108 Bài toán Tổ hợp - Phương pháp - Nguyễn Văn Lợi

Dr
a
f
t
TS. Nguyạn Vôn Lủi (chừ biản)- Ngổ Thà NhÂ
Sigma - MATHS
Sigma - MATHS
Nhỳng lới giÊi Ănh thực am mả!
Thay cho lới nõi Ưu chúng tổi xin ph²p cĂc bÔn ồc ữủc giợi thiằu B€I
TON HAY - LÍI GIƒI ffi•P. . . cừa mởt số b i têp lỹa chồn tứ quyºn: 108
b i têp toĂn tờ hủp cho tĐt cÊ mồi ngữới. (viát tưt l  Q1).
B i 5(Q1). Tổi nghắ mởt số nguyản x vợi 0 < x < 17. PhÊi cƯn ẵt nhĐt bao
nhiảu cƠu họi m  ch¿ ữủc ph²p trÊ lới úng - sai º ngữới ta xĂc ành ữủc tổi
nghắ án số n o?
Lới giÊi: CƯn 4 cƠu họi.
Ta thay cho họi cĂc số tứ 1 án 16 bơng tứ 0 án 15 (thay vẳ họi cho x, ta họi
cho số x− 1. Vẳ lỵ do kò thuêt trong trẳnh b y).
Ta trẳnh b y lới giÊi cho cĂc bÔn yảu tin hồc. Chuyºn cĂc số tứ 0 án 15 vã
dÔng hằ ám cỡ số 2. Những vêy ta cõ cĂc số 0, 1, 10, 11, 100, . . . ., 1111. Nhữ
vêy chúng ta cƯn 4 ổ vứa ừ º biºu thà cĂc số tứ 0 án 15.CĂc dÂy kẵ tỹ cƯn
x²t án l  0000, 0001, 0010, 0011, . . . ., 1110, 1111. Ch¿ cƯn °t 4 cƠu họi:
- Kẵ tỹ ð và trẵ thự i l  1? (Họi nhữ vêy 4 lƯn vợi i = 1, 2, 3, 4).
CƠu trÊ lới ch¿ cõ thº l  0 ho°c 1. Gh²p 4 chỳ số ta nhên ữủc số cƯn tẳm.
Ta chuyºn sang cĂch họi dÔng thổng thữớng:
Chia cĂc số th nh hai nhõm A v  B rỗi °t cƠu họi: Số cƯn tẳm cõ trong nhõm
A? Sau khi ta nhên ữủc thổng tin, ta lÔi chia phƯn cõ chựa số cƯn tẳm th nh
hai nhõm v  tiáp tửc cƠu họi trữợc.
CĂch l m n y cụng ch¿ ra số cƠu họi cƯn thiát l  4 v  khổng thº ẵt hỡn 4, vẳ
mội và trẵ cƯn mởt cƠu họi º xĂc ành.
1
Sigma - MATHS
Lới giÊi n y cõ thº tờng quĂt hõa: náu cõ n vêt cƯn tẳm v  2k−1 < n ≤ 2k thẳ
cƯn k cƠu họi.
ffiƠy cụng l  mởt thuêt toĂn cỡ bÊn trong khoa hồc mĂy tẵnh.
B i 7(Q1). Tổi nghắ hai số giỳa 1 v  10. Họi phÊi cƯn bao nhiảu cƠu họi (dÔng
úng sai) º bÔn cõ thº biát hai số tổi nghắ l  gẳ?
Lới giÊi: CƯn 6 cƠu họi.
Sỷ dửng kát quÊ cừa b i trản, ta ch¿ cƯn x²t cõ bao nhiảu c°p số C10
2 = 45. Vẳ
25 < 45 < 26 nản cƯn 6 cƠu họi.
Ghi chú: Vợi cĂch ữa tờ hủp v o trong xƠy dỹng lới giÊi nhỳng cổng viằc tữðng
chứng nhữ vổ cũng rưc rối bộng trð th nh mÔch lÔc. Viằc chồn 2 hay nhiãu hỡn
cĂc ỗ vêt khổng cỏn gƠy khõ khôn, vẳ Â cõ thuêt toĂn ỡn giÊn.
B i 8(Q1). Trản b n cớ 8ì 8 cõ bao nhiảu hẳnh chỳ nhêt?
Lới giÊi: C9
2 ã C92 = 36 ã 36 = 1296.
Cõ nhiãu cĂch ám thú và. Ta cõ thº tẵnh bơng tẵch số oÔn th¯ng nơm ngang
C9
2
v  số oÔn th¯ng nơm dồc C9
2
. Ho°c cụng cõ thº minh hồa lới giÊi bơng
tẵch số cĂch chồn hai ữớng th¯ng nơm ngang v  số cĂc cĂch chồn hai ữớng
th¯ng nơm dồc.
