8 Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau

8 Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau
Thực ra các bài toán chứng minh hình học (HH Eclide) chưa ai đưa ra được phương pháp nào chung nhất, vì mỗi bài toán có các khía cạnh khác nhau. Tuy nhiên, phương pháp chứng minh hình dù đơn giản nhất cũng phải có logic chặt chẽ, suy luận từ các điều đã biết (đã được CM hoặc công nhận) để đưa ra kết luận. Chứng minh 2 đương thẳng vuông góc cũng thế, không có “Công thức” có sẵn mà chỉ có thể tạm hệ thống 1 số “mẹo/cách”để vận dụng. Mời các bạn tham khảo 8 cách với 20 Bài toán dưới đây.
 I. MỘT SỐ CÁCH THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG:
Cách 1: (Theo Định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc): 
Hai đường thẳng cắt nhau hoặc 2 tia thẳng tạo ra góc đo 900; Thí dụ:
 - 1.a/ Trường hợp ÐA, ÐB , ÐC là 3 góc của TG vuông mà 
 ÐB + ÐC = 900 Þ ÐA = 1800 – 900 = 900
 - 1.b/Trường hợp góc nội tiếp chắn 1/2 đường tròn (1800:2 = 900)
 - 1.c/Trường hợp 2 đường thẳng giao nhau chia đường tròn thành
 4 phần bằng nhau (3600:4 = 900 )
 - 1.d/ Trường hợp góc tạo bởi 2 phân giác của 2 góc kề bù
Cách 2: Theo Hệ quả của 2 đường thẳng song song
2.1 Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại. 
Có c//a; Nếu b a Þ b c
2,2 – Hai đường song song với 
 hai đường vuông góc đã biết. 
Có a b; d//a; c//b Þ cd
Cách 3: Dùng tính chất của ba đường cao và cạnh đối diện trong một tam giác. 
 Trong ∆ABC có AH BC; CI AB
 Þ BO AC tại K
Cách 4: Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung. 
 AB là dây cung trong đường tròn O
 Néu AM = MB Þ OM AB
Cách 5: Phân giác của hai góc kề bù nhau. 
 Có ÐxOz kề bù ÐzOy
 Nếu O1 = O2 và O3 = O 4
 Þ O2 + O3 = 90O hay OmOn
Cách 6: Sử dụng góc nội tiếp nửa đường tròn. 
Trên đường tròn tâm O, đường kính AB
Þ Mọi đỉểm M trên đường tròn đều có 
 AM ^BM
Cách 7: Sử dụng tính chất đường trung trực. 
 Có H là trung điểm của AB; Điểm M 
 cách đều A và B Þ MH ^AB 
Cách 8: Tính chất tiếp tuyến và đường kính của đường tròn.
Nếu đường tròn O tiếp xúc với MA hoặc MB tại A hoắc B thì OA^ MA và OB ^MB
Có một số bài toán chỉ cần áp dụng 1 trong số các cách trên, nhưng nhiều bài toán phải vận dụng cùng lúc nhiều cách. Khi làm bài nên chọn những cách gọn và sáng sủa; nếu có điều kiện thì trình bày nhiều cách.
BÀI TOÁN MINH HOẠ
µ Bài toán 1 
Cho hình bình hành ABCD, BH là đường cao từ B tới AD.
Từ A kẻ AF//và = BH; 
Từ F kẻ FE// và = AD. 
CMR tứ giác ADEF là hình chữ nhât. 
Giải (Áp dụng cách 1 & 2) 
Dễ dàng CM được 4 góc của ADEF đều = 900 (các cặp cạnh kề đều vuông góc nhau). vì:
AF//BH; FE//AD mà AD ^ BH AF ^ FE và AF^ AD
FE// và = AD nên DE// và = AF 
tương tự ta có FE ^ED; ED ^DA. è Vậy ADFE là hình chữ nhật
µ Bài toán 2 
Chứng minh rằng đường trung bình của tam giác luôn vuông góc với đường cao hạ tới cạnh tương ứng của đường trung bình:
Giải ( theo cách 2 )
Giả sử có ∆ ABC với DE là đường TB tương ứng với cạnh BC thì DE//BC. Đường cao AH (hạ từ A tới đáy BC) Þ AH ^ BC Þ AH ^ DE (ĐPCM)
Điều KL này đúng với cả khi AH không ở trong ∆ ABC.
µ Bài toán 3
Từ tính chất của hình thoi: có 4 cạnh bằng nhau và các cặp cạnh đối diện song nhau từng đôi một, hãy chứng minh 2 đương chéo hình thoi vuông góc với nhau. 
