15 bài toán về chia hết & chia dư của số nguyên

15 BÀI TOÁN VỀ CHIA HẾT & CHIA DƯ CỦA SỐ NGUYÊN
I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết
2. Bài tập có HD:
Bài 1: chứng minh rằng
a) 251 – 1 chia hết cho 7 
b) 270 + 370 chia hết cho 13
c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 
d) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37
e) 24n -1 chia hết cho 15 với nÎ N 
Giải: Áp dụng tính chất Nếu (A ± B) C thì (An ± Bn ) C
a) 251 – 1 = (23)17 – 1; mà [(23)17 – 117] (23 – 1) Þ [(23)17 – 1] 7
b) 270 + 370 = (22)35 + (32)35 = 435 + 935 mà (435 + 935)(4 + 9) Þ (270 + 370 )13
c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 – 1) 
 mà (1719 + 119) (17 + 1) và (1917 – 117) (19 – 1) 
 Þ [(1719 + 1) + (1917 – 1) ] 18 hay 1719 + 1917 18
d) 3663 – 1 = 3663 – 163 Þ (3663 – 1) (36 – 1) Vì (3663 – 1) 35 
 Þ (3663 – 1) 7
 3663 – 1 = (3663 + 1) – 2 mà (3663 + 1) 37 Þ (3663 – 1) chia cho 37 dư 2
e) 2 4n – 1 = (24) n – 1n mà (24) n – 1n 24 – 1 Þ[(24) n – 1n ] 15
Bài 2: chứng minh rằng
a) n5 – n chia hết cho 30 với n Î N ; 
b) n4 –10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ nÎ Z
c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với nÎ N ; 
Giải:
a) n5 – n = n(n4 – 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1)
 = (n – 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì
(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)
Mặt khác n5 – n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 – 1).(n2 – 4 + 5) 
 = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 – 1) = (n – 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1)
Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5
 5n(n2 - 1) chia hết cho 5
Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 (**)
 è Từ (*) và (**) suy ra đpcm
b) Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) 
 = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)
Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k Z) thì 
A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) A chia hết cho 16 (1)
Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp 
à A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)
 è Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384
c) 10 n +18n – 28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27)
+ Ta có: (27n – 27) 27 (1)
+ 10 n - 9n - 1 = [( + 1) - 9n - 1] = - 9n = 9( - n) 27 (2)
vì 9 9 và - n 3 do - n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 
 è Từ (1) và (2) suy ra đpcm 
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì
a) a3 - a chia hết cho 3
b) a7 - a chia hết cho 7
Giải
a) a3 – a = a(a2 – 1) = (a – 1) a (a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 3 nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3
b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1)
Nếu a = 7k (k Z) thì a chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 1 (k Z) thì a2 - 1 = 49k2 + 14k chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 2 (k Z) thì a2 + a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 3 (k Z) thì a2 - a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7
Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7
 èVậy: a7 - a chia hết cho 7
Bài 4: Chứng minh rằng 
 A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100
Giải
Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50
Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101
Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513) 
= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1)
Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003)
Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B
Bài 5:
 Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR a2 – 1 chia hết cho 24
Giải:
 (a2 – 1) = (a – 1)(a + 1) = [(a – 1).a.(a +1)]:a Ta thấy
Tử số là tích của 2 số nguyên liền trước và liền sau số nguyên tố a, do đó: 
 Cả 2 số đều chẵn --> mỗi số đều chia hết cho 2
 1 trong 2 số chia hết cho 4 do 2 số này hơn kém nhau 4
 Vi a nguyên tố nên một trong 2 số kia chia hết cho 3
 è Vậy a2 – 1 chia hết cho 24
Bài 6
 Cho A = n3 + 6n2 + 8n ; Chứng minh rằng A chia hết cho 48 với mọi n chẵn
Giải:
A = n3 + 6n2 + 8n = n( n2 + 6n + 8). Thay n chẵn với n = 2k vào A (k ÎN)
A = 2.k( 4k2 + 12k + 8 = 4.2.k( k2 + 3k + 2) = 8.k( k – 1)(k – 2)
 Vì là 3 số tự nhiên liên tiếp nên [ ( k – 2)(k – 1).k] 6
 è Vậy A (6.8) hay A 48 
II.- Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia
Bài 7: 
Tìm số dư khi chia 2100 
a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125
Giải
a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 23 = 8 = 9 – 1
Ta có : 2100 = 2. (23)33 = 2.(9 – 1)33 = 2.[B(9) – 1] = B(9) – 2 = B(9) + 7
 è Vậy: 2100 chia cho 9 thì dư 7
b) Tương tự ta có: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + 1
 è Vậy: 2100 chia cho 25 thì dư 1
c)Sử dụng công thức Niutơn:
2100 = (5 – 1)50 = (550 – 5. 549 +  + . 52 – 50 . 5 ) + 1
Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo: . 52 - 50.5 cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1
 è Vậy: 2100 = B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1
Bài 8:
Viết số 19951995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư bao nhiêu?
