100 bài tập Hình học lớp 9 - Phần 1: 50 bài tập cơ bản

 MOÄT TRAÊM BAØI TAÄP 
 HÌNH HOÏC LÔÙP 9. 
 Phaàn 1: 50 baøi taäp cô baûn.
 Lôøi noùi ñaàu:
Trong quaù trình oân thi toát nghieäp cho hoïc sinh lôùp 9,chuùng ta ñeàu nhaän thaáy hoïc sinh raát ngaïi chöùng minh hình hoïc. Cuõng do hoïc sinh coøn yeáu kieán thöùc boä moân.Hôn nöõa giaùo vieân thöôøng raát bí baøi taäp nhaèm reøn luyeän caùc kyõ naêng, ñaëc bieät laø luyeän thi toát nghieäp.Ñoàng thôøi do hoïc sinh chuùng ta laø hoïc sinh coù hoaøn caûnh gia ñình coøn ngheøo vì vaäy hoïc sinh yeáu kyõ naêng vaän duïng neáu chuùng ta chæ chöõa moät vaøi baøi taäp maø thoâi.
Do ñeå hoïc sinh coù theå chuû ñoäng trong quaù trình laøm baøi,caùc baøi taäp trong taøi lieäu naøy chæ coù tính caát gôïi yù phöông aùn chöùng minh chöù chöa phaûi laø baøi giaûi hoaøn haûo nhaát.
Beân caïnh ñoù ñeå coù baøi taäp rieâng cuûa töøng giaùo vieân,ngöôøi giaùo vieân caàn bieát bieán ñoåi baøi taäp trong taøi lieäu naøy sao cho phuø hôïp vôùi ñoái töôïng hoïc sinh.
Taøi lieäu ñöôïc söu taàm trong caùc saùch vaø ñaõ ñöôïc thoáng keâ trong phaàn phuï luïc.Caám vieäc in sao,sao cheùp döôùi baát kyø hình thöùc naøo maø khoâng coù söï nhaát trí cuûa taùc giaû.
Duø coù nhieàu coá gaéng song taøi lieäu chaéc chaén koâng theå khoâng coù sai soat.Mong ñöôïc söï goùp yù cuûa baïn ñoïc.Thö veà:
Baøi 1: Cho DABC coù caùc ñöôøng cao BD vaø CE.Ñöôøng thaúng DE caét ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc taïi hai ñieåm M vaø N.
Chöùng minh:BEDC noäi tieáp.
Chöùng minh: goùc DEA=ACB.
Chöùng minh: DE // vôùi tieáp tuyeán tai A cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc.
Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.Chöùng minh: OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN.
Chöùng toû: AM2=AE.AB.
 Giôïi yù:
1.C/m BEDC noäi tieáp:
C/m goùc BEC=BDE=1v. Hia ñieåm D vaø E cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BC moät goùc vuoâng.
2.C/m goùc DEA=ACB.
Do BECD ntÞDMB+DCB=2v.
Maø DEB+AED=2v
ÞAED=ACB
3.Goïi tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) laø ñöôøng thaúng xy (Hình 1)
 y
 A
 x
 N
 E D
 M O
 B C
Hình 1
 Ta phaûi c/m xy//DE.
 Do xy laø tieáp tuyeán,AB laø daây cung neân sñ goùc xAB=sñ cung AB.
Maø sñ ACB=sñ AB. Þgoùc xAB=ACB maø goùc ACB=AED(cmt)
ÞxAB=AED hay xy//DE.
 4.C/m OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN.
Do xy//DE hay xy//MN maø OA^xyÞOA^MN.^OA laø ñöôøng trung tröïc cuûa MN.(Ñöôøng kính vuoâng goùc vôùi moät daây)ÞDAMN caân ôû A ÞAO laø phaân giaùc cuûa goùc MAN.
 5.C/m :AM2=AE.AB.
Do DAMN caân ôû A ÞAM=AN Þcung AM=cung AN.Þgoùc MBA=AMN(Goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau);goùc MAB chung
 ÞDMAE ∽D BAMÞÞ MA2=AE.AB.
 ÐÏ(&(ÐÏBaøi 2: 
 Cho(O) ñöôøng kính AC.treân ñoaïn OC laáy ñieåm B vaø veõ ñöôøng troøn taâm O’, ñöôøng kính BC.Goïi M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB.Töø M veõ daây cung DE vuoâng goùc vôùi AB;DC caét ñöôøng troøn taâm O’ taïi I.
 1.Töù giaùc ADBE laø hình gì?
 2.C/m DMBI noäi tieáp.
 3.C/m B;I;C thaúng haøng vaø MI=MD.
 4.C/m MC.DB=MI.DC
 5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’)
 Gôïi yù:
1.Do MA=MB vaø AB^DE taïi M neân ta coù DM=ME.
ÞADBE laø hình bình haønh.
Maø BD=BE(AB laø ñöôøng trung tröïc cuûa DE) vaäy ADBE ;laø hình thoi.
