Bài tập Chương 12.2. Hàm số mũ và hàm số logarit

Chương 12.2. Hàm số mũ và hàm số logarit Nguyễn Xuân Tiệp – 0978.331.989 
Nhận dậy kèm các lớp Toán 10-11-12 
Luyện thi Đại học. - 1 - 
CHƯƠNG 12.2. HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 
PHẦN I. HÀM SỐ MŨ 
Bài 1.1. Tính các biểu thức sau: 
a) 44
3
2
3
2
3
)3(1684A −+++= b) ( )6
1
3
5
2
2
3
1632B +







=
−
 c) 





−−





−





−−=
14
7
).7.(
7
2
.
8
7
.)1(C
23
3 
d) 
462
462
)6.()5.(9
8.)15.()3(
D
−−
−−
= e) 
[ ]423
336
)5(.25
)2.()16.(125
E
−
−−
= f) 
254
347
)27.()4.()25(
)50.(2.)18(
F
−−−
−−
= 
Bài 1.2. Biến đổi X về lũy thừa cơ số a biết: 
a) 
3
5
9
39
X = và a = 3 b) 
5 23.
X
αα
α
= và a
3 2
1
α
= 
Bài 1.3. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: 
a) 0)(x , x.xA 4 32 ≥= b) 5 3
b
a
.
a
b
B = (a, b > 0) c) 5 3 2.2.2C = 
Bài 1.4. Chứng minh: 
a) 236103610 33 =−++ b) 2526526 =−−+ c) 43152631526 33 =−++ 
Bài 1.5. Cho 52104a ++= , 52104b +−= . Tính a + b. 
Bài 1.6. Cho ayxyyxx 3 4223 242 =+++ . Chứng minh rằng: 3
2
3
2
3
2
ayx =+ . 
Bài 1.7. So sánh các số sau: 
a) 4
1
)13( − và 2
2
)13( − b) 
2
5
3
−








 và 
2
2
2
−








 c) 
2
2





 π và 
3
2
−





 π 
g) 3005 và 2008 h) 3,0)001,0( − và 3 100 i) 10)02,0( − và 1150 
Bài 1.8. Nhận xét gì về cơ số a biết: 
a) 24
3
aa > b) 2
1
2
1
aa
−
> c) 4
3
2
1
aa
−−
> d) 2
1
2
1
aa >
−
Bài 1.9. So sánh hai số m, n nếu: 
a) nm 2,32,3 < b) 
nm
2
3
2
3








>







 c) 
nm
9
1
9
1





>




 
Nguyễn Xuân Tiệp – SĐT: 0978.331.989 
Địa chỉ: Hà Nội 
Nhận dậy kèm các lớp Toán 10-11-12 
Luyện thi Đại học. 
Chương 12.2. Hàm số mũ và hàm số logarit Nguyễn Xuân Tiệp – 0978.331.989 
Nhận dậy kèm các lớp Toán 10-11-12 
Luyện thi Đại học. - 2 - 
PHẦN II. HÀM SỐ LOGARIT 
Bài 2.1. Thực hiện các phép tính sau 
a) 2log.4log
4
12 b) 9log.25
1
log 275 c) 1a 0 ,alog
3
a ≠< d) 
2log3log 32 94 + 
e) 8log
22
 f) 27log2log 89 427 + g) 
7
a/1
3/1
aa
alog
alog.alog 43
 h) 2log.9log.6log 683 
Bài 2.2. Cho 1a > . Chứng minh: )2a(log)1a(log )1a(a +>+ + . 
Bài 2.3. So sánh các cặp số sau: 
a) 4log3 và )3/1(log4 b) 
3
1,0 2log và 34,0log 2,0 c) )5/2(log 4/3 và )4/3(log 2/5 
g) 3log2 và 4log3 h) 10log9 và 11log10 i) )2(log 2/1 và )3(log 3/1 
Bài 2.4. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: 
a) 477,03lgCho = . Tính 9000lg ; 000027,0lg ; 
100log
1
81
. 
g) Cho 3loga 30= , 5logb 30= . Tính 1350log30 theo a, b. 
h) Cho 3loga 2= , 5logb 3= , 2logc 7= . Tính 63log140 theo a, b, c. 
Bài 2.5. Chứng minh các hệ thức: 
a) 6log.6log26log6log 218218 =+ b) 
alogblog xx ba = c) blog1
clog
clog
a
ab
a += 
d) 
dlog
dlog.dlog.dlog
dlog.dlogdlog.dlogdlog.dlog
abc
cba
accbba =++ 
Chương 12.2. Hàm số mũ và hàm số logarit Nguyễn Xuân Tiệp – 0978.331.989 
Nhận dậy kèm các lớp Toán 10-11-12 
Luyện thi Đại học. - 3 - 
III. GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT 
A. Lý thuyết 
1. Giới hạn đặc biệt 
e
x
1
1lim)x1(lim
x
x
x
1
0x
=




