Bài tập Đại số 7

 Chương I
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC
§1. NHÂN ĐA THỨC
I.Lý thuyết
Phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức được thức hiện như sau:
A(B+C)=A.B+A.C
(A+B)(C+D)=A.C+A.D+B.C+B.D
II.Bài tập
Bài 1. Rút gọn biểu thức:
2y-x-2x-y-y+3x-(5y-x)
Với x=a2+2ab+b2, y=a2-2ab+b2.
LG: rút gọn theo x và y, được x-y. Sau đó rút gọn theo a và b, được 4ab.
Bài 2. Thực hiện phép tính:
3xn4xn-1-1-2xn+16xn-2-1.
LG: 
Bài 3. Rút gọn các biểu thức:
10n+1-6.10n;
90.10k-10k+2+10k+1;
2,5.5n-3.10+5n-6.5n-1.
LG: 
Bài 4.
Chứng minh rằng 210+211+212 chia hết cho 7.
Viết 7.32 thành tổng của ba lũy thừa cơ số 2 với các số mũ là ba số tự nhiên liên tiếp.
LG:
 chia hết cho 7
Bài 5. Tính 31117.1119-4117.5118119-5117.118+839 .
LG: Đặt , ta có :
Bài 6. Tính giá trị x15-8x14+8x13-8x12+-8x2+8x-5 với x=7
LG: Thay 8 bằng x+1. Đáp số:2
Bài 7. Rút gọn (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).
 LG: 
Bài 8. Chứng minh hằng đẳng thức:
(a2+b2+c2-ab-bc-ca)(a+b+c)
=aa2-bc+bb2-ac+cc2-ab.
LG: Cả hai vế đều bằng 
Bài 9. Chứng minh hằng đẳng thức :
100+a100+b=100+a+b.100+ab.
Từ đó suy ra quy tắc nhân nhẩm hai số nhỏ hơn 100 một chút.
LG:
 Gọi x là số bất kỳ lớn hơn 100, ta gọi hiệu x-100 là phần hơn. Muốn nhân hai số lớn hơn 100 một chút, ta lấy số này cộng với phần hơn của số kia, rồi viết tiếp vào sau tích của hai phần hơn (bằng hai chữ số). Ví dụ:112.103=11536;
102.104=10608.
Bài 10. Hãy xây dựng quy tắc nhân nhẩm hai số nhỏ hơn 100 một chút dựa vào hằng đẳng thức:
100-a100-b=100-a-b.100+ab.
LG: 
 Gọi x là số bất kỳ nhỏ hơn 100, ta gọi hiệu 100-x là phần bù. Muốn nhân hai số nhỏ hơn 100 một chút, ta lấy số này trừ đi phần bù của số kia, rồi viết tiếp vào sau tích của hai phần bù (bằng hai chữ số). Ví dụ: 98.94=9212.
Bài 11. Rút gọn biểu thức x+a(x+b)(x+c)
Biết rằng a+b+c=6
 ab+bc+ca=-7
 abc=-60.
LG:
 x+ax+bx+c=(x2+bx+ax+ab)(x+c)
=x3+cx2+bx2+bcx+ax2+acx+abx+abc
=x3+a+b+cx2+ab+bc+cax+abc
=x3+6x2-7x-60.
§2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
I.Lý thuyết
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ được học trong chương trình cho ta kết quả cuối cùng của các phép nhân đa thức với đa thức:
a+b2=a2+2ab+b2 (1) 
a-b2=a2-2ab+b2 (2)
a+ba-b=a2-b2 (3)
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (4)
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b2 (5) 
a+ba2-ab+b2=a3+b3 (6)
a-ba2+ab+b2=a3-b3 (7)
Các công thức (4) và (5) còn viết dưới dạng:
(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b) 
(a-b)3=a3-b3-3ab(a-b) 
Từ công thức (1) suy ra công thức bình phương của một đa thức :
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
II.Bài tập
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC (1), (2), (3), (4)
Bài 12 . Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:
1272+146.127+732;
98.28-(184-1)(184+1);
1002-992+982-972++22-12
202+182+162++42+22-(192+172+152++32+12); 
7802-22021252+150.125+752
LG:
100+99100-99+98+9798-97++(2+1)(2-1)
=100+99+98+97++2+1=5050.