Ghi chú: B i toĂn s³ phực tÔp v  thú và hỡn khi ta thay hẳnh chỳ nhêt bơng
hẳnh vuổng: Trản b n cớ 8ì 8 cõ bao nhiảu hẳnh vuổng?
Cổng viằc bƠy giớ l  gh²p cĂc oÔn th¯ng cũng ở d i nơm ngang vợi cĂc oÔn
th¯ng cũng ở d i những nơm dồc. Ta s³ cõ cổng thực - cõ thº mð rởng cho
b n cớ kẵch thữợc nì n:
S = 12 + 22 + ã ã ã+ 82.
B i 9(Q1). Trản giĂ cõ 10 quyºn sĂch. Cõ bao nhiảu cĂch º lĐy xuống 3 quyºn
sĂch khổng cõ hai quyºn n o  ựng cÔnh nhau?
Lới giÊi. Cõ C8
3
cĂch chồn. Náu dũng cĂch liằt kả, b i n y tữỡng ối khõ.
CĂch tiáp cên vĐn ã mợi sau Ơy l m cho lới giÊi trð th nh àp lung linh.
Ta lởi ngữủc quy trẳnh. Thay cho viằc lĐy xuống 3 quyºn sĂch, ta l m cổng viằc
°t sĂch lản giĂ. B i toĂn s³ l : Trản giĂ cõ 7 quyºn sĂch. Cõ bao nhiảu cĂch
2
Sigma - MATHS
º °t thảm 3 quyºn sĂch sao cho cĂc quyºn mợi °t khổng cõ hai quyºn n o
ựng cÔnh nhau?
Tứ Ơy lới giÊi cho b i toĂn trð nản rĐt ỡn giÊn. Giỳa cĂc quyºn sĂch trản giĂ
cõ tờng cởng 8 và trẵ trống (trữợc v  sau h ng cụng cõ thº °t). Ch¿ viằc chồn
ra 3 và trẵ º °t sĂch mợi v o. Kát quÊ hiºn nhiản l  C8
3 = 56.
CĂch suy nghắ i ngữủc chiãu thới gian nhữ b i trản gủi cho chúng ta mởt phong
cĂch: PHìèNG PHP TRUY HầI.
B i toĂn sau thº hiằn rĐt ró tĂc dửng khõ thiáu ữủc cừa phữỡng phĂp n y.
B i 12(Q1). Cõ bao nhiảu cĂch i lản mởt cƯu thang 8 bêc sao cho mội lƯn
ch¿ ữủc bữợc 1 ho°c 2 bêc?
Lới giÊi.
Ta bưt Ưu tứ bêc thự 8 (thự n). ffiº bữợc ữủc buợc cuối cũng án bêc 8 (bêc
n) cõ hai cĂch: ho°c bữợc mởt bữợc tứ bêc 7 (bêc thự n− 1) ho°c bữợc 2 bêc
liãn tứ bêc 6 (tứ bêc n− 2). Vêy số cĂch án bêc n (vợi F (n) bơng tờng số cĂch
tứ bêc (n− 1) v  tứ (n− 2)). Náu ð bêc 0 l  mởt cĂch, thẳ tứ 0 án bêc 1 cõ 1
cĂch. Tứ 0 lản bêc 2 cõ 1+1= 2 cĂch v  ta nhên ữủc cổng thực truy hỗi:
F (n) = F (n− 1) + F (n− 2)
ffiƠy chẵnh l  b i toĂn Fibonaci nời tiáng.
é cĂc nữợc phĂt triºn bưt Ưu tứ cuối thá k¿ XX Ưu thá k¿ XXI mởt tr o lữu
chÔy ua ngƯm những vổ cũng sinh ởng ang diạn ra giỳa cĂc quốc gia:
ffiữa khoa hồc mĂy tẵnh v o trữớng phờ thổng.
ffiƠy mợi chẵnh l  mằnh lằnh tối mêt cừa cuởc cÊi cĂch giĂo dửc hiằn tÔi ang
diạn ra vổ cũng gĐp rút tÔi cĂc cữớng quốc. Nữợc n o tửt hêu trong cuởc chÔy
ua n y, quốc gia õ vắnh viạn bà xáp v o hÔng sau m  khoÊng cĂch vốn Â
xa cĂch nay c ng nợi rởng ....
Nữợc ta khổng phÊi l  nữợc ngh±o tri thực, Â án lúc con chĂu mẳnh cƯn phÊi
tiáp cên vợi khoa hồc thá giợi m  cử thº õ l  tr o lữu khoa hồc mĂy tẵnh, náu
chúng ta khổng muốn thỹc sỹ l  lỹc lữủng hÔng hai!
