Bài giảng Chuyên đề Hàm số - Phương trình lượng giác

TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CƠ THÀNH VIÊN TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 1 | THBTN 
1. Phương trình lượng giác đưa về bậc hai và bậc cao cùng 1 hàm lượng giác 
Quan sát và dùng các cơng thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác (cùng sin 
hoặc cùng cos hoặc cùng tan hoặc cùng cot) với cung gĩc giống nhau, chẳng hạn: 
Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện 
2sin sin 0a X b X c   sint X 1 1t   
2cos cos 0a X b X c   cost X 1 1t   
2tan tan 0a X b X c   tant X 
2
X k

  
2cot cot 0a X b X c   cott X X k 
Nếu đặt 2 2sin , cost X X hoặc sin , cost X X thì điều kiện là 0 1t  . 
Ví dụ 1. Giải phương trình: 24cos 4sin 1 0.x x   
Giải: 
 2 2pt 4 1 sin sin 1 0 4sin sin 3 0x x x x         
sin 1
3
sin
4
x
x
 

 

 Với sin 1 2 ,
2
x x k k

      
 Với 
3
arcsin 2
43
sin ,
4 3
arcsin 2
4
x k
x k
x k

 
  
  
   
  
    
 
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos2 3cos 2 0.x x   
Giải: 
2
2cos 1
pt 2cos 3cos 1 0 ,1
2cos
32
x kx
x x k
x kx



 
      
   
 
Ví dụ 3. Giải phương trình: 3cos2 7sin 2 0.x x   
Giải: 
CHUYÊN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
2 | THBTN – CA BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CƠ BTN 
 2 2pt 3 1 2sin 7sin 2 0 6sin 7sin 5 0x x x x         
5
sin
3
1
sin
2
x
x


 
  

 Với 
5
sin
3
x  thì pt vơ nghiệm vì sin [ 1;1]x  
 Với 
2
1 6
sin ,
72
2
6
x k
x k
x k





  
   
  

Ví dụ 4. Giải phương trình: 4 24sin 5cos 4 0.x x   
Giải: 
 4 2 4 2pt 4sin 5 1 sin 4 0 4sin 5sin 1 0x x x x         
2
2
sin 1
1
sin
4
x
x
 

 

 Với 2 2sin 1 cos 0 cos 0 ,
2
x x x x k k

         
 Với 2
1 1 cos2 1 1
sin cos2 ,
4 2 4 2 6
x
x x x k k



         
Ví dụ 5. Giải phương trình: 2cos4 12sin 1 0.x x   
Giải: 
   2 2pt 2cos 2 1 6 1 cos2 1 0 2cos 2 6cos2 4 0x x x x          
cos 2 1
cos 2 2
x
x

  
 Với cos2 1 ,x x k k    
 Với cos2 2x  thì phương trình vơ nghiệm 
Ví dụ 6. Giải phương trình: 2
1 2 5
tan 0.
2 cos 2
x
x
    
Giải: 
Điều kiện cos 0x  
2
1 1 2 5
pt 1 0
2 cos cos 2x x
 
      
 
2
1 1 1
. 2. 2 0
2 cos cosx x
    
1 1
2 cos 2 ,
cos 2 3
x x k k
x

         
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CƠ THÀNH VIÊN TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 3 | THBTN 
 ÀI T V N ỤN 
BT 1. [1D1-2]Giải các phương trình lượng giác sau: 
a) 22sin sin 1 0.x x   b) 24sin 12sin 7 0.x x   
c) 
22 2 sin (2 2)sin 1 0.x x    d) 3 22sin sin 2sin 1 0.x x x     
e) 22cos 3cos 1 0.x x   f) 22cos 3cos 2 0.x x   
g) 
22cos ( 2 2)cos 2.x x   h) 24cos 2( 3 2)cos 6.x x   
i) 
2tan 2 3 tan 3 0.x x   j) 22tan 2 3 tan 3 0.x x   
k) 
2tan (1 3) tan 3 0.x x    l) 23cot 2 3 cot 1 0.x x   
m) 
23 cot (1 3)cot 1 0.x x    n) 23 cot (1 3)cot 1 0.x x    
Lời giải 
a) [1D1-2] 22sin sin 1 0x x   
2
2
sin 1
2 ,1
6sin
2
7
2
6
x k
x
x k k
x
x k







