Bài giảng 6: Ôn tập tổng hợp

 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
BÀI GIẢNG 6. ÔN TẬP TỔNG HỢP 
Biên soạn: Kiều Thị Thùy Linh 
I. Một số ví dụ 
Dưới đây là một số ví dụ tổng hợp các bài toán về quan hệ song song trong không gian. Qua các 
ví dụ này sẽ giúp học sinh củng cố cũng như nắm vững các dạng bài thường hay gặp như: 
- Chứng minh các đường thẳng đồng quy tại một điểm; xác định góc,giao điểm của đường 
thẳng với đường thẳng, của đường thẳng với mặt phẳng cắt nhau hay giao tuyến giữa hai 
mặt phẳng, 
- Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau, song song; đường thẳng song song với mặt 
phẳng, hai mặt phẳng song song. 
- Bài toán về xác định thiết diện, tính chất của thiết diện hay bài toán về quỹ tích. 
- Một số bài toán sử dụng phép chiếu song song 
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD . Một mặt phẳng bất kỳ   không chứa cạnh AD , cắt cạnh 
, , ,AB BD AC CD theo thứ tự tại , , ,M N P Q biết rằng / / / / .AD NQ MP 
a. Chứng minh các đường thẳng chứa đoạn , ,AD MN PQ đồng quy . 
b. Xác định thiết diện mặt cắt do   cắt tứ diện. 
Giải 
a. Vì , , ,M N P Q cùng thuộc mặt phẳng   . 
 MN không song song với PQ . 
 .MN PQ I   
Vì    , .I MN MN ABD I ABD    
    , .I PQ PQ ACD I ACD    
 I là điểm chung của hai mặt phẳng 
 ABD và  ACD 
 I thuộc giao tuyến AD của chúng. 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Vậy các đường thẳng chứa , ,AD MN PQ đồng quy tại I . 
b. Mặt phẳng   cắt các mặt phẳng        , , ,ABD BCD ACD ABC lần lượt theo các giao 
tuyến , , ,MN NQ PQ MP nên thiết diện là tứ giác .MNPQ 
Ví dụ 2. Cho hình chóp .S ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD 
 AB CD . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các cạnh ,SA SB . 
a. Chứng minh / / .MN CD 
b. Tìm  .P SC ADN  
c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I . Chứng minh / / / / .SI AB CD Tứ giác SABI là hình gì? 
Giải 
a. Trong tam giác SAB ta có / /MN AB . 
Mà / /AB CD (đáy ABCD là hình thang) 
/ / .AB CD 
b. Chọn mặt phẳng phụ   .SBC SC 
Tìm giao tuyến của  SBC và  ADN . 
Ta có N là điểm chung của  SBC và  ADN . 
Trong  ABCD , gọi E AD AC  . 
     .SBC ADN NE   
Trong   ,SBC gọi P SC NE  . 
Vậy  .P SC ADN  
c. Ta có 
   
 
 
/ / / / .
/ /
SI SAB SCD
AB SAB
SI AB CD
CD SCD
AB CD
 






Xét ASI , ta có / /SI MN (cùng / / AB ). 
 M là trung điểm của .AB 
/ /SI MN . 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Mà 2 .AB MN SI AB   
Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành. 
Ví dụ 3. Hai mặt phẳng    ,P Q giao nhau theo giao tuyến  . Trên  có hai điểm ,A C và gọi 
B là trung điểm của đoạn thẳng AC . Trong mặt phẳng  P có tam giác đều DBC và trong mặt 
phẳng  Q có tam giác đều EAB . Gọi ,I J theo thứ tự là trung điểm của ,DC AE . 
a. Chứng minh    / / , / / .AD BIJ CE BIJ 
b. Gọi M là giao điểm DE với mặt phẳng  BIJ . Cho biết tính chất của tứ giác .BIMJ 
c. K và L theo thứ tự là trung điểm của , .BD BE Chứng minh ba đường thẳng 
, ,KL IJ BM đồng quy. 
Giải 
a. Ta có: I là trung điểm của CD 
 B là trung điểm của AC . 
IB là đường trung bình của ACD . / /IB AD . 
Mà    / / .IB BIJ AD BIJ  
Tương tự: J là trung điểm của AE 
 B là trung điểm của AC . 
JB là đường trung bình của ACE . 
/ /JB CE . 
Mà    / / .JB BIJ CE BIJ  
b. Vì  / /AD BIJ nên giao tuyến JM của  BIJ 
với  ADE phải song song với AD . 
/ / .JM BI 
Tương tự ta có / / .IM BJ 
 Tứ giác BIMJ là hình bình hành (1). 
Dễ thấy BI BJ (2). 
Từ (1) và (2) suy ra hình bình hành BIMJ là hình thoi. 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Vậy tứ giác BIMJ là hình thoi. 
c. Ta có / /KI BC và 
1
2
KI BC 
 / /JL BC và 
1
2
JL AB 
/ /KI JL và KI JL 
JKIL là hình bình hành 
KL giao với IJ tại O là trung điểm của .IJ 
Mặt khác tứ giác BIMJ cũng là hình bình hành (cmt). 
,BM IJ giao nhau tại trung điểm O của BM . 
Vậy ba đường thẳng , ,KL IJ BM đồng quy tại một điểm. 
Ví dụ 4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên 
các đường chéo AC và BF lần lượt lấy hai điểm ,M N sao 
cho 
1
.
3
AM BN
AC BF
  Các đường thẳng song song với AB vẽ 
từ M và N lần lượt cắt AD và AF ở P và Q . Chứng minh 
rằng: 
a.    / / .ADF BCE 
b.    / / .MNPQ CDFE 
c. Xác định góc của AB và DF . Khi AB vuông góc với 
DF thì MNPQ là hình gì? 
Giải 
a. Vì ,ABCD ABEF là hai hình bình hành nên 
/ /AD BC và / /AF BE . 
Mà  ,AD AF ADE và  , .BC BE BCE 
   / / .ADF BCE 
b. Ta có / / / / ,MP AB CD nên 
1
.
3
AP AM
AD AC
  