3
MệC LệC Sigma - MATHS
Mửc lửc
1 Biºu ỗ Venn  Logic 5
2 Nguyản lỵ Dirichlet (chuỗng v  thọ) I. 6
3 Nguyản lỵ dirichlet II 8
4 CĂc b i ToĂn trản b n cớ. 12
5 Hẳnh hồc tờ hủp 13
6 Chuyản ã số hồc. 15
7 Trỏ chỡi  Games 16
8 Quy nÔp 18
9 Tờng hủp 19
10 Thảm thảm 22
11 Nhỳng viản ngồc cừa xự sð kim cữỡng 25
4
Sigma - MATHS
1 Biºu ỗ Venn  Logic
1. Giỳa cĂc số tỹ nhiản tứ 1 án 1000 cõ bao nhiảu số chia hát cho:
a) t nhĐt mởt số b) ffiúng mởt số
c) t nhĐt hai số d) ffiúng hai số
tứ cĂc số 2, 3, 5.
2. Cõ bao nhiảu số nguyản tố cũng nhau vợi 1200 v  khổng quĂ 1200?
3. Cõ bao nhiảu số cõ ....
a) ba chỳ số b) bốn chỳ số c) n chỳ số
biát rơng cĂc chỳ số cừa nõ ch¿ l  1, 2, 3 những tĐt cÊ ãu cõ m°t ẵt nhĐt mởt lƯn?
4. Cõ bao nhiảu số cõ 4 chỳ số m  trong cĂc chỳ số cừa nõ cĂc chỳ số 1 ho°c 2
ẵt nhĐt cõ mởt số tham gia?
5. Ngữới ta ghi cĂc số tỹ nhiản tứ 1 án 10000 lản bÊng. Sau õ ngữới ta xõa
cĂc số cõ chựa chỳ số 0 ho°c 1. Họi cĂc số bà xõa v  cĂc số cỏn lÔi nhõm n o
nhiãu hỡn?
6. Bẳnh khổng chú ỵ án ỗng phửc cừa mẳnh. Trản chiác Ăo cõ diằn tẵch tờng
thº l  1m2 Â 5 lƯn mà bÔn Đy phÊi vĂ nôm miáng vÊi mội miáng diằn tẵch
30dm2, sĂu lƯn phÊi vĂ cĂc miáng vÊi 20dm2. Họi cõ tỗn tÔi khổng hai miáng
vÊi phừ ± lản nhau ẵt nhĐt 3dm2?
7. Cõ bao nhiảu cĂch bọ nhƯm nôm lĂ thữ v o 5 chiác phong bẳ sao cho khổng
cõ phong bẳ n o cõ àa ch¿ úng cừa lĂ thữ cƯn gỷi?
ffiĂp số: 5!− 5.4! + C25.3!− C35.2! + C45.1!− C05.0!
5
Sigma - MATHS
8. Nôm c°p vủ chỗng ngỗi xung quanh mởt chiác b n trỏn. Họi cõ bao nhiảu
cĂch xưp xáp sao cho cĂc b  khổng ngỗi cÔnh chỗng mẳnh (cĂc cĂch sưp xáp
nhên ữủc tứ nhau bði ph²p quay khổng tẵnh l  khĂc nhau)?
ffiĂp số: 9!− 5.2.8! + C25.22.7!− C35.23.6! + C45.24.5!− C55.25.4!
9. Mởt  n lÔc   7 con ang i theo h ng dồc trản xa mÔc. ffiº cho h nh trẳnh
khọi nh m chĂn ổng chừ lỳ h nh mội hổm lÔi thay ời thự tỹ cĂc con lÔc  
sao cho ng y hổm nay khổng cõ con n o phÊi thĐy con hổm qua i trữợc nõ.
TĐt nhiản con i Ưu thẳ cõ thº giỳ nguyản. Họi cõ bao nhiảu cĂch sưp xáp du
h nh o n º khổng hổm n o giống hổm n o?
ffiĂp số: 7!− 6.6! + C26.5!− C36.4! + C46.3!− C56.2! + C66.1!
2 Nguyản lỵ Dirichlet (chuỗng v  thọ) I.
10. Nhiãu nhĐt cõ thº cho bao nhiảu số nguyản tố khĂc nhau, sao cho giỳa
chúng cự bĐt kẳ ba số ãu cõ tờng l  mởt số nguyản tố?
11. Cõ thº lĐp Ưy cĂc ổ cừa bÊng 5ì 5 bơng cĂc số 1 v  (-1) sao cho tờng cĂc
số ð mội h ng v  mội cởt l  khĂc nhau?