 
 
     
  

  

. 
b) [1D1-2] 24sin 12sin 7 0.x x   
7
2sin
62
,
1 5
sin 2
2 6
x kx
k
x x k





  
  
   
 
. 
c) 
22 2 sin (2 2)sin 1 0x x    
2sin 2
6
,1
5sin
22
6
x kx
k
x
x k





   
  
     
. 
d) [1D1-2]
3 22sin sin 2sin 1 0x x x     
2
2
sin 1
2
1 6
sin ,
52
2
s in 1 6
2
2
x k
x
x k
x k
x k
x
x k









 

    
   
      

  

e) 
22cos 3cos 1 0x x   
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
4 | THBTN – CA BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CƠ BTN 
2cos 1
,1
2cos
32
x kx
k
x kx



 
  
   
 
f) [1D1-2] 22cos 3cos 2 0x x   
cos 2
2 ,1
3cos
2
x
x k k
x


 
     
 

. 
g) [1D1-2]
22cos ( 2 2)cos 2x x   
cos 1 2
,32
2cos
42
x x k
k
x kx



 
   
     
 
. 
h) [1D1-2]
24cos 2( 3 2)cos 6.x x   
53
2cos
62
,
32 2cos
42
x kx
k
x kx




 
   
  
      
. 
i) [1D1-2]
2tan 2 3 tan 3 0x x   
   
2
tan 3 0 tan 3 , .
3
x x x k k

           
j) [1D1-2]
22tan 2 3 tan 3 0x x   
 
3 3 3 3
tan arctan ,
2 2
x x k k
  
       
 
. 
k) [1D1-2]
2tan (1 3) tan 3 0x x    
 
tan 1 4
, ,
tan 3
3
x kx
k l
x
x l





   
  
   

. 
l) [1D1-2]
23cot 2 3cot 1 0x x   
   
2 1
3 cot 1 0 cot ,
33
x x x k k

           . 
m) [1D1-2]
23 cot (1 3)cot 1 0x x    
 
cot 1
4
, ,3
cot
3
3
x x k
k l
x
x l




  
  
     
. 
 n) [1D1-2]
23cot (1 3)cot 1 0x x    
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CƠ THÀNH VIÊN TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 5 | THBTN 
 
cot 1
4
, ,3
cot
3
3
x x k
k l
x
x l




  
  
       
BT 2. [1D1-2] Giải các phương trình lượng giác sau: 
a) 26cos 5sin 2 0.x x   b) 22cos 5sin 4 0.x x   
c) 
23 4cos sin (2sin 1).x x x   d) 2sin 3cos 3 0.x x    
e) 22sin 3cos 3 0.x x    f) 22cos 2 5sin 2 1 0.x x   
g) 2 43sin 2cos 2 0.x x   h) 4 24sin 12cos 7.x x  
i) 4 24cos 4sin 1.x x  j) 4 24sin 5cos 4 0.x x   
Lời giải 
a)  2 26cos 5sin 2 0 6 1 sin 5sin 2 0x x x x        
2
1
sin
2
6sin 5sin 4 0
4
sin
3
x
x x
x

 
     
 

 Với 
2
1 6
sin sin sin ,
72 6
2
6
x k
x x k
x k






   
       
    

 Với 
4
sin
3
x   Phương trình vơ nghiệm. 
b)  2 22cos 5sin 4 0 2 1 sin 5sin 4 0x x x x        
2
1
sin
2sin 5sin 2 0 2
sin 2
x
x x
x

    


 Với 
2
1 6
sin sin sin ,
52 6
2
6
x k
x x k
x k






 
    
  

 Với sin 2x   Phương trình vơ nghiệm. 
c)  2 2 23 4cos sin (2sin 1) 3 4 1 sin 2sin sinx x x x x x        
2
sin 1
2sin sin 1 0 1
sin
2
x
x x
x

