Bài giảng 2: Hai đường thẳng song song - Phần 1

 n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ăn ký học, quý phụ huynh và học sinh gọi ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
 BÀI GIẢNG SỐ 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 
---phần 1--- 
Biên soạn: Phạm Thị Hải Yến 
Bài toán 1: Chứng minh hai đường thẳng song song 
Phương pháp giải: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta sử dụng một trong 4 cách sau: 
- Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳn v dùn các ph ơn pháp chứng minh hai 
 ờng thẳng song song trong mặt phẳng. 
- Chứng minh chúng cùng song song vớ ờng thẳng thứ ba. 
- Dùng tính chất: Hai mặt phẳng phân biệt lần l ợt chứa ha ờng thẳng song song thì 
giao tuyến (nếu có) cũn son son vớ ờng thẳng ấy. 
- Dùn ịnh lí về giao tuyến của ba mặt phẳng: Nếu ba mặt phẳn ô một cắt nhau theo 3 
giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc ồng quy hoặc ô một song song. 
Ví dụ 1:Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang ( AB là đáy lớn). Cho ,M N lần lượt ;à 
trung điểm của ,SA SB 
a) Chứng minh / /MN CD 
b) SC cắt  AND tại , K AN cắt DC tại I . Chứng minh / / / /SI AB CD . 
Giải 
a) Dễ thấy MN là đường 
trung bình của hình thang. 
Trong  SAB ta có / /MN AB . 
Mà / /AB CD (vì ABCD là hình 
thang) 
nên / /MN CD 
b) Gọi E là giao điểm của 
AD và BC 
K là giao điểm của NE và SC . 
Theo giả thiết 
  I AN I SAB   
 I DK I SDC   
 n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ăn ký học, quý phụ huynh và học sinh gọi ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Suy ra    SI SAB SCD  
Mà 
 
 
/ /
AB SAB
CD SCD
AB CD





. 
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì / / /SI AB CD 
Ví dụ 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC . Biết 
,AD a BC b  . Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC . Mặt phẳng 
 ADJ cắt ,SB SC lần lượt tại ,M N . Mặt phẳng  BCI cắt ,SA SD lần lượt tại ,P Q . 
a) Chứng minh MN song song với PQ 
b) Giả sử AM cắt BP tại E ; CQ cắt DN tại F . Chứng minh rằng EF song song với MN và 
PQ . Tính EF theo ,a b . 
Giải 
a) Ta có:      I SAD I SAD IBC    
Vậy  
 
   
/ /AD BC
AD SAD SAD IBC PQ
BC IBC


   


Và  / / / / 1PQ AD BC 
Tương tự:      J SBC I SBC JAD    
Vậy  
 
   
/ /AD BC
AD JAD JAD SBC MN
BC SBC


   


Và  / / / / 2MN AD BC 
Từ (1) và (2) suy ra / /PQ MN 
b) Ta có 
 
 
E AMND
E AM BP
E PBCQ

   

 
 
F AMND
F DN CQ
F PBCQ

   

   EF AMND PBCQ   
 n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ăn ký học, quý phụ huynh và học sinh gọi ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Mà 
/ /
/ / / / / / / /
/ /
AD BC
EF AD BC MN PQ
MN PQ



Tính EF : Gọi K là giao điểm của 
; EF CP EF EK KF   
/ /
PE PM
PM AB
EB AB
  . Mà 
2 2
3 3
PM SP PE
AB SA EP
    