12. GiÊ sỷ rơng giỳa mởt số cĂc ỗ vêt hai loÔi m u khĂc nhau, cõ hai loÔi hẳnh
dÔng khĂc nhau. CMR trong chúng tỗn tÔi hai ỗ vêt khĂc nhau cÊ vã hẳnh
dÔng v  m u sưc.
ffiĂp số: Â cõ lới giÊi trản forum BTH  LGffi ....
6
Sigma - MATHS
13. CMR:
a) Tứ ba số bĐt kẳ luổn tẳm ữủc 2 số cõ tờng chia hát cho 2.
b) Tứ nôm số bĐt kẳ luổn tẳm ữủc 3 số cõ tờng chia hát cho 3.
c) Tứ bÊy số bĐt kẳ luổn tẳm ữủc 4 số cõ tờng chia hát cho 4.
14. Trản hẳnh lữợi ổ vuổng cõ 40 hẳnh vuổng nhọ ữủc tổ m u. Họi tứ cĂc hẳnh
vuổng ữủc tổ m u n y cõ luổn tẳm ữủc 10 hẳnh vuổng sao cho khổng hai hẳnh
n o cõ iºm chung (khổng chung cÊ ¿nh)?
Hữợng dăn. Chia m°t ph¯ng lữợi th nh nhỳng b n cớ 2 ì 2. ffiĂnh Đu cĂc và
trẵ tữỡng ối theo cĂc số I,II, III v  IV ....
15. Tứ bao nhiảu số chẵnh phữỡng ta cõ thº chồn ữủc hai số sao cho hiằu cừa
chúng chia hát:
a) cho 3 b) cho 4 c) cho 8.
16. CMR trong phƯn phƠn cừa số pi cõ bở ba số liản tiáp nhau v  bở số n y
xuĐt hiằn nhiãu vỏng cũng lƯn.
Hữợng dăn. Số bở ba chỳ số l  hỳu hÔn cĂc số sau dĐu phây cừa số pi l  vổ hÔn.
17. Cõ 21 số nguyản dữỡng khĂc nhau v  ãu nhọ hỡn 70. CMR trong têp cĂc
hiằu cừa hai số n o õ giỳa 21 số trản, cõ ẵt nhĐt 4 số bơng nhau.
18*. Cõ 7 số tỹ nhiản khĂc nhau cõ tờng l  100. Chựng minh rơng cõ 3 số cõ
tờng tối thiºu l  50.
19*. Cõ 20 số nguyản dữỡng khĂc nhau v  ãu nhọ hỡn 70. CMR trong têp
cĂc hiằu cừa hai số n o õ giỳa 20 số trản, cõ ẵt nhĐt 4 số bơng nhau.
20*. BÔn Nam cõ 100 cĂi ắa nhọ, mội cĂi ữủc Ănh mởt số khĂc nhau tứ 1
án 100. Nam muốn °t ra b n bốn chiác sao cho tờng cĂc số ð hai chiác n y
bơng tờng cĂc số cừa hai chiác kia. Vẵ dử: (1) + (7) = (3) + (5).
Những rĐt Ăng tiác 75 chiác ắa bà thĐt lÔc. Họi vợi 25 chiác cỏn lÔi cổng viằc
cỏn thỹc hiằn ữủc khổng?
21. Sỡn cĂc iºm trản m°t ph¯ng bơng hai mƯu xanh v  ọ. CMR tỗn tÔi hai
iºm cũng m u cõ khoÊng cĂch l  1.
7
Sigma - MATHS
22. Sỡn cĂc iºm trản m°t ph¯ng bơng 3 m u. Ch¿ ra rơng cõ mởt m u n o õ
cõ vổ số iºm ữủc sỡn.
23. Sỡn cĂc iºm trản m°t ph¯ng bơng 2 mƯu. CMR vợi bĐt kẳ n nguyản dữỡng,
tỗn tÔi a giĂc lỗi cõ n ¿nh cũng m u.
24. a) Sỡn tĐt cÊ cĂc iºm bơng hai mƯu. CMR tỗn tÔi hẳnh chỳ nhêt cõ cĂc
¿nh ỗng mƯu.
b) GiÊi b i toĂn vợi n mƯu?
c) Trong phƯn a) v  b) nõi trản b i toĂn cõ thº chựng minh ữủc vợi mởt số k
cố ành (nhiãu hỳu hÔn) cĂc iºm ữủc sỡn trản m°t ph¯ng, cũng ãu cõ hẳnh
chỳ nhêt cõ cĂc ¿nh cũng mƯu. HÂy ch¿ ra số k trong tứng trữớng hủp.
ffiĂp số: a) Lữợi ổ vuổng 3ì 7 TMffiK n y.
b) Lữợi ổ vuổng kẵch thữợc (n+ 1)(n.C2n+1 + 1).