Biến đổi thành rồi giải như bài toán trên. Đáp số: 210
Bài 13. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn ?
A=1989.1991 và B=19902;
A=x-yx+y và B=x2-y2x2+y2 với x>y>0;
A=3+132+134+138+1316+1và B=332-1
LG:
Đặt 1990=x thì A=x-1x+1=x2-1, còn B=x2. Vậy B lớn hơn A là 1.
 (vì x>y>0).
 nên vậy B lớn gấp đôi A.
Bài 14. Rút gọn các biểu thức:
5(2x-1)2+4x-1x+3-2(5-3x)2;
2a2+2a+12a2-2a+1-(2a2+1)2;
(9x-1)2+(1-5x)2+2(9x-1)(1-5x);
(x2-5x+1)2+25x-1x2-5x+1+(5x-1)2;
LG:
6x2+48x-57
Đặt 9x-1=a, 1-5x=b, biểu thức trở thành 
Giải như bài toán trên. Đáp số : 
Bài 15. Rút gọn biểu thức:
a2+b2-c22-a2-b2+c22;
a+b+c2+a+b-c2-2a+b2;
a+b+c2+a-b+c2+a+b-c2+b+c-a2.
LG: 
Áp dụng ta được :
Bài 16. Chứng minh cacs hằng đẳng thức:
a2-b22+2ab2=a2+b22;
a2+b2c2+d2=ac+bd2+ad-bc2;
ax+b2+(a-bx)2+c2x2+c2=(a2+b2+c2)(x2+1);
12a+b+ca-b2+b-c2+c-a2=a3+b3+c3-3abc;
10002+10032+10052+10062=10012+10022+10042+10072.
LG: e) Xét vế trái và vế phải:
Bài 17. Cho 10a2=10b2+c2. Chứng minh rằng:-
7a-3b+2c7a-3b-2c=(3a-7b)2.
LG: Biến đổi vế trái thành rồi thay 
Bài 18. Cho a+b+c=2p. Chứng minh rằng :
2bc+b2+c2-a2=4p(p-a):
(p-a)2+(p-b)2+(p-c)2=a2+b2+c2-p2.
LG: a) Biến đổi vế phải thành
 bằng vế trái.
Bài 19. Viết đa thức x2+3x+2 dưới dạng đa thức của x-1.
LG: 
Bài 20. Hiệu các bình phương của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36. Tìm hai số ấy.
LG: Gọi hai số chẵn liên tiếp là x và x+2(x chẵn). Ta có:
(x+2)2-x2=36, suy ra x=8.
Đáp số : 8 và 10.
Bài 21. Hiệu các bình phương của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40. Tìm hai số ấy.
LG: 9 và 11.
Bài 22. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích của từng cặp hai số trong ba số ấy bằng 74.
LG: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là x-1, x, x+1.
Ta có suy ra , mà nên .
Đáp số: 4, 5, 6.
Bài 23. Tổng ba số a, b, c bằng 9, tổng các bình phương của chúng bằng 53.
Tính ab+bc+ca.
LG:Áp dụng 
Đáp số : .
Bài 24. Tìm x và y biết x2-2x+y2+4y+5=0 .
,do đó .
Vậy 
Bài 25. Cho a2+b2+c2-ab-bc-ca=0 . chứng minh rằng a=b=c.
LG: Biến đổi thành 
Bài 26. Cho (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=4(a2+b2+c2-ab-bc-ca).
Chứng minh rằng a=b=c.
LG: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng :
Bài 27. Tính giá trị của các biểu thức;
x2-10x+26 với x=105;
x2+0,2x+0,01 với x=0,9.
2a-5a+1-a-52+36 với a=99.
LG: 
Bài 28. Chứng minh rằng :
aa-6+10>0;
x-3x-5+4>0;
a2+a+1>0.