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Do đó / / .
AP AQ
PQ DF
AD AF
  
Mà  ,MP PQ MNPQ và  ,CD DF CDFE 
    / / .MNPQ CDFE 
c. Ta có / /MP AB và / /PQ DF 
 Góc giữa hai đường thẳng AB và DF là góc MPQ . 
Ta có / / / /MP NQ AB nên tứ giác MNQP là hình thang. 
Khi AB DF thì 90 .MP PQ MPQ    
90PQN   vì / / .MP NQ 
Vậy tứ giác MNQP là hình thang vuông tại P và .Q 
Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm ABC . 
a. Chứng minh hình chiếu song song K của điểm G trên mặt phẳng  BCD theo phương 
chiếu AD là trọng tâm .BCD 
b. Gọi , ,M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh , , .AB AC AD Tìm hình chiếu song song 
của các điểm , ,M N P trong phép chiếu song song ở câu a. 
Giải 
a. Gọi E là trung điểm của BC . Khi đó 
điểm K là hình chiếu của điểm G 
theo phương AD sẽ nằm trên đường 
thẳng .DE 
Từ đó, ta có / /GK AD , 
AG DK E  . 
1
2
EK EG
KD GA
   
K là trọng tâm của .BCD 
b. Hình chiếu của các điểm , ,M N P được thực hiện lần lượt như sau: 
- Trong  ABD , dựng Mx song song với AD và cắt BD tại 'M , khi đó 'M chính là 
hình chiếu song song của điểm M trong phép chiếu song song ở câu a. 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
- Vì N thuộc AD nên D chính là hình chiếu song song của điểm N trong phép chiếu 
song song ở câu a. 
- Trong  ACD , dựng Ny song song với AD và cắt CD tại 'N , khi đó 'N chính là 
hình chiếu song song của điểm N trong phép chiếu song song ở câu a. 
Ví dụ 6. Cho hình hộp . ' ' ' '.ABCD A B C D 
a. Chứng minh rằng đường chéo 'B D cắt  ' 'A BC tại điểm G sao cho 
1
'
2
B G GD và G là 
trọng tâm ' '.A BC 
b. Chứng minh rằng    ' / / ' 'D AC BA C và trọng tâm 'G của tam giác 'D AC cũng nằm trên 
'B D và 
2
' ' ' .
3
B G B D 
c. Gọi , ,P Q R lần lượt là các điểm đối xứng của điểm 'B qua , ', .A D C Chứng minh rằng 
   / / ' ' .PQR BA C 
Giải 
a. Gọi O là giao điểm của ' 'A C và 
' 'B D . 
Khi đó    ' ' ' ' .A BC BDD B BO  
Gọi G là giao điểm của 'B D và BO . 
G là giao điểm của 'B D với 
 ' 'A BC . 
Dễ thấy GBD ~ 'GOB theo tỉ số 
đồng dạng 2 (do 2
'
BD
B O
 ). 
1 1
' , .
2 2
B G GD GO GB   
G là trọng tâm tam giác ' '.A BC 
b. Dễ thấy / / ' ', ' / / ' .AC A C D A C B 
   ' / / ' ' .D AC BA C 
Chứng minh tương tự như câu a, ta 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
có trọng tâm 'G của 'D AC nằm trên đường chéo 'DB và 
1
' ' '.
2
DG G B 
Từ đó và theo kết quả câu a, , 'G G chia đường chéo 'B D thành 3 phần bằng nhau. 
Vậy 
2
' ' .
3
B G B D 
c. Ta có , ',A D C lần lượt là trung điểm của ', ', 'PB QB RB . 
/ / ', / / ' , / / .PQ AD QR D C RP CA 
   / / ' .PQR AD C 
Mặt khác theo câu b, ta có    ' / / ' 'D AC BA C nên    / / ' ' .PQR BA C 
Ví dụ 7. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang  / / , .AD BC AD BC Gọi , ,M N E lần lượt 
là trung điểm của , , .AB CD SA 
a. Chứng minh rằng      / / , / / .MN SBC MEN SBC 
b. Trong tam giác ,SAD vẽ  / / .EF AD F SD Chứng minh rằng F là giao điểm của mặt 
phẳng  MNE với SD . Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi  MNE là hình gì? 
c. Chứng minh rằng  / / .SC MNE Đường thẳng AF có song song với  SBC hay không? 
d. Cho ,M N là hai điểm cố định lần lượt nằm trên các cạnh ,AB CD sao cho / /MN AD và 
,E F là hai điểm di động trên các cạnh ,SA SD sao cho / / .EF AD Gọi I là giao điểm của 
ME và NF thì I di động trên đường nào? 
Giải 
a. Vì MN là đường trung bình của hình thang 
ABCD 
Suy ra: 
 