25. KhoÊng cĂch ổi mởt cừa têp nhiãu vổ cũng cĂc iºm cụng cõ nhiãu vổ
cũng giĂ trà khĂc nhau.
26. a) Trong m°t ph¯ng lữợi ổ vuổng cõ thº cho nhiãu nhĐt bao nhiảu iºm
nút lữợi º trung iºm cừa cĂc oÔn th¯ng cĂc iºm n y khổng nơm trản nút
lữợi.
b) Cụng cƠu họi õ vợi hằ lữợi lêp phữỡng.
27. Trong hẳnh vuổng cÔnh 300 ỡn và cho 10 iºm. CMR giỳa chúng tẳm ữủc
2 iºm cõ khoÊng cĂch nhọ hỡn 142 ỡn và.
28. Trản m°t ph¯ng hẳnh vuổng cÔnh 70 cm cõ vát cừa 50 phĂt Ôn. HÂy ch¿
ra rơng cõ hai vát Ôn cĂch nhau khổng quĂ 15 cm.
29. é giÊi bõng Ă V-Landi sƠn bõng cõ chiãu rởng 39m, chiãu d i 91m. CMR
trong quĂ trẳnh thi Đu luổn ữủc hai cƯu thừ cõ và trẵ cĂch nhau khổng quĂ
a) 19 m b) 15 m.
30. Trong hẳnh vuổng cÔnh ỡn và cho 51 iºm bĐt kẳ. CMR tỗn tÔi 3 iºm
nơm trong mởt vỏng trỏn bĂn kẵnh
1
7
.
8
Sigma - MATHS
3 Nguyản lỵ dirichlet II
31. Trong bÊng ổ vuổng 100 ì 100 ngữới ta iãn mởt trong ba số 1, 2, 3 v o
cĂc ổ vuổng nhọ, sau õ tẵnh tờng cĂc số cừa tứng h ng, tứng cởt v  hai ữớng
ch²o rỗi ghi riảng biằt cĂc kát quÊ. CMR luổn tẳm ữủc hai số bơng nhau.
32. Tứ cĂc ¿nh cừa mởt a giĂc ãu 13 cÔnh cõ thá chồn ữủc khổng 5 ¿nh,
sao cho bĐt kẳ hai ¿nh n o trong 5 ¿nh n y cõ khoÊng cĂch khĂc nhau?
ffiĂp Ăn: khổng.
33. Cõ mởt chiác cƠn hai ắa, mởt bản °t vêt cƯn cƠn v  mởt bản °t cĂc quÊ
cƠn. Ngữới ta muốn cƠn cĂc vêt cõ khối lữủng nguyản tứ 1 án 15 kg m  ch¿
dũng số lữủng quÊ cƠn ẵt nhĐt. CƯn phÊi chồn nhỳng quÊ cƠn cõ khối lữủng
nhữ thá n o? t nhĐt bao nhiảu quÊ?
34. é chủ trới ffiứng thưc mưc ngữới ta thữớng cƠn bơng cƠn 2 ắa, mởt bản
°t vêt cƯn cƠn v  mởt bản °t khổng quĂ 2 quÊ cƠn. Muốn cƠn cĂc trồng lữủng
nguyản tứ 1 án 16 kg cĂc cao thừ chủ ảm cƯn dũng nhỳng quÊ cƠn nhữ thá
n o? t nhĐt bao nhiảu quÊ?
ffiĂp số: 6 quÊ cƠn.
35. é chủ trới S nh iằu ngữới ta thữớng cƠn bơng cƠn 2 ắa, v  sỷ dửng
khổng quĂ 2 quÊ cƠn. ffiº cƠn thuên tiằn ngữới ta thữớng °t mởt bản l  cĂc
quÊ cƠn mởt bản vêt cƯn cƠn v  (náu cƯn) cõ thº °t thảm ch¿ mởt quÊ cƠn.
Muốn cƠn cĂc trồng lữủng nguyản tứ 1 án 17 kg cĂc cao thừ chủ ảm cƯn dũng
nhỳng quÊ cƠn nhữ thá n o? Tối thiºu bao nhiảu quÊ?
ffiĂp số: 5 quÊ cƠn.
