Bài giảng 4: Hai mặt phẳng song song - Phần 2

 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
BÀI GIẢNG 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 
--phần 2-- 
Biên soạn: Đặng Thị Phượng 
Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
Phương pháp giải 
Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) 
PP 1: Tìm 2 điểm chung của mặt phẳng (P) và (Q) 
PP 2: + Tìm một điểm chung A của hai mặt phẳng (P) và (Q) 
 + Chỉ ra (P) và (Q) lần lượt chứa hai đường thẳng a, b song song với nhau. 
 + Giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là Ax //a//b 
PP 3: + Tìm điểm chung A của hai mặt phẳng (P) và (Q). 
 + Chỉ ra một mặt phẳng (R) //(P) hoặc (R)//(Q). 
 + Đường thẳng d đi qua A và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng (R) và (Q) hoặc 
(R) và (P) là giao tuyến cần tìm. 
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (ABCD). Điểm O ACD Lấy I và J lần lượt thuộc BC và BD sao cho 
IJ  CD. Tìm giao tuyến của (OIJ) và (ACD). 
Giải: 
Gọi K là giao điểm của IJ và CD 
Ta có: 
IJ
(OIJ)
IJ (OIJ)
K
K
 
 
 
Tương tự: (ACD)
( )
K CD
K
CD ACD
 
 
 
(OIJ) ( )K ACD   
Mà (OIJ) ( )O ACD  nên KO là giao tuyến của (OIJ) và 
(ACD). 
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Trên SA lấy điểm M sao cho 
2SM = MA, trên SB lấy điểm N sao cho 2SN=NB 
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) 
b) Chứng minh MN//CD 
c) Điểm P nằm trên SC không trùng với S. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và 
(SCD) 
K
B D
C
A
O
J
I
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
y
x
D
CB
A
S
M
N
P
Giải: 
Ta có: 
( )
( )
/ /
( ) ( )
AD SAD
BC SBC
AD BC
SAD SBC S
 
 


  
giao tuyến của ( )SAD và ( )SBC là đường thẳng / / / /Sx AD BC 
b)Theo giả thiết ta có: 
1 1
; / /
2 2
SM SN
MN AB
MA NB
   
Vì ABCD là hình bình hành nên / /AB CD 
/ /MN CD 
c)Ta có 
( )
( )
/ /
( ) ( )
MN MNP
CD SCD
MN CD
SCD MNP P



 


  
Giao tuyến của ( )MNP và ( )SCD là / / / /Py MN CD 
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O có AC = a; BD =b. Tam 
giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng ( ) di động song song với (SBD) và đi qua điểm I 
trên đoạn AC. 
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( ) 
b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và AI =x 
N
M
O
A
D
B
C
S
I
P
H
L
O
A
D
B
C
S
I
K
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Trường hợp 1: Nếu I OA thì
( ) / /( )
Ix ( ) ( )
( ) ( )
SBD
ABCD
BD SBD ABCD




 
  
Ix / / ;BD và Ix cắt AB, AD theo thứ tự tại M và N 
Nên mặt phẳng ( ) cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến MN 
Tương tự: 
Mặt phẳng ( ) cắt mặt mặt phẳng (SAB) theo giao tuyến MP//SB 
Mặt phẳng ( ) cắt mặt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến NP//SD 
Vậy thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng ( ) là MNP 
Trường hợp 2: Nếu I OC thì
( ) / /( )
Ix ( ) ( )
( ) ( )
SBD
ABCD
BD SBD ABCD




 
  
Ix / / ;BD và Ix cắt CB, CD theo thứ tự tại H và L 
Nên mặt phẳng ( ) cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến HL 
Tương tự: 
Mặt phẳng ( ) cắt mặt mặt phẳng (SBC) theo giao tuyến HK//SB 
Mặt phẳng ( ) cắt mặt mặt phẳng (SCD) theo giao tuyến LK//SD 
Vậy thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng ( ) là LHK 
b)Ta có 
2 23 3
4 4
SBD
BD b
S   
Trường hợp 1: Nếu I OA thì 0
2
a
x  . Ta có: 
2 2 2 2 2
2 2
4 3MNP
MNP
SBD
S MN AI x b x
S
S BD AO a a



   
       
