11 Đề thi vào Lớp 10 THPT môn Toán

Đề 1:
Bài 1: Rút gọn biểu thức: 
a, A = ( với a > 0; a 1)
b, B = ( với a > 0; a 1)
Bài 2: Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Giải hệ phương trình theo tham số m 
c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x + y =- 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Bài 3:. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
Tứ giác CEHD, nội tiếp .
Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
H và M đối xứng nhau qua BC.
Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 4: Cho: a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn: a+b+c = 1. Tìm GTLN của biểu thức: P = 
Đáp án:
Bài 1: Rút gọn biểu thức: 
a, A = ( với a > 0; a 1)
 = = 
 = = = 
 Vậy A = 
b, B = ( với a > 0; a 1)
 Ta có: B = = = = 
 Vậy 
Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
1.Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2.Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3.AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4.H và M đối xứng nhau qua BC.
5.Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Lời giải:
Xét tứ giác CEHD ta có:
Ð CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)
Ð CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)
=> Ð CEH + Ð CDH = 1800
Mà Ð CEH và Ð CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 
Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ^ AC => ÐBEC = 900.
CF là đường cao => CF ^ AB => ÐBFC = 900.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: Ð AEH = Ð ADC = 900 ; Â là góc chung 
=> D AEH ~ DADC => => AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: Ð BEC = Ð ADC = 900 ; ÐC là góc chung 
=> D BEC ~ DADC => => AD.BC = BE.AC.
4. Ta có ÐC1 = ÐA1 ( vì cùng phụ với góc ABC)
ÐC2 = ÐA1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> ÐC1 = Ð C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ^ HM => D CHM cân tại C 
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn
 => ÐC1 = ÐE1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp 
ÐC1 = ÐE2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) 
ÐE1 = ÐE2 => EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 4: Cho: a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn: a+b+c = 1. Tìm GTLN của biểu thức: P = 
Giải:
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: 
 Dấu đẳng thức xảy ra ó a=b=c
ó Dấu đẳng thức xảy ra ó a=b=c
ó Dấu đẳng thức xảy ra ó a=b=c
ó Dấu đẳng thức xảy ra ó a=b=c
Mà a+b+c=1 nên: Min P = ó a=b=c = 
Đề 2:
Bài 1: Cho biểu thức: ( với a > 0; a 4)
a, Rút gọn biểu thức P
b, Tính giá trị biểu thức P khi a = 9
Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = ax + 5
a) Tìm a để đồ thị hàm số đi qua điểm A (-2; 3)
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được ở câu a).
Bài 3: Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
c) Tìm giá trị của m thoả mãn: 2x2 – 7y = 1
d) Tìm các giá trị của m để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE
Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh ED = BC.
Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Bài 5: Cho hai số dương x,y thỏa x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức  
Đáp án :
Bài 1:
 Cho biểu thức: ( với a > 0; a 4)
a, Rút gọn biểu thức P
b, Tính giá trị biểu thức P khi a = 9
Giải:
a, Ta có: 
Vậy P = 
b, Thay a = 9 vào biểu thức P ta được: P = 
Vậy khi a = 9 thì P = 4.
Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = ax + 5
a) Tìm a để đồ thị hàm số đi qua điểm A (-2; 3)
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được ở câu a).
Giải:
a) Để đồ thị hàm số y = ax + 5 đi qua điểm A (-2; 3)
 3 = a.(-2) + 5 -2a + 5 = 3
 -2a = 3 – 5 -2a = - 2 a = 1
Vậy khi a = 1 thì đồ thị hàm số y = ax + 5 đi qua điểm A (-2; 3)
b) Khi a = 1 thì công thức hàm số là: y = x + 5
Cho x = 0 y = 5 A (0; 5) 
 y = 0 x = -5 B (-5; 0)
 Đồ thị hàm số y = x + 5 là đường thẳng đi qua 2 điểm A (0; 5); B (-5; 0)
Bài 3: Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
c) Tìm giá trị của m thoả mãn: 2x2 – 7y = 1
d) Tìm các giá trị của m để biểu thức nhận giá trị nguyên.