 
/ /
/ / .
MN BC
MN SBC
BC SBC


 
 
 
   
/ /
/ / .
/ /
MN SBC
MEN SBC
ME SBC



b. Ta có / / / /EF AD EF MN 
    .EF MNE F MNE    
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Mặt khác   .F SD F MNE SD    
Vậy thiết diện cần tìm là hình thang .MNFE 
c. Theo câu a ta có    / /MEN SBC 
Mặt khác  .SC SBC 
 / / .SC MNE 
Đường thẳng AF không song song với  SBC vì nếu  / /AF SBC thì 
   AF MNE A MNE   (vô lý). 
d. Xét 3 mặt phẳng      , ,SAB SCD MNE . Ta có: 
    SAB SCD SJ  ( SJ là giao điểm của ,AB CD ). 
     .SAB MNE ME  
     .MNE SCD NF  
Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng , ,SJ ME NF đồng quy. 
Vậy điểm I phải di động trên đường thẳng SJ (trừ những điểm trong của đoạn SJ ). 
Ví dụ 8. Cho tứ diện ABCD với BCD là tam giác đều cạnh a , trọng tâm O; AO vuông góc với 
CDvà 2 .AO a Gọi M là một điểm ở trên đường cao BH của tam giác BCD . Qua M vẽ mặt 
phẳng  P song song với OA và .CD 
a. Khảo sát thiết diện của  P và tứ diện .ABCD 
b. Đặt .BM x Tính diện tích của thiết diện theo .x 
c. Tính x để thiết diện có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. 
 Giải 
a. Khảo sát thiết diện 
- TH1. 
3
0 .
3
a
BM  
Giả sử mặt phẳng  P cắt , ,BC BD AB lần 
lượt tại , , .E F G 
Ta có     / /EF P BCD EF CD   
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
    / / .MG P ABH MG OA   
Vì ,OA CD nên .MG EF 
Ta có 1
MF HC
M
ME HD
   là trung điểm của .EF 
Tam giác EFG có MG là trung tuyến cũng là đường cao . 
Vậy mặt phẳng  P cắt tứ diện trong trường hợp này, thiết diện là một tam giác cân. 
- TH2. 
3 3
.
3 2
a a
BM  
Giả sử mặt phẳng  P cắt , , ,BC BD AD AC lần lượt tại các điểm , , , .E F G K 
Do      / /P CD BCD ACD  nên  P cắt hai mặt phẳng  BCD và  ACD theo hai giao 
tuyến / / / / .EF GK CD Từ đó suy ra tứ giác EFGK là hình thang. 
Gọi N là giao điểm của AH và .GK 
Ta có 1
NK HC
N
NG HD
   là trung điểm của .GK 
Mặt khác     / / ,P ABH MN OA  nên MN EF và MN GK tại trung điểm. 
Suy ra MN là trung trực của EF và .GK 
Vậy thiết diện cắt bởi mặt phẳng  P của tứ diện trong trường hợp này là tứ giác EFGK và 
là một hình thang cân. 
b. Tính diện tích thiết diện 
Trong hai TH ta có hai thiết diện: 
- Tam giác cân 
3
0 .
3
a
EFG x
 
