108 Bài tập và vấn đề về bất đẳng thức

108 b i tªp v  v§n · v· b§t ¯ng thùc
Sigma-maths
Sigmathsgroup@gmail.com
Sigma - MATHS
LÍI GIÎI THI›U
Cuèn s¡ch nhä n y ÷ñc nhâm c¡c th nh vi¶n SIGMA-MATHS s÷u t¦m v  bi¶n so¤n
phöc vö cho cæng ngh» gi¡o döc cõa nhâm.
Xu§t ph¡t tø c¡c v§n · r§t ìn gi£n ng÷íi håc câ thº nhanh châng l m quen v  th¥n
thi»n vîi chuy¶n ng nh B§t ffi¯ng Thùc(BffiT), câ c¡i nh¼n tü tin, têng thº tr÷îc c¡c v§n
· v· BffiT. Ngay c£ khi ph£i r±n luy»n c¡c kß n«ng º i thi chóng ta v¨n câ õ b£n
l¾nh º ¡nh gi¡ vi»c m¼nh ang ph£i thüc hi»n. V¨n câ thº th§y m¼nh ang l m to¡n hay
ang l m quen vîi nhúng k¾ n«ng thi cû.
Hi vång c¡c gi£ng vi¶n hay c¡c b¤n l¦n ¦u l m quen vîi BffiT ·u t¼m th§y nhúng i·u
bê ½ch.
S¡ch gçm 4 ph¦n:
1. L m quen: Tø c¡c b i tªp ìn gi£n n¥ng cao d¦n, c¡c gi¡o vi¶n câ th¶m t i li»u gi£ng
d¤y t½ch hñp v· · t i. C¡c b¤n håc sinh câ thº tü thüc hi»n c¡c b i tªp. Cuèi ch÷ìng
chóng ta ÷ñc l m quen vîi c¡c BffiT nêi ti¸ng ð d¤ng ìn gi£n nh§t.
2. T¼m hiºu BffiT (Cho nhúng ng÷íi tá má). Trong möc n y chóng tæi giîi thi»u hai ·
t i thó và. ffiâ l  ành lþ s­p x¸p v  ành lþ Shapiro. ffiành lþ s­p x¸p còng chùng minh ch¿
v i dáng n y ¢ g¥y b§t ngí. H ng lo¤t c¡c b§t ¯ng thùc danh ti¸ng ÷ñc chùng minh
l¤i nh÷ nhúng v½ dö ¡p döng cõa ành lþ n y. ffi¥y công ch½nh l  ëng lüc mð ÷íng cho
c¡c tr o l÷u mîi. ffi· t i thù hai l  ành lþ Shapiro. Tø khi ra íi nh÷ mët gi£ thuy¸t,
ph£i sau 45 n«m mîi câ c¥u tr£ líi ¦y õ cho cho c¥u häi °t ra. Tr¤ng th¡i óng sai
cõa gi£ thuy¸t l¤i g¥y sü chó þ lîn trong t¥m iºm cõa nhi·u cuëc luªn b n.
3. Ph¦n luy»n tªp: K¸t thóc b¬ng nhúng b i to¡n hay v  lþ thó, cuèn s¡ch cung c§p
cho c¡c b¤n nhúng k¸t qu£ nêi ti¸ng düa tr¶n c¡c ki¸n thùc vøa l m quen.
4. Appendix: Ghi nhanh mët b i gi£ng lþ thó cõa GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu v· BffiT
bªc 2 v  ùng döng.
- Mong b¤n åc âng gâp nhúng þ ki¸n quþ gi¡ º cæng vi»c cõa chóng tæi ng y c ng
ho n thi»n v  phöc vö c¡c b¤n ÷ñc nhi·u hìn.
C£m ìn c¡c b¤n!