Giải:
a) Thay m = 3 vào hệ phương trình ta có hệ phương trình trở thành 
 Vậy với m = 3 thì hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = 
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Xét hệ phương trình 
Từ phương trình 
thay vào phương trình ta có phương trình: 
Vậy là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Giải hệ phương trình theo tham số m ta có hpt
 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = 
+) Để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn 2x2 - 7y = 1
Vậy với m = 2 hoặc m = 1 thì hpt trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = 1
Thay ; vào biểu thức A = ta được biểu thức
A = = = = = 
 = = 
Để biểu thức A = nhận giá trị nguyên 
 nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên 
 (m+2) là ước của 5. Mà Ư(5) = 
Kết hợp với điều kiện ; Vậy với các giá trị m = -1; m = -3; m = -7; m = 3 thì giá trị của biểu thức nhận giá trị nguyên. 
Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE
1.Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2.Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3.Chứng minh ED = BC.
4.Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
5.Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lời giải:
1.Xét tứ giác CEHD ta có: Ð CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)
Ð CDH = 900 ( Vì AD là đường cao)
=> Ð CEH + Ð CDH = 1800
 Mà Ð CEH và Ð CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 
2. Theo giả thiết: 	BE là đường cao => BE ^ AC => ÐBEA = 900.
AD là đường cao => AD ^ BC => ÐBDA = 900.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến 
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có ÐBEC = 900 .
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = BC.
Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => ÐE1 = ÐA1 (1).
Theo trên DE = BC => tam giác DBE cân tại D => ÐE3 = ÐB1 (2)
Mà ÐB1 = ÐA1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => ÐE1 = ÐE3 => ÐE1 + ÐE2 = ÐE2 + ÐE3 
Mà ÐE1 + ÐE2 = ÐBEA = 900 => ÐE2 + ÐE3 = 900 = ÐOED => DE ^ OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ó ED2 = 52 – 32 ó ED = 4cm
Bài 5: Cho hai số dương x,y thỏa x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức  
Giải: Ta có:
 (vì x+y=1 nên: (x+y)2 = 1 ó x2 + y2 -1 = - 2xy)
Để N đạt Min thì xy phải có GTLN
⇒Max xy = 1/4
⇒N≥≥1 + 8 = 9
Vậy Min N = 9 khi x = y = 12
Đề 3:
Bài 1: Tính giá trị biểu thức: khi 
Bài 2: 
a) Vẽ đồ thị các hàm số y = - x + 2 và y = x + 2 
b) Gọi toạ độ giao điểm của đồ thị các hàm số với các trục toạ độ là A và B, giao điểm của đồ thị 2 hàm số trên là E. Tính chu vi và diện tích 
Bài 3: Cho hệ phương trình: 
a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
1.Chứng minh AC + BD = CD. 
 2.Chứng minh ÐCOD = 900.
3.Chứng minh AC. BD = .
4.Chứng minh OC // BM
5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
6.Chứng minh MN ^ AB.
7.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Giải phương trình: 
Đáp án 3:
Bài 1: Tính giá trị biểu thức: khi 
Thay vào biểu thức P ta được:
Bài 3: Cho hệ phương trình: 
a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
Giải:
a Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất 
 Vậy với thì hpt có 1 nghiệm duy nhất 
b) Hệ phương trình vô nghiệm 
 	 (t/m) 
Vậy với thì hpt vô nghiệm
c) Hệ phương trình có vô số nghiệm 
 Vậy với thì hpt có vô số nghiệm.
Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
1.Chứng minh AC + BD = CD. 
 2.Chứng minh ÐCOD = 900.
3.Chứng minh AC. BD = .
4.Chứng minh OC // BM
5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
6.Chứng minh MN ^ AB.
7.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
1.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
 Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
2.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà ÐAOM và ÐBOM là hai góc kề bù => ÐCOD = 900.
