Bài tập Đại số 10 - Cơ bản & nâng cao

- 42 - Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác 
 °. cos2A + cos2B + cos2C = –1 – 4cosAcosBcosC. 
 ±. cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC. 
 ². cos 2A cos 2CB− + cos 2B cos 2AC− + cos 2C cos 2BA− = sinA + sinB + sinC. 
 ³. sinA sin B sinC Acot cot
sinA sin B sinC 2 2
+ + Β=+ − . 
 Chứng minh ΔABC vuông tại A nếu và chỉ nếu sinA = sin B sinC
cosB cosC
+
+ . 
 Chứng minh biểu thức sin(250o + α)cos(200o – α) – cos240ocos(220o – 2α) 
không phụ thuộc vào α. 
 Chứng minh: ¬. sin84osin24osin48osin12o = . 
 −. sin10o + sin20o + sin30o + sin40o + sin50o = 
o
o
1 sin 25
2 sin5
. 
 ®. sin10αsin8α + sin8αsin6α – sin4αsin2α = 2cos2αsin6αsin10α. 
 ¯. 2cos22αcosα – cos5αcos4α – cos4αcos3α = 2cosαsin2αsin6α. 
 ΔABC có 4A = 2B = C. Chứng minh rằng: 
 ¬. 1 1 1
a b c
= + −. cos2A + cos2B + cos2C = . 
 Chứng minh mệnh đề sau: «Điều kiện cần và đủ để một trong các góc của 
ΔABC bằng 60o là sin3A + sin3B + sin3C = 0». 
 Chứng minh rằng ΔABC là tam giác đều nếu các góc của nó thoả: 
 ¬. sin  sin  sin  = . −. cosAcosBcosC = sin  sin  sin  . 
 Chứng minh rằng ΔABC cân nếu các góc của nó thoả hệ thức: 
tan2A + tan2B = 2tan2 A B
2
+ . 
 Chứng minh rằng ΔABC vuông hoặc cân nếu: 
acosB – bcosA = asinA – bsinB 
trong đó a, b, c lần lượt là các cạnh đối diện với các góc A, B, C. 
 Tính số đo góc C của ΔABC biết sinA + sinB + sinC – 2sin  sin  = 2sin  . 
 Tìm các góc của ΔABC nếu: sinA + sinB – cosC = . 
 Nếu A, B, C là 3 góc của ΔABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
P = 3cosA + 3(cosB + cosC). 6 
Trường THPT Nguyễn Hữu Huân 
Vũ Mạnh Hùng 
 Bài Tập 
Cơ Bản & Nâng Cao 
-09/2006 
10
Vũ Mạnh Hùng - 41 - 
 ´. o o
1 1
sin18 cos36
− = 2. !0. tanα + cotα + tan3α + cot3α = 
28cos 2
sin 6
α
α . 
 !1. sin 2 sin 3 sin 4
cos2 cos3 cos4
α − α + α
α − α + α = tan3α. !2. 2
sin 2 sin5 sin3
cos 1 2sin 2
α + α − α
α + − α = 2sinα. 
 !3. cos6 cos7 cos8 cos9
sin 6 sin 7 sin8 sin 9
α − α − α + α
α − α − α + α = cot  . 
 !4. 2sin 2 sin 4
2(cos cos3 )
α + α
α + α = tan2αcosα. !5. 
2 2 3
2 2
2 3
2
cot cot
1 cot
α α
α
−
+ = 8cos
2cosα. 
 !6. 
o o o o o
o o o o
cos28 cos56 cos2 cos4 3 sin38
sin 2 sin 28 4sin 2 sin 28
+ = . 
 !7. 16cos3α.sin2α = 2cosα – cos3α – cos5α. 
 !8. (cosα – cosβ)2 – (sinα – sinβ)2 = – 4sin2cos(α + β). 