    
  

. 
 Với sin 1 2 ,
2
x x k k

     . 
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
6 | THBTN – CA BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CƠ BTN 
 Với 
2
1 6
sin sin sin ,
72 6
2
6
x k
x x k
x k






   
       
    

. 
d)  2 2sin 3cos 3 0 1 cos 3cos 3 0x x x x          
2
cos 1
cos 3cos 2 0
cos 2
x
x x
x

     
. 
 Với cos 1 2 ,x x k k    . 
 Với cos 2x   Phương trình vơ nghiệm. 
e)  2 22sin 3cos 3 0. 2 1 cos 3cos 3 0x x x x          
2
cos 1
2cos 3cos 1 0 1
cos
2
x
x x
x

    
 

. 
 Với cos 1 2 ,x x k k    . 
 Với 
1
cos cos cos 2 ,
2 3 3
x x x k k
 
        . 
f)  2 22cos 2 5sin 2 1 0 2 1 sin 2 5sin 2 1 0x x x x        
2
sin 2 1
2sin 2 5sin 2 3 0 3
sin 2
2
x
x x
x

   
 

. 
 Với sin2 1 2 2 k ,
2 4
x x k x k
 
         . 
 Với 
3
sin
2
x   Phương trình vơ nghiệm. 
g)  2 4 2 43sin 2cos 2 0 3 1 cos 2cos 2 0x x x x        
2
4 2
2
2
1 cos2cos 1
1 cos2 1
2cos 3cos 1 0 21
cos2 0cos
2cos 1 02
xx
x
x x
xx
x
 
               
 Với cos2 1 2 2 k ,x x k x k       . 
 Với cos2 0 2 k ,
2 4 2
x x k x k
  
        . 
h)  4 2 4 24sin 12cos 7 4sin 12 1 sin 7 0x x x x       
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CƠ THÀNH VIÊN TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 7 | THBTN 
2
4 2
2 2
5
1 cos2 5sin
cos2 42
4sin 12sin 5 0 2 2
1 cos2 0
sin 1 2sin 0
2
xx
x
x x
x
x x
              
. 
 Với cos2 4x   Phương trình vơ nghiệm. 
 Với cos2 0 2 ,
2 4 2
x x k x k k
  
        . 
i)  4 2 4 24cos 4sin 1 4cos 4 1 cos 1x x x x      
2
4 2
2
2
1
cos2 0cos
2
4cos 4cos 3 0 3
3 cos
cos 2
2
xx
x x
x
x

 
     
     
. 
 Với 2
3
cos
2
x    Phương trình vơ nghiệm. 
 Với cos2 0 2 k ,
2 4 2
x x k x k
  
        . 
j)  4 2 4 24sin 5cos 4 0 4sin 5 1 sin 4 0x x x x        
2 2
4 2
2
cos 0sin 1 1 sin 0
4sin 5sin 1 0 11 1 cos2 1
cos2sin
24 2 4
xx x
x x x
xx
    
           
   
 Với cos 0 ,
2
x x k k

     . 
 Với 
1
cos2 cos2 cos 2 2 k ,
2 3 3 6
x x x k x k
  
             . 
BT 3. [1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau: 
a) 2cos2 8cos 5 0.x x   b) 1 cos2 2cos .x x  
c) 9sin cos2 8.x x  d) 2 cos2 5sin 0.x x   
e) 3sin cos2 2.x x  f) 2cos2 8sin 5 0.x x   
g) 2cos2 3sin 1 0.x x   h) 5cos 2sin 7 0.
2
x
x    
i) 
2sin cos2 cos 2.x x x   j) 2cos2 cos sin 2 0.x x x    
Lời giải 
a) [1D1-3] 2cos2 8cos 5 0.x x   
Ta cĩ:  22cos2 8cos 5 0 2 2cos 1 8cos 5 0x x x x        
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
8 | THBTN – CA BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CƠ BTN 
 
2
3
cos
2
4cos 8cos 3 0
1
cos
2
x l
x x
x


     
 

