Bài tập Đại số 11 - Chương II: Tổ hợp – xác suất

CHƯƠNG II
TỔ HỢP – XÁC SUẤT 
A. TỔ HỢP
I. Qui tắc đếm
1. Qui tắc cộng:
	Một cơng việc nào đĩ cĩ thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A cĩ m cách thực hiện, phương án B cĩ n cách thực hiện và khơng trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì cơng việc đĩ cĩ m + n cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân:
	Một cơng việc nào đĩ cĩ thể bao gồm hai cơng đoạn A và B. Nếu cơng đoạn A cĩ m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đĩ cĩ n cách thực hiện cơng đoạn B thì cơng việc đĩ cĩ m.n cách thực hiện.
Từ thành phố A đến thành phố B cĩ 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C cĩ 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D cĩ 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D cĩ 3 con đường. Khơng cĩ con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi cĩ tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
	ĐS:	 cĩ 12 đường.
Cĩ 25 đội bĩng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi cĩ bao nhiêu trận đấu?
	ĐS:	cĩ 25.24 = 600 trận
a) Một bĩ hoa gồm cĩ: 5 bơng hồng trắng, 6 bơng hồng đỏ và 7 bơng hồng vàng. Hỏi cĩ mấy cách chọn lấy 1 bơng hoa?
	b) Từ các chữ số 1, 2, 3 cĩ thể lập được bao nhiêu số khác nhau cĩ những chữ số khác nhau?
	ĐS: a) 18. 	b) 15.
Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên cĩ bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau?
	ĐS: 36.
Một người cĩ 7 cái áo trong đĩ cĩ 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đĩ cĩ hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đĩ cĩ bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:
	a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
	b) Đã chọn áo trắng thì khơng chọn cà vạt màu vàng?
	ĐS: a) 35. 	b) 29.
Một trường phổ thơng cĩ 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên tốn. Thành lập một đồn gồm hai người sao cho cĩ một học sinh chuyên tốn và một học sinh chuyên tin. Hỏi cĩ bao nhiêu cách lập một đồn như trên?
Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ơng và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau.
Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu khơng được ở gần nhau.
Hội đồng quản trị của một xí nghiệp gồm 11 người, trong đĩ cĩ 7 nam và 4 nữ. Từ hộ đồng quản trị đĩ, người ta muốn lập ra một ban thường trực gồm 3 người. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn ban thường trực sao cho trong đĩ phải cĩ ít nhất một người nam.
ĐS: 161.
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Cĩ bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y) biết rằng:
	a) 	b) 	c) .
	ĐS: 	a) 25. 	b) 20.	c) 5 cặp.
Cho tập hợp A = {1, 2, 3,  , n} trong đĩ n là số nguyên dương lớn hơn 1. Cĩ bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y), biết rằng: .
	ĐS: 
Cĩ bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nĩ khơng thay đổi).
	ĐS: Số cần tìm cĩ dạng:	Þ cĩ 9.10.10 = 900 (số)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
	a) gồm 6 chữ số.
	b) gồm 6 chữ số khác nhau.
	c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
	ĐS:	a) 66	b) 6!	c) 3.5! = 360
a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số?
	b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ 3 chữ số?
	c) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
	d) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số, trong đĩ các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?
	e) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 6 chữ số và chia hết cho 5?
	ĐS: a) 3125. 	b) 168. c) 20 d) 900. e) 180000.
Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số:
	a) Gồm 2 chữ số?	b) Gồm 2 chữ số khác nhau?	c) Số lẻ gồm 2 chữ số?
	d) Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau?	e) Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại?
	f) Gồm 5 chữ số viết khơng lặp lại chia hết cho 5?
	ĐS: a) 25. 	 b) 20.	c) 15	d) 8.	e) 120.	f) 24.
Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 3 chữ số:
	a) Khác nhau?
	b) Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số lớn hơn 300?
	c) Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số chia hết cho 5?
	d) Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số chẵn?
	e) Khác nhau, trong đĩ cĩ bao nhiêu số lẻ?
	ĐS: a) 100. b) 60.	c) 36	d) 52.	e) 48.
a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số lẻ cĩ 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400?
	b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300 , 500).
	ĐS: a) 35. 	b) 24. 
II. Hốn vị
1. Giai thừa:
	n! = 1.2.3n	Qui ước: 0! = 1
	n! = (n–1)!n
	= (p+1).(p+2)n	(với n>p)
	= (n–p+1).(n–p+2)n	(với n>p)
2. Hốn vị (khơng lặp):
	Một tập hợp gồm n phần tử (n ³ 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một hốn vị của n phần tử.