 Đơn giản biểu thức: 
 ¬. sin sin 3
cos cos3
α + α
α + α . −. 
cos4 cos2
sin 2 sin 4
α − α
α + α . ®. 
cosm cosn
sin n sinm
α − α
α − α . 
 ¯. cos3 cos4 cos5
sin 3 sin 4 sin 5
α + α + α
α + α + α . °. 
22(sin 2 2cos 1)
cos sin cos3 sin3
α + α −
α − α − α + α . 
 ±. 2
1 cos cos2 cos3
cos 2cos 1
+ α + α + α
α + α − . ². 2
sin 2 cos2 cos6 sin 6
sin 4 2sin 2 1
α + α − α − α
α + α − . 
 ³. sin(2 2 ) 2sin(4 ) sin(6 4 )
cos(6 2 ) 2cos(4 ) cos(6 4 )
α + π + α − π + α + π
π − α + α − π + α − π . 
 ´. sin(2 ) sin(2 ) cos( 2 )
cos(2 ) cos(2 ) sin( 2 )
α +β + α −β − − α
α +β + α −β − + α

 . 
 Biến đổi thành tích: 
 ¬. 3 – 4cos2α. −. 1  + si n  – 1 –  si n  (0 < α ≤ π). 
 ®. 6sin22α – 1 – cos4α. ¯. 2cos22α + 3cos4α – 3 
°. sin6α – 23 cos23α + 3. ±. cos2    – sin2    
². 1 + sin2a – cos2a – tan2a. ³. cos22α + 3cos18α + 3cos14α + cos10α. 
 Chứng minh trong ΔABC: 
 ¬. sinA + sinB + sinC = 4cos  cos  cos  . 
 −. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC. 
 ®. sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC. 
 ¯. cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin  sin  sin . 
- 40 - Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác 
 Chứng minh: 
 ¬. sin5osin55osin65o = sin15o. −. cos5ocos55ocos65o = cos15o. 
 ®. cos( – )sin( – )sin = sin  . 
 ¯. 4cos( – α)sin( – α) = sin 3
sin
α
α . °. 1 – 2sin50
o = o
1
2cos160
. 
 ±. 
o
o o
sin(80 4 )
4sin(20 )sin(70 )
+ α
+α −α = cos(40
o + 2α). 
 ². sin2α + cos( – α)cos( + α) = . 
 ³. sin22α – cos( – 2α)sin(2α – ) = . ´. sinαsin3α = sin22α – sin2α. 
 !0. cos2(45o – α) – cos2(60o + α) – cos75osin(75o – 2α) = sin2α. 
 !1. cos2αcosα – sin4αsinα – cos3αcos2α = 0. 
 Đơn giản biểu thức: 
 ¬. sinαsin(x−α) + sin2(−α). ®. sin22α + sin2β + cos(2α+β)cos(2α–β). 
 −. sin2(45o + α) – sin2(30o – α) – sin15ocos(15o + 2α). 
 ¯. sin3αcos3α + cos3αsin3α. °. sin3αsin3α + cos3αcos3α. 
 Chứng minh rằng biểu thức: 
A = cos2(x – a) + sin2(x – b) – 2cos(x – a)sin(x – b)sin(a – b) 
độc lập đối với x. 
µ Công thức biến đổi tổng thành tích: 
 Nếu sinα + sinβ = – , cosα + cosβ = –  và  < α < 3π, –  < β < 0. 
Tính sin, cos, cos(α + β). 
 Tính cos nếu sinα + sinβ = – , tan = ,  < α < 3π, –  < β < 0. 
 Tính giá trị biểu thức 2
sin 4 sin10 sin 6
cos2 1 2sin 4
α + α − α
α + − α nếu sinα – cosα = m. 
 Chứng minh: 
 ¬. sin495o – sin795o + sin1095o = 0. 
 −. cosα + cos2α + cos6α + cos7α = 4cos  cos  cos4α. 
 ®. sin9α + sin10α + sin11α + sin12α = 4cos  cosαsin  . 