 +=+
±∞→→
 1
x
1e
lim
x
)x1ln(
lim
x
0x0x
=
−
=
+
→→
2. Đạo hàm hàm số mũ và logarit 
Hàm lũy thừa ( ) 1n'n x.nx −= ( ) 'u.u.nu 1n'n −= ( ) n 1n
'
n
xn
1
x
−
= ( )
n 1n
'
n
un
'u
u
−
= 
Hàm số mũ ( ) alnaa x'x = ( ) 'u.alnaa u'u = ( ) x'x ee = ( ) 'u.ee u'u = 
Hàm số 
logarit 
( )
alnx
1
|x|log 'a = ( ) alnu
'u
|u|log 'a = ( ) x
1
|x|ln ' = ( )
u
'u
|u|ln ' = 
B. Bài tập 
Bài 3.1. Tình các giới hạn sau: 
a) 
x
x 1x
x
lim 





++∞→
 b) 
x
1x
x x
1
1lim
+
+∞→






+ c) 
1x2
x 2x
1x
lim
−
+∞→






−
+
 d) 
3
1x
x 2x3
4x3
lim
+
+∞→






+
−
e) 
x
x 1x2
1x
lim 





−
+
+∞→
 f) 
x
x 1x
1x2
lim 





−
+
+∞→
 g) 
ex
1xln
lim
ex −
−
→
 h) 
x3
1e
lim
x2
0x
−
→
Bài 3.2. Tính đạo hàm các hàm số sau: 
a) x2 e)2x2x(y +−= ; b) x2 e)x2x(y −+= ; c) xsin.ey x2−= ; d) 
2xx2ey += 
e) 
x
3
1
x
e.xy
−
= ; f) 
xx2
xx2
ee
ee
y
−
+
= ; g) xcosx e.2y = ; h) 
1xx
3
2
x
+−
; 
Bài 3.3. Chứng minh rằng: 
a) Cho 





+
=
1x
1
lny . CMR: ye1'xy =+ ; b) Cho 2
x2
e.xy
−
= . CMR: y)x1('xy 2−= 
c) Cho 
xlnx1
1
y
++
= . CMR: )1xlny(y'xy −= ; d) Cho .e)1x(y x+= CMR: xey'y =− 
Bài 3.3. Tính các giá trị đạo hàm sau: 
a) Cho 
2
x
x
e
)x(f = . Tính )1('f ; b) Cho 
2
ee
)x(f
xx −−
= . Tính )0('f ; 
c) Cho xln)x(f 2= . Tính )e('f ; d) Cho )1xln()x(f 4 += . Tính )1('f ; 
Bài 3.4. Tính đạo hàm các hàm số sau: 
a) y = (sinx + cosx). e3x; b) y = (x2 + 2x + 3). ex c) y = (1 + cotgx).ex 
d) y= 23x + 32x + 43x; e) y = 24x.34x .53x.; f) y = ex.22x.x2; 
g) y = x.ex.lnx; h) y = 1x2x
2
a ++ ; i) y = ( )
2xsine ; 
Bài 3.5. Chứng minh các hàm số sau thỏa mãn hệ thức đã cho: 
a) Hàm số 1xxln1xx
2
1
2
x
y 22
2
+++++= thỏa mãn hệ thức 2y = xy’ + lny’. 
b) Hàm số y = )2008e)(1x( x2 ++ thỏa mãn hệ thức y’ = )1x(e
1x
xy2 2x
2
++
+
. 
c) Hàm số y = 
)xln1(x
xln1
−
+
 thỏa mãn hệ thức 2x2y’ = 1yx 22 + 
Chương 12.2. Hàm số mũ và hàm số logarit Nguyễn Xuân Tiệp – 0978.331.989 
Nhận dậy kèm các lớp Toán 10-11-12 
Luyện thi Đại học. - 4 - 
IV. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
Bài 4.1. Giải các phương trình sau: 
a) 001,02.5 xx = b) 5x 10244 = c) 722.3 1xx =+ d) 84444 1xx1x =++ +− 
e) 
32
1
8 x31 =− f) 
64
27
27
8
9
2
xx
=