1 1 2 2 2
/ /
3 5 5 5
1 1
2
EK PE PE
EK BC EK BC b
EBBC PB PE EB
PE
        
  
Tương tự tính được 
2
5
KF a 
Vậy  
2
5
EF a b  
Bài tập 
Bài 1. Cho tứ diện ABCD . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của ,AB AC . Mặt phẳng  P qua MN 
và cắt ,BD CD lần lượt tại ,H K . 
a) Chứng minh / /MN HK 
b) Xác định vị trí của ,H K để MNKH là hình bình hành. 
Hướng dẫn. 
a) Mặt phẳng  P và  BCD chứa hai đường thẳng song song. Mà    HK P BCD  . 
b) ,H K lần lượt là trung điểm của ,CD BD 
Bài 2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. 
a) Chứng minh / /CE DF 
b) Gọi ,M N là hai điểm lần lượt ở trên ,AC AD sao cho 
AM AN
AC AD
 và ,H K là hai điểm lần 
lượt ở trên ,BF AF sao cho 
FH FK
FB FA
 . Chứng minh / /MN HK 
c) Cho 
1
3
AM
AC
 và 
2
3
FH
FB
 . Chứng minh / /NK CE 
Hướng dẫn. 
a) Chứng minh CDFE là hình bình hành. 
b) Chứng minh / / , /MN CD HK AB 
c) Chứng minh 
AN AK
AD AF
 
 n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ăn ký học, quý phụ huynh và học sinh gọi ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Bài 3. Cho điểm O ở ngoài mặt phẳng của hình bình hành ABCD . Gọi I là một điểm bất kì trên 
OA . Mặt phẳng  BIC cắt OD tại M . 
a) Chứng minh IM song song với AD và BC . 
b) IB và MC cắt nhau tại N . Chứng minh rẳng ON song song với AB và CD . 
Hướng dẫn. 
a) IM là giao tuyến của hai mặt phẳng  OAD và  BIC lần lượt chứa hai đường thẳng song 
song AD và BC . 
b) ON là giao tuyến của hai mặt phẳng  OAB và  OCD lần lượt chứa hai đường thẳng song 
song AB và CD . 
Bài 4. Cho tứ diện ABCD . Gọi , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm của , , ,AB BC CD DA 
a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành. 
b) Gọi ,R S lần lượt là trung điểm của ,AC BD . Tứ giác QRNS là hình gì? 
c) Chứng tỏ rằng ba đoạn , ,MP NQ RS đồng quy tại trung điểm của chúng. 
Hướng dẫn 
a) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác. 
b) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác. Suy ra QRNS là hình bình hành. 
c) Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo ,MP NQ cắt nhau tại trung điểm. Hình bình 
hành QRNS có hai đường chéo ,NQ RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. 
Bài 5. Cho hai đường thẳng  d và  'd cắt nhau tại A . Gọi O là một điểm cố định ở ngoài mặt 
phẳng xác định bới  d và  'd . Từ O vẽ đường thẳng   song song với  d . Gọi ,M N là hai 
điểm di động lần lượt trên   và  'd sao cho OM AN . Từ M vẽ đường thẳng  ''d song song 
với OA cắt  d tại H . 
a) Chứng minh rằng NH song song với một đường thẳng cố định. 
b) Gọi ,I J lần lượt là trung điểm MN và MH . Chứng minh IJ song song với một đường 
thẳng cố định. 
c) Gọi là trung điểm của OA . Chứng minh IK song song với một đường thẳng cố định. 
Hướng dẫn 
a) Chứng minh AOMH là hình bình hành AHN là tam giác cân tại A . Từ đó suy ra 
NH song song với phân giác ngoài cố định Ax của góc tạo bới  d và  'd . 
b) Chứng minh / /IJ NH kết hợp kết quả câu a, suy ra IJ song song với đường thẳng cố định 
Ax 
 n ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ăn ký học, quý phụ huynh và học sinh gọi ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
c) Gọi G là trung điểm của NH . Chứng minh AKIG là hình bình hành. Từ đó suy ra IK song 
song với phân giác trong cố định Ay của góc  , 'd d . 
Bài 6.Cho hình chóp .S ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi , , ,M N P Q lần lượt là các điểm 
thuộc cạnh , , ,BC SC SD AD sao cho / / , / / , / /MN SB NP CD MQ CD . 
a) Chứng minh / /PQ SA 
b) Cho MN cắt PQ tại K . Chứng minh / / /SK AD BC 
Hướng dẫn. 
a) Chứng minh 
SP SN
SD SC
 , 
BM SN
BC SC
 , 
BM AQ
BC AD
 / /
SP AQ
PQ SA
SD AD
   . 
b) Xét hai mặt phẳng  SAD và  SBC lần lượt chứa hai đường thẳng song song ,AD BC . Áp 
dụng định lí về giao tuyến có đpcm.. 
a) 23 4OD OG GS GO  