 Với  
1
cos 2 .
2 3
x x k k

      
b)[1D1-3] 1 cos2 2cos .x x  
Ta cĩ:  21 cos2 2cos 2cos 2cos 0 2cos cos 1 0x x x x x x        
cos 0
,2
cos 1
2
x x k
k
x
x k




       
. 
c) [1D1-3] 9sin cos2 8.x x  
Ta cĩ: 29sin cos2 8 1 2sin 9sin 8x x x x      
 22sin 9sin 7 0x x   
 
sin 1
7
sin
2
x
x l


 

 Với sin 1 2 ,
2
x x k k

     . 
d) [1D1-3] 2 cos2 5sin 0.x x   
Ta cĩ: 22 cos2 5sin 0 2 1 2sin 5sin 0x x x x        
 
2
sin 3
2sin 5sin 3 0 1
sin
2
x l
x x
x

     
  

 Với 
2
1 6
sin ,
72
2
6
x k
x k
x k





  
   
  

. 
e)[1D1-3] 3sin cos2 2x x  
Ta cĩ: 
23sin cos2 2 3sin 1 2sin 2 0x x x x       
 2
sin 1
2sin 3sin 1 0 1
sin
2
x
x x
x

     
 

 Với sin 1 2 , .
2
x x k k

     
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CƠ THÀNH VIÊN TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 9 | THBTN 
 Với 
2
1 6
sin , .
52
2
6
x k
x k
x k





 
  
  

f) [1D1-3] 2cos2 8sin 5 0.x x   
Ta cĩ:  22cos2 8sin 5 0 2 1 2sin 8sin 5 0x x x x        
 
2
3
sin
2
4sin 8sin 3 0
1
sin
2
x l
x x
x


      
 

 Với 
2
1 6
sin , .
52
2
6
x k
x k
x k





 
  
  

g) [1D1-3] 2cos2 3sin 1 0.x x   
Ta cĩ: 
 2 2
sin 1
2cos 2 3sin 1 0 2 1 2sin 3sin 1 0 4sin 3sin 1 0 1
sin
4
x
x x x x x x
x

             
  

 Với sin 1 2 , .
2
x x k k

     
 
1
arcsin 2
41
sin ,
4 1
arcsin 2
4
x k
x k
x k

 
  
   
    
  
     
 
. 
h) [1D1-3] 5cos 2sin 7 0.
2
x
x    
Ta cĩ: 
25cos 2sin 7 0 5 1 2sin 2sin 7 0
2 2 2
x x x
x
 
        
 
 
2
sin 1
2
10sin 2sin 12 0
62 2
sin
2 5
x
x x
x
l


      
  

 Với sin 1 2 4 , .
2 2 2
x x
k x k k

          
i) [1D1-3] 
2sin cos2 cos 2.x x x   
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
10 | THBTN – CA BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CƠ BTN 
Ta cĩ: 2 2 2sin cos2 cos 2 1 cos 2cos 1 cos 2 0x x x x x x          
 
2
cos 1
cos cos 2 0
cos 2
x
x x
x l

     
 
 Với cos 1 2 , .x x k k    
j) [1D1-3] 2cos2 cos sin 2 0.x x x    
Ta cĩ: 2 2 2cos2 cos sin 2 0 1 2sin 1 sin sin 2 0x x x x x x           
 
2
sin 1
3sin sin 4 0 4
sin
3
x
x x
x l

     
  

 Với sin 1 2 , .
2
x x k k

     
BT 4. [1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau: 
a) 23cos 2cos2 3sin 1.x x x   b) 2cos4 12sin 1 0.x x   
c) 2cos4 2cos 1 0.x x   d) 216sin cos 2 15.
2
x
x  
e) 
2cos 2 2cos 2sin
2
x
x x   f) 2cos 2 3cos 4cos
2
x
x x   
g) 21 cos4 2sin 0.x x   h) 28cos cos4 1.x x  
i) 26sin 3 cos12 4.x x  j) 
4 45(1 cos ) 2 sin cos .x x x    
k) 4 4cos sin cos4 0.x x x   l) 
4 44(sin cos ) cos4 sin 2 0.x x x x    
Lời giải 
a. [1D1-3] 23cos 2cos2 3sin 1x x x   
   2 23 1 sin 2 1 2sin 3sin 1x x x      
2sin 3sin 2 0x x    
sin 1x  hay sin 2x  (loại) 
sin 1x  
 2
2
x k k