 ¯. cos2α – cos3α – cos4α + cos5α = – 4sin  sinαcos  . 
 °. sin14α – sin5α – sin16α + sin7α = 4sin  sinαsin . 
 ±. cosα + sinα + cos3α + sin3α = 22 cosαsin( + 2α). 
 ². cos36o – sin18o = sin30o. ³. cot70o + 4cos70o = 3. 
MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP 
ŒA Mệnh Đề 
 Mệnh đề là một câu có đặc tính đúng hay sai và phải thoả 2 điều kiện: 
 Mỗi mệnh đề đều phải hoặc đúng, hoặc sai. 
 Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai. 
+ Phủ định của mệnh đề A, kí hiệu A: 
 Nếu A đúng thì A  sai, nếu A sai thì A đúng. 
+ Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề Nếu A thì B gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu A ⇒ B: 
 A ⇒ B sai nếu A đúng, B sai và đúng trong các trường hợp còn lại. 
 B ⇒ A gọi là mệnh đề đảo của A ⇒ B. 
+ Mệnh đề tương đương: Mệnh đề A nếu và chỉ nếu B gọi là mệnh đề tương 
đương, kí hiệu A  B: 
 A  B đúng nếu A và B cùng đúng hoặc cùng sai. 
ƒ Mệnh đề "A hoặc B" được kí hiệu là A  B, mệnh đề này sai nếu A và B đều sai, 
các trường hợp còn lại đều đúng. 
ƒ Mệnh đề "A và B" được kí hiệu là A  B, mệnh đề này đúng nếu A và B đều đúng, 
các trường hợp còn lại đều sai. 
 ‚ Phủ định của mệnh đề A  B là mệnh đề A  B: A  B = A  B 
 ‚ Phủ định của mệnh đề A  B là mệnh đề A  B: A  B = A  B 
 ‚ Phủ định của mệnh đề A ⇒ B là mệnh đề A  B: A ⇒  B = A  B 
+ Mệnh đề chứa biến: là 1 câu chứa một hay nhiều yếu tố không xác định và câu đó 
trở thành 1 mệnh đề khi thay các yếu tố không xác định bằng những yếu tố xác định, 
yếu tố không xác định gọi là biến. 
+ Mệnh đề Với mọi x, P(x) đúng, kí hiệu x, P(x). 
+ Mệnh đề Tồn tại x để P(x) đúng, kí hiệu x, P(x). 
x,  A( x)  = x, A( x)  
x,  A( x)  = x, A( x)  
+ Điều kiện cần, điều kiện đủ: 
 * Nếu mệnh đề A  B là 1 định lí thì ta nói: 
"A là điều kiện đủ để có B". 
"B là điều kiện cần để có A". 
 Lúc đó ta có thể phát biểu định lí A  B dưới dạng: 
"Để có B điều kiện đủ là A" hoặc "Điều kiện đủ để có B là A". 
"Để có A điều kiện cần là B" hoặc "Điều kiện cần để có A là B". 
 * Nếu A  B là một định lí và B  A cũng là một định lí thì B  A gọi là định lí đảo 
của định lí A  B, lúc đó A  B gọi là định lí thuận, trong trường hợp này A  B đúng 
và ta có thể nói: 
"A là điều kiện cần và đủ để có B" 
"B là điều kiện cần và đủ để có A". 
 
Chương I
-2- Mệnh Đề - Tập Hợp 
1/ Câu nào trong các câu sau là mệnh đề. Xét tính đúng sai của các mệnh đề và 
tìm mệnh đề phủ định của chúng: 
 ¬. 4.2 = 6. −. y + 5 > 2. ®. Bạn hãy ngồi xuống. ¯. 3 + 2. 
 °. 23 là số nguyên tố. ±. 2x + 4y = 7. ². Bạn bao nhiêu tuổi? 