3.Theo trên ÐCOD = 900 nên tam giác COD vuông tại O có OM ^ CD ( OM là tiếp tuyến ).
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM, 
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 
=> AC. BD = .
4.Theo trên ÐCOD = 900 nên OC ^ OD .(1)
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM ^ OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).
5.Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB 
 IO // AC , mà AC ^ AB => IO ^ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD 
6. Theo trên AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra 
=> MN // BD mà BD ^ AB => MN ^ AB.
7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB.
Bài 5: Giải phương trình: 
Giải:
Theo BĐT Cauchy ta có:
ó Dấu = xảy ra ó x = 1; y=2; z=3
Đề 4:
Bài 1: ( Đề thi vào THPT năm học 2006 - 2007)
a, Rút gọn biểu thức: ( với x > 0; x 1)
b, Cho phương trình: (m2 – 1) x2 – 2(m +3)x +1 = 0 (1) (với m là tham số).
Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2: 
a) Tìm hệ số a của hàm số y = ax + 1 biết rằng khi x = thì y = 
b) Xác định hệ số b biết đồ thị hàm số y= -2x + b đi qua điểm A ( 2; -3)
Bài 3: Cho hệ phương trình: 
a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK.
a.Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
b.Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c.Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Bài 5: Tồn tại hay không số nguyên x sao cho: x2 + x + 2016 là số chính phương
Đáp án 4:
Bài 1: ( Đề thi vào THPT năm học 2006 - 2007)
 Rút gọn biểu thức: ( với x > 0; x 1)
Giải:
 Ta có: 
 Vậy biểu thức Q 
Bài 2: a) Tìm hệ số a của hàm số y = ax + 1 biết rằng khi x = thì y = 
b) Xác định hệ số b biết đồ thị hàm số y= -2x + b đi qua điểm A ( 2; -3)
Giải:
Khi x = thì y = ta có: = a.() +1
 a.() = -1 
 a.() = 
 a = = 
Vậy khi x = và y = thì a = .
Vì đồ thị hàm số y= -2x + b đi qua điểm A ( 2; -3) nên ta có:
 -3 = -2.2 + b 
 - 4 + b = -3
 b = 1
Vậy khi b = 1 thì đồ thị hàm số y= -2x + b đi qua điểm A ( 2; -3)
.
Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK.
a.Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
b.Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c.Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Lời giải: (HD)
a. Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B 
Do đó BI ^ BK hayÐIBK = 900 
Tương tự ta cũng có ÐICK = 900 như vậy B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
b.Ta có ÐC1 = ÐC2 (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH.
ÐC2 + ÐI1 = 900 (2) ( vì ÐIHC = 900 ).
ÐI1 = Ð ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O) 
Từ (1), (2) , (3) => ÐC1 + ÐICO = 900 hay AC ^ OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c. Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.
AH2 = AC2 – HC2 => AH = = 16 ( cm)
CH2 = AH.OH => OH = = 9 (cm)
OC = = 15 (cm)
Đề 5:
Bài 1: ( Đề thi vào THPT năm học 2006 - 2007)
 Rút gọn biểu thức: ( với x > 0; x9)
Bài 2: Cho hàm số 
 a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến.
 b) Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3
 c) CMR: Đồ thị hàm số luôn luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m
 Bài 3: Trên cùng một dòng sông, một ca nô chạy xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63km hết tất cả 7 h. Nếu ca nô xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km thì hết 7 h. Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nước.
Bài 4: Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
1.Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2.Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
3.Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
4.Chứng minh OAHB là hình thoi.
5.Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6.Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d
Bài 5: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 
(m-1)x2 + 2mx + m+1 = 0.