2.C/m DMBI noäi tieáp.
BC laø ñöôøng kính,IÎ(O’) neân Goùc BID=1v.Maø goùc DMB=1v(gt)
ÞBID+DMB=2vÞñpcm. 
 D
 I
 A M O B O’ C
 E
Hình 2
 3.C/m B;I;E thaúng haøng.
 Do AEBD laø hình thoi ÞBE//AD maø AD^DC (goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)ÞBE^DC; CM^DE(gt).Do goùc BIC=1v ÞBI^DC.Qua 1 ñieåm B coù hai ñöôøng thaúng BI vaø BE cuøng vuoâng goùc vôùi DC ^B;I;E thaúng haøng.
 ·C/m MI=MD: Do M laø trung ñieåm DE; DEID vuoâng ôû IÞMI laø ñöôøng trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng DEI ÞMI=MD.
 4. C/m MC.DB=MI.DC.
 haõy chöùng minh DMCI∽ DDCB (goùc C chung;BDI=IMB cuøng chaén cung MI do DMBI noäi tieáp)
5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’)
 -Ta coù DO’IC Caân Þgoùc O’IC=O’CI. MBID noäi tieáp ÞMIB=MDB (cuøng chaén cung MB) DBDE caân ôû B Þgoùc MDB=MEB .Do MECI noäi tieáp Þgoùc MEB=MCI (cuøng chaén cung MI)
Töø ñoù suy ra goùc O’IC=MIB ÞMIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v
Vaäy MI ^O’I taïi I naèm treân ñöôøng troøn (O’) ÞMI laø tieáp tuyeán cuûa (O’).
 ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 3:
 Cho DABC coù goùc A=1v.Treân AC laáy ñieåm M sao cho AM<MC.Veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính CM;ñöôøng thaúng BM caét (O) taïi D;AD keùo daøi caét (O) taïi S. 
C/m BADC noäi tieáp.
BC caét (O) ôû E.Cmr:MR laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS.
 Gôïi yù:
1.C/m ABCD noäi tieáp:
C/m A vaø D cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BC moät goùc vuoâng..
2.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
·Haõy c/m AMEB noäi tieáp.
·Goùc ABM=AEM( cuøng chaén cung AM)
Goùc ABM=ACD( Cuøng chaén cung MD)
Goùc ACD=DME( Cuøng chaén cung MD)
 D S
 A M
 O
 B E C
Hình 3
 ÞAEM=MED.
 4.C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS.
 -Goùc ACB=ADB (Cuøng chaén cung AB)
 -Goùc ADB=DMS+DSM (goùc ngoaøi tam giaùc MDS)
 -Maø goùc DSM=DCM(Cuøng chaén cung MD)
 DMS=DCS(Cuøng chaén cung DS)
ÞGoùc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA.
 Vaäy goùc ADB=SCAÞñpcm.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 4: 
 Cho DABC coù goùc A=1v.Treân caïnh AC laáy ñieåm M sao cho AM>MC.Döïng ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính MC;ñöôøng troøn naøy caét BC taïi E.Ñöôøng thaúng BM caét (O) taïi D vaø ñöôøng thaúng AD caét (O) taïi S.
C/m ADCB noäi tieáp.
C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
C/m: Goùc ASM=ACD.
Chöùng toû ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
C/m ba ñöôøng thaúng BA;EM;CD ñoàng quy.
 Gôïi yù:
1.C/m ADCB noäi tieáp:
Haõy chöùng minh:
Goùc MDC=BDC=1v
Töø ñoù suy ra A vad D cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BC moät goùc vuoâng
2.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
·Do ABCD noäi tieáp neân
 A
 S D
 M 
 B E C
Hình 4
 ÞABD=ACD (Cuøng chaén cung AD)
 ·Do MECD noäi tieáp neân MCD=MED (Cuøng chaén cung MD)
 ·Do MC laø ñöôøng kính;EÎ(O)ÞGoùc MEC=1vÞMEB=1v ÞABEM noäi tieápÞGoùc MEA=ABD. ÞGoùc MEA=MEDÞñpcm
 3.C/m goùc ASM=ACD.
 Ta coù A SM=SMD+SDM(Goùc ngoaøi tam giaùc SMD)
 Maø goùc SMD=SCD(Cuøng chaén cung SD) vaø Goùc SDM=SCM(Cuøng chaén cung SM)ÞSMD+SDM=SCD+SCM=MCD.
Vaäy Goùc A SM=ACD.
 4.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED (Chöùng minh nhö caâu 2 baøi 2)
 5.Chöùng minh AB;ME;CD ñoàng quy.
 Goïi giao ñieåm AB;CD laø K.Ta chöùng minh 3 ñieåm K;M;E thaúng haøng.
 ·Do CA^AB(gt);BD^DC(cmt) vaø AC caét BD ôû MÞM laø tröïc taâm cuûa tam giaùc KBCÞKM laø ñöôøng cao thöù 3 neân KM^BC.Maø ME^BC(cmt) neân K;M;E thaúng haøng Þñpcm.