Giải (Áp dụng cách 7)
Do hình thoi có 4 cạnh bằng nhau và các cặp cạnh đối diện song nhau từng đôi một nên 2 đường chéo chia hình thoi thành 4 tam giác bằng nhau (g.c.g)
Þ 2 đường chéo cắt nhau ở trung điểm. (AO = OC; BO = OD)
Dễ dàng thấy trong TG cân ABC thì BO vừa là trung tuyến vừa là trung trực của cạnh AC. Þ BO ^ AC Þ BD ^ AC (ĐPCM)
 µ Bài toán 4 
Cho ABC, các đường cao BD và CE. Gọi I là trung điểm của DE, K là trung điểm của BC. 
Chứng minh rằng: KI ED?
Giải ; ( Bài này chỉ cần CM 1 trong 2 cách sau:)
a/ / CM theo cách thứ 4
Theo GT có:
 ÐBEC = 900 và ÐBDC = 900
Hai góc vuông cùng chắn BC nên chúng nội tiếp trong đường tròn đường kinh BC.
Vì K là trung điểm của BC nên K chính là tâm của đường tròn mà ED là 1 dây cung.
Vì I là trung điểm của dây cung ED nên
 è Có KI AD (ĐPCM)
b/ CM theo cách thứ 7
 * Nối DK, trongBDC có: [1 ] 
DK là đường trung tuyến Þ 
 * Nối EH; Trong BEC có: [2 ]
EK là đường trung tuyến Þ
Từ [ 1 ] và [ 2 ], suy ra: DK = EK. 
ÞEKD cân tại K. 
* Do I là trung điểm của DE (gt) 
è KI là trung tuyến đồng thời là đường cao và dường trung trực tại cạnh ED của EKD Þ KI ED (đpcm)
Nhận xét: 
 CM theo cách thứ 4 gọn hơn và không cần thiết phải kẻ thêm đường phụ
 * * *
µ Bài toán 5 : 
 Cho hình thang vuông ABCD, có CD = 2 AB; 
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC.
Chứng minh rằng đường thẳng qua DM vuông góc với đường thẳng qua BM.
Giải (Áp dụng cách 2 và 6)
Kẻ BE CD (E CD). 
Vì CD = 2AB nên AB = DE = EC. 
Hay E là trung điểm của CD. 
 * Xét DHC có EM là đường trung bình. Þ EM // DH 
Þ EM AC (Vì DH AC). 
* Xét tứ giác MADE có và 
ÞTứ giác MADE nội tiếp đường trong đường kính AE. 
Tức là bốn điểm M, A, D, E nằm trên một đường tròn. (1) 
* Xét tứ giác ABED có: và AB = DE. 
 Tứ giác ABCD là hình chữ nhật. 
 Bốn điểm A, B, E, D nằm trên một đường trong đường kính AE. (2) 
Từ (1) và (2), suy ra: M thuộc đường tròn đường kính AE. 
Ta có: Tứ giác ABMD nội tiếp. 
Mà Þ BM DM. (ĐPCM)
µ Bài toán 6 : 
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC. 
I và N lần lượt là trung điểm của AD và HC. 
Chứng minh: BN IN.
(Đề tương tự đề 4 trên)
Giải
Gọi M là trung điểm của BC
Có IM là đường TB của hình chữ nhật ABCD (I là trung điểm BC, M là trung điểm AD)
ÞIM // AB Þ 
Có N là trung điểm của HC, M là trung điểm của BC
MN là đường TB của ∆HBC
ÞMN // BH Þ MN HC Þ
* Xét tứ giác ABMN có 2 góc đối diện : 
ÞABMN là tứ giác nội tiếp (1)
Xét tứ giác ABMI có 3 góc 
ÞABMI là hình chữ nhật hay ABMI cũng là tứ giác nội tiếp (2)
Từ (1) (2 ) ta có :
Năm điểm A, I, N, M, B cùng thuộc một đường tròn đường kính AM và BI.
 Þ Tứ giác AINB là tứ giác nội tiếp có 2 góc đối nhau cùng chắn 1đường kính là BI Þ Þ BN IN (đpcm).
µ Bài toán 7: 
Cho tam giác cân ABC, gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu của H trên AC. 
Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh AO vuông góc với BE.
Giải “Cách 2 và 3” 
Lấy K là trung điểm của EC; 
Nối HK Þ HK là đường trung bình củaBEC nên HK // EB (1) 
Trong EHC, ta có: OK cũng là đường trung bình nên OK // HC. (2) 
Mà AH HC (giả thiết) (3) 
Từ (2) và (3), suy ra: OKAH (*)
Ta lại có: HE AC (vì E là hình chiếu của H trên AC) (**) 
Từ (*) và (**), suy ra: O là trực tâm của AHK AO HK (4) 
Từ (1) và (4), suy ra: AO BE (điều phải chứng minh)
Nhận xét: Không thể trực tiếp chứng minh AO BE mà phải kẻ thêm 1 số đường trung gian. Sau đó tìm các mối liên hệ, áp dụng “Cách 2 và 3” để CM
µ Bài toán 8: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH AB.