	Số các hốn vị của n phần tử là:	Pn = n!
3. Hốn vị lặp:
	Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, , ak. Một cách sắp xếp n phần tử trong đĩ gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, , nk phần tử ak (n1+n2+ + nk = n) theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một hốn vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, , nk) của k phần tử.
	Số các hốn vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, , nk) của k phần tử là:
Pn(n1, n2, , nk) = 
4. Hốn vị vịng quanh:
	Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hốn vị vịng quanh của n phần tử.
	Số các hốn vị vịng quanh của n phần tử là:	Qn = (n – 1)!
Rút gọn các biểu thức sau:
	A = 	B = 	C = 
	D = 	E = 	F = 
	A = 	(với m ³ 5)
Chứng minh rằng:	
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 
Giải các bất phương trình sau:	
a) 	b) 
c) 	
	ĐS:	a) Û 	Þ n = 4, n = 5, n = 6	b) n = 2, n = 3
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	ĐS:	a) x = –1; x = 4	b) x = 2; x = 3	c) n = 8
	d) n = 3	e) n = 6	f) n = 2	
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đĩ cĩ bao nhiêu số:
	a) Bắt đầu bằng chữ số 5?	b) Khơng bắt đầu bằng chữ số 1?
	c) Bắt đầu bằng 23?	d) Khơng bắt đầu bằng 345?
	ĐS:	a) 4!	b) 5! – 4!	c) 3!	d) 5! – 2!
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đĩ cĩ bao nhiêu số:
	a) Bắt đầu bởi chữ số 9?	b) Khơng bắt đầu bởi chữ số 1?
	c) Bắt đầu bởi 19?	d) Khơng bắt đầu bởi 135?
 	ĐS:	 a) 24. 	b) 96. c) 6 	d) 118.
Với mỗi hốn vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các số tự nhiên cĩ được từ các hốn vị của 7 phần tử trên?
	ĐS: Với mọi i, j Ỵ , số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!.
	Þ Tổng tất cả các số là: (6!1++6!7) + (6!1++6!7).10 ++ (6!1++6!7).106
	= 6! (1+2++7).(1+10++106)
Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hốn vị của 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6.
	ĐS: 279999720.
Trên một kệ sách cĩ 5 quyển sách Tốn, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
	a) Một cách tuỳ ý?	b) Theo từng mơn?
	c) Theo từng mơn và sách Tốn nằm ở giữa?
	ĐS:	a) P12	b) 3!(5!4!3!)	c) 2!(5!4!3!)
Cĩ 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi xung quanh một bàn trịn. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
	a) Một cách tuỳ ý?	b) A1 khơng ngồi cạnh B1?
	c) Các học sinh nữ khơng ngồi cạnh nhau?
	ĐS:	a) Q8 = 7!	b) Q7 = 6!	c) Cĩ 4!5.4.3 cách sắp xếp
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đĩ chữ số 1 cĩ mặt 3 lần, mỗi chữ số khác cĩ mặt đúng một lần?
	ĐS:	
Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9.
	ĐS: 18.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số cĩ 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, cĩ bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh nhau?
	ĐS: 480.
Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho:
	a) Bạn C ngồi chính giữa?
	b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? ĐS: a) 24. 	b) 12. 
Một hội nghị bàn trịn cĩ phái đồn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 người, Pháp 6 người, Đức 4 người. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp cho mọi thành viên sao cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau?
	ĐS: 143327232000.
Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
	a) Cĩ 5 người trong nhĩm muốn ngồi kề nhau?
	b) Cĩ 2 người trong nhĩm khơng muốn ngồi kề nhau?
	ĐS: a) 86400. 	b) 2903040.
Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
	a) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?
	b) Chỉ cĩ nữ ngồi kề nhau?
	ĐS: a) 34560. 	b) 120960.
Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đĩ phải cĩ 5 em định trước đứng kề nhau?
	ĐS: 4838400.
Cĩ 2 đề kiểm tra tốn để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và 10 học sinh khối 12. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phịng thi cĩ 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau cĩ đề khác nhau, cịn các em ngồi nối đuơi nhau cĩ cùng một đề?
	ĐS: 26336378880000.
Cĩ 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6 viên bi xanh (khác nhau). Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
	ĐS: 298598400.
