Bài giảng 4: Hai mặt phẳng song song - Phần 4

 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
BÀI GIẢNG 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 
--phần 4-- 
Biên soạn: Đặng Thị Phượng 
Bài toán 4: Thiết diện của lăng trụ, hình chóp cụt 
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’, đáy là tam giác đều. Các mặt bên ABB’A’, 
ACC’A’ là hình vuông. Gọi I và J là tâm các mặt bên nói trên và O là tâm đường tròn ngoại tiếp 
ABC . 
a) Chứng minh IJ//(ABC) 
b) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng 
(IJO). Chứng minh thiết diện là hình thang cân. 
Giải: 
a) Ta có 
' '
1 IJ / / ( ) IJ / /( )
IA JA
BC ABC ABC
IB JC
     
b) Ta có
IJ (IJ );
IJ / / Ox / /IJ / /
(IJ ) ( ) Ox
O BC ABC
BC BC
O ABC
 


  
Và Ox cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. 
 Nối EI cắt A’B’ tại H, nối FI cắt A’C’ tại G. Thiết diện của lăng 
trụ với (IJO) là EFGH. 
Ta có: 
( ) / /( ' ' ')
(IJ ) ( ) EF EF / /
(IJ ) ( ' ' ') Ox
ABC A B C
O ABC GH
O A B C


   
  
Tứ giác EFGH là hình thang. 
Vì ABC đều nên hình vuông ABB’A’= hình vuông ACC’A’ EH = FG 
Vậy thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (IJO) là hình thang cân. 
Ví dụ 2: Cho hình hộp ' ' ' 'ABCDA B C D . Chứng minh rằng: 
a) ( ') / /( ' ' )BDA B D C 
b) Đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm 1 2;G G của 'BDA và ' 'B D C 
c) 1 2;G G chia AC’ thành 3 phần bằng nhau 
d) Các trung điểm của 6 cạnh 
, ,DD', ' ', ' ', 'BC CD D A A B B B cùng nằm trên 
một mặt phẳng. 
Giải: 
a) Xét mặt phẳng ( ' )A BD và ( ' ' )B D C có: 
JI
B
A
C
B' C'
A'
E F
H G
O'
O
B
A
C
D
A' D'
B'
C'
G1
G2
K
L
M
N
P
Q
I
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
' / / ' ' / /( ' ' )
( ' ) / /( ' ' )' / / ' ' / /( ' ' )
' '
A B D C A B B D C
A BD B D CA D B C A D B D C
A B A D
 

 
 
Gọi O, O’ là tâm của hai đáy. 
Ta có ', ', 'AC OA O C cùng nằm trong mặt phẳng (ACC’A’) nên gọi 
1 2' '; ' 'G A O AC G CO AC    
Ta có: 1 1
1 1
1
/ / ' '
' ' ' ' 2
G O AG AO
OA A C
G A G C A C
    