Đáp án 5:
Bài 1: 
 Rút gọn biểu thức: ( với x > 0; x9)
Giải:
 Ta có: 
 Vậy A 
Bài 2: Cho hàm số 
a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến.
 b) Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3
 c) CMR: Đồ thị hàm số luôn luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m
Giải:
a) Để hàm số luôn luôn nghịch biến với mọi giá trị của x 
 m +2 < 0 m < -2 
 Vậy với m < - 2 thì hàm số luôn luôn nghịch biến với mọi giá trị của x.
b) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3 x = -3 ; y = 0 
Ta có : 0 = (m + 2). + m - 3 -3m – 6 + m - 3 = 0 -2m = 9 m = 
Vậy với m = thì đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại điểm có hoành độ = – 3.
c) Giả sử đồ thị hàm số luôn luôn đi qua 1 điểm cố định M (x0; y0) với mọi giá trị của m
 y0 = (m + 2).x0 + m – 3 (với m)
 y0 = m.x0 + 2 x0 +m – 3 (với m)
 ( m.x0 + m) + (2 x0 – 3 - y0 ) = 0 (với m)
 m.(x0 + 1) + (2 x0 – 3 - y0 ) = 0 (với m)
Vậy đồ thị hàm số luôn luôn đi qua 1 điểm cố định 
 M (x0 = -1; y0 = -5) với mọi giá trị của m
Bài 3: Trên cùng một dòng sông, một ca nô chạy xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63km hết tất cả 7 h. Nếu ca nô xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km thì hết 7 h. Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nước.
Giải:
- Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h), vận tốc của dòng nước là: y (km/h)
 ( Điều kiện: x > y > 0)
- Thì vận tốc xuôi dòng là: x + y (km/h), vận tốc ngược dòng là: x - y (km/h)
- Theo bài ra thời gian xuôi dòng 108km và ngược dòng 63 km hết 7 giờ nên ta có phương trình: (1)
- Theo bài ra thời gian xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km hết 7 giờ nên ta có phương trình: (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: đặt: a = ; b = 
Ta có hệ phương trình: ( thoả mãn ) 
Vậy vận tốc thực của ca nô là 24 (km/h), vận tốc của dòng nước là: 3 (km/h)
Bài 4: Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ^ MB, BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
1.Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2.Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
3.Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
4.Chứng minh OAHB là hình thoi.
5.Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6.Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d
Lời giải:
1.(HS tự làm).
2.Vì K là trung điểm NP nên OK ^ NP ( quan hệ đường kính Và dây cung) => ÐOKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có ÐOAM = 900; ÐOBM = 900. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. 
Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. 
3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R 
 => OM là trung trực của AB => OM ^ AB tại I .
Theo tính chất tiếp tuyến ta có ÐOAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao.
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2.
4. Ta có OB ^ MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC ^ MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.
OA ^ MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD ^ MA (gt) => OA // BD hay OA // BH.
=> Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi.
5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH ^ AB; cũng theo trên OM ^ AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB).
6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R
Đề 6:
Bài 1: Cho biểu thức 
 N = với a và a 1
a, Rút gọn N.
b, Tìm giá trị của a để N = - 2004
Bài 2: Cho hàm số 
 a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn đồng biến.
 b) Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3
 c) CMR: Đồ thị hàm số luôn luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m
Bài 3: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 15 km/h thì đến B sớm 1 giờ, nếu xe giảm vận tốc đi 15 km/h thì đến B muộn 2 giờ. Tính quãng đường AB.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn (A; AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E.
Chứng minh tam giác BEC cân.
Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH).
Chứng minh BE = BH + DE.
Đáp án 6:
Bài 1: Cho biểu thức 
 N = với a và a 1
a, Rút gọn N.
b, Tìm giá trị của a để N = - 2004
Giải:
a.Ta có: N = = = = 1 – a
Vậy N = 1 - a
b. Để N = - 2004 1 – a = - 2004 - a = - 2004 – 1 - a = - 2005
 a = 2005
Vậy với a = 2005 thì N = - 2004.
Bài 3: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 15 km/h thì đến B sớm 1 giờ, nếu xe giảm vận tốc đi 15 km/h thì đến B muộn 2 giờ. Tính quãng đ