9
Sigma - MATHS
36. DÂy số 9 hÔng tỷ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ữủc kián tÔo bơng cĂch lĐy tờng
cừa cĂc dÂy số 9 hÔng tỷ khĂc m  trong mội dÂy õ ch¿ hai chỳ số cõ m°t vẵ
dử (0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0). V  ph²p lĐy tờng ữủc thỹc hiằn trản tứng hÔng tỷ:
(0, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0)+(1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1) = (1, 2, 2, 0, 1, 3, 3, 0, 1). Họi ẵt nhĐt
phÊi dũng bao nhiảu dÂy số thọa mÂn iãu kiằn trản?
ffiĂp số: cƯn ẵt nhĐt 4 dÂy thẵch hủp.
37. Mởt hẳnh chỳ nhêt cõ cĂc cÔnh l  5 v  9. Ngữới ta chia th nh 10 hẳnh chỳ
nhêt nhọ cõ ở d i cĂc cÔnh l  cĂc số nguyản. Chựng minh rơng cõ hai hẳnh cõ
diằn tẵch bơng nhau trong cĂc hẳnh chỳ nhêt n y!
38. Trản m°t ph¯ng cho 100 iºm khổng cõ 3 iºm n o th¯ng h ng. CĂc oÔn
th¯ng nối cĂc iºm ãu ữủc sỡn m u xanh ho°c ọ. Chựng minh rơng trong
cĂc iºm trản luổn chồn ữủc ẵt nhĐt 2 iºm m  tứ õ số oÔn th¯ng ọ xuĐt
phĂt bơng nhau.
39. CMR trong mởt nhõm 6 ngữới luổn luổn chồn ữủc 3 ngữới ho°c cũng quen
nhau ho°c cũng khổng quen nhau.
40. Cõ 17 nh  bĂc hồc trao ời vợi nhau bơng 3 thự tiáng Anh , PhĂp, Viằt (hai
ngữới ch¿ trao ời bơng mởt thự tiáng chung). CMR luổn chồn ữủc 3 ngữới
trao ời vợi nhau bơng cũng mởt thự tiáng.
41. Cõ 66 diạn viản, bĐt kẳ 2 ngữới n o ãu  biºu diạn chung cũng mởt thº
loÔi nh  hĂt, lỗng tiáng, õng phim, hay vổ tuyán. Biát rơng mội c°p hai ngữới
ch¿ biºu diạn chung mởt thº loÔi. Chựng minh rơng cõ ba diạn viản biºu diạn
vợi nhau cũng thº loÔi.
42. Trong mởt thung lụng cõ 65 con bỏ cừa hai l ng ang g°m cọ: gỗm cĂc
loÔi nƠu, trưng, en v  loang lờ. CMR náu khổng cõ 5 con bỏ n o cũng ở tuời,
cũng m u lổng, thẳ luổn tẳm ữủc 3 con bỏ cũng m u lổng, cũng ở tuời v  ð
cũng mởt l ng.
43. Trong mởt têp thº 9 ngữới, ngữới n o cụng quen 7 ngữới khĂc. HÂy ch¿ ra
rơng cự 4 ngữới bĐt ký ãu cõ chung ẵt nhĐt mởt ngữới quen.
10
Sigma - MATHS
44. LoÔi Toto bõng Ă 13 trên, kát quÊ (1, X, 2). CƯn phÊi chỡi ẵt nhĐt bao
nhiảu v² º trong cĂc v² Â chỡi cõ ẵt nhĐt mởt cởt cõ ẵt nhĐt 5 kát quÊ úng.
45. Chựng minh rơng trong mởt a giĂc lỗi 10 cÔnh (thêp giĂc) luổn tỗn tÔi
mởt ữớng ch²o khổng song song vợi bĐt kẳ cÔnh n o cừa a giĂc.
Hữợng dăn: Mội cÔnh cõ khổng quĂ ba ữớng ch²o song song vợi nõ.
46. Mởt b n cớ 12 ì 12 cõ mởt số ổ ữủc sỡn mƯu en ho°c m u trưng. M u
cừa mội ổ cõ thº ữủc thay ời sang m u ngữủc lÔi, náu trong mội lữủt ngữới
ta ời m u cÊ mởt cởt hay cÊ mởt h ng. Họi trong mồi trữớng hủp luổn cõ thº
ời mƯu sao cho b n cớ cuối cũng ch¿ cỏn to n mƯu en?
ffiĂp số: Cõ cĐu hẳnh khổng thº thỹc hiằn ữủc.
47. Trản cĂc ổ cừa b n cớ 8x8 ữủc ghi cĂc số nguyản. Mội lữủt ngữới ta tông
giĂ trà cừa mởt bÊng 3ì 3 ho°c 4ì 4 mội ổ lản mởt ỡn và. Họi mửc ẵch tĐt
cÊ cĂc ổ cõ giĂ trà chia hát cho 10 cõ luổn luổn Ôt ữủc hay khổng?