   
 
Ta có 
2 3
/ / .
3
EF BM x
EF CD EF
CD BH
    
 / / 2 3
MG BM
MG OA MG x
OA BO
    
Vậy diện tích tam giác EFG là 2
1
. 2 .
2
S EF MG x  
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
- Hình thang cân 
3 3
.
3 2
a a
EFGK x
 
   
 
Ta có / / .
GK AN
GK CD
CD AH
  Mà / /
AN OM
MN OA
AH OH
  và .
MN HM
OA HO
 
Do đó  2 3GK OM GK x a
CD OH
    . Ta có  2 3 2 3MN a x  và 2 3
3
x
EF  . 
Vậy diện tích hình thang EFGK là 
    1 2' 4 3 3 3 2 3 .
2 3
S EF GK MN x a a x     
c. Tính x để diện tích thiết diện lớn nhất. 
- Thiết diện là tam giác cân .EFG 
Ta có 22S x với 
3
0
3
a
x  . Do đó S lớn nhất 
3
.
3
a
x  
Giá trị lớn nhất của diện tích là 
22
.
3
a
S  
- Thiết diện là hình thang cân. 
Ta có      2 14 3 3 3 2 3 4 3 3 6 4 3
3 3
S x a a x x a a x      với 
3 3
3 2
a a
x  
Ta có    4 3 3 6 4 3 3x a a x a    không đổi. 
Vậy S lớn nhất   4 3 3 6 4 3x a a x   lớn nhất. 
Do đó 
3 3
4 3 3 6 4 3 .
8
a
x a a x x     
Giá trị lớn nhất của diện tích là 
23
.
4
a
S  
Ví dụ 9. Gọi S là điểm cố định ở ngoài mặt phẳng của hình bình hành ABCD . Gọi  P là mặt 
phẳng song song với AD và ,SB cắt , ,AB SA SD và CD lần lượt tại , , , .M N E F 
a. Tứ giác MNEF là hình gì? 
b. Tìm quỹ tích giao điểm I của MN và EF khi M chạy trên cạnh .AB 
c. Gọi G là giao điểm của ME và NF . Tìm quỹ tích của đường thẳng SG . 
d. Từ S vẽ   / / .d DM Tìm quỹ tích  .d 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Giải 
a. MNEF là hình gì? 
Mặt phẳng      / / , ,P AD AD ABCD SAD  nên  P cắt hai mặt phẳng  ABCD và  SAD 
theo hai giao tuyến song song / /MF NE . Vậy tứ giác MNEF là hình thang. 
b. Quỹ tích điểm .I 
Ta có  I MN SAB  và      ' .I EF SCD I d SAB SCD      
Giới hạn: Ta có    / /P SB SAB nên     / / .P SAB MN SB  M là điểm chạy trên cạnh 
AB nên khi M B thì I S ; khi M A thì I J ; với J là giao điểm của đường thẳng 'd 
với đường thẳng đi qua A và song song với .SB 
Vậy quỹ tích của I là đoạn thẳng SJ . 
c. Quỹ tích của đường thẳng .SJ 
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành 
 ì / / à / / ,AMFD v AM DF v MF AD do đó O là trung điểm của .DM Gọi ,H K lần lượt là 
trung điểm của BC và AD . Khi đó .O HK 
Ta có  G ME SMD  và      .G NF SAF G SO SMD SAF      
Giới hạn: Khi M chạy trên AB thì O chạy trên đoạn ,HK SG ở trong góc  .HSK SHK 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Vậy quỹ tích của SG là phần mặt phẳng  KSH giới hạn bởi hai đường thẳng SH và ,SK 
có chứa ,SO của mặt phẳng  .SHK 
d. Quỹ tích của  .d 
Ta có    / / ,d DM ABCD nên    / / .d ABCD Do đó  d nằm trong mặt phẳng  Q qua S 
và song song với  .ABCD 
Giới hạn: Khi M A thì ,DM DA nên   ' / /d x Sx DA và khi M B thì ,DM DB nên 
  ' / / .d y Sy DB 
Vậy quỹ tích của  d là phần mặt phẳng giới hạn giữa 2 đường thẳng 
' / / x Sx DA ' / /y Sy DB của mặt phẳng  Q qua S và song song với  .ABCD 
II. Một số bài tập tự luyện. 
Bài 1. Cho tam giác ABC . Gọi O là điểm ở ngoài mặt phẳng  .ABC Gọi ,M N lần lượt là trung 
điểm của của , ;OA OB P là một điểm trên OC khác với trung điểm của OC . 