H  Nëi. 09/03/2017
Þ ki¸n xin chuyºn v·:
sigmathsgroup@gmail.com
loiscenter@gmail.com
1
MÖC LÖC Sigma - MATHS
Möc löc
1 L m quen vîi b§t ¯ng thùc. 3
1.1 B§t ph÷ìng tr¼nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 C¡c trung b¼nh th÷íng g°p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, i·u háa cõa hai sè. . . . . . . . . . 4
1.4 B§t ¯ng thùc trong b§t ¯ng thùc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Trung b¼nh cëng v  trung b¼nh nh¥n cõa nhi·u sè. . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 ffiành lþ v· c¡c s­p x¸p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 B§t ¯ng thùc tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8 B§t ¯ng thùc CBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9 B§t ¯ng thùc Jensen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.10 C¡c b i tªp têng hñp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Tr¦m ng¥m trong l¥u  i B§t ffi¯ng Thùc. 14
2.1 B§t ¯ng thùc s­p x¸p - hay cán gåi l  BffiT ho¡n và. . . . . . . . . . . . . 14
2.2 B§t ¯ng thùc Shapiro : gi£i xong m  ch÷a thº h¸t. . . . . . . . . . . . . . 18
3 Luy»n tªp 20
3.1 p döng c¡c BffiT nêi ti¸ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 B§t ¯ng thùc trong h¼nh håc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Appendix. 23
4.1 Nhúng b§t ¯ng thùc bªc 2 kiºu th¦y Mªu . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Trong c«n h¦m b½ mªt cõa c¡c phò thõy ra ·. . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Còng b i thi n y c¡c anh t i BffiT s³ h nh ëng th¸ n o? . . . . . . . . . . 25
2
Sigma - MATHS
1 L m quen vîi b§t ¯ng thùc.
1.1 B§t ph÷ìng tr¼nh.
1. Gi£i c¡c b§t ph÷ìng tr¼nh sau:
a,
3x+ 5
7− 3x < 4;
b,
x2 − 1
x2 + 1
<
x3 − 1
x3 + 1
;
c,
√
x+ 1−√x < 1
100
.
2. C¡c ph¥n sè
a1
b1
,
a2
b2
, ...,
an
bn
câ m¨u sè bi > 0(i=1,2,. . . ,n). CMR gi¡ trà cõa ph¥n sè
a1 + a2 + . . .+ an
b1 + b2 + . . .+ bn
n¬m giúa gi¡ trà nhä nh§t v  lîn nh§t cõa c¡c ph¥n sè
ai
bi
¢ cho .
3. D¢y sè sau d¢y n o bà ch°n tr¶n, (tùc l  tçn t¤i mët sè K sao cho b§t k¼ ph¦n tû
n o cõa d¢y ·u câ gi¡ trà khæng v÷ñt qu¡ K). H¢y x¡c ành câ tçn t¤i sè K nh÷
vªy khæng v  hay t¼m sè K nhä nh§t n¸u câ thº trong méi tr÷íng hñp:
a, an = 1 +
1
2
+
1
4
+ ...+
1
2n
;
b, bn = 1 +
1
3
+
1
9
+ ...+
1
3n
;
c, cn = 1 +
1
2
+
1
3
+ ...+
1
n
;
d, dn = 1 +
1
1.2
+
1
2.3
+ ...+
1
n(n+ 1)
.
4. D¢y fn = 1 +
1
22
+
1
32
+ ...+
1
n2
câ bà ch°n hay khæng?
1.2 C¡c trung b¼nh th÷íng g°p.
5. ffi¡y cõa mët h¼nh thang l  a v  c. H¢y biºu thà qua a v  c c¡c ¤i l÷ñng sau:
a, ffi÷íng trung b¼nh cõa h¼nh thang.
b, ffio¤n th¯ng i qua giao iºm cõa hai ÷íng ch²o, song song vîi hai ¡y v  giîi
h¤n bði hai c¤nh b¶n cõa h¼nh thang.
c, ffio¤n th¯ng n o lîn hìn trong c¡c o¤n th¯ng x¡c ành trong a v  b ? H¢y cho
chùng minh b¬ng ¤i sè v  h¼nh håc.
3
1.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, i·u háa cõa hai sè. Sigma - MATHS
6. (Vªn tèc trung b¼nh, thíi gian v  qu¢ng ÷íng)
a, Mët æ tæ i vîi vªn tèc v1 trong mët thíi gian nh§t ành, v  sau â i vîi vªn
tèc v2 công trong thíi gian nh÷ vªy. Häi tr¶n c£ qu¢ng ÷íng xe æ tæ i vîi vªn tèc
trung b¼nh l  bao nhi¶u?
b, Mët æ tæ i tø A ¸n B vîi vªn tèc v1, sau â khi quay l¤i tø B v· A vîi vªn tèc
v2. H¢y x¡c ành vªn tèc trung b¼nh cõa æ tæ trong c£ h nh tr¼nh.