    . 
b. [1D1-3] 
2cos4 12sin 1 0x x   
 22cos 2 1 6 1 cos2 1 0x x      
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CƠ THÀNH VIÊN TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 11 | THBTN 
22cos 2 6cos2 4 0x x    
cos2 1x  hay cos2 2x   (loại) 
 
2
x k k

    . 
c. [1D1-3] 2cos4 2cos 1 0.x x   
 22cos 2 1 1 cos2 1 0x x      
22cos 2 cos2 1 0x x    
cos2 1x  hay 
1
cos 2
2
x   
 x k k   hay  
3
x k k

    . 
d. [1D1-3] 216sin cos 2 15.
2
x
x  
   28 1 cos 2cos 1 15x x     
22cos 8cos 6 0x x    
cos 1x  hay cos 3x   (loại) 
 2x k k     . 
e. [1D1-3]
2cos2 2cos 2sin
2
x
x x  
22cos 1 2cos 1 cosx x x     
22cos 3cos 2 0x x    
cos 2x  (loại) hay 
1
cos
2
x  
 2
3
x k k

     . 
f. [1D1-3]
2cos2 3cos 4cos
2
x
x x  
 22cos 1 3cos 2 1 cosx x x     
22cos 5cos 3 0x x    
cos 3x  (loại) hay 
1
cos
2
x   
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
12 | THBTN – CA BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CƠ BTN 
 
2
2
3
x k k

     . 
g. [1D1-3] 21 cos4 2sin 0x x   
 21 2cos 2 1 cos2 0x x     
22cos 2 cos2 0x x   
cos2 0x  hay 
1
cos 2
2
x  
 
4 2
x k k
 
    hay  
6
x k k

    . 
h. [1D1-3] 28cos cos4 1x x  
  24 1 cos2 2cos 2 1 1x x     
22cos 2 4cos2 4 0x x    
cos2 1 3x   (loại) hay cos2 1 3x   
   1 arccos 1 3
2
x k k      . 
i. [1D1-3] 26sin 3 cos12 4x x  
  23 1 cos6 2cos 6 1 4x x     
22cos 6 3cos6 0x x   
cos6 0x  hay 
3
cos6
2
x   (loại) 
 
12 6
x k k
 
    . 
j. [1D1-3]
4 45(1 cos ) 2 sin cosx x x    
    2 2 2 25 1 cos 2 sin cos sin cosx x x x x      
2 25 5cos 2 1 cos cosx x x      
22cos 5cos 2 0x x    
cos 2x  (loại) hay 
1
cos
2
x   
 
2
2
3
x k k

     . 
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CƠ THÀNH VIÊN TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 13 | THBTN 
k. [1D1-3] 4 4cos sin cos4 0x x x   
  2 2 2 2 2cos sin cos sin 2cos 2 1 0x x x x x      
22cos 2 cos2 1 0x x    
cos2 1x  hay 
1
cos 2
2
x  
 
4 2
x k k
 
    hay  
6
x k k

    . 
 l. [1D1-3]
4 44(sin cos ) cos4 sin 2 0x x x x    
 2 2 24 1 2sin cos 1 2sin 2 sin 2 0x x x x      
2 24 2sin 2 1 2sin 2 sin 2 0x x x      
24sin 2 sin 2 5 0x x    
sin 2 1x  hay 
5
sin 2
4
x  (loại). 
 