Giải
Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + + an. 
Gọi = + a - a
 = (a1 3 - a1) + (a2 3 - a2) + + (an 3 - an) + a
Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6
1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, 
 è do đó S chia cho 6 dư 3
Bài 9: 
Tìm ba chữ số tận cùng của 2100 viết trong hệ thập phân
Giải
Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2100 cho 1000
- Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2100 cho 125
Vận dụng bài 8 ta có 2100 = B(125) + 1 mà 2100 là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 126, 376, 626 hoặc 876
Hiển nhiên 2100 chia hết cho 8 vì 2100 = 1625 chia hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8
- Trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8
Vậy: 2100 viết trong hệ thập phân có ba chữ số tận cùng là 376
ĐA Tổng quát: 
Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của n100 là 376
Bài 10: 
Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7
a) 2222 + 5555 b)31993
c) 19921993 + 19941995 d)
Giải
a) ta có: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS 7 +1)22 + (BS 7 – 1)55 
= BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 nên 2222 + 5555 chia 7 dư 0
b) Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 33 = BS 7 – 1
Ta thấy 1993 = BS 6 + 1 = 6k + 1, do đó:
 31993 = 3 6k + 1 = 3.(33)2k = 3(BS 7 – 1)2k = 3(BS 7 + 1) = BS 7 + 3
 Hay 31993 chia 7 dư 3
c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đó:
 19921993 + 19941995 = (BS 7 – 3)1993 + (BS 7 – 1)1995 = BS 7 – 31993 + BS 7 – 1
Theo câu b ta có 31993 = BS 7 + 3 nên 
 19921993 + 19941995 = BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 
 è nên 19921993 + 19941995 chia cho 7 thì dư 3 
d) = 32860 = 33k + 1 = 3.33k = 3(BS 7 – 1) = BS 7 – 3 nên chia cho 7 thì dư 4 
III.- Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết
Bài 11: 
Tìm n Z để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 – 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức B = n2 –- n
Giải
Chia A cho B ta có: n3 + 2n2 – 3n + 2 = (n + 3)(n2 – n) + 2
Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n2 – n = n(n - 1) do đó 2 chia hết cho n, ta có:
n
1
- 1
2
- 2
n - 1
0
- 2
1
- 3
n(n - 1)
0
2
2
6
loại
loại
Vậy: Để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức 
 B = n2 - n thì n { – 1, 2} 
Bài 12:
a) Tìm n N để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
b) Giải bài toán trên nếu n Z
Giải
Giả sử có: n5 + 1 n3 + 1 n2(n3 + 1) – (n2 – 1) n3 + 1 (n + 1)(n - 1) n3 + 1 
 (n + 1)(n - 1) (n + 1)(n2 - n + 1) n - 1 n2 - n + 1 (Vì n + 1 0)
a) Nếu n = 1 thì 0 1
Nếu n > 1 thì n - 1 < n(n - 1) + 1 < n2 - n + 1 nên không thể xẩy ra n - 1 n2 - n + 1 
 è Vậy giá trị của n tìm được là n = 1
b) n - 1 n2 - n + 1 n(n - 1) n2 - n + 1 (n2 - n + 1 ) - 1 n2 - n + 1 
 1 n2 - n + 1. Có hai trường hợp xẩy ra:
+ n2 - n + 1 = 1 n(n - 1) = 0 (Tm đề bài)
+ n2 - n + 1 = -1 n2 - n + 2 = 0 (Vô nghiệm)
Bài 13: Tìm số nguyên n sao cho:
a) n2 + 2n - 4 11 b) 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1
c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 n4 - 1 d) n3 - n2 + 2n + 7 n2 + 1 
Giải
a) Tách n2 + 2n - 4 thành tổng hai hạng tử trong đó có một hạng tử là B(11)