Giải (Áp dụng Cách 3)
Theo đề ta có: 
 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
 (nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
Xét ∆SAB có AN, BM là hai đường cao. 
Mà H là giao điểm của AN và BM 
 Þ H là trực tâm của ∆SAB
è SH thuộc đường cao thứ ba của SAB. 
èVậy SH AB.
µ Bài toán 9 
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đồng thời ngoại tiếp đường tròn khác có các tiếp điểm M, N, P, Q lần lượt với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác đã cho. Chứng minh rằng MP ^ NQ
Giải
 µ Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O, AC BD tại H. Trên AB lấy điểm M ( ) sao cho 
Gọi N là trung điểm HC. CMR: 
Giải (đây là bài hay nhưng khó vì MH và DN không có liên hệ trực tiếp; do đó phải kẻ thêm 1 số đường phụ, Áp dụng tổng hợp các cách giải số 3; 4; 6; 7..)
* Lấy sao cho HE = HB; Nối CE và kéo dài cho cắt AC ở F
* Lấy K là trung điểm HE, (EK = KH). 
Từ giả thiết ABCD nội tiếp Þ (1)
Dễ thấy ∆BCE cân tại C vì có CH vừa là đường cao vừa là trung tuyến Þ (2)
* Từ (1), (2) suy ra 
 Þ Tứ giác CHDF nội tiếp được đường tròn
 Þ Þ CE ^ AD (3)
Có KN là đường trung bình của ∆HEC ÞKN//CE. Từ (3) Þ KN ^AD
* Xét∆AND có DK ^AN (nằm trên 2 đường chéo NK^AD (vì NK//CE mà CE ^ AD) 
 Þ K là trực tâm của ∆AND Þ AK^ DN (4)
Từ giả thiết và cách lấy E, K ta có : 
 Þ MH// AK (theo định lý Thalet đảo) (5)
 èTừ (4), (5) suy ra MH ^DN (đpcm)
 PHH sưu tầm đề & biên soạn lời giải 10 / 2015
III. BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài tập 1 :
 Cho ∆ABC cân tại A, đường cao AH. Dựng hình chữ nhật AHCK, HI AC. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của IC và AK . Chứng minh: MN BI. 
Gợi ý: Nôi MH -->MH//BI; 
Chứng minh MH^ MN
Bài tập 2 : Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC. Gọi E, F, M lần lượt là trung điểm của AB, DH, BH. 
Chứng minh: AM EF. 
Bài tập 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B lên AC. E, F, M, N lần lượt là trung điểm của AB, DH, HC, AD. Chứng minh: EF MN. 
Bài tập 4: Cho ∆ABC vuông tại A . H là hình chiếu của A trên BC. I, K là thứ tự hai điểm thuộc AH và CK sao cho . Chứng minh: BI AK. 
Bài tập 5 : Cho hình thang vuông ABCD () và AC = m, BD = n. Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Lấy điểm K Î HC, sao cho . Chứng minh: DK AK. 
Bài tập 6 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi E là giao điểm của hai cạnh đối AD và BC. Gọi F là giao điểm của hai cạnh đối DC và AB. Chứng minh rằng các tia phân giác trong của hai góc E và F vuông góc với nhau. 
Bài tập 7 : Cho hình vuông ABCD. T là một điểm bất kì ở trên cạnh AB (T khác A và B). Tia DT cắt tia CB tại E. Đường thẳng CT cắt AE tại M. Chứng minh rằng đường thẳng DE vuông góc với đường thẳng DM. 
Bài tập 8 : Cho hình vuông ABCD cố định. Lấy Điểm T trên cạnh AB (T khác A và B). Tia DT cắt tia CB tại E. Đường thẳng CT cắt đường thẳng AE tại M .Đường thẳng BM cắt đường thẳng DE tại F. Tìm quỹ tích điểm F khi T chạy trên cạnh AB. 
Bài tập 9 : Cho ∆TBE . Vẽ đường phân giác BD và đường cao BF. Từ D dựng DA và DC theo thứ tự vuông góc với cạnh TB và cạnh BE (A trên cạnh TB, C trên BE). Chứng minh rằng các đường thẳng TC, AE, BF cắt nhau tại một điểm.
Bài tập 10 : Đường tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là hai tiếp điểm của đường tròn đó với hai cạnh AB và AC. Tia MN cắt tia phân giác của góc B tại P. Chứng minh BP vuông góc với CP.