Hữợng dăn: Khổng thº. Cõ 36 bÊng 3ì3 v  25 bÊng 4ì4, mội bÊng cõ 10 cĂch
bián ời. Dõ õ cõ thº tÔo th nh 1036 + 25 = 1061 cĐu hẳnh cõ thº tÔo ữủc.
Tứ 64 ổ cõ 1064 cõ 64 cĐu hẳnh.
48*. Trong mởt trữớng hồc, ngữới ta chia cĂc bÔn hồc sinh v o cĂc ởi 10
ngữới. Mởt hồc sinh cõ thº tham gia nhiãu ởi ho°c khổng tham gia bĐt cự ởi
n o. Số ởi l  500. CMR cõ thº chia cĂc bÔn hồc sinh v o hai phỏng sao cho
trong cÊ hai phỏng mội ởi ãu cõ ngữới cừa mẳnh.
ffiĂp số: cõ thº.
11
Sigma - MATHS
4 CĂc b i ToĂn trản b n cớ.
49. Trản b n cớ vua cõ thº i quƠn m liản tiáp v o mội ổ mởt lƯn rỗi quay lÔi
và trẵ ban Ưu? CĂi gẳ xÊy ra vợi cĂc b n cớ 4ì 4, 5ì 5, 8ì 8.
50. Trản b n cớ 5 ì 5 mội ổ cõ mởt con cĂnh cam. Sau hiằu cỏi cĂc con cĂnh
cam chuyºn sang mởt ổ cõ chung cÔnh vợi ổ vứa ựng. Liằu sau khi i mội ổ
cừa b n cớ văn cõ mởt con khổng?
51. Mởt b n cớ 8ì 8 ð hai gõc ối diằn mội gõc mởt quƠn cớ. Họi cõ thá phừ
kẵn phƯn cỏn lÔi cừa b n cớ bơng nhỳng quƠn omino kẵch thữợc 1ì 2?
52. Mởt b n cớ ð mởt gõc cõ mởt quƠn cớ. Họi cõ thá phừ kẵn phƯn cỏn lÔi cừa
b n cớ bơng nhỳng quƠn domino kẵch thữợc 1ì 3?
53. Cõ thº °t mởt quƠn cớ v o b n cớ º phƯn cỏn lÔi cõ thº phừ kẵn bơng
nhỳng quƠn domino kẵch thữợc 1ì 3?
54. Cõ thº phừ b n cớ 10ì 10 bơng cĂc quƠn domino 1ì 4?
ffiành nghắa: Polimino l  hẳnh ữủc gh²p liãn cÔnh cừa cĂc hẳnh vuổng ỡn và.
55. Cõ bao nhiảu quƠn polimino cõ bã m°t 4 ỡn và (gh²p cÔnh vợi cÔnh bơng
4 hẳnh vuổng).
ffiĂp số: 5 hẳnh.
12
Sigma - MATHS
56. TĐt cÊ cĂc quƠn polimino 4 ỡn và mội quƠn sỷ dửng mởt lƯn cõ thº gh²p
lÔi ữủc mởt hẳnh chỳ nhêt khổng?
ffiĂp số: Khổng ữủc. Chú ỵ: Polimino hẳnh chỳ T v  cĂch tổ m u b n cớ.
57. Cõ bao nhiảu quƠn polimino 5 ỡn và?
ffiĂp số: 12 quƠn.
58.Tứ tĐt cÊ cĂc quƠn polimino 5 ỡn và mội quƠn sỷ dửng mởt lƯn cõ thº gh²p
lÔi ữủc mởt hẳnh chỳ nhêt. Minh hồa bơng hẳnh v³. Hẳnh chỳ nhêt õ kẵch
thữợc bao nhiảu? ffiĂp số: ữủc. VD 10ì 6 ho°c 5ì 12
5 Hẳnh hồc tờ hủp
59. Trản m°t ph¯ng cho n iºm khổng cõ 3 iºm n o th¯ng h ng. CMR:
a) Tỗn tÔi mởt ữớng th¯ng phƠn chia k iºm riảng biằt tứ cĂc iºm cỏn lÔi.
b) Tỗn tÔi ữớng trỏn chựa úng k iºm bản trong.
60. Cho n iºm tờng quĂt trản m°t ph¯ng (khổng cõ ba iºm n o th¯ng h ng).
CMR tỗn tÔi mởt vỏng trỏn chÔy qua ẵt nhĐt ba iºm m  khổng chựa iºm n o
bản trong.
61. Cho 5 iºm tờng quĂt trản m°t ph¯ng khổng cũng nơm trản mởt ữớng
trỏn. CMR cõ thº chồn ra 2 iºm sao cho ữớng trỏn i qua ba iºm cỏn lÔi
phƠn chia hai iºm nõi trản (mởt bản trong, mởt bản ngo i).