LG: 
Vế trái bằng 
Vế trái bằng 
Bài 29. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
x2-4x+1;
4x2+4x+11;
3x2-6x-1.
LG: 
Biến đổi Do nên . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng khi 
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 10khi .
. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng khi .
Bài 30. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
5-8x-x2;
4x−x2+1.
LG: 
.
 Do nên .
Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng 21 khi .
có giá trị lớn nhất bằng 5 khi .
Bài 31. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
x-1x+2x+3(x+6);
x2-2x+y-4y+6.
LG:
.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng -36 khi , tức là hoặc .
Biến đổi thành . 
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 1 khi 
B_CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC (4), 5), (6), (7)
Bài 32. Tính giá trị của các biểu thức:
a3+1+3a+3a2 với a=9;
x3+3x2+3x với x=19;
a3+3a2+3a+6 với a=29;
a3-3a2+3a+1 với a=101.
LG:
.
.
.
.
Bài 33. Rút gọn các biểu thức:
xx-1x+1-(x+1)(x2-x+1);
3x2x+1x-1-x2-1x4+x2+1+(x2-1)3;
(a+b+c)3+(a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3.
LG:
.
0.
. Đáp số: 24abc.
Bài 34. Tìm x biết:
6(x+1)2-2x+13+2x-1x2+x+1=1.
LG: .
Bài 35. Chứng minh các hằng đẳng thức:
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b);
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a+bb+c(c+a).
LG: học sinh tự chứng minh.
Bài 36. Cho a+b+c=0. Chứng minh rằng a3+b3+c3=3abc.
LG: Ta có nên . Do đó:
Bài 37*. Cho a+b+c+d=0. Chứng minh rằng :
a3+b3+c3+d3=3(ab-cd)(c+d)
.LG: Ta có nên .
Suy ra , tức là 
hay 
Chú ý rằng nên vế phải của đẳng thức trên bằng
.
Bài 38. Cho a+b=1. Tính giá trị của M=2a3+b3-3a2+b2
LG:
 .
§3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I.Lý thuyết.
Ba phương pháp thường dùn g để phân tích đa thức thành nhân tử:
_Đặt nhân tử chung.
_Nhóm các hạng tử. 
_Dùng hằng đẳng thức.
 Ngoài ra, để phân tích đa thức thành nhân tử, người ta còn dùng những phương pháp khác như : tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm và bớt cùng một hạng tử, đổi biến, hệ số bất định.
 II.Bài tập
Bài 39. Phân tích thành nhân tử:
x3-4x2-8x+8;
1+6x-6x2-x3;
6x3-x2-486x+81;
x4-4x2+4x-1;
x2x2+4-x2+4;
x2(x+4)2-x+42-(x2-1).
LG:
Bài 40. Phân tích thành nhân tử:
(xy+1)2-(x+y)2;
(a+b+c)2+(a+b-c)2-4c2;
4a2b2-(a2+b2-c2)2;
ab2-c2+bc2-a2+c(a2-b2);
aba+b+bcb+c+cac+a+2abc;
aba+b+bcb+c+cac+a+3abc;
ab3-c3+bc3-b3+c(a3-b3);
h*) a3b3-c3+b3c3-a3+c3(a3-b3);
k*) a(b-c)2+b(c-a)2+c(a-b)2-a3-b3-c3+4abc.
LG:
 Cách 1. 
Cách 2.
 Chú ý: 
Đáp số : 
Bài 41. Phân tích thành nhân tử:
a3+b3+c3-3abc;
(a+b+c)3-a3-b3-c3.
LG: Viết dưới dạng 
Do đó 
 Áp dụng ta có
Bài 42. Phân tích các tam thức bậc hai thành nhân tử:
x2-7x+12;
x2-5x-14;
4x2-3x-1.
LG:
Bài 43. Phân tích thành nhân tử bằng cách đổi biến để đưa về dạng tam thức bậc hai đối với biến mới:
6x4-11x2+3;
x2+x2+3x2+x+2;
xx+1x+2x+3+1;
x2-7xy+12y2;
x2-2xy+y2+3x-3y-10.