7. Tam gi¡c vuæng ABC. ffi÷íng cao CT chia c¤nh huy·n AB thanh c¡c o¤n AT=p,
BT=q. H¢y biºu thà qua p v  q c¡c ¤i l÷ñng sau:
a, ffië d i ÷íng cao CT;
b, ffië d i ÷íng trung tuy¸n CF;
c, ffië d i h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa CT l¶n CF.
1.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, i·u háa cõa hai sè.
8. a, Chu vi cõa mët h¼nh chú nhªt l  P. Di»n t½ch (S) cõa h¼nh chú nhªt â n¬m trong
kho£ng n o?
b, Di»n t½ch cõa mët h¼nh chú nhªt l  S. Chu vi (P) cõa h¼nh chú nhªt â n¬m
trong kho£ng n o?
9. Cho a v  b ∈ R+. H¢y ch¿ ra r¬ng:
a,
√
a2 + b2
2
≥ a+ b
2
;
b,
√
a+ b
2
≥ √a.b;
c,
√
a.b ≥ 2ab
a+ b
;
d§u b¯ng x£y ra khi v  ch¿ khi n¸u a=b.
10. a, N¸u x ∈ R+. H¢y ch¿ ra r¬ng:
x+
1
x
≥ 2
b, N¸u x ∈ R. H¢y ch¿ ra r¬ng ∣∣∣x+ 1
x
∣∣∣ ≥ 2
4
1.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, i·u háa cõa hai sè. Sigma - MATHS
11. a,b l  c¡c sè d÷ìng. CMR
a
b
+
b
a
≥ 2.
12. ffiiºm n o câ tåa ë (x,y) l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh hiperbol x.y = 1 câ và tr½ ð
g¦n t¥m cõa h» tåa ë nh§t ?
13. H m sè g(x) tr¶n mi·n sè thüc Gi¡ trà cüc tiºu (minimum) cõa h m sè l  bao nhi¶u?
g(x) =
x2 + 2√
x2 + 1
14. Chia o¤n th¯ng AB th nh hai ph¦n sao cho c¡c h¼nh vuæng ÷ñc düng tr¶n c¡c
o¤n th¯ng â ( xem h¼nh v³) câ têng c¡c di»n t½ch
a) Nhä nh§t;
b) Lîn nh§t.
15. N¸u têng cõa hai sè d÷ìng khæng êi, th¼ t½ch cõa chóng c ng lîn khi hi»u cõa
chóng c ng nhä. Têng b¼nh ph÷ìng c ng lîn khi hi»u cõa chóng c ng lîn.
16. C¡c ÷íng th¯ng a, b,c v  d t¤o th nh mët h¼nh tù gi¡c. Tø giao iºm cõa a v  b
ng÷íi ta muèn i ¸n giao iºm cõa hai ÷íng kia vîi còng mët ùa tr´. V¼ vªy
ng÷íi ta ph£i chån ÷íng i ng­n nh§t. ffiùng tø iºm xu§t ph¡t nh¼n v· hai ph½a
ng÷íi ta ·u th§y ngay r¬ng tr÷îc khi i ÷ñc nûa cõa méi ÷íng ·u ph£i r³ vuæng
gâc t¤i gâc phè g¦n nh§t. Th¶m núa o¤n ÷íng a (câ v´) d i hìn o¤n ÷íng b.
Ng÷íi ta ph£i chån i ÷íng n o?
17. N¸u 0< b ≤ a, h¢y ch¿ ra r¬ng
1
8
.
(a− b)2
a
≤ a+ b
2
−
√
a.b ≤ 1
8
.
(a− b)2
b
.
5
1.4 B§t ¯ng thùc trong b§t ¯ng thùc. Sigma - MATHS
1.4 B§t ¯ng thùc trong b§t ¯ng thùc.
18. Cho a, b, c l  c¡c sè d÷ìng, CMR:
(a+ b)(b+ c)(c+ a) ≥ 8abc.
19. Cho a, b, c l  c¡c sè d÷ìng, CMR:
2ab
a+ b
+
2bc
b+ c
+
2ca
c+ a
≤ a+ b+ c.
20. Cho a1, a2, . . . , an l  c¡c sè d÷ìng sao cho a1.a2. . . . .an = 1. CMR:
(1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) ≥ 2n
21. N¸u x, y, z ∈ R. CMR:
x2 + y2 + z2 ≥ x
√
y2 + z2 + y
√
x2 + z2.
D§u b¬ng x£y ra khi n o?
