Bài giảng toán ứng dụng thực tiễn - Trần Văn Tài

BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN (DEMO) 2017
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM H.Y 1 
Nhĩm 1: Bài tốn về quãng đường 
Câu 1. Một cơng ty muốn làm một đường ống dẫn từ một 
điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hịn đảo. 
Hịn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống 
trên bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km 
để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ 
vuơng gĩc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 
9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo 
ACB thì số tiền ít nhất. Khi đĩ C cách A một đoạn 
bằng: 
 A. 6.5km B. 6km C. 0km D.9km 
Hướng dẫn giải 
Đặt 
Chi phí xây dựng đường ống là 
Hàm , xác định, liên tục trên và 
; ; 
Vậy chi phí thấp nhất khi . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km. 
Câu 2. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí cĩ khoảng cách 
đến bờ biển .Trên bờ biển cĩ một cái kho ở 
vị trí cách một khoảng .Người canh hải 
đăng cĩ thể chèo đị từ đến trên bờ biểnvới vận 
tốc rồi đi bộ đến với vận tốc .Vị trí 
của điểm cách B một khoảng bao nhiêu để người 
đĩ đi đến kho nhanh nhất? 
 A. B. C. D. 
' ( ) , [0;9] x B C km x
2 36; 9   BC x AC x
2( ) 130.000 36 50.000(9 ) ( )   C x x x USD
( )C x [0;9]
2
13
'( ) 10000. 5
36
 
  
 
x
C x
x
2'( ) 0 13 5 36   C x x x
2 2 2 25 5169 25( 36)
4 2
      x x x x
(0) 1.230.000C
5
1.170.000
2
 
 
 
C (9) 1.406.165C
2,5x
A
5AB km
C B 7km
A M
4 /km h C 6 /km h
M
0km 7km 2 5 km
14 5 5
km
12
9km
6km
đảo
bờ biển
biển
A
B
B'
BÀI TỐN ỨNG DỤNG 
BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN (DEMO) 2017
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM H.Y 2 
C
B
A
G
Hướng dẫn giải 
Đặt . 
Ta cĩ: Thời gian chèo đị từ đến là: 
Thời gian đi bộ đi bộ đến là: 
Thời gian từ đến kho 
Khi đĩ: , cho 
 Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi 
Câu 3. Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Cơn Đảo (điểm 
C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 
100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây 
điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến 
G rồi từ G đến C chi phí ít nhất. 
 A: 40km B: 45km C: 55km D: 60km 
Hướng dẫn giải 
Gọi (0 100) 100BG x x AG x 
Ta cĩ 2 2 2 3600GC BC GC x 
Chi phí mắc dây điện: 
2( ) 3000.(100 ) 5000 3600f x x x 
Khảo sát hàm ta được: 45x . Chọn B. 
Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu 
mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng 
sao cho gĩc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đĩ ? (BOC gọi là gĩc 
nhìn) 
 A. 2,4AO m B. 2AO m 
 C. 2,6AO m D. 3AO m 
Hướng dẫn giải 
( ) 7 ( )BM x km MC x km ,(0 7)x
A M
2 25
( ).
4
AM
x
t h


C
7
( )
6
MC
x
t h


A
2 25 7
4 6
x x
t
 
 
2
1
64 25
x
t
x
  

0 2 5t x   
2 5( ).x km
O A 
C 
B 
1,4 
1,8 
BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN (DEMO) 2017
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM H.Y 3 
Với bài tốn này ta cần xác định OA để gĩc BOC lớn nhất. 
Điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất. Đặt OA = x (m) với x > 0, 
ta cĩ tanBOC = tan(AOC - AOB) = 
tan tan
1 tan .tan
AOC AOB
AOC AOB
 = 
2
.
1
AC AB
OA OA
AC AB
OA
 = 
2
1,4
3,2.1,8
1
x
x
 = 
2
1,4
5,76
x
x
 Xét hàm số f(x) = 
2
1,4
5,76
x
x
Bài tốn trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta cĩ 
 f'(x) =
2
2 2
1,4 1,4.5,76
( 5,76)
x
x
, f'(x) = 0 x = 2,4 
 Ta cĩ bảng biến thiên 
 Vậy vị trí đứng cho gĩc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m. 
Câu 4. Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác 
định một trạm trung chuyển hàng hĩa C và xây 
dựng một con đường từ C đến D. Biết rằng vận 
tốc trên đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1 
< v2). Hãy xác định phương án chọn địa điểm C 
để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến 
cảng D là ngắn nhất? 
Hướng dẫn giải 
Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hĩa từ cảng A đến cảng D. 
Thời gian t là: t = 
1 2
AC CD
v v
 = 
1 2
AE CE CD
v v
 = 
 = 
1 2
tan sin
h h
v v
 = 
1 2
.cot
sin
h h
v v
A B C 
D 
E 
h 
0 
f(x) 
+ 2,4 
+ _ 
0 0 
0 
x 
f'(x) 
B A C 
D 
E 
h 
 
BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN (DEMO) 2017
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM H.Y 4 
Xét hàm số 
1 2
.cot
( )
sin
h h
t
v v
. Ứng dụng Đạo hàm ta được ( )t nhỏ nhất khi 
2
1
cos
v
v
. Vậy để t nhỏ nhất ta chọn C sao cho 2
1
cos
v
v
. 
Câu 5. Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 
hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, một 
chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ, cịn tàu kia 
chạy về vị trí hiện tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 
hải lý/ giờ. Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách của hai tàu là lớn nhất? 
Hướng dẫn giải 
Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu 
là d. 
 Ta cĩ d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 
+ (6t)2 
 Suy ra d = d(t) = 285 70 25t t . 
Áp dụng Đạo hàm ta được d nhỏ nhất 
khi 
7
17
t (giờ), khi đĩ ta cĩ d 3,25 Hải lý. 
Nhĩm 2: Bài tốn diện tích hình phẳng 
Câu 6. Cho hình chữ nhật cĩ diện tích bằng 2100( )cm . Hỏi mỗi kích thước của nĩ bằng bao 
nhiêu để chu vi của nĩ nhỏ nhất? 
A. 10 10cm cm B. 20 5cm cm C. 25 4cm cm D. Đáp án khác 
 Hướng dẫn giải 
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: ( )x cm và ( ) ( , 0).y cm x y 
Chu vi hình chữ nhật là: 2( ) 2 2P x y x y 
Theo đề bài thì: 100xy hay 
100
y
x
. Do đĩ: 
200
2( ) 2P x y x
x
với 0x 
Đạo hàm: 
2
2 2
200 2 200
'( ) 2
x
P x
x x
. Cho ' 0 10y x . 
Lập bảng biến thiên ta được: 
min
40P khi 10 10x y . 
Kết luận: Kích thước của hình chữ nhật là 10 10 (là hình vuơng). 
Lưu ý: Cĩ thể đánh giá bằng BĐT Cơ-Sy: 2( ) 2.2 4 100 40.P x y xy 
   