 ³. 12 chia hết cho 3 và 7. ´. Điểm A nằm trên đường thẳng AB. 
2/ Đặt các kí hiệu , ∃ trước các mệnh đề chứa biến để được mệnh đề đúng: 
 ¬. x + 2 > 3. −. a + 3 = 3 + a. ®. 15 là bội số của x. 
 ¯. (x – 2)2 > – 1. °. x + 1 > y. ±. (a – b)(a + b) = a2 – b2. 
 ². (a – b)2 = a2 – b2. ³. x2 > 0. ´. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. 
 !0. (x – 2)2 = 1. !1. (x + y)z = xz + yz. !2. x2 – 5x + 6 = 0. 
3/ Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của chúng: 
 ¬. 2 < 3. −. 2 = 2. ®. 1 là số nguyên tố. ¯. 15 không chia hết cho 5. 
 °. Ngũ giác đều bất kì có các đường chéo bằng nhau. 
 ±. Mọi số tự nhiên đều chẵn .². Mọi tứ giác đều nội tiếp được đường tròn. 
 ³. Có một số là bội số của 5. 
4/ Cặp mệnh đề sau có phải là phủ định của nhau không ? Nếu không thì sửa 
lại để chúng là phủ định của nhau: 
 ¬. 5 6. −. a là số chẵn; a là số lẻ. ®. x là số âm; x là số dương. 
 ¯. Đường thẳng a cắt đ.thẳng b; Đường thẳng a song song với đ.thẳng b. 
 °. Có 1 số là ước số của 15; Có 1 số không là ước số của 15. 
 ±. Mọi hình thang đều nội tiếp được đường tròn; 
 Mọi hình thang đều không nội tiếp được đường tròn. 
5/ Điền vào chỗ trống liên từ "và", "hoặc" để được mệnh đề đúng: 
 ¬. π 5. −. ab = 0 khi a = 0 ... b = 0. 
 ®. ab ≠ 0 khi a ≠ 0 ... b ≠ 0. ¯. ab > 0 khi a > 0 ... b > 0 ... a < 0 ... b < 0. 
6/ Điền vào chỗ trống từ "điều kiện cần" hay "điều kiện đủ" hay "điều kiện cần 
và đủ" để được mệnh đề đúng: 
 ¬. Để tích của 2 số là chẵn, .... là một trong hai số đó chẵn. 
 −. Để 1 tam giác là cân, .... là tất cả các đường cao của nó đều bằng nhau. 
 ®.  để 1 số chia hết cho 8 là số đó chia hết cho 4 và cho 2. 
 ¯.  để ab = 0 là a = 0. °.  để x2 > 0 là x ≠ 0. 
 ±. Để 1 tứ giác là hình vuông, .... là tất cả các góc của nó đều vuông. 
7/ Phát biểu các định lí sau sử dụng khái niệm điều kiện cần: 
 ¬. Nếu 2 cung trên 1 đường tròn bằng nhau thì 2 dây tương ứng bằng nhau 
 −. Nếu tứ giác T là một h.bình hành thì nó có 2 cạnh đối diện bằng nhau. 
 ®. Nếu điểm M cách đều 2 cạnh của góc xOy thì M nằm trên đường phân 
giác của xOy. 
Vũ Mạnh Hùng - 39 - 
 !0. 4(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) – 1. !2. 3 2co s4 1 5 o – 1 0  –  8 3. 
 !1. cosαtan 2α –  si n 2 α + sinαco t 2α –  co s2 α . 
 Chứng minh: 
 ¬. tan2α + 1 cos sin
cos2 cos sin
α + α=α α − α . −. 
3 4cos2 cos4
3 4cos2 cos4
+ α + α
− α + α = cot
4α. 
 ®. cos2α – sin22α = cos2αcos2α – 2sin2αcos2α. 
 ¯. 3 – 4cos2α + cos4α = 8sin4α. °. cos4α =  cos4α + cos2α + . 