Trên giá sách cĩ 30 tập sách. Cĩ thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để cĩ:
	a) Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau?
	b) Tập 5 và tập 6 khơng đứng cạnh nhau?
	ĐS: a) 2.29!. 	b) 28.29!.
Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đĩ chữ số 1 cĩ mặt đúng 3 lần, chữ số 2 cĩ mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số cịn lại cĩ mặt đúng một lần?
	ĐS: 3360.
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đĩ chữ số 1 cĩ mặt 3 lần, mỗi chữ số khác cĩ mặt đúng 1 lần.
	ĐS: 5880.
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đĩ cĩ 5 chữ số 1 và 4 chữ số cịn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi cĩ bao nhiêu số như thế nếu:
	a) 5 chữ số 1 được xếp kề nhau?
	b) Các chữ số được xếp tuỳ ý?
	ĐS: a) 120.	b) 3024.
Bai Tập Trắc Ngiệm: 
1. Cho tập hợp . Các hốn vị của tập hợp A là
	a. (1, 2); (2, 3); (3, 1);
	b. (1, 2, 3); (2, 1, 3); (3, 2, 1);
	c. (1, 2, 3); (2, 3, 1); (3, 2, 1);
	d. (1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 3, 1); (2, 1, 3); (3, 1, 2); (3, 2, 1);
2. Số các số cĩ năm chữ số khác nhau lập nên từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là:
	a. 120	b. 24	c. 96	d. 3125
3. Số các hốn vị của tập hợp mà phần tử đầu tiên bằng a, phần tử cuối bằng e là
	a. 5!	b. 4!	c. 3!	d. 2!
4. Một nhĩm học sinh gồm 5 năm và 5 nữ xếp thành một hàng ngang. Số các xếp để học sinh nam và nữ xen kẽ nhau là
	a. 5!	b. 10!	c. 2.(5!)2	d. (5!)2
5. Số cách sắp xếp chỗ cho 10 khách ngồi quanh một bàn trịn (hai cách xếp được coi là khác nhau nếu cách này nhận được từ cách kia xoay đi một gĩc nào đĩ) là
	a. 10!	b. 9!	c. 2.9!	d. (10!)2
6. Một cái khay trịn đựng bánh mứt kẹo ngày Tết cĩ 5 ơ hình quạt màu khác nhau. Số cách bày 5 loại bánh mứt kẹo vào 5 ơ đĩ là:
	a. 5!	b. 4!	c. 5	d. 4
7. Long và Hưng cùng 8 bạn rủ nhau đi xem bĩng đá. Số cách xếp nhĩm bạn trên vào 10 chỗ ngồi hàng ngang sao cho Long và Hưng ngồi cạnh nhau là
	a. 9!	b. 8!	c. 9.8!	d. 18.8!
8. Người ta xếp 5 quyển sách Tốn, 4 quyển sách Hĩa và 3 quyển sách Lí lên một giá sách theo từng mơn học. Số cách sắp xếp sẽ là
	a. 5!4!3!	b. 5! + 4! + 3!	c. 5!4!3!3!	d. 5.4.3
9. Phương trình cĩ tập nghiệm là
	a. 	b. 	c. 	d. 
10. Với năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 7 chữ số trong đĩ chữ số 5 cĩ mặt đúng 3 lần và mỗi chữ số cịn lại cĩ mặt đúng 1 lần?
	a. 7!	b. 	c. 3.5!	d. 7! – 3!
11.	Có bao nhiêu cách để xếp 3 người Việt, 4 người Pháp, 4 người Nga, 2 người Thái Lan ngồi trong một hàng ghế sao cho những người cùng quốc tịch ngồi cạnh nhau?
a/ 3! 4! 4! 2!	b/ 4! 3! 4! 4! 2!	c/ 5! 3! 4! 4!	d/ Một số khác
188.	Dòng nào sau đây đúng: 
a/ 0! = 0	b/ 2! 4! = 8!	
c/ 	d/ các dòng trên đều đúng.
189.	Nghiệm số của phương trình: n! = 30 (n – 2)! là:
a/ 5	b/ 4	c/ 3	d/ 6
215.	Có ba cặp vợ chồng (a; a’), (b; b’), (c; c’). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 người này thành một vòng tròn sao cho vợ phải đứng cạnh chồng?
a/ 2! 2! 2! 2!	b/ 2! 2! 2!	c/ 2! 2! 2! 3!	d/ Một kết quả khác
III. Chỉnh hợp
1. Chỉnh hợp (khơng lặp):
	Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 £ k £ n) theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
	Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:	
	· Cơng thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.