n2 + 2n - 4 11 (n2 - 2n - 15) + 11 11 (n - 3)(n + 5) + 11 11 
 (n - 3)(n + 5) 11
b) 2n3 + n2 + 7n + 1 = (n2 + n + 4) (2n - 1) + 5
Để 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1 thì 5 2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5)
 è Vậy: n Î{- 2, 0,1,3} thì 2n3 + n2 + 7n + 1 2n - 1
c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 n4 - 1
Đặt A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1)
= n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1)
B = n4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1)
A chia hết cho b nên n 1 A chia hết cho B 
 n - 1 n + 1 (n + 1) - 2 n + 1 
 2 n + 1 
 èVậy: n Î{- 3, - 2 , 0} thì n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 n4 - 1 
d) Chia n3 - n2 + 2n + 7 cho n2 + 1 được thương là n - 1, dư n + 8
Để n3 - n2 + 2n + 7 n2 + 1 thì n + 8 n2 + 1 (n + 8)(n - 8) n2 + 1 65 n2 + 1 
Lần lượt cho n2 + 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n bằng 0; 2; 8
Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = 8 (T/m)
 è Vậy: n3 - n2 + 2n + 7 n2 + 1 khi n = 0, n = 8
VI.-Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết
Bài 14: Tìm n N sao cho 2n – 1 chia hết cho 7
Giải 
Nếu n = 3k ( k N) thì 2n – 1 = 23k – 1 = 8k - 1 chia hết cho 7
Nếu n = 3k + 1 ( k N) thì 2n – 1 = 23k + 1 – 1 = 2(23k – 1) + 1 = BS 7 + 1
Nếu n = 3k + 2 ( k N) thì 2n – 1 = 23k + 2 – 1 = 4(23k – 1) + 3 = BS 7 + 3
 è V ậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3
Bài 15: Tìm n N để:
a) 3n – 1 chia hết cho 8
b) A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25
c) 5n – 2n chia hết cho 9
Giải
a) Khi n = 2k (k N) thì 3n – 1 = 32k – 1 = 9k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8
 Khi n = 2k + 1 (k N) thì 3n – 1 = 32k + 1 – 1 = 3. (9k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2
 è Vậy : 3n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k N)
b) A = 32n + 3 + 24n + 1 = 27 . 32n + 2.24n = (25 + 2) 32n + 2.24n 
 = 25. 32n + 2.32n + 2.24n = BS 25 + 2(9n + 16n) 
Nếu n = 2k +1(k N) thì 9n + 16n = 92k + 1 + 162k + 1 chia hết cho 9 + 16 = 25
Nếu n = 2k (k N) thì 9n có chữ số tận cùng bằng 1 , 
còn 16n có chữ số tận cùng bằng 6 àsuy ra 2((9n + 16n) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 è nên không chia hết cho 25
c) Nếu n = 3k (k N) thì 5n – 2n = 53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117
 à nên chia hết cho 9
 Nếu n = 3k + 1 thì 5n – 2n = 5.53k – 2.23k = 5(53k – 23k) + 3. 23k = BS 9 + 3. 8k
= BS 9 + 3(BS 9 – 1)k = BS 9 + BS 9 + 3
 Tương tự: nếu n = 3k + 2 thì 5n – 2n không chia hết cho 9
 è Vậy 5n – 2n chia hết cho 9 khi n = 3k (k N)
 * * *
V.- BÀI ỨNG DỤNG THỰC HÀNH
1/ Tìm số nguyên n để:
a) n3 – 2 chia hết cho n – 2
b) n3 – 3n2 – 3n – 1 chia hết cho n2 + n + 1
c)5n – 2n chia hết cho 63
2/ Tìm số dư khi:
a) 21994 cho 7 b) 31998 + 51998 cho 13
c) A = 13 + 23 + 33 + ...+ 993 chia cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 99 
3/Chứng minh rằng: 
a) a5 – a chia hết cho 5 (GY: Chứng minh như Bài 2 ý a)
d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
e) 20092010 không chia hết cho 2010
f) n2 + 7n + 22 không chia hết cho 9
PHH Sưu tầm & Bổ sung 11/2015