22. Cho a1, a2, a3 l  c¡c sè d÷ìng sao cho a1 + a2 + a3 = 1. CMR:
√
4a1 + 1 +
√
4a2 + 1 +
√
4a3 + 1 < 5
23. H m sè hai ©n x, y ∈ R:
f(x, y) = x2 + y2 − xy − x− y + 1
H¢y x¡c ành gi¡ trà cüc trà (cüc ¤i, cüc tiºu) cõa h m sè.
24. Ch¿ ra r¬ng
√
x2 + xy + y2
3
n¬m giúa trung b¼nh cëng A(x,y) v  trung b¼nh b¼nh
ph÷ìng N(x,y). C¡c gi¡ trà trung b¼nh n y so vîi gi¡ trà
√
A(x, y).N(x, y) câ luæn
nhä hìn hay lîn hìn khæng?
6
1.5 Trung b¼nh cëng v  trung b¼nh nh¥n cõa nhi·u sè. Sigma - MATHS
1.5 Trung b¼nh cëng v  trung b¼nh nh¥n cõa nhi·u sè.
25. Cho x, y, z ∈ R+ . CMR:
x+ y + z
3
≥ 3√xyz
Khi n o x£y ra d§u b¬ng?
26. Chùng minh b§t ¯ng thùc giúa trung b¼nh cëng v  trung b¼nh nh¥n. Ngh¾a l  n¸u
a1, a2, ..., an l  c¡c sè d÷ìng, th¼
a1 + a2 + ...+ an
n
≥ n√a1.a2....an
khi n o x£y ra d§u b¬ng?
27. Cho x, y l  c¡c sè d÷ìng. CMR x3 + y3 + 1 ≥ 3xy.
28. Sè thüc λ nhä nh§t n o sao cho b§t ¯ng thùc x4 + y4 + λ ≥ 8xy luæn luæn óng
vîi måi sè thüc x, y.
29. H¢y ch¿ ra r¬ng vîi c¡c sè d÷ìng a, b b§t k¼ b§t ¯ng thùc sau luæn óng:
n+1
√
a.bn ≤ a+ nb
n+ 1
30. Tø c¡c gâc cõa h¼nh vuæng c¤nh 30 cm, ng÷íi ta c­t c¡c h¼nh vuæng nhä rçi g§p
vuæng gâc c¡c ph¦n cán l¤i th nh mët c¡i hëp mð n­p. Häi ph£i c­t nhúng h¼nh
vuæng con câ c¤nh bao nhi¶u cm º h¼nh hëp ÷ñc t¤o th nh câ thº t½ch lîn nh§t ?
7
1.6 ffiành lþ v· c¡c s­p x¸p. Sigma - MATHS
31. (ffi· t i tranh luªn.)
T¼m gi¡ trà cüc ¤i cõa h m sè bªc ba p(x) = 3x3 − 7x2 + 4 tr¶n kho£ng [-1,1] .
GS. ffi¦u To: p(x) = (2− x)(1− x)(3x+ 2). Nh÷ vªy ngo i kho£ng
[
− 1; −3
2
]
th¼
P < 0 v  trong kho£ng
[−3
2
; 1
]
th¼ P ≥ 0. Nh÷ vªy ch¿ c¦n kh£o s¡t tr¶n kho£ng[−3
2
; 1
]
l  õ. Tr¶n kho£ng n y, (2−x); (1−x) v  (3x+ 2) ·u khæng ¥m. Sû döng
AM - GM:
3
√
2p(x) = 3
√
(4− 2x)(1− x)(3x+ 2) ≤ (4− 2x) + (1− x) + (3x+ 2)
3
=
7
3
Nh÷ vªy gi¡ trà cüc ¤i cõa p(x) l 
73
33.2
≈ 6, 35
GS Tai Lîn: p(x) = 4− x2(7− 3x). Trong mi·n c¦n kh£o s¡t, (7− 3x) < 0. Do â
p(x) ≤ 4. Vªy k¸t qu£ cõa GS.ffi¦u To khæng óng.
Häi lªp luªn ai óng? Gi¡ trà cüc ¤i cõa p(x) b¬ng bao nhi¶u?
32. Trong b i tªp n y chóng ta kh£o s¡t h m sè g(x) = x3 − 3x2 + 3 :
a, Lªp b£ng mët sè gi¡ trà cõa h m sè;
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
g(x)
b, Thû v³ h¼nh d¤ng cõa h m sè;
c, Cho c¡c gi¡ trà cüc trà àa ph÷ìng, cüc trà to n thº.
d, H m sè l§y gi¡ trà y n o, bao nhi¶u l¦n ? Gi£i ¡p c¥u häi n y vîi måi gi¡ trà
thüc cõa y.