−
 g) 1
2
3
6x5x2
=





+−
 h) 
125
8
5
2
2
5
1x
=





+
Bài 4.2. Giải các phương trình sau: 
a) 1x3xx2x1xx 333555 ++++ −+=++ b) 2x1xx2x1xx 333222 −−−− +−=++ 
c) 2x8|1x3| 39 −− = d) x318xx 42
2 −+− = e) 1x4x3x 42
2 −−+ = f) 223)223( x2 +=− 
Bài 4.3. Giải các phương trình sau: 
a) 1)1xx( 1
2x2 =+− − b) 1)1x( 3x =+ − c) 1xx
2x
2 =



 −
−
 d) 1)2x2x(
2x42 =+− − 
Bài 4.4. Giải các phương trình sau: 
a) 16224 2x4x1x +=+ +++ b) 02424 1xx =−+ + c) 01284.244 xx2 =+− 
Bài 4.5. Giải các phương trình sau: 
a) 04.66.139.6 xx x =+− b) 016.2712.849.64 xxx =+− c) xxx 36.581.216.3 =+ 
Bài 4.6. Giải các phương trình sau: 
a) 059.29.3 xx =+− − b) 0455 x1x =+− − c) 322
22 xx2xx =− −+− 
d) 1099 xcosxsin
22
=+ e) 2455
22 x1x1 =− −+ f) 2)625()625( xsinxsin =−++ 
Bài 4.7. Giải các phương trình sau: 
a) 05x23).2x(29 xx =−+−+ b) 07x25).x3(225 xx =−+−− 
c) 0x35).10x3(25.3 2x2x =−+−+ −− d) 013).5x(9).4x( xx =++−+ 
Bài 4.8. Giải các phương trình sau: 
a) 1444 7x3x25x6x2x3x
222
+=+ +++++− b) xxx 6242.33.8 +=+ 
c) 0422.42 x2xxxx
22
=+−− −+ d) 1333 1x11x32x9x21x2x
222
+=+ −−−−+− 
Bài 4.9. Giải các phương trình sau: 
a) xx 41)15( =+ b) x2
x
231 =+ c) xxx 543 =+ d) xxxx 10532 =++ 
Bài 4.10. Giải các bất phương trình sau: 
a) 363.2 2x1x >+− b) 2x
6
x 39 +< c) 1x37x3x2 3.26 −++ < 
d) 11333 2x1xx <−+ −− f) 2xx1x2x 5252 +++ +<+ 
Bài 4.11. Giải các bất phương trình sau: 
a) xxx3 8.2)24()2( ≥+ b) 09.93.83 4x4xxx2 >−− +++ c) )8e.x(xe.8x 1x21x4 −>− −− 
d) xx1x1x2 30.53065 +>+ ++ f) 255102.25 xxx >+− 
Bài 4.12. Giải các bất phương trình sau: 
a) 1
23
23.2
xx
2xx
≤
−
− +
 b) 
x1x 31
1
13
1
−
≥
−+
 c) 9339 x2xx −>− + 
Bài 4.13. Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau 
a) 83m3m xx =+ − b) 03m2).3m(24).1m( xx =++−+− 
c) 0m2.m2).2m( xx =++− − d) 01m3).2m(29).4m( xx =−+−−− 
Bài 4.14. Xác định m để các phương trình sau có nghiệm 
a) xsinxcosxsin
222
3.m32 ≥+ b) 01a3).1a(9.a 2xx ≥−+−+ + 
c) 0m232.m4 1xx ≤−+− + d) 04).1m(6).1m(29 xx2xx2xx2
222
≥++−− −−− 
Bài 4.15. Giải các hệ phương trình sau: 
a) 





=
+
+
−=
+
y
22
24
y4y52
x
1xx
2x3
 b) 




=
=
−−
+
14
1255
1)yx(
yx
2
 c) 



=+
=+
5yx
1222 yx
 d) 




=
=
−−
+
15
1284
3y2x3
yx
Chương 12.2. Hàm số mũ và hàm số logarit Nguyễn Xuân Tiệp – 0978.331.989 
Nhận dậy kèm các lớp Toán 10-11-12 
Luyện thi Đại học. - 5 - 
e) 




=−
=−
723
7723
2x
yx2
 f) 




=
=
543.2
243.2
xy
yx
 g) 




+=
+=
1x23
1y23
y
x
 h) 




