Ðáp án bài tập tự luyện: Các vấn đề về khoảng cách (phần 04)

Khĩa học LTðH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) Các vấn đề về khoảng cách 
 Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
A
B
C
S
MK
H
Bài 1: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, SA = AB = a, AC = 2a và SA vuơng 
gĩc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho BM = 2MA. Tính khoảng cách từ B đến 
mặt phẳng (SCM). 
 Giải: 
Tam giác BMC cĩ 
2
; 3
3
a
BM BC a= = 
2 2
2 2 2 24 313
9 9
a a
MC BM BC a= + = + = 
31
3
a
MC⇒ = 
Ta cĩ: 
( , ( ))
2 ( , ( )) 2 ( , ( ))
( , ( ))
d B SCM BM
d B SCM d A SCM
d A SCM AM
= = ⇒ = 
Gọi K là hình chiếu của A trên đường thẳng CM 
 (do gĩc AMC > 900 nên K nằm ngồi đoạn CM). 
Ta cĩ à ( ê ( )CK AK v CK SA do SA ABC n n CK SAK⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 
( ) ( ) à ( ) ( )SCK SAK v SCK SAK SK⇒ ⊥ ∩ = . Kẻ ( )AH SK H SK⊥ ∈ 
( )AH SCM⇒ ⊥ . Vậy AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCM). 
Các tam giác AKM và CBM đồng dạng nên ta cĩ: 
. 3
31
AK AM BC AM a
AK
BC CM CM
= ⇒ = = 
AH là đường cao của tam giác vuơng SAK nên: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 31 1 34 3
AS 3 3 34
a
AH
AH AK a a a
= + = + = ⇒ = 
Vậy 
2 3
( , ( ))
34
a
d B SCM = 
Chú ý: Ta cũng cĩ thể tính trực tiếp khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCM) theo cách: 
.
.
31
( , ( )). ( , ( ))
3
S BCM
S BCM SCM
SCM
V
V d B SCM S d B SCM
S
= ⇒ = 
Trong đĩ .
1
.
3S BCM BCM
V SA S= (dạng này sẽ cĩ trong bài giảng thể tích khối chĩp (phần 3) 
Bài 2: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S, gĩc SBC bằng 600, 
mặt phẳng (SAC) vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 
 Giải: 
 CÁC VẤN ðỀ VỀ KHOẢNG CÁCH (Phần 04) 
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG 
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Các vấn đề về khoảng cách (Phần 04) thuộc 
khĩa học Luyện thi đại học KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn để giúp các 
Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Các vấn đề về khoảng cách 
(Phần 04). ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đĩ làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. 
Khĩa học LTðH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) Các vấn đề về khoảng cách 
 Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
A
B
C
S
H
K
E
O
B
A
D
C
S
M
H
G
K
Gọi H là trung điểm của cạnh AC 
, ĩ ( ) ( )SH AC c SAC ABC⇒ ⊥ ⊥ , 
( ) ( )SAC ABC AC∩ = nên ( )SH ABC⊥ 
ðặt ( 0)SH x x= > 
Tam giác SHC vuơng ta cĩ: 
2
2 2
4
a
SC x= + 
Tam giác SHB vuơng ta cĩ: 
2
2 2 3
4
a
SB x= + 
Áp dụng định lí Cơsin trong tam giác SBC ta cĩ: 
2 2 2 2 . .cosSC SB BC SB BC SBC= + − 
2 2 2
2 2 2 23 3 12 . .
4 4 4 2
a a a
x x a a x⇒ + = + + − + 
2
2 3 3 6 .
4 2 2
a a a
x x⇔ + = ⇔ = 
Vậy 
6
2
a
SH = 
Gọi K là hình chiếu của H trên đường thẳng AC ta cĩ: 
( ) ( ) ( ) à ( ) ( )
BC HK
BC SHK SBC SHK v SBC SHK SK
BC SH
⊥ 
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ∩ =
⊥ 
Kẻ ( ) ( ; ( ))HE SK HE SBC HE d H SBC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = 
Do H là trung điểm của AC nên cĩ: ( ; ( )) 2 ( ; ( )) 2d d A SBC d H SBC HE= = = 
Tam giác vuơng BHC cĩ: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 4 16
3 3HK HB HC a a a
= + = + = 
Tam giác vuơng SHK cĩ: 
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 16 18 6
3 3 3HE HS HK a a a a
= + = + = = 
2
2 6 2 6 6( ;( ))
6 6 6 36
a a a a a
HE HE d d A SBC⇒ = ⇒ = = ⇒ = = = 
Chú ý: ta cĩ thể dùng phương pháp: 
1 3
.
3
V
V S h h
S
= ⇒ = 
Bài 3: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng a, khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác 
SAC tới (SCD) là 
3
6
a
. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy tới (SCD). 
 Giải: 
Gọi O là tâm của đáy ABCD. 
Vì SO là một trung tuyến của tam giác SAC 
nên trọng tâm G của tam giác SAC nằm trên SO là cĩ 
2
3
SG
SO
= . 
Gọi M là trung điểm của CD 
Ta cĩ OM DC SM DC⊥ ⇒ ⊥ (định lí ba đường vuơng gĩc) 
( ) ( ) ( )DC SOM SDC SOM⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 
Lại cĩ: ( ) ( )SOM SDC SM∩ = nên nếu 
Khĩa học LTðH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) Các vấn đề về khoảng cách 
 Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
I
A
B
D C
S
M
G K
kẻ ( ) ì ( )OH SM H SM th OH SDC⊥ ∈ ⊥ 
( ; ( ))d O SCD OH⇒ = 
Trong tam giác SOM kẻ GK// OH 
( ) ( , ( ))GK SDC d G SDC GK⇒ ⊥ ⇒ = 
Từ giả thiết suy ra 
3
6
a
GK = 
Ta cĩ: 
2 3 3 3 3
.
3 2 2 6 4
GK SG a a
OH GK
OH SO
= = ⇒ = = = 
Bài 4: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cĩ cạnh bằng a, tâm I và cạnh bên SA vuơng 
gĩc với mặt đáy (ABCD). Mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) một gĩc bằng 600. Gọi G là trọng tâm 
tam giác SAC. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC). 
 Giải: 
Do , ê ( )SA BC AB BC n n BC SAB⊥ ⊥ ⊥ . 
Vậy gĩc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD) bằng gĩc SBA = 600. 
Suy ra SA=AB.tan60 3a= . 
Gọi M là trung điểm AD. 
Hạ ( ( )) êAK SB do BC SAB n n BC AK⊥ ⊥ ⊥ 
Suy ra 
2 2 2 2
1 1 1 4
( ) à
3
AK SBC v
AK SA AB a
⊥ = + = 
Vậy 
3
2
a
AK = . 
( , ( )) 2
( , ( )) 3
d G SBC GS
d M SBC MS
= = 
Vì AM song song với (SBC) 
nên 
3
( , ( )) ( , ( ))
2
a
d M ABC d A SBC AK= = = 
Vậy 
2 3 3
( , ( )) .
3 2 3
a a
d G SBC = = . 
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương 
 Nguồn : Hocmai.vn