Bài giảng 3: Đường thẳng song song với mặt phẳng - Phần 2

 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
BÀI GIẢNG 3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 
---phần 2--- 
Biên soạn: Nguyễn Thị Hương Quỳnh 
Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm thiết diện qua một điểm và song song 
 với một đường thẳng 
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
Ph ơ pháp 1. 
 - Tìm hai điểm chung của mặt phẳng đó. 
 - Đường thẳng qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến. 
Ph ơ pháp 2. 
 Nếu hai mặt phẳng ( ) và ( ) có điểm chung và lần lượt chứa hai đường thẳng song 
 song và thì giao tuyến của ( ) và ( ) là đường thẳng đi qua và song song với 
 và . 
Xác định thiết diện của hình (H) biết đi qua điểm M và song song với đường thẳng (d). 
 - Gọi ( ) là mặt phẳng chứa điểm xác định bởi điểm và đường thẳng 
 - Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( ) với các mặt phẳng của hình ( )H . 
 - Hình tạo bởi các đường giao tuyến đó là thiết diện cua hình ( )H . 
Ví dụ 1: Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD . Tìm giao tuyến của 
hai mặt phẳng ( )SAC và ( )SBD . 
Giải 
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD 
Khi đó mặt phẳng ( )SAC và ( )SBD có 2 
điểm chung là S và O . 
 ( ) ( )SAC SBD O  
Vậy SO là giao tuyến của hai mặt phẳng 
( )SAC và ( )SBD . 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác .S ABCD , M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD . P là 
một điểm thuộc cạnh SB . Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( )SBD và ( )MNP . 
Giải 
Vì P SB nên ( )P SBD . 
Do đó P là điểm chung của ( )SBD và ( )MNP . 
Mặt khác: M và N lần lượt là trung điểm của 
AB và AD nên MN là đường trung bình của 
tam giác ABD nên / /MN BD 
Mà ( )MN MNP 
 ( )BD SBD 
Gọi ( ) ( )d SBD MNP  
Thì d là đường thẳng qua P và song song với BD . 
Xét trong tam giác SBD , gọi d SD tại I . 
Giao tuyến của mặt phẳng ( )SBD và ( )MNP là IP . 
Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD ( / / ; )AB CD AB CD , S là điểm không thuộc mặt phẳng ABCD . 
Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( )SAD và ( )SBC . 
Giải 
Gọi I là giao điểm của AD và BC . 
Xét 2 mặt phẳng ( )SAD và ( )SBC có 
2 điểm chung là S và I 
Do đó: ( ) ( )SAD SBC SI  . 
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng ( )SAD và ( )SBC là SI . 
BÀI TẬP 
Bài 1. Cho hình chớp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hãy dựng thiết diện của hình 
chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của AB song song với các đường thẳng BD và SA 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
HD: Thiết diện là ngũ giác MNPQR . 
Bài 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Xét điểm M . Mặt 
phẳng ( ) qua M và ( ) / / ;( ) / /SA DB  . 
Xác định giao tuyến của mặt phẳng ( ) với hình chóp .S ABCD . 
HD: M OA Thiết diện là ngũ giác PQRST với / / / /PT MS QR và / /PQ BD . 
 M OC . Thiết diện là tam giác PQS . 
Bài 3. Cho hình chóp SABC . Mặt phẳng ( ) //(ABC) cắt , ,SA SB SC lần lượt tại , ,D E F . 
 Tìm ( ) ( );( ) ( );( ) ( )ABC ADF BCF ADF BCE   . 
HD: 
 ( ) ( )ABC ADF AC  
 ( ) ( )BCF EF  
 ( ) ( )ADF BCE SC  
Bài 4. Cho hình thang ABCD có đáy lớn là AB và điểm S không thuộc mặt phẳng ( )ABCD . Gọi 
M là trung điểm của CD . Xét mặt phẳng ( ) qua M và ( ) //SA; ( ) //BC. 
a) Tìm thiết diện của mặt phẳng ( ) và .S ABCD . 
b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( ) và ( )SAD . 
HD: 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Bài 5. Cho .S ABCD là hình chóp có đáy ABCD là hình thang, / /AB CD . 
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( ) ( );( ) ( )SAB SCD SAD SBC  . 
b) Qua M AD dựng ( ) //(SAB) lần lượt cắt , ,BC SC SD tại ba điểm , ,N P Q . Tứ giác MNPQ là 
hình gì? 
HD: MNPQ à hình thang. 
Bài 6. Cho hình chóp .S ABCD 
a) Gọi ,M N lần lượt là trung điểm các cạnh ,SB SC và E là điểm tùy ý trên cạnh AB . Tìm thiết 
diện tạo bởi mặt phẳng ( )P đi qua E song song với các đường thẳng ,AM BN cắt hình chóp. 
b) Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( )Q đi qua BN song song với AM , cắt hình chóp 
HD: a) Kẻ / /EK AM ( )K SB . EK cắt SA tại L . 
 Kẻ / /( )KH BN ( )H SC . LH cắt AC tại I . 
 Thiết diện là tứ giác EKHI 
Bài 7. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành ABCD . 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
a) Gọi H là giao của hai đường chéo đáy và M là một điểm tùy ý trên đường chéo AC (khác H). 
Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) đi qua M song song với các đường thẳng SA và BD cắt 
hình chóp đó. 
b) Gọi G là trọng tâm tam giác SCD .Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( )Q đi qua BG , song 
song với đường thẳng SA , cát hình chóp đó. 