	· Khi k = n thì = Pn = n!
2. Chỉnh hợp lặp:
	Cho tập A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử của A, trong đĩ mỗi phần tử cĩ thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A.
	Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: 	
Rút gọn các biểu thức sau:	
A = 	B = 
C = 	D = 
E = 	F = 
	ĐS: A = 46;	B = 2750;	C = 1440;	D = 42	
Chứng minh rằng:
	a) 
	b) với n, k Ỵ N, k ³ 2	
	c) 
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) = 2(n + 15)	c) 
	d) 	e) 2() = Pn+1	f) 
	g) 	h) 	i) 	
	k) 	l) 	m) 
	ĐS:	a) n = 6	b) n = 3	c) n = 6	d) n = 5	e) n = 4	f) n = 2; 3	g) x = 11.	h) x = 3; 4.	
	i) x = 5.	k) x = 8, 
Giải các bất phương trình:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
	ĐS:	a) n = 3; 4; 5	b) 2 £ n £ 36
Tìm các số âm trong dãy số với: 
	ĐS: 
Một cuộc khiêu vũ cĩ 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn cĩ thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn?
	ĐS:	Cĩ cách
Trong khơng gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ – khơng. Hỏi cĩ thể cĩ được bao nhiêu vectơ?	ĐS: = 12 vectơ
Một lớp học chỉ cĩ các bàn đơi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này cĩ bao nhiêu học sinh, biết rằng chỉ cĩ thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh)
	ĐS:	= 132 Û n = 12
Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phĩ và 1 thư ký. Hỏi cĩ mấy cách chọn?
	ĐS: 6840.
Huấn luyện viên một đội bĩng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Cĩ bao nhiêu cách chọn nếu:
	a) Cả 11 cầu thủ cĩ khả năng như nhau? (kể cả thủ mơn).
	b) Cĩ 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4.
	ĐS: a) 55440.	b) 120.
Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
	a) Người đĩ cĩ 6 pho tượng khác nhau?
	b) Người đĩ cĩ 4 pho tượng khác nhau?
	c)	Người đĩ cĩ 8 pho tượng khác nhau?
	ĐS: a) 6!.	b) 360.	c) 20160.
Từ các chữ số 0, 1, 2, , 9, cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số:
	a) Các chữ số khác nhau?
	b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?
	ĐS:	a) 	b) Cĩ 95 số
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu:
	a) Số gồm 5 chữ số khác nhau?
	b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
	c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải cĩ mặt chữ số 5?
	ĐS:	a) 6.	b) 
	c) Số gồm 5 chữ số cĩ dạng: 
	· Nếu a = 5 thì cĩ số
	· Nếu a ¹ 5 thì a cĩ 5 cách chọn. Số 5 cĩ thể đặt vào 1 trong các vị trí b, c, d, e Þ cĩ 4 cách chọn vị trí cho số 5. 3 vị trí cịn lại cĩ thể chọn từ 5 chữ số cịn lại Þ cĩ cách chọn.
	Þ Cĩ = 1560 số
Từ các chữ số 0, 1, 2, , 9 cĩ thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số (trừ số 000)?
	ĐS:	= 999
Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 6 chữ số với:
	a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?
	b) Chữ số đầu và cuối khác nhau?
	c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau?
	ĐS:	a) 9. = 9.104 số	
 	b) Cĩ tất cả: = 9.105 số gồm 6 chữ số Þ Cĩ 9.105 – 9.104 số
	c) Cĩ 9.10.10.10 = 9000 số
Cĩ bao nhiêu số điện thoại cĩ 6 chữ số? Trong đĩ cĩ bao nhiêu số điện thoại cĩ 6 chữ số khác nhau?	ĐS: 	a) = 106	b) = 15120
Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B, C, , Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, , 9. Hỏi:
	a) Cĩ bao nhiêu biển số xe trong đĩ cĩ ít nhất một chữ cái khác chữ cái O và các chữ số đơi một khác nhau?
	b) Cĩ bao nhiêu biển số xe cĩ hai chữ cái khác nhau và cĩ đúng 2 chữ số lẻ giống nhau?