LG:
Đặt Đáp số : .
 Đặt . Đáp số .
.
Đặt , đa thức bằng 
 Viết đa thức thành 
Đáp số : 
Bài 44. Phân tích x3-7x-6 thành nhân tử bằng nhiều cách. 
LG: 
Cách 1. 
Cách 2. 
Cách 3. 
Cách 4. 
Bài 45. Phân tích thành nhân tử:
x3-5x2+8x-4;
x3-3x+2;
x3-5x2+3x+9;
x3+8x2+17x+10;
x3+3x2+6x+4.
LG:
a)Chú ý rằng đa thức có tổng các hệ số bằng 0.
b)Cách 1: Đa thức cũng có tổng các hệ số bằng 0.
Tiếp tục phân tích 
Kết quả 
Cách 2:Đa thức có nghiệm -2.
Bài 46. Phân tích thành nhân tử :
x3-2x-4;
2x3-12x2+17x-2;
x3+x2+4;
x3+3x2+3x+2;
x3+9x2+26x+24;
2x3-3x2+3x-1;
3x3-14x2+4x+3.
LG: 
a)2 là nghiệm của đa thức.
Đáp số: 
b)2 là nghiệm của đa thức . Đáp số: 
c)-2 là nghiệm của đa thức 
Cách 1. 
Cách 2. 
d)-2 là nghiệm của đa thức. Đáp số: 
e)Biến đổi đa thức thành 
Đáp số : 
g) là nghiệm của đa thức. Đáp số: 
h) là nghiệm của đa thức. Đáp số: 
Bài 47. Phân tích thành nhân tử:
x4+2x3+x2+x+1;
1+x22-4x1-x2;
x2-82+36.
LG:
Bài 48. Phân tích thành nhân tử:
x4+4;
x4+64;
64x4+1;
81x4+4.
LG: a) Thêm bớt hạng tử . Đáp số :
b)Thêm bớt . Đáp số: 
Bài 49*. Phân tích thành nhân tử:
x5+x+1;
x7+x2+1.
LG: a) Cách 1. Để “ nối” từ đến , ta thêm bớt .
Ta có :
Cách 2. Thêm bớt để làm xuất hiện nhân tử chung . Ta có :
b)Thêm bớt x. đáp số : 
Chú ý: Các đa thức dạng như : đều phân tích được thành nhân tử như ở bài trên.
Bài 50*. Phân tích thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định:
3x2-22xy-4x+8y+7y2+1;
12x2+5x-12y2+12y-10xy-3;
x4+6x3+11x2+6x+1.
LG: 
Đồng nhất với đa thức 
Đáp số: 
Đồng nhất với đa thức .
Đáp số: .
Dễ thấy đa thức không có nghiệm hữu tỉ. nên đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng hoặc 
Xét dạng thức nhất, ta được . Vậy đa thức phân tích thành 
Cũng có thể giải như sau:
Bài 51*. Tìm số nguyên a sao cho đa thức x+ax-5+2 phân tích được thành (x+b)(x+c) với b,c là số nguyên.
LG: Với mọi , ta có (1), với thì 
Vì và nguyên nên (5+b)(5+c) là tích của hai số nguyên. Số 2 chỉ viết được dưới dạng tích của hai số nguyên bằng hai cách 1.2 và(-1).(-2).
Giả sử, ta xét hai trường hợp:
1)5+b=15+c=2 Suy ra b=-4, c=-3.
Thay vào (1) được với mọi .
Với thì suy ra . Đa thức được phân tích thành 
2)5+b=-25+c=-1 Suy ra 
Thay vào (1) được với mội .
Với thì nên . Đa thức được phân tích thành
Bài 52*. Tìm số nguyên m sao cho x+mx+5+3 phân tích được thành (x+a)(x+b) với a, b là số nguyên.
LG:giải tương rụ bài trren được .
Đáp số :
Bài 53. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là một số nguyên tố:
A=n3-4n2+4n-1;
B=n3-6n2-9n-2.
LG: a) Phân tích thành nhân tử 
Nếu thì thứ tự bằng -1; 0; 1.