 ±. 8cos %cos cos  = 1. ². cos cos  = . 
 ³. sin18osin54o = . ´. cos260osin130ocos160o = . 
 !0. cos cos cos% cos cos = . !1. tan142o30 = 2+2 – 3 – 6. 
 !2. cos50o + 8cos200ocos220ocos80o = 2sin265o. 
 !3. cos4α.tan2α = sin4α – tan2α. !4. cos2α – sin2α.cotα = – 1. 
 !5. (cosα – cosβ)2 + (sinα – sinβ)2 = 4sin2 . !6. sin18o = . 
 !7. 8sin318o + 8sin218o = 1. !8. cotα – tanα = 2cot2α. 
 !9. sin6 – cos6 = 2sin 4
4
α − cosα. @0. cos2 tan sin2
cos2 cot sin2
α α − α
α α + α = – tan
2α. 
 @1. 
2
2
tan3 3 tan
tan 1 3tan
α − α=α − α . @2. sin
8α + cos8α = cos8α + cos4α + . 
 @3. 8 + 4tan  + 2tan  + tan  = cot . 
 @4. 2 5
4
cos(3 2 )
2sin ( )π
π − α
+α = tan(α – . ). @5. 
sin( 3 )
1 sin(3 )
+ α
− α − π

= cot( +  ). 
Î Công thức biến đổi 
´ Công thức biến đổi tích thành tổng 
 Tính: 
 ¬. sincos  nếu sinx = % (0 < x < ). −. sinsin  nếu sin( – x) = . 
 ®. coscos  nếu cot( – x) = % (0 < x < ). 
 ¯. sin(α + β)sin(α − β) nếu sinα = – , cosβ = – . 
 Tính: 
 ¬. cos  – cos . −. sin  sin . 
 ®. sin2  + sin2  + sin2 %. ¯. sin20osin40osin60osin80o. 
 °. tan20otan40otan60otan80o. ±. sin sin sin sin sin . 
 ². o
1
2sin10
 – 2sin70o. ³. sin 7
sin
α
α – 2(cos2α + cos4α + cos6α). 
- 38 - Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác 
 Tìm góc α thoả  < α < π nếu tan2α = − . 
 Tìm x nếu biết tanα = x + 1, tanβ = x – 1, tan(2α + 2β) = %. 
 Tìm m, M sao cho ∀α, m ≤ sinα.cosα.cos2α ≤ M và hiệu M – m nhỏ nhất 
 Chứng minh nếu cosα = f, tanβ =  với 0 < α, β <  thì α + 2β = . 
 Nếu a, b là 2 góc nhọn thoả { 2 23sin a 2sin b 13sin 2a 2sin 2b 0+ =− = . Chứng minh a + 2b =  
 Chứng minh biểu thức 
3 3pcos cos3 psin sin3
cos sin
α − α α + α+α α (p: hằng số) 
không phụ thuộc vào α. 
 Định m để biểu thức sau không phụ thuộc vào α: 
 ¬. cos2α – msin2α + 3cos2α + 1. 
 −. sin6α + cos6α + m(sin4α + cos4α) + (m + 1)sin22α. 
 ®. m(2msinα – 1) – 4(m2 – 1)sinαsin2 + 2(m + 1)cos2α – 2sinα. 
 ¯. m(sin8α + cos8α) + (2m – 1)(cos4α – sin4α) + cos2α + 4. 
 Định p, q để biểu thức p(sin6α + cos6α) – q(sin4α + cos4α) + sin22α 
không phụ thuộc α. 
 Chứng minh nếu tanα.tanβ = 1 thì sin2α = sin2β và cos2α = − cos2β. 
 Chứng minh nếu A và B là 2 góc nhọn của 1 tam giác vuông thì: 
sin2A + sin2B = 4sinA.sinB. 
 Chứng minh rằng trong ΔABC: 
1 1 1
sinA sinB sinC
+ + = (tan A
2
+ tan B
2
+ tan C
2
+ cot A
2
cot B
2
cot C
2
). 