33. T¼m gi¡ trà cüc ¤i cõa h m sè h(x) = x.(4000− x3) khi x ∈ [0; 100].
34. Cho n l  mët sè nguy¶n d÷ìng v  ∆ l  mët sè thüc (∆ ≥ −n). Kþ hi»u en,∆ l  gi¡
trà cüc ¤i cõa t½ch n thøa sè khæng ¥m v  câ têng b¬ng (n+ ∆).
a, T½nh v  lªp b£ng c¡c gi¡ trà cõa en,∆ n¸u 100 ≤ n ≤ 105 v  −3≤ ∆ ≤3.
b, Kh£o s¡t b£ng gi¡ trà. H¢y tü ÷a c¡c gi£ thuy¸t cõa b£n th¥n v· gi¡ trà cõa en,∆
v  c¡c mèi li¶n h» ¤i sè cõa gi¡ trà n y.
c, Thû chùng minh hay phõ ành c¡c gi£ thuy¸t.
1.6 ffiành lþ v· c¡c s­p x¸p.
35. N¸u a1 < a2 v  b1 < b2 th¼ a1.b1 + a2.b2 v  a1b2 + a2b1 ¤i l÷ñng n o lîn hìn v  lîn
hìn bao nhi¶u ?
8
1.7 B§t ¯ng thùc tam gi¡c Sigma - MATHS
36. N¸u a1 < a2 < a3 v  b1 < b2 < b3. C¡c ¤i l÷ñng
(a1b1 + a2b2 + a3b3), (a1b1 + a2b3 + a3b2), (a1b2 + a2b1 + a3b3)
(a1b2 + a2b3 + a3b1), (a1b3 + a2b1 + a3b2), (a1b3 + a2b2 + a3b1)
ffi¤i l÷ñng n o
a) Nhä nh§t? b) lîn nh§t?
37. (ffiành lþ c¡c s­p x¸p hay cán gåi l  b§t ¯ng thùc Szucs Adolf )
N¸u a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an v  b1 ≤ b2 ≤ . . . ≤ bn. (ai, bi ∈ R) v  pi l  mët giao ho¡n
cõa (1, 2, 3, . . . , n) , khi â
a1b1+a2b2+. . . .+anbn ≥ a1bpi(1)+a2bpi(2)+. . . .+anbpi(n) ≥ a1bn+a2bn−1+. . . .+anb1.
Khi n o x£y ra d§u b¬ng ?
38. Trong hai biºu thùc d÷îi ¥y a1, a2, a3, a4 l  c¡c sè thüc b§t ký. Câ thº kh¯ng ành
biºu thùc b¶n n y luæn lîn hìn b¶n kia hay khæng? N¸u óng h¢y chùng minh, n¸u
sai ÷a ra ph£n v½ dö !
a, a1
2 + a2
2 + a3
2 + a4
2
v  2(a1a4 + a2a3)
b,
a1
a4
+
a2
a3
+
a3
a2
+
a4
a1
v 
a1
a2
+
a2
a3
+
a3
a4
+
a4
a1
.
39. N¸u a1, a2, a3, a4, a5 l  c¡c sè d÷ìng b§t ký. CMR
a1
a2
+
a2
a3
+
a3
a4
+
a4
a5
+
a5
a1
≥ 5
1.7 B§t ¯ng thùc tam gi¡c
40. Cho tr÷îc c¤nh v  ÷íng cao t÷ìng ùng thuëc c¤nh â cõa tam gi¡c. Khi n o chu
vi cõa nâ l  nhä nh§t?
1.8 B§t ¯ng thùc CBS
41. Gi¡ trà cõa a1b1 +a2b2 thay êi trong kho£ng n o n¸u a1
2 +a2
2 = 1 v  b1
2 +b2
2 = 1?
9
1.8 B§t ¯ng thùc CBS Sigma - MATHS
42. (B§t ¯ng thùc Cauchy-Bunhyakovski-Schwarz )
Cho a1, a2, a3, . . . , an v  b1, b2, b3, ..., bn l  c¡c sè thüc b§t ký. CMR:
|a1b1 + a2b2 + ...+ anbn| ≤
√
(a12 + a22 + ...+ an2).(b1
2 + b2
2 + ...+ bn
2)
Trong tr÷íng hñp
a, n=3; b, n > 3 ∈ N
Khi n o x£y ra d§u b¬ng ?