Nếu thì là số nguyên tố .
Nếu thì ,còn nên A là hợp số
Vậy chỉ có n=3 thì A là số nguyên tố. 
. Đáp số n=1 hoặc n=4.
Bài 54*. Trong hằng đẳng thức (x+1)3=x3+3x2+3x+1, lần lượt thay x bằng 1, 2, 3, , n rồi cộng các đẳng thức đó lại. Bằng cách đó hãy tính 
S=12+22+32++n2.
LG: Thay vào hằng đẳng thức , ta được:
Cộng các vế tương ứng của các đẳng thức trên ta được
Do đó 
Suy ra 
Bài 55*. Bằng cách tương tự như bài 54, hãy tính 
S=13+23+33++n3.
Từ đẳng thức (x+1)4=x4+4x3+6x2+4x+1.
LG: giải tương tự bài trên và áp dụng kết quả của bài trên.
Đáp số : 
§4. CHIA ĐA THỨC
I.Lý thuyết
 Đa thức A(x) gọi là chia hết cho đa thức B(x) khác 0 nếu tồn tại đa thức Q(x) sao cho Ax=Bx.Q(x).
 Với mọi cặp đa thức A(x) và B(x), trong đó B(x)≠0, tồn tại duy nhất cặp đa thức Q(x) và R(x) sao cho Ax=Bx.Qx+R(x), trong đó Rx=0 hoặc bậc của Rx nhỏ hơn bậc của B(x) . Khi đó Qx là thương và R(x) là dư của phép chia Ax cho B(x).
 Nếu Rx=0, ta được phép chia hết. Nếu R(x)≠0, ta được phép chia có dư.
 Ta cung nhắc lại ở đây rằng hai đa thức gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng giá trị với mọi giá trị của biến. Do đó nếu hai đa thức ( được viết dưới dạng thu gọn) có các hệ số tương ứng của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó bằng nhau thì hai đa thức đó bằng nhau.
II.Bài tập
Bài 56. Rút gọn các biểu thức:
4912:74;
LG: 
Đổi thành các lũy thừa cùng cơ số.
Cách 1. 
Cách 2. 
1.
.
Bài 57. Rút gọn các biểu thức:
LG: 
Bài 58. Xác định số a sao cho :
27x2+a chia hết cho 3x+2;
x4+ax2+1 chia hết cho x2+2x+1;
3x2+ax+27 chia hết cho x+5 có số dư bằng 2.
LG: a) a=-12
b)a=-2.
c) Gọi thương của phép chia của phép chia là thì với mọi x.
sau đó cho ta được 
Bài 59. Xác định số a và b sao cho :
x4+ax2+b chia hết cho x2+x+1;
ax3+bx-24 chia hết cho (x+1)(x+3);
x4-x3-3x2+ax+b chia hết cho x2-x-2 có dư là 2x-3;
2x3+ã+b chia cho x+1 dư -6, chia cho x-2 dư 21.
LG: a) Cách 1. Làm phép chia, ta được thương bằng , dư . Muốn chia hết thì đa thức dư phải đồng nhất bằng 0, tức là . Do đó .
Cách 2. Nhận xét rằng thương là đa thức bậc hai có hạng tử cao nhất là , hạng tử thấp nhất là .
Gọi thương là rồi đồng nhất với , ta được , suy ra 
b)Đáp số : 
Cách 1. Thực hiện phép chia, được thương là , dư .
Cách 2. Đồng nhất đa thức với suy ra .
Cách 3. Với mọi , ta có . Lần lượt cho .
. 
d)Với mọi , ta có (1)
 (2)
Với thì . Với x=2 thì . Do số . 
Bài 60. Không làm phép chia đa thức, hãy xác định xem đa thức 4x3-7x2-x-2 có hay không chia hết cho :
x-2;
x+2?
LG: 
 vói mọi .
Với thì nên .
Vậy chia hết cho .
Số dư của phép chia bằng -60.
Bài 61. Xác định dư của phép chia đa thức x+x3+x9+x27+x81 cho :
x-1;
x2-1.
