x
 Chú ý: Nếu là hàm số hữu tỉ thì phải thử lại bằng Bảng biến thiên. 
Giải Tích 12 Chương 1: Khảo Sát Hàm Số 
Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 2 
II. BÀI TẬP: 
Bài 1. Tìm các điểm cực trị (nếu có) của các hàm số sau: 
a) 3 22 3 36 10y x x x    
b) 4 22 3y x x   
c) 
1
y x
x
  
d) 3 2(1 )y x x  
e) 2 1y x x   
Bài 2. Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: 
a) 
1
3



x
y
x
b) 
1
3



x
y
x
c) 
2 2 1
1
 


x x
y
x
d) 
2 3 6
2
  


x x
y
x
Bài 3. Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: 
a) 
2
2
4 6


 
x
y
x x
b) 24 y x x 
c) 22 3  y x x 
d) 2
3
4 3
2
 
     
 
y x x x 
e) 
2 20
1



x
y
x
Bài 4. Áp dụng quy tắc II tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: 
a) 4 22 1y x x   
b) siny x x  
c) sin cosy x x  
d) 5 3 2 1y x x x    
e) 3 2cos cos 2  y x x 
f) 2sin 2 3 y x 
g) 6 6sin cos
4 4
 
x x
y
Bài 5. Tìm m để các hàm số sau có cực trị: 
a) 3 23 2  y x mx 
b)  3 23 1 1    y mx x m x 
c)    3 23 1 3 2 4     y x m x m x m 
d) 
 2 1 1
1
  


x m x
y
mx
e) 
 2 22 1 3    


x m x m m
y
x m
Bài 6. Tìm m để hàm số: 
a)  4 21 1 2    y mx m x m chỉ có một điểm cực trị. 
b)  4 3 24 3 1 1    y x mx m x chỉ có một cực trị. 
c)  4 2 29 10   y mx m x có 3 điểm cực trị. 
d)    
3
22 1 9 1
3
     
x
y m x m x đạt cực tiểu tại 2x . 
e) 3 2 22 2 3    y mx x m x m đạt cực đại tại 1x . 
f) 
2 1 


x mx
y
x m
 đạt cực tiểu tại 1x . 
g)   4 2 41 2 2    y m x mx m m đạt cực đại tại 2x . 
Giải Tích 12 Chương 1: Khảo Sát Hàm Số 
Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 3 
h) 
 2 1 3 2   


x m x m
y
x m
 đạt cực đại tại 1 x 
Bài 7. 
a) Tìm a và b để các cực trị của hàm số 2 3 2
5
2 9
3
y a x ax x b    đều là những số dương 
và 0
5
9
x   là điểm cực đại. 
b) Tìm a; b; c để hàm số 3 2y x ax bx c    đạt cực tiểu = -1 tại x = 3 và đi qua A(1; 3). 
c) Tìm a; b; c để hàm số 4 2y ax bx c   đạt cực trị = -9 tại 3x  và đi qua điểm gốc tọa 
độ O. 
d) Tìm a; b để hàm số 
2
1
x ax b
y
x
 


 đạt cực trị = -6 tại x = -1. 
e) Tìm a; b; c; d để hàm số 3 2y ax bx cx d    đạt cực tiểu tại x = 0, (0) 0f  và đạt cực 
đại tại x = 1, (1) 1f  . 
Bài 8. Tìm m để hàm số: 
a) 3 2
1
( 6) 1
3
y x mx m x     có hai điểm cực trị đều dương. 
b) 3 23y x mx m   có hai cực trị trái dấu. 
c) 3 2
1
2 ( 3) 2 3
3
y mx x m x m      đạt cực trị tại 1 2,x x thỏa: 1 2 1 22 3x x x x   . 
d) 3 2
1
1
3
y x mx mx    đạt cực trị tại 1 2,x x thỏa: 1 2 8x x  
e) 3 2 33 4y x mx m   có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng 
y x . 
f) 
2 2 3
2
x x m
y
x
  


 đạt cực đại, cực tiểu tại 1 2,x x thỏa: 
2 2
1 10xx x  . 
g) 
2 2x mx m
y
x m
 


 có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục Oy. 
h) 
2( 1)x
y
x m



 có cực đại, cực tiểu và 8CD CTy y  . 
i) 
2 1x
y
x m



 có hai điểm cực trị đối nhau. 
j) 3 23 2y x mx    có hai cực trị đối nhau. 
Bài 8. Cho  mC là đồ thị hàm số 
 2 1 1
1
   


x m x m
y
x
, chứng minh rằng với mọi m, đồ 
thị  mC luôn có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . 
Bài 9. Chứng minh rằng với mọi tham số m hàm số:    3 22 3 2 1 6 1 1     y x m x m m x 
luôn có cực đại và cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu của 
đồ thị hàm số không đổi.