 Tính không dùng bảng: ¬. cos cos% cos. 
 −. sin270osin250osin210o. ®. sin4  + sin4  + cos4  + cos4 . 
 Đơn giản biểu thức: 
 ¬. 2sin sin 2
2sin sin 2
α − α
α + α (π < α < 2π). −. 2 2
2cos sin 2
sin sin cos
α − α
α − α + α . 
 ®. 
2 2 2tan cos cos
cos2
α α − α
α . ¯. 
22sin
1 cos( 2 )
α
+ π − α – sin
2α. 
 °. 1 cot2 .cot
tan +cot
+ α α
α α . ±. 
sin 6 cos(6 )
sin 2 cos2
α α − π+α α . 
 ². 1 sin 1 sin
1 sin 1 sin
+ α + − α
+ α − − α (0 < α < ). ³. o o
1 3
sin10 cos10
− . 
 ´. 5sin42x – 4sin22xcos22x – cos42x + 3cos4x. 
Vũ Mạnh Hùng -3- 
8/ Phát biểu các định lí sau sử dụng khái niệm điều kiện đủ: 
 ¬. Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có ít nhất 1 cạnh bằng nhau. 
 −. Nếu tứ giác T là một h.thoi thì nó có 2 đường chéo vuông góc với nhau. 
 ®. Nếu số a tận cùng bằng chữ số 0 thì nó chia hết cho 5. 
9/ Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau để được mệnh đề đúng: 
 ¬. Để 2 tam giác là bằng nhau, điều kiện cần và đủ là các góc tương ứng 
của chúng bằng nhau. 
 −. Để tứ giác T là hình bình hành, điều kiện đủ là nó có 2 cạnh đối diện 
bằng nhau. 
 ®. Điều kiện đủ để số a chia hết cho 5 là a tận cùng bằng chữ số 0 hoặc 5. 
 Các mệnh đề sau đúng hay sai, giải thích: 
 ¬. Mọi số nguyên tố đều lẻ. −. x, x2 > x. 
 ®. n, n2 + n + 41 nguyên tố. ¯. Nếu xy > 4 thì x > 2 và y > 2. 
 °. Một tổng bất kì chia hết cho 3 thì từng số hạng của tổng chia hết cho 3. 
 Chứng minh các mệnh đề sau bằng phản chứng: 
 ¬. Nếu ab lẻ thì a và b đều lẻ. −. Nếu a2 = b2 thì a = b (a, b > 0). 
 ®. Nếu x2 + y2 = 0 thì x = y = 0. ¯. Nếu x ≠ –1 và y ≠ – 1 thì x+y+xy ≠ –1 
 °. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng thứ 
ba thì chúng song song với nhau. 
 ±. Nếu a + b < 2 thì 1 trong 2 số a và b nhỏ hơn 1. 
 ². Nếu a1a2  2(b1 + b2) thì ít nhất 1 trong 2 phương trình x2 + a1x + b1= 0, 
x2 + a2x + b2 = 0 có nghiệm. 
 Phân tích các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng: 
 ¬. 2 là số nguyên chẵn. −. – 5 là số dương hoặc là số nguyên. 
 ®. 15 và 17 là hai số lẻ. ¯. 2 là số dương còn 2 là số vô tỉ. 
 °. 2 > 5 hoặc 2 < 5. ±. 3 và 5 là 2 số nguyên tố. 
 ². Số 5 lớn hơn 3, nhỏ hơn 7. ³. 2 là số hữu tỉ hoặc là số nguyên. 
 ´. ΔABC và ΔDEF bằng nhau. !0. Hình thoi là hình vuông hoặc là tứ giác. 
 !1. Hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. 
 !2. ΔABC và ΔDEF là hai tam giác vuông và bằng nhau. 