 
A 
B 
A1 
B1 
d 
   
 
A B 
A1 
B1 
d 
BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN (DEMO) 2017
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM H.Y 5 
Câu 7. Một lão nơng chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ 
được chọn miếng đất hình chữ nhật cĩ chu vi bằng 800( )m . Hỏi anh ta chọn mỗi 
kích thước của nĩ bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất? 
 A.200 200m m B.300 100m m C.250 150m m D.Đáp án khác 
Hướng dẫn giải 
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: và 
Diện tích miếng đất: 
Theo đề bài thì: hay . Do đĩ: với 
Đạo hàm: . Cho . 
Lập bảng biến thiên ta được: khi . 
Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật là (là hình vuơng). 
Lưu ý: Cĩ thể đánh giá bằng BĐT Cơ-Sy. 
Câu 8. Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là 180 mét 
thẳng hàng rào. Ở đĩ người ta tận dụng một bờ giậu cĩ sẵn để làm một cạnh của 
hàng rào và rào thành mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất hình chữ nhật được 
rào cĩ diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu? 
 A. 23600
max
S m B. 24000
max
S m C. 28100
max
S m D. 24050
max
S m 
Hướng dẫn giải 
Gọi là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và là chiều dài cạnh vuơng gĩc với bờ 
giậu, theo bài ra ta cĩ . Diện tích của miếng đất là . 
Ta cĩ: 
Dấu xảy ra . 
Vậy khi . 
Câu 9. Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều 
mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu 
diện tích tiết diện ngang của mương là S, là độ dài 
đường biên giới hạn của tiết diện này, - đặc trưng 
cho khả năng thấm nước của mương; mương đựơc 
gọi là cĩ dạng thuỷ động học nếu với S xác định, là nhỏ nhất). Cần xác định các 
kích thước của mương dẫn nước như thế nào để cĩ dạng thuỷ động học? (nếu 
mương dẫn nước cĩ tiết diện ngang là hình chữ nhật) 
A. 4 ,
4
S
x S y B. 4 ,
2
S
x S y 
( )x m ( ) ( , 0).y m x y
S xy
2( ) 800x y 400y x 2(400 ) 400S x x x x 0x
'( ) 2 400S x x ' 0 200y x
max
40000S 200 200x y
200 200
x y
2 180x y (180 2 )S y y
2 2(2 180 2 )1 1 180
(180 2 ) 2 (180 2 ) 4050
2 2 4 8
y y
y y y y
'' '' 2 180 2 45y y y m
24050
max
S m 90 , 45x m y m
x 
y 
BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN (DEMO) 2017
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM H.Y 6 
C. 2 ,
4
S
x S y D. 2 ,
2
S
x S y 
Hướng dẫn giải 
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Theo bài ra ta cĩ: S = xy; 
2
2
S
y x x
x
. Xét hàm số ( )x
2S
x
x
. Ta cĩ '( )x = 
2
2S
x
 + 1 = 
2
2
2x S
x
. 
 '( )x = 0 2 2 0 2x S x S , khi đĩ y = 
S
x
 = 
2
S
. 
Dễ thấy với x, y như trên thì mương cĩ dạng thuỷ động học, vậy các kích thước của 
mương là 2x S , y = 
2
S
 thì mương cĩ dạng thuỷ động học. 
Câu 10. Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới là 
hình chữ nhật, cĩ chu vi là ( )a m (a chính là chu vi hình bán nguyệt 
cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây 
cung của hình bán nguyệt). Hãy xác định các kích thước của nĩ để diện 
tích cửa sổ là lớn nhất? 
A. chiều rộng bằng
2
4
a
, chiều cao bằng
4
a
B. chiều rộng bằng
4
a
, chiều cao bằng 
2
4
a
C. chiều rộng bằng (4 )a , chiều cao bằng 2 (4 )a 
D. Đáp án khác 
Hướng dẫn giải 
Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt. Ta cĩ chu vi của hình bán nguyệt là x , tổng ba 
cạnh của hình chữ nhật là a x . Diện tích cửa sổ là: 
2
2
1 2
2
2 ( 2) ( 2) ( )
2 2 2 2
2
2
x a x x a
S S S x ax x x x . 
Dễ thấy S lớn nhất khi 
2
2
a
x x hay 
4
a
x .(Cĩ thể dùng đạo hàm hoặc đỉnh 
Parabol) 
2x 
S1 
S2 
BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN (DEMO) 2017
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM H.Y 7 
Vậy để 
max
S thì các kích thước của nĩ là: chiều cao bằng
4
a
; chiều rộng bằng
2
4
a
Câu 11. Người ta muốn làm một cánh diều hình quạt sao cho với chu vi cho trước là a sao 
cho diện tích của hình quạt là cực đại. Dạng của quạt này phải như thế nào? 
A. ;
4 2
a a
x y B. ;
3 3
a a
x y 
C. 
2
;
6 3
a a
x y D. Đáp án khác 
Hướng dẫn giải 
Gọi x là bán kính hình quạt, y là độ dài cung trịn. Ta cĩ chu vi cánh diều là 2a x y . Ta 
cần tìm mối liên hệ giữa độ dài cung trịn y và bán kính x sao cho diện tích quạt lớn nhất. 
Dựa vào cơng thức tính diện tích hình quạt là 
2
360
R
S và độ dài cung trịn
2
360
R
, ta cĩ 
diện tích hình quạt là: 
2
R
S . Vận dụng trong bài tốn này diện tích cánh diều là: 
( 2 ) 1
2 ( 2 )
2 2 4
x a xxy
S x a x . 
 Dễ thấyS cực đại 2 2
4 2
a a
x a x x y . Như vậy với chu vi cho trước, diện 
tích của hình quạt cực đại khi bán kính của nĩ bằng nửa độ dài cung trịn. 
Câu 12. Cĩ một tấm gỗ hình vuơng cạnh 200 cm. Cắt một tấm gỗ cĩ hình tam giác vuơng, 
cĩ tổng của một cạnh gĩc vuơng và cạnh huyền bằng hằng số từ tấm gỗ trên 
sao cho tấm gỗ hình tam giác vuơng cĩ diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm 
gỗ này là bao nhiêu? 
 A. . B. . C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Kí hiệu cạnh gĩc vuơng 
Khi đĩ cạnh huyền , cạnh gĩc vuơng kia là 
Diện tích tam giác ABC là: . Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số này 
trên khoảng 
Ta cĩ 
Lập bảng biến thiên ta cĩ: 
120cm
40cm 40 3cm 80cm 40 2cm
,0 60  AB x x
120 BC x 2 2 2120 240   AC BC AB x
  2
1
. 120 240
2
 S x x x
 0;60
   2
2 2
1 1 240 14400 360
, 120 240 . ' 0 40
2 2 2 120 240 2 120 240
 