=+
=−
193x
13x
y2
y
Chương 12.2. Hàm số mũ và hàm số logarit Nguyễn Xuân Tiệp – 0978.331.989 
Nhận dậy kèm các lớp Toán 10-11-12 
Luyện thi Đại học. - 6 - 
V. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
Bài 5.1. Giải các phương trình sau: 
a) 1)]1x(x[(log2 =− b) 5x3log62)2x(log 8/12 −=−− 
c) 3logxlogxlog 2,0255 =+ d) 2)4x5x2(log
2
x =+− 
e) 0
1x
3x
lg)3x2xlg( 2 =
−
+
+−+ f) 2)x10(logxlog 44 =−+ 
g) )2x(log)6x(logxlog 555 +−+= h) 1)69(log)63.4(log
x
2
x
2 =−−− 
i) 5lgxlg x505 −= j) 3log3)12x7x(log)2x3x(log 2
2
2
2
2 +=+++++ 
k) 0)xx(log)2x1x1( 22 =−−++− l) 0
32.4
1
log2)272.154(log
x2
xx
2 =−
+++ 
m) 18,0lg21xlg)4x5lg(
2
1
+=++− n) 3)1x(log)3x(log 22 =−+− 
o) 8log2)1x(log)3x(log 444 −=−−+ p) 3
2
)3x(log)2x(log2 88 =−−− 
q) 1)2x(log)6x(log 3
2
3 +−=− r) 2log/1)1x(log)3x(log 522 =−++ 
s) 0)2x(log)1x(log 5/15 =+−− t) 6xlogxlogxlog 3/133 =++ 
u) 110log)3x(log)1x(log 222 −=++− v) 5xlogxlogxlog 816/14 =++ 
w) 02)26x(log)8x(log 39 =++−+ x) 11xlogxlogxlog 842 =++ 
Bài 5.2. Giải các phương trình sau 
a) 1)3x(log
x3x2
=+
+
 b) 2)6x5x(log 2x2 =+− 
c) )x1lg(2)1xlg()1x2xlg(1 22 −=+−+−+ d) )x21lg(2)19xlg()1x4x4lg(2 22 −=+−+−+ 
e) )x7(log1)1x(log)1x(log
2/12/12/1
−+=++− f) 2)2x8x9(log 25x3 =+++ 
g) 1)x23(log 2x =− h) 1)xx(log
2
3x =−+ 
i) 3)1x3x2x2(log 231x =+−++ j) 1)1x(log
2
4x2 =++ 
k) )x3(logx2 55)29(log
−=− l) x5)212(log x2 −=− 
m) 2)255(log x1x2 =−
+ n) 1x2)13.4(log 1x3 −=−
− 
o) x3)29(log x2 −=− p) )x(loglog)x(loglog)x(loglog 332332 =+ 
q) x1)76(log x7 +=+
− r) 2)326(log x5 =− 
s) x)52.3(log 1x4 =−
+ t) 2)366(log x1x
5/1
−=−+ 
u) x5)212(log x2 −=− v) 01x2)12.3(log
x
2 =−−− 
w) )x(loglog)x(loglog 2332 = x) )]x(log[loglog)]x(log[loglog 234432 = 
y) xlog.xlogxlogxlog 2a2a =+ z) xlog.xlog2xlog2xlog 7272 +=+ 
Bài 5.3. Giải các phương trình sau: 
a) 02xlgxlg 32 =++ b) 4log)1x(log1 1x24 −=−+ 
c) 96xlog10xlog 22 =++ d) 4)21x23x6(log)9x12x4(log
2
3x2
2
7x3 =+++++ ++ 
e) xlog2xlog416log3 216x =− f) 13)x(log1)x(log 2,004,0 =+++ 
g) 0)2xlg(lg)xlg(lg 3 =−+ h) 364log16log x2
2
x =+ 
i) 1
xlg2
2
xlg4
1
=
+
+
−
 j) 
8
1
log)14(log).44(log
2
1
x
2
1x
2 =++
+ 
k) 25lgx)20.255.6lg( xx +=+ l) )55lg()15lg()12(lg2 x1x +=++− − 
m) 016)1x(log)1x(4)1x(log)2x( 3
2
3 =−+++++ n) x
x =+ )3(log52 
o) 162x3 xlogxlog 3
2
3 =+ p) 
3xlgxlg
1x1x
22
−=−
− 
q) 1)55(log).15(log 1x25
x
5 =−−
+ r) 021xlog6)1x(log 2
2
2 =++−+ 
Chương 12.2. Hàm số mũ và hàm số logarit Nguyễn Xuân Tiệp – 0978.331.989 
Nhận dậy kèm các lớp Toán 10-11-12 
Luyện thi Đại học. - 7 - 
s) 1xlog3log 9x2 =+ t) 0xlog40xlog14xlog x4
3
x16
2
x2 =+− 
u) 3/2xlogxlog 3 2
3
2 −=− v) 0xlogxlog3xlog 2/12
2
2
=++ 
w) 04xlog).1x(2xlogx 2
2
2 =++− x) )1xx(log)1xx(log).1xx(log
2
6
2
3
2
2 −−=−+−− 
y) 3logxlog29log 222 x3.xx −= z) xlog)x1(log 32 =+ 
aa) xlog)3x(log 6
xlog
2
6 =+ ab) )2x(logxlog 37 += 
Bài 5.4. Giải các phương trình sau: 
a) x3)3xlg(3xx)6xxlg( 22 ++=−++−+ b) x2)9
2
1
x(loglog x93 =++ 
c) 3lg2lgx)54lg(x x +=−+ d) 5log3log 22 xxx =+ 
e) )2xlg(4)6xxlg(x 2 ++=−−+ f) xlogxlog2 22 53x =+ 
g) 33.2x xlog2 =+ h) )1x(15)]2x(log)2x()[log2x(4 32 +=−+−− 
i) x3)3x(log5 −=+ j) x)x3(log2 =− 
k) ( ) )11x2(log.xlogxlog2 33x9 −+= l) 0xsin1)xln(sin 32 =+− 
m) 
)4x4x4(log
8
22
2
3
x231x2
+−
=+ −+ n) 222 x1)1|x|x(log −=−+ 
o) x4 )3x(log7 =+ p) 2xlogxlog x1)22(x)22( 22 +=−++ 
Bài 5.5. Tìm m để các phương trình: 
a) x)a99(log 3x3 =+ có 2 nghiệm phân biệt. 
b) 1x)m4(log x2 +=− có hai nghiệm phân biệt 
c) 01m3xlog)2m(xlog 3
2
3 =−++− có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện 27x.x 21 = . 
d) )m2mxx(log)m4m2xx2(log2 222
22
4 −+=−+− có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện 27xx
2
2
2
1 =+ . 
e) 01m21xlogxlog 23
2
3 =−−++ có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn ]3 ;1[
3 . 
f) ( ) 0mxlogxlog4 222 =++ có nghiệm thuộc khoảng (0; 1). 
Bài 5.6. Giải bất phương trình sau: 
a) 1)3x4x(log 28 ≤+− b) 0)]5x([loglog
2
4
3
1 >− 
c) 03xlogxlog 33 <−− d) 0)4x(log2)8x6x(log 5
2
5
1 <−++− 
e) 3log
2
5
xlog x
3
1 ≥+ f) [ ] 1)93(loglog x9x <− 
g) 1x4log.2log.2log 2x2x > h) 1xlogxlog 3
2
1 >+ 
i) 2
1x
1x8x
log
2
2 ≤