 !3. 15 và 17 là hai số lẻ nguyên tố cùng nhau. 
 !4. Số 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4. 
 !5. 4.5 = 2.10 = 19. !6. Số 15 chia hết cho 4 hoặc 5. 
 !7. Phương trình x + 5 = 2 có nghiệm còn ph.trình x + 5 = x vô nghiệm. 
 !8. Nếu ab là số chẵn thì a hoặc b là số chẵn. 
 !9. Nếu x > 2 và y > 2 thì xy > 4. 
 @0. Nếu một số tận cùng bằng 5 hoặc 0 thì nó chia hết cho 5. 
-4- Mệnh Đề - Tập Hợp 
 Phủ định các mệnh đề (mệnh đề chứa biến) sau: 
 ¬. ΔABC vuông cân. −. Số a lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0. ®. 4 < x < 5. 
 ¯. Hai góc A và B không bằng nhau mà cũng không bù nhau. 
 °. x, x < 3  x < 3. 
 ±. Có 1 đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đ.thẳng cho trước. 
 ². Nếu xy > 4 thì x > 2 và y > 2. ³. Nếu a hoặc b chẵn thì ab chẵn. 
 ´. Nếu số a chia hết cho 5 thì nó tận cùng bằng 0 hoặc 5. 
 !0. Nếu tứ giác T là hình bình hành và có 2 đường chéo bằng nhau thì nó là 
hình chữ nhật. 
ŒB Tập Hợp 
+ Tập hợp con: A  B  x, x  A  x  B. 
 Ta thường gặp một số tập con của tập  sau đây: 
 ‘ (a;b) = {x  / a < x < b}: khoảng. ‘ [a;b] = {x  / a  x  b}: đoạn. 
 ‘ (a;b] = {x  / a < x  b}, ‘ [a;b) = {x  / a  x < b}: nửa khoảng. 
 ‘ (–;a] = {x  / x  a}, ‘ (–;a) = {x  / x < a}, 
 ‘ [b;+) = { x  / x  b}, ‘ (b;+) = {x  / x > b}, ... 
 Như vậy  = (–;+), 
+ Tập hợp bằng nhau: A = B  A  B và B  A. 
+ Phép giao: A  B = {x / x  A và x  B}. 
+ Phép hợp: A  B = {x / x  A hoặc x  B}. 
+ Hiệu của 2 tập hợp: A \ B = {x / x  A và x  B}. 
+ Phần bù: Nếu A  E, EA = E \ A. 
 Các mệnh đề sau đúng hay sai: 
 ¬. a = {a}. −. a ∈ {a}. ®. {a} ⊂ {a}. ¯. ∅ ⊂ ∅. 
 °. ∅ ∈ ∅. ±. ∅ ∈ {∅}. ². ∅ = {0}. ³. ∅ ∈ {0}. 
 ´. ∅ = {∅}. !0. {1, 2} ∈ {1, 2, {1, 2, 3}}. 
 !1. {1, 2} ⊂ {1, 2, {1, 2, 3}}. !2. {1, 2} ∈ {1, 2, {1, 2}}. 
 Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập ∅: 
 ¬. Tập các nghiệm nguyên của phương trình x2 + 9 = 0. 
 −. Tập các nghiệm nguyên của phương trình x2 – 9 = 0. 
 ®. Tập các số tự nhiên nhỏ hơn 0. ¯. Tập các số nguyên nhỏ hơn 7. 
 °. Tập các số nguyên tố nhỏ hơn 7. 
 ±. Tập các số nguyên tố lớn hơn 7 và nhỏ hơn 11. 
 Cho A = { x / x = 
2n 1
2
− , n ∈ }. Số nào trong các số 0, , , ,  , 4 là 
phần tử của A. 
Vũ Mạnh Hùng - 37 - 
 ®. 2 2
sin( ).sin( )
1 tan .cot
α −β α +β
− α β = – cos
2αsin2β. 