13
Sigma - MATHS
62. Cho 6 iºm tờng quĂt trản m°t ph¯ng.Nối tĐt cÊ cĂc c°p hai iºm bơng
nhỳng oÔn th¯ng. Cõ thº sỡn cĂc oÔn th¯ng bơng 5 m u sao cho tứ mội ¿nh
luổn cõ nôm cÔnh xuĐt phĂt hay khổng?
63. Cho n iºm tờng quĂt trản m°t ph¯ng. CMR cõ thº sỡn bơng k m u sao
cho khi nối cĂc iºm cũng m u bơng oÔn th¯ng cõ chẵnh m u ð ¿nh thẳ cĂc
oÔn th¯ng khĂc m u khổng cưt nhau.
64. Trản m°t ph¯ng cho n iºm tờng quĂt. Họi cõ thº k´ nhiãu nhĐt bao nhiảu
ữớng th¯ng tứ cĂc iºm n y?
65. Cho 6 iºm. CĂc ữớng th¯ng qua trung iºm cĂc oÔn th¯ng ữủc xĂc
ành bði sĂu iºm trản cõ thº tÔo nản bao nhiảu giao iºm?
66. Cho 5 ữớng th¯ng. X²t cĂc ữớng phƠn giĂc cừa cĂc ữớng th¯ng n y. Họi
cĂc ữớng n y cõ thº cõ nhiãu nhĐt bao nhiảu giao iºm?
ffiĂp số: 40 + 60 + 10 = 110 giao iºm.
67. X²t mởt a giĂc lỗi. GiÊ sỷ khổng cõ 3 ữớng ch²o n o ỗng quy. Họi cĂc
ữớng ch²o cưt nhau tÔi bao nhiảu iºm?
ffiĂp số: C410.
68. V³ trản m°t ph¯ng n ữớng trỏn. HÂy sỡn nhỳng phƯn m°t ph¯ng giợi hÔn
bði cĂc cung trỏn bơng 2 m u sao cho nhỳng phƯn m°t ph¯ng cõ chung cung
trỏn thẳ cõ m u sỡn khĂc nhau.
69. Mởt cĂi bĂnh ga tổ hẳnh hởp chỳ nhêt mởt chiãu bà cưt bơng 5 nhĂt v 
mởt chiãu khĂc bà cưt bơng 8 nhĂt. Peter ữủc cưt mởt nhĂt theo mởt ữớng
th¯ng. Cêu ta ữủc lĐy tĐt cÊ cĂc phƯn m  dao chÔm phÊi. Họi nhiãu nhĐt cõ
thº ữủc ôn bao nhiảu miáng?
70. N ữớng th¯ng chia m°t ph¯ng nhiãu nhĐt th nh bao nhiảu miãn?
14
Sigma - MATHS
6 Chuyản ã số hồc.
71. Tứ cĂc số 1, 2, 3, ã ã ã , 10 cõ thº chồn nhiãu nhĐt bao nhiảu số sao cho trong
cĂc số n y hiằu cừa bĐt ký hai số ãu cho giĂ trà khĂc nhau?
72. Tứ cĂc số 1, 2, 3, ã ã ã , 10 cõ thº chồn nhiãu nhĐt bao nhiảu số sao cho trong
cĂc số n y tờng cừa bĐt ký hai số ãu cho giĂ trà khĂc nhau?
73. Tứ cĂc số 1, 2, 3, ã ã ã , 20 cõ thº chồn nhiãu nhĐt bao nhiảu số sao cho trong
cĂc số n y tờng cừa bĐt ký hai số khổng nơm trong cĂc số Â chồn?
74. Tứ cĂc số 1, 2, 3, ã ã ã , 20 cõ thº chồn nhiãu nhĐt bao nhiảu số sao cho trong
cĂc số n y hiằu cừa bĐt ký hai số khổng l  7?
75. Tứ cĂc số 1, 2, 3, ã ã ã , 20 cõ thº chồn nhiãu nhĐt bao nhiảu số sao cho khổng
cõ số n o l  ữợc cừa tẵch cừa cĂc số cỏn lÔi?
76. Tứ cĂc số 1, 2, 3, ã ã ã , 20 cõ thº chồn nhiãu nhĐt bao nhiảu số sao cho khổng
cõ 2 số n o m  mởt số l  ữợc cừa số kia?
77. Tứ cĂc số 1, 2, 3, ã ã ã , 20 cõ thº chồn nhiãu nhĐt bao nhiảu số sao cho khổng
cõ 2 số n o m  mởt số gĐp 2 lƯn số kia?
15
Sigma