LG: 
Dư trong phép chia cho là hằng số. Gọi thương của phép chia là , dư là , với mọi ta có 
Với thì hay .
Vậy dư của phép chia là 5.
Dư trong phép chia cho có bậc cao nhất là bậc nhất. Gọi thương của phép chia là và dư là , với mọi ta có:
.
Với thì . Với thì . Từ đó . Dư của phép chia là .
Bài 62. Chứng minh rằng (x2+x-1)10+(x2-x+1)10-2 chia hết cho x-1.
LG: Trong hằng đẳng thức ta cho , được .
Bài 63. Tìm các giá trị nguyên của x để :
Giá trị của biểu thức 2x2+x-7 chia hết cho giá trị của biểu thức x-2.
Giá trị của biểu thức 10x2-7x-5 chia hết cho giá trị của biểu thức 2x-3.
LG: 
3; 1; 5; -1.
2; 1; -2; 5.
Bài 64 tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức 25n2-97n+11 chia hết cho giá trị của biểu thức n-4.
LG: phải là ước của 23. Đáp số : 5; 3; 27.
Bài 65*. Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên nào để giá trị của biểu thức 2n3-3n2+n+3 chia hết cho giá trị của biểu thức n2-n.
LG: ta phải có là ước của 3. Điều này không xảy ra vì là số chẵn.
§5. TÍNH CHIA HẾT
I.Lý thuyết
Định nghĩa. Cho hai số nguyên a và b trong đó b ≠ 0. Ta nói a chia hết cho b nếu tìm được số nguyên q sao cho a=bq.
Các tính chất về chia hết
Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó.
Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c thì a cũng chia hết cho c (tính chất bắc cầu).
Số 0 chia hết cho mọi số b ≠ 0.
Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1.
Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a+b chia hết cho m, a-b chia hết cho m.
Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì a+b không chia hết cho m, a-b không chia hết cho m.
Hệ quả: Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m.
Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết chom.
Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn.
Hệ quả : Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn.
Nếu a chia hết cho các số nguyên dương m và n thì a hia hết cho BCNN của m và n.
Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau m và n thì a chia hết cho tích mn.
Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số củ tích chia hết cho p.
Hệ quả: Nếu an chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p.
 Nếu tích ab chia hết cho m, trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.
Các nhân xét sau cũng được dùng trong các chứng minh về chia hết: 
Trong k số nguyên liên tiếp, có một số chia hết cho k.
Khi chia số nguyên n cho số nguyên m ≠ 0, sảy ra một trong m dạng sau: n=mk, n=mk+1, n=mk+2, , n=mk+(m-1) với k nguyên
II.Bài tập
Bài 66. Chứng minh rằng tổng các bình phương của hai số lẻ thì không chia hết cho 4, hiệu các bình phương của hai số lẻ thì chia hết cho 8.
LG: Gọi hai số lẻ là và 
 không thể chia hết cho 4;
 chia hết cho 8 (chú ý rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2).
Bài 67. Chứng minh rằng số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ thì chia cho 8 dư 1 (số chính phương là bình phương của một số nguyên). 
LG: số chính phương chẵn là bình phương của một số chẵn. Ta có chia hết cho 4.
 Số chính phương lẻ là bình phương của một số lẻ. Ta có chia cho dư 1.
Bài 68. Chứng minh rằng khi chia một số chính phương cho 3, không bao giờ số dư bằng 2.
LG: Xét .
Bài 69. Chứng minh rằng :
Tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không là số chính phương.
Tổng các bình phương của bốn số nguyên liên tiếp không là số chính phương.
Tổng các bình phương của năm số nguyên liên tiếp không là số chính phương.
LG:
Xét tổng .
Xét tổng .
Xét tổng .
Ta thấy không tận cùng bằng 3, bằng 8 nên không chia hết cho 5. Do đó không là số chính phương.
Bài 70. Số có dạng n2+n+1 (n là số nguyên dương) có thể là số chính phương không ?
LG: Nhận xét với mọi n nguyên dương.
Số nằm lọt gữa hai số chính phương liên tiếp nên không phải là số chính phương.