43. N¸u x1, x2, x3 l  c¡c sè thüc, CMR:(1
2
x1 +
1
3
x2 +
1
6
x3
)2
≤ 1
2
x1
2 +
1
3
x2
2 +
1
6
x3
2 (1)
44. N¸u a1, a2, a3, a4 l  c¡c sè thüc d÷ìng câ têng b¬ng 1. CMR:
√
4a1 + 1 +
√
4a2 + 1 +
√
4a3 + 1 ≤
√
21
.
45. CMR vîi x,y > 0 th¼
(a+ b)2
x+ y
≤ a
2
x
+
b2
y
. Khi n o d§u b¬ng x£y ra?
46. CMR n¸u x1, x2, . . . , xn > 0 th¼
(a1 + a2 + a3 + ...+ an)
2
x1 + x2 + ...+ xn
≤ a1
2
x1
+ ...+
an
2
xn
Khi n o x£y ra d§u b¬ng?
47. CMR BffiT trong b i 46 t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc Cauchy - Bunhyakovski -
Schwarz.
48. Cho a, b, x, y >0. H¢y l¡t m°t ph¯ng b¬ng nhúng mi¸ng v¡n s n k½ch th÷îc (a×b)
v  (x × y ) (h¼nh v³) sao cho c¡c ¿nh cõa ba h¼nh chú nhªt bao quanh t¥m tåa ë,
gi£ sû y ≤ b
{(0; 0), (a; b)}, {(−x; b− y), (0; b)}, {(0;−y), (x; 0)}
(b>y l m t÷ìng tü). H¢y t¼m tr¶n b£n v³ mët h¼nh b¼nh h nh, º câ thº chùng
minh b¬ng ph÷ìng ph¡p h¼nh håc BffiT CBS trong tr÷ìng hñp c¡c c°p sè d÷ìng.
10
1.9 B§t ¯ng thùc Jensen. Sigma - MATHS
49. Bi¸t r¬ng a1b1 ≥ 1, a2b2 ≥ 1, . . . .., anbn ≥ 1 trong â ai, bi l  c¡c sè d÷ìng v  c¡c h»
sè p1, p2, . . . ., pn ≥ 0 sao cho p1 + p2 + . . . .+ pn = 1. CMR
(a1p1 + a2p2 + ...+ anpn)(b1p1 + b2p2 + ...+ bnpn) ≥ 1
50. H¢y chùng minh b§t ¯ng thùc CBS cho nhi·u sè:(∑
aibici
)2
≤
(∑
ai
2
)(∑
bi
2
)(∑
ci
2
)
1.9 B§t ¯ng thùc Jensen.
51. a, CMR h m sè f(x) = x2 l  h m lçi.
b, Chùng minh BffiT li¶n h» giúa trung b¼nh cëng v  trung b¼nh b¼nh ph÷ìng cõa
nhi·u sè h¤ng! Tùc l  n¸u a1, a2, a3, . . . , an l  c¡c sè khæng ¥m, th¼
a1 + a2 + ...+ an
n
≤
√
a1
2 + a2
2 + ...+ an
2
n
11
1.10 C¡c b i tªp têng hñp. Sigma - MATHS
52. a, CMR h m sè f(x) =
1
x
l  h m lçi khi x ∈ R+.
b, Chùng minh BffiT li¶n h» giúa trung b¼nh cëng v  trung b¼nh i·u háa cõa nhi·u
sè h¤ng! Tùc l  n¸u a1, a2, a3, . . . , an l  c¡c sè d÷ìng, th¼
a1 + a2 + ...+ an
n
≥ n
1
a1
+
1
a2
+ ...+
1
an
53. H m lçi n o chùng minh cho mèi li¶n h» BffiT giúa AM v  GM?
1.10 C¡c b i tªp têng hñp.
54. CMR b§t ¯ng thùc sau luæn thäa m¢n vîi måi x1, x2, x3:
x1
2 + x2
2 + x3
2 − x1x2 − x2x3 − x3x1 ≥ 0
55. N¸u a1, a2, a3, . . . , an l  c¡c sè d÷ìng, CMR:
(a1 + a2 + ...+ an) ·
( 1
a1
+
1
a2
+ ...+
1
an
)
≥ n2.
56. Kþ hi»u p(a, b, c) = a3 + b3 + c3 v  q(a, b, c) = a2b + b2c + c2a. Trong c¡c m·nh ·
sau, m»nh · n o óng ?