   
Trường hợp 2: Nếu I OC thì 
2
a
x a  . Ta có 
   
2 22 2 2
2 2
4 3
LHK
MNP
SBD
a x b a xS LH CI
S
S BD CO a a



    
       
   
khi 0
2
a
x  
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
I
A B
E D
C
G
K
H M
N
J
Vậy ta có: 
 
2 2
2
22
2
3
3
td
b x
a
S
b a x
a



 


Bài tập: 
Bài 1: Cho tam giác ABC và hình bình hành ABDE nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi G 
là trọng tâm của ABC . Các điểm K, H, M lần lượt nằm trên 
các cạnh DE, AE, BD của hình bình hành. Gọi (P) là mặt 
phẳng đi qua M và song song với (GKH). Tìm giao tuyến của 
mặt phẳng (P) và (ABC) 
Giải: 
Trên AB lấy điểm N sao cho MN//KH. 
Gọi I là giao điểm của BH và MN. 
Trên BG lấy điểm J sao cho sao cho IJ//GH 
Mặt phẳng (P) là mặt phẳng (MNJ) 
Đường thẳng NJ chính là giao tuyến của (P) và (ABC) 
Bài 2: Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt BD tại F. S là một 
điểm trong (P). 
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD) 
b) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD) 
c) Tìm giao tuyến của (SEF) với (SAD) và (SBC) 
Hướng dẫn: 
a) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là SE 
b) Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SF 
c) Giao tuyến của (SEF) và (SAD) là SM với M là giao điểm của EF và AD 
d) Giao tuyến của (SEF) và (SBC) là SN với N là giao điểm của EF và BC 
Bài 3: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi Gọi M, N, P lần lượt là trung 
điểm của SB, SD, OC. 
a) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAC). Tìm giao điểm của SA và (MNP) 
b) Tìm thiết diện của hình chop với (MNP) 
Hướng dẫn: 
Nối MN cắt SO tại O1 
khi 
2
a
x a  
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Nối O1P cắt SA tại =S1 
Giao tuyến của (MNP) và (SAC) là PS1.(MNP) cắt AC tại S1 
Bài 4: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thang có các cạnh đáy AD,BC. Gọi I,J lần 
lượt trọng tâm của ,SAD SBC  . 
a) Tìm giao tuyến của (SAD) với (SCD) 
b) Tìm giao tuyến của (BCI) với (SAD) 
c) Tìm giao tuyến của (ADJ) với (SBC) 
Hướng dẫn: 
a)Giao tuyến là Sx//AD//BC 
b) Giao tuyến là Iy//AD//BC 
c) Giao tuyến Jz//AD//BC 
Bài 5: Cho hình trụ tam giác ' ' 'ABCA B C . Gọi H là trung điểm của cạnh A’B’ 
a) Chứng minh '/ /( )CB AHC 
b) Tìm giao tuyến d của mặt phẳng ( ' ')AB C và ( ' )A BC .Chứng minh / /( ' ' )d BB C C 
c) Xác định thiết diện của hình lăng trụ ' ' 'ABCA B C khi cắt bởi mặt phẳng ( , )H d 
Hướng dẫn: 
Gọi H’ là trung điểm của AB, khi đó ta có ( ') / /( ' ' ) ' / /( ')AHC H B C B C AHC 
b)Gọi ' 'I AB A B  . Ta chứng minh OI là giao tuyến chungc của hai mặt phẳng 
( ' ')AB C và ( ' )A BC . 
c) ( ) chứa / / ( ) ( )d BC ABC  theo giao tuyến qua H’ và song song với BC. 
' '/ / , ' , ' ' '
( , ) ' ' ' ' '
H K BC K AC K O A C K
d H ABCA B C HH K K
  
  
Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ' ' 'ABCA B C . Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC, B’C’. 
a) Chứng minh / / ' 'AM A M 
b) Tìm giao điểm của ( ' ')AB C và đường thẳng A’M 
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng ( ' ');( ' ')AB C BA C 
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng ( ' )AM M . Chứng minh G là trọng tâm 
của ' 'AB C 
Hướng dẫn: 
a) Chứng minh tứ giác AA' 'M M là hình bình hành 
b) Gọi ' 'I AM A M  . Chỉ ra ' ( ' ')I A M AB C  
c) Gọi ' 'O AB A B  . Chỉ ra 'OC  ( ' ') ( ' ')AB C BA C 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
d) ' 'G OC AM 