1 1
1
'
2
G O G A  . Mà A’O là trung tuyến của 'A BD nên 
1G là trọng tâm của 'A BD 
Chứng minh tương tự: 2G là trọng tâm của ' 'B D C 
Vậy đường chéo AC’ đi qua các trọng tâm 
1 2;G G của 'BDA và ' 'B D C 
b) Vì I là tâm của hình hộp, AC’ là đường chéo của hình hộp nên 'I AC . 
Ta có OCD’A’ là hình bình hành '/ / 'OA O C hay 1 2/ /OG G C 
Trong ACI có O là trung điểm của AC mà 1 2/ /OG G C nên 1G là trung điểm của 2AG 
1 1 2AG G G  
Tương tự ta chứng minh 2 1 2'C G G G 
Vậy 1 2;G G chia AC’ thành 3 phần bằng nhau 
c) Vì KL, PN là đường trung bình của , ' ' 'BCD A B D  
nên / /PN KL 
bốn điểm P,N,K,L đồng phẳng. 
Vì PQ, ML là đường trung bình của ' '; DD'A BB C  nên / /PQ ML 
 Bốn điểm P, Q, M, N đồng phẳng. 
Vậy P, Q, M, L, N, K đồng phẳng 
Bài tập: 
Bài 1: Cho hình chóp cụt ABCA’B’C’ có đáy lớn ABC và các cạnh bên AA’, BB’, CC’. Gọi M, 
N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và M’, N’, P’ lần lượt là trung điểm của 
các cạnh AB, BC, CA VÀ M’, N’, P’ lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, B’C’, C’A’. 
Chứng minh MNPM’N’P’ là hình chóp cụt. 
Hướng dẫn: Để chứng minh MNPM’N’P’ là hình chóp cụt ta đi chứng minh 
+ Các đường thẳng MM’, NN’, PP’ đồng quy 
Gọi S là điểm đồng quy của AA’, BB’, CC’. Ta chứng minh các đường thẳng MM’, NN’, PP’ 
đồng quy tại S. 
+ MN//M’N’; NP//N’P’; PM//P’M’ 
1 1 2 2'AG G G C G  
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
MN//AC, M’N’//A’C’ mà AC//A’C’ nên MN//M’N’ 
Bài 2: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Trên 3 cạnh AB, DD’, C’B’ lần lượt lấy 3 điểm M, N, P 
không trùng với các đỉnh sao cho: 
' '
' ' '
AM D N B P
AB D D B C
  . 
a)Chứng minh rằng ( ) / /( ' ')MNP AB D 
b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng MNP 
Hướng dẫn: Từ giả thiết
'
'
AM D N
AB D D
 , ',MN AD BD thuộc 3 mặt phẳng đôi một song song. Vì 
BD//B’D’ nên MN//(AB’D’) 
Tương tự MP//(AB’D’) 
Vậy ( ) / /( ' ')MNP AB D 
b)Kẻ Mx//BD cắt AD tại S. kẻ Py//B’D’ cắt C’D’ tại R. Kẻ Pz//BC’ cắt BB’ tại Q. 
Lục giác: MSNRPQ là thiết diện cần dựng 
Bài 3: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, B’C’ 
và DD’. 
a) Chứng minh (MNP) song song với các mặt phẳng (AB’D’) và (BDC’) 
b) Xác định thiết diện của hình lập phương với mặt phẳng (MNP) 
Hướng dẫn: 
 a) Gọi O, O’, I theo thứ tự là tâm của các hình vuông ABCD, A’B’C’D’ và BCC’B’ 
MOC’N là hình bình hànhMN//OC’ (MNP)//(BDC’) 
b)Theo câu a ta có: 
( ' ') / /( )
( ' ') ( ' ' ' ') ' '
( ) ( ' ' ' ')
AB D MNP
AB D A B C D B D
MNP A B C D Nx


 
  
Nx//B’D’ và cắt C’D’ tại F là trung điểm của C’D’. 
My//BD cắt AD tại Q là trng điểm của AD, 
Kéo dài FN cắt A’B’ tại G. GM cắt BB’ tại E 
Thiết diện cần tìm là MENFPQ 
Bài 4: Cho hình chóp SABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Trên đoạn 
MB lấy điểm H khác M. (P) đi qua H song song với SM, BN. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng 
(P) cắt hình chóp. 
( ' ) / /( )
( ' ) ( )
( ) ( )
C BD MNP
C BD ABCD BD
MNP ABCD My


 
  
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Bài 5: Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB. Gọi S là điểm nằm ngoài hình thang. Gọi M là 
trung điểm của CD. ( ) là mặt phẳng qua M song song với SA và BC. 
a) Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với ( ) 
b) Tìm giao tuyến của ( ) với (SAD) 
Hướng dẫn: 
Chứng minh ( ) cắt (ABCD) theo giao tuyến MN//CB (NAB) 
( ) cắt (SAB) theo giao tuyến NP//AS (PSB) 
( ) cắt (SBC) theo giao tuyến PQ//BC (QSC) 
( ) ( )SCD MQ   ; MN//PQThiết diện cần tìm là hình thang MNPQ 
b)AD cắt MN tại I   ( )I SAD   
Giao tuyến của ( ) với (SAD) là It//SA. 
Bài 6: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’, CC’. Điểm P 
nằm trên PP’. 
a)Xác định giao điểm Q của BB’ và (MNP) 
b) (MNP) cắt hình hộp theo một thiết diện. Thiết diện đó có tính chất gì? 
c) tìm giao tuyến của (MNP) với (ABCD) 
Hướng dẫn: 
a) Từ N kẻ đường thẳng song song với MP cắt BB’ tại Q. khi đó ' ( )Q BB MNP  
b) (MNP)  ABCDA’B’C’D’theo hai giao tuyến song song MQ//PN. Vậy thiết diện là hình 
bình hành MPNQ. 
c) AD MP = I. ABMQ=J. IJ là giao tuyến của (MNP) và (ABCD)