Bài 71. Chứng minh rằng số có dạng 9n+1 không chia hết cho 4 với mọi số tự nhiên n.
LG: Biến đổi là số chính phương.
Bài 72. Chứng minh rằng :
Một số chính phương có tận cùng bằng 1 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
Một số chính phương có tận cùng bằng 4thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
LG: 
Số chính phương tận cùng là 1 là bình phương của số tận cùng 1 hay 9, tức là bình phương của số có dạng .
Xét . Ta thấy là số hàng chục của số chính phương . Đó là số chẵn. Vậy chữ số hàng chục của số chính phương là số chẵn.
Cách 1. Xét .
Cách 2. Số chính phương tận cùng chẵn thì chia hết cho 4. Giả sử cữ số hàng chục của số chính phương đó là chữ số lẻ thì số chính phương đó tận cùng 14, 34, 54, 74 hoặc 94 đều không chia hết cho 4. Vậy chữ số hàng chục của số chính phương đó là chữ số chẵn.
Bài 73. Một số chính phương có chữ số hàng chục là 3. Chứng minh rằng chữ số hàng đơn vị của nó bằng 6. 
LG: Biết chữ số hàng chục của chữ số chính phương là 3. Nếu số chính phương đó chẵn thì tận cùng 32, 36(để chia hết cho 4). Nếu số chính phương lẻ thì tận cùng 33, 37(để chia 4 dư 1). Nhưng số chính phương không tận cùng 2, 3, 7. Vậy số chính phương này tận cùng 36.
Bài 74. Chứng minh rằng 2n3+3n2+n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
LG: 
 chia hết cho 6 vì mỗi hạng tử chia hết cho 6.
Bài 75. Chứng minh rằng a3b-ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a và b.
LG: .
Các số và đểu chia hết cho 6.
Bài 76. Chứng minh rằng:
Tổng các lập phương của hai số nguyên chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng của hai số nguyên đó chia hết cho 6.
Tổng các lập phương của ba số nguyên chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng của ba số nguyên đó chia hết cho 6.
LG:
Gọi các số nguyên đó là a và b. Xét hiệu chia hết cho 6. Do đó nếu a+bchia hết cho 6 thì chia hết cho 6, nếu chia hết cho 6 thì a+b chia hết cho 6.
Xét hiệu và chứng minh rằng hiệu đó chia hết cho 6.
Bài 77. Cho hai số lẻ có hiệu các lập phương chia hết cho 8. Chứng minh rằng hiệu của hai số ấy cũng chia hết cho 8.
LG: Nếu chia hết cho 8 thì chia hết cho 8. Nhưng a và b là số lẻ nên là số lẻ, do đó là số lẻ. Vậy chia hết cho 8.
Bài 78. Chứng minh rằng nếu bình phương thiếu của tổng hai số nguyên chia hết cho 9 thì tích của hai số ấy cũng chia hết cho 9.
LG: ta có . Nếu chia hết cho 9 thì cũng chia hết cho 3, nên chia hết cho 3, suy ra a-b chia hết cho 3(vì 3 là số nguyên tố). Do đó chia hết cho 9.
 Theo giả thiết chia hết cho 9. Suy ra chia hết cho 9, do đó chia hết cho 3. Do 3 là số nguyên tố nên trong hai thừa số và , tồn tại một thừa số chia hết cho 3chẳng hạn chia hết cho 3. Nhưng do chia hết cho 3 nên cũng chia hết cho 3. Vậy chia hết cho 9.
Bài 79. Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
LG: Cách 1. Gọi ba số nguyên liên tiếp là . Ta có:
 chia hết cho 9.
Cách 2. Cũng biến đổi như trên được rồi xét các trường hợp .
Cách 3. Trong ba số nguyên liên tiếp, có một số chia hết cho 3, một số chia cho3 dư 1, một số chia cho 3 dư 2. Tổng các lập phương của chúng có dạng . Khai triển, ta thấy tổng trên chia hết cho 9.
Bài 80. Chứng minh rằng n5-5n3+4n chia hết ch 120 với mọi