+
−+
 j) 0
x
2x3x
log
2
2
1 ≥
+−
k) 1)2x3x(log 2
2
1 −≥+− 
Bài 5.7. Giải các hệ phương trình sau: 
a) 



=+
=+
29yx
1ylgxlg
22
 b) 



=
=+
8xy
5)ylogx(log2 xy c) 



=+−
=−
04y5x
0ylogxlog
22
24 d) 



=−−+
+=+
3lg)yxlg()yxlg(
2lg31)yxlg( 22
e) 



=+
=+
6yx
2xlogylog yx f) 



=−−+
=−
1)yx(log)yx(log
3yx
53
22
 g) 




=
=+
9x
32xlog
y
ylog
3
2
 h) 




=−
=−+−
3ylog)x9(log3
1y21x
3
3
2
9
i) 



=
=
4xlog
32xy
y
 j) 



=+
+=+
5yx
2log1ylogxlog 333 k) 



=
=−
12y
3
3x
1xlogy
 l) 




=−+
=−
0y2y|x|
0ylogxlog
23
3
2
3 
m) 



=+
=+
2)x2y3(log
2)y2x3(log
y
x n) 




=+
−=−
4ylogxlog
ylog2)y/x2(log
2/32/3
22 o) 




=
=
3lg4lg
xlgxlg
)y3()x4(
43
 p) 




=+
=+
2ylogxlog
10y.2x.3
2
2
4
xlogylog 22