Bài tập Chương 3 - Hình học 11

I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B (AB=BC=a; AD=2a); SA vuông góc với (ABCD). Chứng minh: CD vuông góc với (SAC)
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB=AC; DB=DC. I là trung điểm của BC.
Chứng minh: 
AH là đường cao của tam giác AID. Chứng minh: AH vuông góc với BD
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; tam giác SBC vuông tại B và tam giác SCD vuông tại D. Chứng minh: SA vuông góc với mp(ABCD).
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mp(BCD); BCD là tam giác vuông tại C và BC=a; CD=2a. H là điểm trên cạnh BD với BH=x. Định x để AD vuông góc với CH.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với (ABCD) và SA=a.
Tính góc giữa đường thẳng SB với mp(SAC)
Tính góc giữa đường thẳng CA với mp(SCD) và góc giữa đường thẳng DB với mp(SDC)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D (AB=AD=a; BC=2a); SD vuông góc với (ABCD). Từ trung điểm E của CD, vẽ EK vuông góc với SC ( K thuộc SC)
Chứng minh: SC vuông góc với mp(EBK)
Chứng minh: 6 điểm S, A, B, D, E, K nằm trên một mặt cầu.
Bài 7 (*): Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng (AB=a;) và hai đường chéo AC, BF vuông góc với nhau.
Tính đoạn CE
M là trung điểm của BE, (P) là mp đi qua M và vuông góc với A. Xác định thiết diện của (P) với hình lăng trụ ADF.BCE
Bài 8(*): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA vuông góc với (ABCD); BC=a; SC tạo với (SAB) một góc và SC tạo với (ABCD) một góc . Chứng minh: 
Bài 9: Trong mp(P) cho nửa đường tròn (C) đường kính AC=a. B là một điểm thuộc (C) và BC=x. Trên tia At vuông góc với (P) lấy điểm S sao cho AS=a. Gọi H, K lần lượt là chân đường vuông góc vẽ từ A xuống SB, SC.
Chứng minh: các tam giác SBC và AHK là tam giác vuông
Chứng minh: tứ giác BCKH nội tiếp được. Tính độ dài HK theo a và x
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; SA vuông góc với ABCD và SA=a. I thuộc SC và 4SI=SC. (P) là mp qua I và vuông góc với AC. Xác định thiết diện của (P) và hình chóp. Tính diện tích của thiết diện.
II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. M là một điểm không nằm trong mặt phẳng (ABCD) sao cho các góc AMB và AMD vuông. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (MAC) và (ABCD) vuông góc với nhau.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật; SH, SK là đường cao của các tam giác SAB và SCD (H thuộc AB, K thuộc CD ). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SHK) và (ABCD) vuông góc với nhau.
Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a; đường cao của hình chóp bằng x.
O là tâm của đáy, vẽ OH vuông góc với SC (H thuộc SC). Chứng minh rằng (SAC) và (HBD) vuông góc.
Định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau một góc bằng (góc nhị diện)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC); hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) vuông góc với nhau. Chứng minh hai tam giác ABC và SBC là tam giác vuông.
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Trên các đoạn AB’ và A’C’ lần lượt lấy các điểm M và N sao cho .
Tính đoạn MN theo a và x. Định x để đoạn MN nhỏ nhất
Khi đoạn MN nhỏ nhất, chứng minh rằng MN vuông góc với AB’ và A’C’.
Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. 
Sử dụng định lí ba đường vuông góc, chứng minh: AC’ vuông góc với BA’ và BD
(P) là mặt phẳng qua trung điểm M của BC và vuông góc với AC’. Xác định thiết diện của (P) với hình lập phương. Chứng minh thiết diện này qua tâm O của hình lập phương và tính diện tích của thiết diện.
Bài 7: Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. M, N, P lần lượt nằm trên AA’, BB’, CC’. Tính diện tích của tam giác MNP biết rằng:
(MNP) tạo với mp(ABC) một góc bằng 600
(MNP) vuông góc với AB’.
Bài 8. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Lấy M,N,P lần lượt trên các cạnh AB, CC’, A’D’ sao cho 
a) Chứng minh: tam giác MNP đều
b) Tính góc giữa hai mp(ABCD), (MNP)
III. KHOẢNG CÁCH
Bài 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD và tính khoảng cách giữa AB và CD.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 2a; SA vuông góc với đáy và SA=3a.
Tính khoảng cách từ C đến (SBD)
G là trọng tâm tam giác SAB và (P) là mp qua G và song song với (SBD). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (SBD).
Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a, O là tâm hình vuông ABCD.
Tính khoảng cách giữa AB và SC.
(*) Gọi EF là đoạn vuông góc chung của AB và SC, xác định rõ vị trí của E, F.
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với AD và BC (AB=a, BC=b; AD=c). Góc giữa AD và BC bằng 60o.
Tính các cạnh chưa biết của tứ diện và khoảng cách giữa AB và CD
(*) Gọi EF là đoạn vuông góc chung của AB và CD. Xác định các điểm E,F.
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh AB=a, cạnh bên SA vuông với đáy (ABCD) và SA=a.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD
Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BD.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AM
Bài 6: Cho lăng tru tam giác đều ABC.A’B’C’ (AA’//BB’//CC’), biết AB=a, BB’=b. Tính khoảng cách từ đường thẳng AB’ đến đường thẳng BC’
Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có AB=AD=AA’=a và . Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
AC và B’D’
BD và AC’
AB’ và BC’
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và , đáy ABC là tam giác vuông tại B với BA=a. Gọi M là trung điểm của AB. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và BC.
Bài 9: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng SI vuông với (ABCD) và . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng 
NP và AC
MN và AP