3 Bài toán vui về hình vuông

3 Bài tốn vui về hình vuơng
1/-Ghép Hình vuơng
Bạn cĩ hình vuơng ABCD cạnh 5 cm (Hình 1). Trên và trong 4 cạnh hình vuơng, bạn lấy 4 điểm E, F, G và H sao cho
                       AE = BF = CG = DH = 2 cm
 Bạn cắt hình vuơng ABCD theo 2 đường EG và FH để cĩ 4 mảnh rời P, Q, R và S như trong Hình 2.
Sau đĩ, bạn ráp 4 mảnh rời trở lại theo một cách khác để cĩ một hình vuơng
 (Hình 3).
nhưng 4 mảnh rời đã cắt khơng bao phủ hết hình vuơng, mà chừa một khoảng trống ở giữa. Khoảng trống nầy là một hình vuơng nhỏ cạnh 1 cm!
Làm sao giải thích được sự kiện nầy, mời bạn tìm hiểu xem sao.
Giải thích:
Hai đường EG và FH thẳng gĩc tại O. Tại O, cĩ 4 gĩc vuơng: O1 trong P, O2 trong Q, O3 trong R và O4 trong S.
Cách ráp các mảnh rời P, Q, R và S như trong Hình 5 cĩ nghĩa là:
Bạn đã đem 4 gĩc vuơng O1, O2, O3 và O4 ở giữa (Hình 4) ra ngồi làm 4 gĩc ở 4 đỉnh của hình vuơng O1O2O3O4 (Hình 5).
Bốn gĩc vuơng A, B, C và D của hình vuơng ABCD được đưa vào trong.
Cạnh của hình vuơng O1O2O3O4 
 bằng O1O2 = O1E + EO2 = 2xO1E = 2xOE = EG = FH
Gọi K là hình chiếu của G trên cạnh AB. Tam giác vuơng KEG cho:
 EG2 = KE2 + KG2
Vì KE = 1cm, KG = 5cm, nên: EG2 = 1 + 25 = 26 cm2
Diện tích hình vuơng O1O2O3O4 = EG2 = 26 cm2
Tổng số diện tích của 4 mảnh rời 
P, Q, R, S = Diện tích hình vuơng ABCD = 52 = 25 cm2
Khoảng trống trong hình vuơng O1O2O3O4 = 26 cm2 – 25 cm2 = 1 cm2
 (Theo Nguơn thuanhoa.com)
Bài 2
Hình mẫu dưới đây được tạo bằng cách vẽ các nửa hình trịn bên trong các hình vuơng. Bán kính của ba loại nửa hình trịn tương ứng là 4cm, 2cm và 1cm. Hỏi tổng diện tích phần tơ màu bằng bao nhiêu xăng-ti-mét vuơng ?
Giải
Diện tích hình vuơng là: (4+4) x (4+4) = 64(cm2)
Diện tích hình trịn cĩ bán kính bằng 4 là:
 4 x 4 x3,14 = 50,24(cm2)
Tổng diện tích của hình 1; 2; 3; 4 là: 
64 - 50,24 = 13,76(cm2)
Tổng diện tích của hình 7 và 8 bằng diện tích nửa hình trịn cĩ bán kính 2 cm (lấy hình 7 bù vào phần trắng dưới hình 8) và bằng: 
(2 x 2 x 3,14) : 2 = 6,28(cm2)
Các cặp hình (5;6) (7;8) (9;10) (11;12) cĩ tổng diện tích bằng nhau. Tổng diện tích 4 cặp đĩ là 6,28 x 4 = 25,12 (cm2)
Tổng diện tích phần tơ màu là 13,76 + 25,12 = 38,88(cm2)
Bài 3
Tronng 2 hình dưới đây: Hình A và Hình B, màu nào cĩ tổng diện tích các phần lớn hơn ?
Nhận xét: Nhìn bằng mắt ta cảm thấy phần màu đỏ ở hình A lớn hơn màu vàng. Nhưng sang hình B cấu trúc như A chỉ đổi màu mà sao màu đỏ lại lơn hơn màu vàng !
Tính chính xác ta vẽ lại sang hình C à Hình C
Giải:
Đặt 2a là độ dài cạnh hình vuơng lớn ABCD, a là cạnh các hình vuơng nhỏ GNOM v à NHLO
 à Bán kính R1 = a; R1 cũng chính là đường chéo của hình vuơng ONHL nên cạnh Hình vuơng ONHL = cạnh hình vuơng MGNO = 1/2 aƯ2
Xét các phần trong tam giác vuơng OAB
*∆OAB vuơng cân à SOAB = a2
*Hình quạt cung GH tâm O, R1 =a 
 à Squạt OGH = ¼ π a2
*2 tam giác khuyết (xanh) GAE & HEB
 S(GAE + HEB) = SOAB - Squạt OGH = a2 - ¼ π a2 = a2( 1 – π/4 )
* Diện tích hình vuơng OMGN là: (1/2aƯ2)2 = 1/2a2 = DT tam giác vuơng OGN
* Diện tich hình quạt cung OG là: 1/4 π (1/2 aƯ2)2 = 1/8 π a2
*DT 2 tam giác khuyết (xanh) OGN + ONH là: 
S(OGN+OHN) = 2.(SOMGN - Squạt MGO) = 2.(1/2 a2 – 1/8 π a2) = a2(1- π/4) 
Tổng diện tích các phần xanh trong tam giác vuơng OAB là: 
 è Vậy diện tích phần xanh nhỏ hơn phần vàng (Vì DT tam giác vuơng = a2)
 *****
PHH sưu tầm và biên chỉnh phần bài giải – 12/2015