HD: a) Nếu M CH thì thiết diện là tam giác 
 Nếu M AH thì thiết diện là ngũ giác 
 b) Thiết diện là tam giác 
Bài toán 3: Một số bài toán nâng cao 
Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABCD , gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Các điểm ,M N lần 
lượt là trung điểm các cạnh ,SB BC . Tìm một đường thẳng SG cắt đồng thời hai đường thẳng 
AM và BN . 
Giải 
Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng CG , khi đó / /( )SG BNE . Gọi F là giao điểm của BE và AC , 
H là giao điểm của BN và CM , K là giao điểm của FH và AM . 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Khi đó giao điểm của AM và ( )BNE là 
điểm K . 
Trong mặt phẳng ( )BNE đường thẳng đi 
qua K song song với NE là đường thẳng 
phải tìm. 
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng ( )P và hai đường thẳng ,a b không nằm trong ( )P , cùng cắt ( )P tại một 
điểm . Ta xét các điểm ;M a N b  sao cho / /( )MN P . Tìm tập hơp trung điểm của đoạn , khi 
các điểm ,M N thay đổi. 
Giải 
Rõ ràng MN a và b xác định một mặt 
phẳng ( )Q cố định. 
 Hai mặt phẳng ( )P và ( )Q có điểm 
chung và ( )Q chứa / /( )MN P , nên ( )P 
và ( )Q cắt nhau theo giao tuyến cố định 
/ /c MN . 
Gọi I là trung điểm của đoạn MN . 
Ta biết rằng trong mặt phẳng ( )Q tập 
hợp điểm 
I là một đường thẳng d cố định đi 
qua A , trừ điểm A . 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Bài tập: 
Bài 1. Cho hình chóp .S ABCD , Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC .Trên 
đoạn thẳng BM ta lấy điểm H khác M . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng ( )P đi qua H , song 
song với các đường thẳng SM và BN , cắt hình chóp. 
HD: 
Bài 2. Cho tam giác đều ABC và hình bình hành ABDE nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Ta 
xét các điểm ;M AC N DE  sao cho / /( )MN BCD . Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng MN 
khi ,M N thay đổi trên các đoạn thẳng AC và DE . 
HD: Gọi I là trung điểm của MN và K AB sao cho / /NK BD , khi đó / /MK BC . Điểm I nằm 
đồng thời trong hai mặt phẳng khác nhau: ( )I P đi qua trung điểm của BD và song song với 
hai đường thẳng AB và BC . Gọi F là trung điểm của cạnh BC , ( )I Q là mặt phẳng đi qua AF 
và song song với BD . Do đó I thuộc giao tuyến của ( )P và ( )Q . 
Bài 3. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành 
a) Tìm ( ) ( )SAB SDC và ( ) ( )SAD SBC 
b) Mặt phẳng ( ) qua AD cắt ,SC SB lần lượt tại ,M N .Tứ giác ADMN là hình gì? 
c) Gọi I là giao điểm của AN và DM . Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định. 
d) Gọi J à giao điểm của AM và DN .Tìm quỹ tích điểm J khi M thay đổi trên SC . 
HD: a) Giao tuyến  là đường thẳng qua S và song song với ,AB CD . 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
 Giao tuyến ' là đường thẳng qua S và song song với ,AD BC . 
 b) ADMN là hình thang với / /AD MN . 
 c) I thuộc vào đường thẳng  . 
 d) J thay đổi trên SO (O là giao điểm của AC và BD ) 
Bài 4. Cho hai hình vuông ,ABCD ABEF bằng nhau thuộc hai mặt phẳng khác nhau. Trên ,AC BF 
lấy hai điểm ,M N sao cho AM BN . Mặt phẳng ( ) song song với AB cắt AD và AF lần lượt 
tại hai điểm ,P Q . 
a) Tìm ( ) ( )BCE  ; ( ) ( )ADF  . 
b) Tứ giác MNPQ là hình gì? 
c) Chứng minh / /PQ EC . 
d) Chứng minh / /( )MN DEF . 
HD: b) MNPQ là hình thang với / /NQ MP . 
Bài 5. Cho .S ABCD là hình chóp có đáy ABCD là hình bình hành, tâm . Gọi là trung điểm 
của ,SA SD . 
a) Chứng minh / /( )AB SCD và / /( )EF SBC 
b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( ) ( )SBC SAD 
c) Tìm giao tuyến d của mặt phẳng ( ) ( )SAC SBD . Gọi I là giao điểm của d và ( )BCEF . Chứng 
minh 3 2SI SO . 
HD: a) / /AB CD và / /EF BC 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
 b)  qua S và song song với BC 
 c) Ta có ' SO  ; I là trọng tâm tam giác SAC .Từ đó suy ra điều phải chứng minh 
Bài 6. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Ta xét các 
điểm ,M AE N BD  sao cho / /( )MN ADF Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng MN , khi M 
và N thay đổi trên hai đường chéo đó của các hình bình hành đã cho. 
HD: Trên AB lấy K sao cho / /KN AD ,khi đó / / /KM BE AF 
Gọi I la trung điểm của MN , J là trung điểm của KN , H là trung điểm của AD 
ta có / / / /IJ KM BE 
Vì vậy nằm trong mặt phẳng cố định ( )HBE và ( )LAD ( L là trung điểm BE )