a. Tìm giao điểm E của BC và .NP 
b. Gọi H là trọng tâm tam giác ABC , tìm giao điểm của CG và mặt phẳng  .MNP 
c. Tìm giao điểm của BG và mặt phẳng  .MNP 
Hướng dẫn 
a. Xét giao điểm E của BC và .NP 
b. Gọi H là giao điểm của AC và ,MP chứng minh CG và EH cắt nhau tại .F 
c. Xét giao điểm K của BG và .EH 
Bài 2. Cho hình chóp .S ABCD . Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng , ;AC BD H và K lần lượt 
là trung điểm của ,SA SB . M là một điểm di động trên cạnh SC . Mặt phẳng  HKM cắt SD tại 
.N 
a. Chứng minh , ,HM KN SO đồng quy tại một điểm I. 
b. Tìm tập hợp các điểm .I 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
c. Tìm tập hợp các giao điểm J của , .HN KM 
d. Tìm tập hợp các giao tuyến của hai mặt phẳng    , .SAC HKM 
Hướng dẫn 
a. Chỉ ra I HM KN  là điểm nằm trên giao tuyến    .SO SAC SBD  
b. I là điểm nằm trên .SO 
c. Gọi E giao điểm của , .AD BC SE là giao tuyến của    , .SAD SBC 
d.    .HM HKM SAC  
Bài 3. Trong mặt phẳng   ,P cho tứ giác ABCD . Gọi E là giao điểm của ,AB CD và F là giao 
điểm của , .AD BC S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng  .P Gọi  Q là mặt phẳng cắt 
, ,SA SB SC và SD tại , , , .I J K L 
a. Chứngminh điều kiện cần và đủ để / /IJ KL là   / / .Q SE 
b. Chứng minh rằng có vô số  Q cắt , , ,SA SB SC CD để IJKL là hình bình hành. 
Hướng dẫn. 
a.    .SE SAB SCD  Chứng minh / / / / .IJ KL SE 
b.    .SF SAD SBC  Chứng minh / / / / .IL JK SF Các mặt phẳng  Q song song với , .SE SF 
Bài 4. Cho hai hình bình hành ,ABCD ABEF có cạnh chung AB và nằm trong hai mặt phẳng 
khác nhau. Gọi , 'O O lần lượt là tâm của , .ABCD ABEF 
a. Chứng minh 'OO song song với các mặt phẳng    , .ADF BCE 
b. Gọi ,M N lần lượt là trọng tâm của tam giác , .ADB ABE Chứng minh  / / .MN CEF 
Hướng dẫn 
a. 'OO là đường trung bình của tam giác .BDF 
b. Gọi I là trung điểm của .AB Chứng minh / / .MN DE 
Bài 5. Trong mặt phẳng   ,P hai đường thẳng    , 'd d chéo nhau cắt  P tại , .A B Đường thẳng 
 ''d di động song song với  P cắt    , 'd d tại , .M N Từ ,M N vẽ hai đường thẳng    / / 'd và 
   ' / / d cắt  P tại , .E F 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
a. Chứng minh    / / .AME BMF 
b. Chứng minh / / .AE BF 
c. Các tứ giác , ,AMNF BNMF AEBF là hình gì? 
Hướng dẫn 
a. / /AM NF và / / .ME BN 
b. Suy ra từ ý a. 
c. Là các hình bình hành. 
Bài 6. Cho góc 60xOy   ở trong mặt phẳng  .P Gọi At là nửa đường thẳng ở ngoài  P , song 
song và cùng chiều với .Ox Gọi , ,M E N là ba điểm di động lần lượt trên , ,Ox At Oy sao cho 
2 , .OM AE x ON x   
a. Chứng minh  MNE luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định. 
b. Gọi , ,I J K lần lượt là trung điểm của , , .OA ME NE Chứng minh    / / .IJK P 
Hướng dẫn 
a. Chứng minh .MN Oy 
b. Chứng minh  , / / .IJ IK P 
Bài 7. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , , ,M N P Q lần lượt là các 
điểm nằm trên các cạnh , , ,BC SC SD AD sao cho / / , / / , / /MN BS NP CD MQ CD . 
a. Chứng minh / / .PQ SA 
b. Gọi .K MN PQ  Chứng minh điểm K nằm trên đường cố định khi M di động