I. N¸u a,b,c d÷ìng th¼ p(a, b, c) ≤ q(a, b, c)
II. N¸u a,b,c d÷ìng th¼ p(a, b, c) ≥ q(a, b, c).
H¢y chùng minh ho°c phõ ành.
57. (B§t ¯ng thùc Nesbitt)
N¸u a, b, c l  c¡c sè d÷ìng CMR:
a
b+ c
+
b
c+ a
+
c
a+ b
≥ 3
2
.
58. N¸u a, b, c l  c¡c sè d÷ìng. CMR:
a,
ab
c
+
bc
a
+
ca
b
≥ a+ b+ c
b,
a2
b2
+
b2
c2
+
c2
a2
≥ b
a
+
c
b
+
a
c
12
1.10 C¡c b i tªp têng hñp. Sigma - MATHS
59. N¸u a, b, c l  c¡c sè d÷ìng câ têng b¬ng 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc
√
1 + a2 +
√
1 + b2 +
√
1 + c2
60. N¸u a, b, c l  c¡c sè d÷ìng.
a, H¢y ch¿ ra r¬ng (
1
a
− 1) · (1
b
− 1) · (1
c
− 1) ≥ 8;
b, T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa (
1
a
+ 1) · (1
b
+ 1) · (1
c
+ 1)
61. N¸u n ∈ N+. CMR: (n+ 1
2
)n
2 ≤ n! ≤
(n+ 1
2
)n
62. N¸u a, b, c, d l  c¡c sè d÷ìng. CMR:
a
b
+
c
d
≥ 2 · a+ c
b+ d
Thäa m¢n khi v  ch¿ khi n¸u m¨u sè cõa c¡c ph¥n sè ho°c tròng nhau, ho°c gi¡
trà cõa ph¥n sè câ m¨u sè lîn hìn công khæng lîn hìn. D§u b¬ng x£y ra khi v 
ch¿ khi ho°c m¨u sè cõa hai ph¥n sè b¬ng nhau, ho°c gi¡ trà cõa ph¥n sè b¬ng nhau.
63. X¡c ành gi¡ trà cüc tiºu cõa biºu thùc sau, n¸u c¡c tham sè ai (i=1,. . . ,2008) l 
c¡c sè d÷ìng.
S =
a1
a2008 + a2
+
a2
a1 + a3
+
a3
a2 + a4
+ ...+
a2008
a2007 + a1
64. CMR vîi n l  sè nguy¶n õ lîn th¼ n2 < 2n.
65. CMR vîi måi k nguy¶n d÷ìng b§t ký n¸u n l  sè nguy¶n õ lîn th¼ nk < 2n.
66. CMR vîi måi a thùc p(n) b§t k¼ l  sè nguy¶n õ lîn thi p(n) < 2n .
13
Sigma - MATHS
2 Tr¦m ng¥m trong l¥u  i B§t ffi¯ng Thùc.
Muèn th§y To¡n h¢y nh¼n b¬ng m­t cõa ri¶ng m¼nh!
Trong cuëc du làch nhä v o l¥u  i BffiT n y, chóng ta s³ còng th÷ðng thùc hai tuy»t
ph©m:
- B§t ¯ng thùc s­p x¸p Szucs Adolf hay cán gåi BffiT ho¡n và.
- B§t ¯ng thùc xoay váng Shapio.
Sü xu§t hi»n cõa B§t ¯ng thùc s­p x¸p, ngo i k¸t qu£ to¡n håc, cán chùa üng nëi dung
lþ thuy¸t mð ÷íng. Ch¿ vîi hai d¢y ÷ñc s­p x¸p ho n to n n¸u nh¥n c¡c sè tøng æi
mët rçi t½nh têng th¼ gi¡ trà cüc ¤i s³ nhªn ÷ñc khi ta t÷ìng t¡c c¡c d¢y còng chi·u
v  gi¡ trà nhä nh§t nhªn ÷ñc khi chóng tr¡i chi·u. ffiành lþ kh¯ng ành mët quy luªt tü
nhi¶n khæng ìn gi£n, trong cuëc sèng ng÷íi ta th÷íng cæng nhªn ½t khi kiºm nghi»m.