	ĐS:	a) Số cách chọn 2 chữ cái: 26 ´ 26 – 1 = 675 cách
	Số cách chọn 4 chữ số:	= 5040 cách
	Þ Số biển số xe:	675 ´ 5040 = 3.402.000 số
	b) · Chữ cái thứ nhất: cĩ 26 cách chọn
	Chữ cái thứ hai: cĩ 25 cách chọn
	· Các cặp số lẻ giống nhau cĩ thể là: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9)
	Þ Cĩ 5 cách chọn 1 cặp số lẻ.
	Xếp một cặp số lẻ vào 4 vị trí Þ cĩ cách
	Þ Cĩ 5. cách sắp xếp cặp số lẻ.
	· Cịn lại 2 vị trí là các chữ số chẵn:
	Chữ số chẵn thứ nhất: cĩ 5 cách chọn
	Chữ số chẵn thứ hai: cĩ 5 cách chọn
	Þ Cĩ 26 ´ 25 ´ 5 ´ ´ 5 ´ 5 = 487500 cách 
 a) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số đĩ bằng 18? 
 	b) Hỏi cĩ bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đĩ?
	ĐS:	Chú ý: 	18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 8
	18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7
	18 = 0 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6
	a) 3 ´ 5 ´ 5!	b) 192 + 384 + 192 = 768 số
Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 5 chữ số khác nhau và thoả:
	a) Số chẵn.	b) Bắt đầu bằng số 24.	c) Bắt đầu bằng số 345.
	d) Bắt đầu bằng số 1? Từ đĩ suy ra các số khơng bắt đầu bằng số 1?
	ĐS: a) 312.	b) 24.	c) 6.	d) 120 ; 480.
Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Cĩ thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đơi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:
	a) n là số chẵn?
	b) Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1?
	(ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2)
	ĐS: a) 3000.	b) 2280.
a) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
	b) Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho trong các chữ số đĩ cĩ mặt số 0 và số 1.
(HVCN Bưu chính Viễn thơng, 1999)
	c) Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đĩ nhất thiết phải cĩ mặt chữ số 4.
	ĐS: a) 18.	b) 42000.	c) 13320.
a) Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đơi một được tạo thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
	b) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Tính tổng của các số này.
	ĐS: a) 37332960.	b) 96 ; 259980.
a) Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0).
	(ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1)
	b) Cho 10 chữ số 0, 1, 2, ..., 9. Cĩ bao nhiêu số lẻ cĩ 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho.
(ĐH Y khoa Hà Nội, 1997)
	ĐS: a) 3024.	b) 36960.
Bài Tập Trắc Ngiệm:
26.	Các dòng sau đây, dòng nào sai?
a/ 	b/ 
c/ 	d/ Các dòng sau đây, dòng nào sai?
27. Giá trị của là
	a. 24	b. 6	c. 	d. 3
28. Số vectơ khác vectơ – khơng cĩ hai đầu mút trong số bốn điểm A, B, C, D đã cho là:
	a. 12	b. 6	c. 5	d. 4
29. Giá trị của là
	a. 20032	b. 20022	c. 20012	d. 20002
30. Nghiệm của phương trình là
	a. x = 6	b. x = 6 và x = 3	c. x = – 3	d. x = 4
31. Nghiệm của phương trình là
	a. x = –1	b. x = 3	c. x = –1 và x = 3	d. x = 1
32. Cĩ bao nhiêu cách phân cơng hai bạn từ một tổ cĩ 10 bạn để trực nhật?
	a. 90	b. 45	c. 5	d. 20
IV. Tổ hợp
1. Tổ hợp (khơng lặp):
	Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 £ k £ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
	Số các tổ hợp chập k của n phần tử:	
	· Qui ước: = 1
	Tính chất: 
2. Tổ hợp lặp:
	Cho tập A = và số tự nhiên k bất kì. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đĩ mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
	Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:	
3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:
	· Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi cơng thức:	
	· Chỉnh hợp: cĩ thứ tự. 	Tổ hợp: khơng cĩ thứ tự.
	Þ Những bài tốn mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp
	Ngược lại, là tổ hợp.
	· Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k £ n):
	+ Khơng thứ tự, khơng hồn lại:	
	+ Cĩ thứ tự, khơng hồn lại:	
	+ Cĩ thứ tự, cĩ hồn lại:	
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp
Tính giá trị các biểu thức sau:	
A = 	B = 	C = 
D = 
	ĐS: 	A = – 165	B = 4
Rút gọn các biểu thức sau:
	A = ;	B = ;
	C = 
	ĐS:	A = 	B = (n+1)(n+2) + 1	C = 
Dạng 2: Chứ