Bài giảng 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng - Phần 4

 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
 BÀI GIẢNG 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
---phần 4--- 
Biên soạn: Trịnh Phương Liên 
BÀI TOÁN 4. TÌM THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP BỊ CẮT BỞI MẶT PHẲNG 
Cách giải 
- Xác định tất cả điểm chung để xác định giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt của 
hình chóp (Ưu tiên mặt nào dễ tìm nhất) 
- Tìm giao điểm của giao tuyến với các cạnh bên và cạnh đáy của hình chóp 
- Thiết diện cần tìm là đa giác có các đỉnh là các giao điểm trên 
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD, gọi M là trung điểm của cạnh AB, G là trọng tâm của tam giác 
ACD, N là điểm bất kì nằm trên cạnh BC sao cho BN < NC. Dựng thiết diện của hình tứ diện 
với mp(MNG) 
Giải 
NM và AC không song song với nhau 
(vì MB = AM; BN < CN), nên ta có 
.I MN AC  
I là điểm chung của (NMP) và (ACD) 
IG là giao tuyến của (NMP) và (ACD) 
;IG AD F IG DC E    
Từ đó ta có mp(MNP) cắt các mặt bên 
(ABC), (ADC), (ABD) theo các giao tuyến 
lần lượt là MN, FE, MF. 
 tứ giác MNEF là thiết diện cần tìm. 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Ví dụ 2. Cho hình chóp . .S ABCD  là một đường thẳng nằm trong mp(ABCD) sao cho / /BD , 
M là trung điểm của cạnh SA. Hãy xác định thiết diện của hình chóp .S ABCD khi cắt bởi 
 ,mp M  trong các trường hợp sau đây: 
a) không cắt cạnh nào của đáy ABCD. b)  đi qua điểm C. 
c) cắt hai cạnh BC, CD tại hai điểm I, J. d)  cắt hai cạnh AB, AD tại hai điểm I’, J’. 
Giải 
a) Gọi H, E, F lần lượt là 
các giao điểm của  
với các đường thẳng 
AB, AC, AD. 
Khi đó các cạnh bên 
SB, SC, SD của hình 
chóp lần lượt cắt các 
đường thẳng MH, ME 
và MF tại 1 2 3; ;M M M . 
Thiết diện của hình 
chóp khi cắt bởi 
 ,mp M  là tứ giác 
1 2 3MM M M 
b) Thiết diện là tứ giác 1 3MM CM 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
c) Thiết diện là ngũ giác 1 3MM IJM 
d) Thiết diện là tam giác ' 'MI J 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Bài tập 
Bài 1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng 
của D qua C, K là điểm đối xứng của D qua B 
a) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mp(IJK) b) Tính diện tích thiết diện 
HD. 
a) , .IJ AC N IK AB M    tam giác IMN là thiết diện cần tìm 
b) M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ADK và ADJ. Lần lượt tính được độ dài các 
cạnh 
2 13
; .
3 6
a a
MN IM IN   Sử dụng công thức Hê-rông ta có 
2
.
6
MNI
a
S  
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Bài 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là tứ giác lồi. 
Mặt phẳng (P) đi qua SA và chia đáy của hình chóp 
thành hai phần có diện tích bằng nhau. Hãy xác định 
thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(P) 
 HD. Gọi E là trung điểm của BD. Từ E kẻ 
EF//AC. 
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Trên các đoạn CA, CB, BD cho lần lượt lấy các điểm M, N, P sao 
cho MN không song song với AB, NP không song song với CD. Gọi (P) là mp xác định bởi ba 
điểm M, N, P nói trên. Tìm thiết diện tạo bởi (a) và tứ diện ABCD. 
HD 
Trong mp(ABC), đường thẳng MN cắt AB tại I 
Trong mp(ABD), đường thẳng IP cắt AD tại Q. 
Ta có: MN =(P)  (ABC), NP =(P)  (BCD) 
 PQ = (P)  (ABD), QM =(P)  (ACD) 
Ta được thiết diện cắt tứ diện ABCD bởi mp(P) là tứ giác. 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, E là ba điểm 
lần lượt lấy trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mp (MNE). 
HD. 
Gọi I = MNBD 
Trong mp(SBD): IE cắt SB tại Q 
MN cắt BC tại H và MN cắt AB tại K 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Ta có: HQ = (SBC)  (EMN) 
Các đoạn MN, NP, PQ, QR, RM là các đoạn giao tuyến của mp(MNE) với đáy và các mặt bên 
của hình chóp. 
Thiết diện là ngũ giác MNPQR. 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC. M là một điểm trên cạnh SC, N và P lần lượt là trung điểm của 
AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP). 
HD: Thiết diện là 1 ngũ giác. 
Bài 6.Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD. 
a. Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC). 
b. DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng. 
c. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN). 
HD: 
a. Gọi O=ACBD thì I=SOBN, J=AIMN 
b. J là điểm chung của (SAC) và (SDM) 
c. Nối CI cắt SA tại P. Thiết diện là tứ giác BCNP.