Vi»c chùng minh ành lþ n y công ho n to n düa tr¶n sü s­p x¸p tü nhi¶n: N¸u câ hai
ph¦n tû g¥y n¶n lçi lãm th¼ ta ch¿ c¦n chuyºn ché hai vªt â - l m màn m°t b¬ng. Hiºn
nhi¶n gi¡ trà lîn nh§t v  nhä nh§t thº hi»n ð sü cëng h÷ðng hay t½nh tri»t ti¶u trong
t÷ìng t¡c cõa hai d¢y sè. ffiành lþ ÷ñc chùng minh n«m 1942, bði mët nh  b¡c håc ng÷íi
Hungary Szucs Adolf (1880  1945) - t¡c gi£ l  n¤n nh¥n cõa th£m håa ph¡t x½t (1945).
ffiành lþ r§t trong s¡ng còng chùng minh ch¿ v i dáng n y ¢ g¥y b§t ngí. H ng lo¤t c¡c
b§t ¯ng thùc danh ti¸ng ÷ñc chùng minh l¤i nh÷ nhúng v½ dö ¡p döng cõa ành lþ n y.
V  ¥y ch½nh l  sùc m¤nh mð ÷íng cho c¡c trao l÷u mîi cõa cæng cuëc nghi¶n cùu
LÞ THUY˜T KHÆNG C…N BŒNG m  h¼nh nh÷ ng÷íi ta ang ph¡t huy trong thüc
t¸ nhi·u hìn khi ch÷a th nh chu©n müc.
ffi· t i thù hai l  inh lþ Shapiro. Ng÷íi ta câ thº coi BffiT xoay váng n y l  mët t¡c
ph©m Picasso cõa Cëng çng BffiT. Tø khi ra íi nh÷ mët gi£ thuy¸t, ph£i sau 45 n«m
mîi câ c¥u tr£ líi ¦y õ cho c¥u häi °t ra. Tr¤ng th¡i óng sai cõa gi£ thuy¸t g¥y sü
chó þ lîn trong t¥m iºm cõa nhi·u cuëc luªn b n.
V· hai · t i nâi ri¶ng n y v  v· BffiT nâi chung, n¸u x¸p h¤ng c¡c §n ph©m trong n÷îc
còng c¡c §n ph©m n÷îc ngo i tæi m¤nh d¤n · xu§t và tr½ top 10 t¡c ph©m cõa PGS.
TSKH Nguy¹n Minh Tu§n (NXB ¤i håc quæc gia H  Nëi): Lþ thuy¸t Cì sð cõa h m
lçi v  c¡c B§t ffi¯ng Thùc cê iºn.
ffi¥y l  mët t¡c ph©m to¡n håc khi åc câ sùc cuèn hót thó và. Nhúng nh  nghi¶n cùu,
c¡c b¤n quan t¥m,v  c¡c em håc sinh ·u câ thº t¼m th§y i·u m¼nh c¦n, câ thº sû döng
húu ½ch cho cæng vi»c v  tr¡nh ÷ñc cho b£n th¥n khäi rìi v o váng xo¡y cõa BffiT và BffiT.
2.1 B§t ¯ng thùc s­p x¸p - hay cán gåi l  BffiT ho¡n và.
Ph¦n n y tæi dòng nguy¶n mët v«n b£n ti¸ng Anh. ffi¥y l  mët b i gi£ng hay ÷ñc giîi
sinh vi¶n v  håc sinh chuy·n tay nhau kh¡ rëng r¢i. B£n th¥n tæi ¢ b­t g°p khi lang
thang t¼m t i li»u v  åc c¡c b i vi¸t tr¶n m¤ng.
Rearrangement Inequality
The rearrangement inequality (also known as permutation inequality) is easy to under-
stand and yet a powerful tool to handle inequality problems.
14
2.1 B§t ¯ng thùc s­p x¸p - hay cán gåi l  BffiT ho¡n và. Sigma - MATHS
Definition: Let a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an and b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn be any real numbers.
a, S = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn is called the Sorted sum of the numbers.
b, R = a1bn + a2bn−1 + ...+ anb1 is called the Reversed sum of the numbers.
c, Let c1, c2, ..., cn be any permutation of the numbers b1, b2, ..., bn.
P = a1c1 + a2c2 + ...+ ancn is called the Permutated sum of the numbers.
67. Rearrangement inequality S ≥ P ≥ R
Proof:
(a) Let P(n) be the proposition: S ≥ P .
P(1) is obviously true.
Assume P(k) is true for some k ∈ N.
For P(k+1), Since the c's are the permutations of the b's, suppose bk+1 = ci and
ck+1 = bj
(ak+1 − ai)(bk+1 − bj) ≥ 0
⇒ ai