       
 
x
S x x x S x x
x x
y 
x x 
BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN (DEMO) 2017
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM H.Y 8 
Tam giác ABC cĩ diện tích lớn nhất khi Từ đĩ chọn đáp án C 
Câu 13. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường trịn bán kính 
, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường trịn. 
 A. B. C. D. 
Hướng dẫn giải 
Gọi là độ dài cạnh hình chữ nhật khơng nằm dọc theo đường kính đường trịn 
. 
Khi đĩ độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường trịn là: 
Diện tích hình chữ nhật: 
Ta cĩ 
. Suy ra là điểm cực đại của hàm . 
Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là: 
Câu 14. Một máy tính được lập trình để vẽ một 
chuỗi các hình chữ nhật ở gĩc phần tư thứ 
nhất của trục tọa độ Oxy , nội tiếp dưới 
đường cong y=e-x. Hỏi diện tích lớn nhất của 
hình chữ nhật cĩ thể được vẽ bằng cách lập 
trình trên 
x 0 40 60
 S' x  0

 S x
 40S
80BC
10cm
280cm 2100cm 2160cm 2200cm
( )x cm
0 10x
2 22 10 .x cm
2 22 10S x x
2
2 2 2 2
2 2
2
2 10 2.10 4
10
x
S x x
x
10 2
 thỏa
2
0
10 2
 không thỏa
2
x
S
x
10 2
8 40 2 0
2
S x S
10 2
2
x S x
2
2 210S 10 2. 10 100 
2
cm
BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN (DEMO) 2017
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM H.Y 9 
A. 0,3679 ( đvdt) B. 0,3976 (đvdt) 
C. 0,1353( đvdt) D 0,5313( đvdt) 
Hướng dẫn giải 
Diện tích hình chữ nhật tại điểm x là S = xe-x 
Dựa vào bảng biến thiên ta cĩ Smax = khi x=1 
Đáp án A 
Câu 15. Cho một tấm nhơm hình vuơng cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như 
hình vẽ. Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất. 
 A. 7 B. 5 C. D. . 
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ nhỏ nhất lớn nhất. 
Tính được (1) 
Mặt khác đồng dạng nên (2) 
Từ (1) và (2) suy ra . Ta cĩ 2S lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất. 
Biểu thức nhỏ nhất . Vậy đáp án cần chọn là C. 
Nhĩm 3: Bài tốn liên hệ diện tích, thể tích 
'( ) (1 )xS x e x 
'( ) 0 1S x x  
1 0,3679e
y cm
 x cm 3cm
2 cmA
D C
BE
F
H
G
7 2
2
4 2
EFGHS AEH CGF DGHS S S S   
2 2 3 (6 )(6 y) xy 4x 3y 36S x y x        
AEH CGF 6
AE AH
xy
CG CF
  