4
x k k

     . 
BT 5. [1D1-3] Giải các phương trình lượng giác sau: 
a) 
2
cos 2 3cos 1 0.
3 3
x x
    
       
   
 b) 
2cos 4cos 4.
3 6
x x
    
      
   
c) 
2 24cos (6 2) 16cos (1 3 ) 13.x x    d) 
5
5cos 2 4sin 9.
3 6
x x
    
      
   
e) 
5 7
sin 2 3cos 1 2sin .
2 2
x x x
    
       
   
 f) cos 2 3 sin 2 3 sin 4 cos .x x x x    
g) 3sin 2 3sin cos2 cos 2.x x x x    h) 2
2
4 2
2 cos 9 cos 1.
cos cos
x x
x x
   
      
   
i) 
2
2
1 1
4 sin 4 sin 7.
sin sin
x x
x x
   
      
   
 j) 
2
2
1 1
cos 2 2 cos
cos cos
x x
x x
 
     
  
Lời giải 
a) 
2
cos 2 3cos 1 0.
3 3
x x
    
       
   
 Xét phương trình 
2
cos 2 3cos 1 0.
3 3
x x
    
       
   
 cos 2 3cos 1 0
3 3
x x
     
         
    
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
14 | THBTN – CA BIÊN SOẠN THẦY TÀI + THẦY CƠ BTN 
 22cos 3cos 0 cos 2cos 3 0
3 3 3 3
x x x x
           
                 
        
 
cos 0
3
3
cos
3 2
x
x l


  
  
 
  
   
 
 Xét cos 0 ,
3 3 2 6
x x k x k k
   
 
 
          
 
. 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là ,
6
S k k


 
   
 
. 
b) 2cos 4cos 4.
3 6
x x
    
      
   
Lời giải 
 Xét phương trình 2cos 4cos 4.
3 6
x x
    
      
   
. 
2 2sin 4cos 4 1 cos 4cos 4
6 6 6 6
x x x x
          
                 
       
2cos 4cos 3 0 cos 1
6 6 6
x x x
       
             
     
 hoặc cos 3
6
x
 
  
 
(loại) 
 Với cos 1 cos 1 2 2 ,
6 6 6 6
x x x k x k k
   
 
     
                
     
 . 
 Vậy tập nghiệm của phương trình 2 ,
6
S x k k


 
    
 
. 
c) 
2 24cos (6 2) 16cos (1 3 ) 13.x x    
Lời giải 
 Xét phương trình 
2 24cos (6 2) 16cos (1 3 ) 13.x x    . 
        2 2 24cos 6 2 8.2cos 1 3 13 4cos 6 2 8. cos2 1 3 1 13x x x x             
        2 24cos 6 2 8cos 6 2 8 13 4cos 6 2 8cos 6 2 5 0x x x x            
  
1
cos 6 2
2
x   hoặc  
5
cos 6 2
2
x    (loại). 
TÀI LIỆU HỌC TẬP CHẤT LƯỢNG CAO – 2017 BÀI GIẢNG: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ - PT LƯỢNG GIÁC 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI & THẦY CƠ THÀNH VIÊN TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 15 | THBTN 
 Với    
1
cos 6 2 cos 6 2 cos
2 3
x x

     
1
6 2 2 6 2 2
3 3 18 3 3
,
1
6 2 2 6 2 2
3 3 18 3 3
k
x k x k x
k
k
x k x k x
   
 
   
 
  
          
     
             
    
. 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là 
1
, .
18 3 3
k
S k
  
     
 
d) 
5
5cos 2 4sin 9.
3 6
x x
    
      
   
Lời giải 
Xét phương trình 
5
5cos 2 4sin 9.
3 6
x x
    
      
   
 5cos 2 4sin 9 5cos 2 4sin 9
6 6 6 6
x x x x
   

            
                      
            
2 25 1 2sin 4sin 9 10sin 4sin 14 0
6 6 6 6
x x x x
           
                   
        
 sin 1
6
x
 
   
 
 hoặc 
7
sin
6 5
x
 
   
 
 (loại). 
 Với sin 1 2 2 ,
6 6 2 3
x x k x k k
   
 
   
            
   
. 
 Vậy tập nghiệm của phương trình là 2 ,
3
S k k


 
   
 
. 
e) 
5 7
sin 2 3cos 1 2sin .
2 2
x x x
    
       
   
Lời giải 
 Ta cĩ: 
5
sin 2 sin 2x 2 cos 2x,
2 2
x
 

    
        
    
7
cos cos 3 cos sinx
2 2 2
x