 ¯. 2 2
tan tan tan tan 22 tan
tan( ) tan( ) cos
α + β α − β+ + α =α +β α −β α . 
 °. tan(α – β).tanα.tanβ = tanα – tanβ – tan(α – β). 
 ±. cot2α + cot2β – 2cos( )
sin sin
β −α
α β + 2 = 
2
2 2
sin ( )
sin .sin
α −β
α β . 
 ². tan6α – tan4α – tan2α = tan6α.tan4α.tan2α. 
 ³. tan20o + tan40o + 3tan20o.tan40o = 3. 
 ´. tan830o + tan770o + tan740o = tan470o.tan410o.tan380o. 
 !0. cot80o.cot70o + cot70o.cot30o + cot30o.cot80o = 1. 
 !1. tan(α − β) + tan(β − γ) + tan(γ − α) = tan(α − β)tan(β − γ)tan(γ − α). 
 !2. 
2
2
3 tan α
1 3tan α
−
− = tan(60
o + α).tan(60o – α). 
 Đơn giản biểu thức: 
 ¬. sin( ) sin( )
cos( ) cos( )
α +β + α −β
α +β − α −β . −. 
o o
o o
cos(45 ) cos(45 )
sin(45 ) sin(45 )
−α − +α
+α − −α . 
 ®. sin(2x – π)cos(x – 3π) + sin(2x – )cos(x + ). 
 Tìm điều kiện của α và β để sin(α + β) = 3sin(α − β) ⇒ tanα = 2tanβ. 
 Chứng minh nếu sin(2α + β) = 2sinβ thì tan(α + β) = 3tanα. 
 Tính A = a.sin2(α + β) + b.sin(α + β)cos(α + β) + c.cos2(α + β) biết tanα 
và tanβ là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0. 
Í Công thức nhân 
 Tính: 
 ¬. sin2α nếu sinα − cosα = m. −. sinα nếu sin + cos = . 
 ®. tan2α nếu cos(α − 90o) = 0,2 (90o < α < 180o). 
 ¯. cot2α nếu sin(α − 90o) = −  (270o < α < 360o). 
 °. sinα, cosα nếu: a. cos = 0,6 (< α < π). b. sin2α = –  ( <α< π). 
 ±. cos8x − sin8x nếu cos2x = m. ². sin6x + cos6x nếu cos2x = n. 
 Chứng minh sinα và tan có cùng dấu ∀α ≠ kπ (k ∈ ). 
 Tìm tan( – 2α) nếu sinα =  và α không thuộc về cung phần tư I. 
 Cho sinx = 2  – 3 với 0o < x < 90o. Tính cos 2x và suy ra giá trị của x. 
Trong trường hợp 90o < x < 180o, tìm giá trị của x. 
- 36 - Góc Lượng Giác & Công Thức Lượng Giác 
Ì Công thức cộng 
Tính: ¬. sin(60o − α) nếu tanα = – , 270o < α < 360o. 
 −. cos(70o + α) nếu sin(40o + α) = b, 0 < α < 45o. 
 ®. tan(α + 30o) nếu cosα = , 270o < α < 360o. 
 ¯. tan(α – β) nếu tanα = , cosβ = , 0 < α, β < . 
 °. sin(α + β – γ) nếu sinα = , cosβ = , tanγ = %, 0 < α, β, γ < . 
 ±. tan .tan  + tan .tan  + tan .tan  nếu x + y + z = π. 
 Tìm tanβ nếu cot(α + β) = 2 và tanα = –3. 
 Tìm α + β nếu cotα = 4, cotβ =  và 0 < α, β < . 
 Chứng minh nếu tanα = 5, cotβ =  và 0 < α, β <  thì α + β = . 
 Chứng minh nếu sinα = , sinβ =  và α, β là góc nhọn thì α + β = 60o. 
 Tìm x nếu biết tanα = , tanβ =  và α + β = . 
 Tìm α + β nếu