18
2 42 (4 x )S
x
  
18
4 x
x

18
4 x
x

18 3 2
4 2 2
2
x x y
x
     
BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN (DEMO) 2017
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM H.Y 10 
Câu 16. (ĐMH)Cĩ một tấm nhơm hình vuơng cạnh 12 .cm Người ta cắt ở bốn gĩc của tấm 
nhơm đĩ bốn hình vuơng bằng nhau, mỗi hình vuơng cĩ cạnh bằng ( )x cm rồi gấp 
tấm nhơm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp khơng nắp. Tìm x để 
hình hộp nhận được cĩ thể tích lớn nhất. 
 A. 6x B. 3x C. 2x D. 4x 
Hướng dẫn giải 
Độ dài cạnh đáy của cái hộp: 12 2 .x Diện tích đáy của cái hộp: 2(12 2 )x . 
Thể tích cái hộp là: 2 3 2(12 2 ) . 4 48 144V x x x x x với (0;6)x 
Ta cĩ: 3 2'( ) 12 96 144 .V x x x x Cho '( ) 0V x , giải và chọn nghiệm 2.x 
Lập bảng biến thiên ta được 
max
128V khi 2.x 
Câu 17. Một Bác nơng dân cần xây dựng một hố ga khơng cĩ nắp dạng hình hộp chữ nhật 
cĩ thể tích , tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng . Hãy 
xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? 
 A. B. C. D. 
Hướng dẫn giải 
Gọi lần lượt là chiều rộng, chiều dài của đáy hố ga. 
Gọi là chiều cao của hố ga ( ). Ta cĩ 
 suy ra thể tích của hố ga là : 
 Diện tích tồn phần của hố ga là: 
Khảo sát hàm số suy ra diện tích tồn phần của hố ga nhỏ nhất bằng 
khi 
Suy ra diện tích đáy của hố ga là 
Câu 18. Người ta phải cưa một thân cây hình trụ cĩ đường kính 1m , chiều dài 8m để được 
một cây xà hình khối chữ nhật như hình vẽ. Hỏi thể tích cực đại của khối gỗ sau khi 
cưa xong là bao nhiêu? 
33200cm 2
21200cm 2160cm 21600cm 2120cm
, ( , 0)x y x y
h 0h 2 2 1
h
h x
x
2
3200 1600
3200 2V xyh y
xh x
2 26400 1600 80002 2 4 4 ( )S xh yh xy x x f x
x x x
( ), 0y f x x
21200cm
10 16x cm y cm 210.16 160cm
BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN (DEMO) 2017
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM H.Y 11 
Hướng dẫn giải 
Gọi , ( )x y m là các cạnh của tiết diện. Theo Định lí Pitago ta cĩ: 2 2 21x y (đường kính 
của thân cây là 1m ). Thể tích của cây xà sẽ cực đại khi diện tích của tiết diện là cực đại, 
nghĩa là khi .x y cực đại. Ta cĩ: 2 2
1
2 .
2
x y xy xy Dấu " " xảy ra khi 
1
2
x y . 
Thể tích khối gỗ sau khi cưa xong: 3
1 1
8 4
2 2
V m (tiết diện là hình vuơng). 
Câu 19. Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn 
là một thợ hàn. Bố bạn định làm một 
chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tơn 
cĩ chu vi 120 cm theo cách dưới đây: 
Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tơn để làm được chiếc thùng cĩ thể tích 
lớn nhất, khi đĩ chiều dài, rộng của mảnh tơn lần lượt là: 
 A. B. C. D. 
Hướng dẫn giải 
Gọi một chiều dài là , khi đĩ chiều cịn lại là , giả sử quấn cạnh cĩ 
chiều dài là x lại thì bán kính đáy là Ta cĩ: 
Xét hàm số: 
 Lập bảng biến thiên, ta thấy lớn nhất khi x=40. 60-x=20. Khi đĩ 
chiều dài là 40 cm; chiều rộng là 20 cm. Chọn đáp án B 
Câu 20. Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là 
2000 lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao 
nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất? 
 A. 1m và 2m B. 1dm và 2dm 
 C. 2m và 1m D. 2dm và 1dm 
Hướng dẫn giải 
Đổi 32000 ( ) 2 ( )lit m . Gọi bán kính đáy và chiều cao lần lượt là ( )x m và ( )h m . 
35 ;25cm cm 40 ;20cm cm 50 ;10cm cm 30 ;30cm cm
x cm (0 60)x 60 x cm
; 60 .
2
x
r h x
3 2
2 60. .
4
x x
V r h
3 2( ) 60 , 0;60f x x x x
2 0'( ) 3 120 ; '( ) 0
40
x
f x x x f x
x
3 2( ) 60 , 0;60f x x x x
BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN (DEMO) 2017
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM H.Y 12 
Ta cĩ thể tích thùng phi 2. 2V x h 
2
2
h
x
Vật liệu tỉ lệ thuận với diện tích tồn phần nên ta chỉ cần tìm x để diện tích tồn phần bé 
nhất. 
2 2
2
2 2
2 2 . 2 ( ) 2 ( )
tp
S x x h x x x
xx
Đạo hàm lập BBT ta tìm đc ( )f x GTNN tại 1x , khi đĩ 2.h 
Câu 21. Với một miếng tơn hình trịn cĩ bán kính bằng R = 6cm. Người ta muốn làm một cái 
phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình trịn này và gấp phần cịn lại thành 
hình nĩn ( Như hình vẽ). Hình nĩn cĩ thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung trịn 
của hình quạt bằng 
A. cm B. cm C. cm D. cm 
Hướng dẫn giải 
Gọi x (x>0) là chiều dài cung trịn của phần được xếp làm hình nĩn. 
Như vậy, bán kính R của hình trịn sẽ là đường sinh của hình nĩn và đường trịn đáy của 
hình nĩn sẽ cĩ độ dài là x. 
Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức . 
Chiều cao của hình nĩn tính theo Định lý Pitago là: h = . 
Thể tích của khối nĩn: . 
6 6 6 2 6 8 6
r
R h
MN
I
S
2
2
x
r x r

  
2
2 2 2
24
x
R r R

  
2 2
2 2
2
1
.
3 3 2 4
x x
V r H R


 
 
   
 
BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN (DEMO) 2017
BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM H.Y 13 
Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi ta cĩ: 
Do đĩ V lớn nhất khi và chỉ khi 
(Lưu ý bài tốn cĩ thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, tuy nhiên lời giải bài tốn 
sẽ dài hơn) 
Câu 22. Với một đĩa trịn bằng thép tráng cĩ bán kính 6R m phải làm một cái phễu 
bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần cịn lại thành hình trịn. 
Cung trịn của hình quạt bị cắt đi phải bằng bao nhiêu độ để hình nĩn cĩ thể tích 
cực đại? 
 A. 66 B. 294 C. 12,56 D. 2,8 
Hướng dẫn giải 
Ta cĩ thể nhận thấy đường sinh của hình nĩn là bán kính của đĩa trịn. Cịn chu vi đáy của 
hình nĩn chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung trịn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải 
chi tiết như sau: 
Gọi ( )x m là độ dài đáy của hình nĩn (phần cịn lại sau khi cắt cung hình quạt của dĩa). 
Khi đĩ 2
2
x
x r r 
Chiều cao của hình nĩn tính theo định lí PITAGO là 
2
2 2 2
24
x
h R r R 
Thể tích khối nĩn sẽ là : 
2 2
2 2
2 2
1 1
3 3 4 4
x x
V r h R 
Đến đây các em đạo hàm hàm ( )V x tìm được GTLN của ( )V x đạt được khi 
2
6 4
3
x R 
Suy ra độ dài cung trịn bị cắt đi là : 2 4R 0 0
2 6 4
360 66
2 6
Câu 23. Nhà Nam cĩ một chiếc bàn trịn cĩ bán kính bằng m. Nam muốn mắc một bĩng 
điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh 
sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C của bĩng điện được biểu thị bởi cơng thức 
3
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 62 2 2
2 2
2 2 2
4 4 48 8 4. . ( ) .
9 8 8 4 9 3 9 27
x x x
R
x