 ÐÏ(&(ÐÏ
 Baøi 5:
 Cho tam giaùc ABC coù 3 goùc nhoïn vaø AB<AC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Keû ñöôøng cao AD vaø ñöôøng kính AA’.Goïi E:F theo thöù töï laø chaân ñöôøng vuoâng goùc keû töø B vaø C xuoáng ñöôøng kính AA’.
C/m AEDB noäi tieáp.
C/m DB.A’A=AD.A’C
C/m:DE^AC.
Goïi M laø trung ñieåm BC.Chöùng minh MD=ME=MF.
 Gôïi yù:
 A
 N E 
 O I
Hình 5
 B D M C
 F
 A’
 1/C/m AEDB noäi tieáp.(Söû duïng hai ñieåm D;E cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn AB)
 2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chöùng minh ñöôïc hai tam giaùc vuoâng DBA vaø A’CA ñoàng daïng. 
 3/ C/m DE^AC.
 Do ABDE noäi tieáp neân goùc EDC=BAE(Cuøng buø vôùi goùc BDE).Maø goùc BAE=BCA’(cuøng chaén cung BA’) suy ra goùc CDE=DCA’. Suy ra DE//A’C. Maø goùc ACA’=1v neân DE^AC.
 4/C/m MD=ME=MF.
 ·Goïi N laø trung ñieåm AB.Neân N laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc ABDE. Do M;N laø trung ñieåm BC vaø AB ÞMN//AC(Tính chaát ñöôøng trung bình)
Do DE^AC ÞMN^DE (Ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm moät daây)ÞMN laø ñöôøng trung tröïc cuûa DE ÞME=MD.
 · Goïi I laø trung ñieåm AC.ÞMI//AB(tính chaát ñöôøng trung bình)
ÞA’BC=A’AC (Cuøng chaén cung A’C).
Do ADFC noäi tieáp ÞGoùc FAC=FDC(Cuøng chaén cung FC) ÞGoùc A’BC=FDC hay DF//BA’ Maø ABA’=1vÞMI^DF.Ñöôøng kính MI^daây cung DFÞMI laø ñöôøng trung tröïc cuûa DFÞMD=MF. Vaäy MD=ME=MF.
 ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 6: 
 Cho DABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Goïi M laø moät ñieåm baát kyø treân cung nhoû AC.Goïi E vaø F laàn löôït laø chaân caùc ñöôøng vuoâng goùc keû töø M ñeán BC vaø AC.P laø trung ñieåm AB;Q laø trung ñieåm FE.
 1/C/m MFEC noäi tieáp.
 2/C/m BM.EF=BA.EM
 3/C/M DAMP∽DFMQ.
 4/C/m goùc PQM=90o.
 Giaûi:
1/C/m MFEC noäi tieáp:
(Söû duïng hai ñieåm E;F cung laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng CM)
2/C/m BM.EF=BA.EM
 ·C/m:DEFM∽DABM:
Ta coù goùc ABM=ACM (Vì cuøng chaén cung AM)
 A M
 F
 P
 B E C
Hình 6
 Do MFEC noäi tieáp neân goùc ACM=FEM(Cuøng chaén cung FM).
ÞGoùc ABM=FEM.(1)
Ta laïi coù goùc AMB=ACB(Cuøng chaén cung AB).Do MFEC noäi tieáp neân goùc FME=FCM(Cuøng chaén cung FE).ÞGoùc AMB=FME.(2)
Töø (1)vaø(2) suy ra :DEFM∽DABM Þñpcm.
3/C/m DAMP∽DFMQ.
 Ta coù DEFM∽DABM (theo c/m treân)Þ maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) Þ vaø goùc PAM=MFQ (suy ra töø DEFM∽DABM)
Vaäy: DAMP∽DFMQ.
4/C/m goùc:PQM=90o.
 Do goùc AMP=FMQ ÞPMQ=AMF ÞDPQM∽DAFM Þgoùc MQP=AFM Maø goùc AFM=1vÞMQP=1v(ñpcm).
 ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 7:
 Cho (O) ñöôøng kính BC,ñieåm A naèm treân cung BC.Treân tia AC laáy ñieåm D sao cho AB=AD.Döïng hình vuoâng ABED;AE caét (O) taïi ñieåm thöù hai F;Tieáp tuyeán taïi B caét ñöôøng thaúng DE taïi G.
C/m BGDC noäi tieáp.Xaùc ñònh taâm I cuûa ñöôøng troøn naøy.
C/m DBFC vuoâng caân vaø F laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DBCD.
C/m GEFB noäi tieáp.
Chöùng toû:C;F;G thaúng haøng vaø G cuõng naèm treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DBCD.Coù nhaän xeùt gì veà I vaø F
1/C/m BGEC noäi tieáp:
-Söû duïng toång hai goùc ñoái
-I laø trung ñieåm GC.
2/·C/mDBFC vuoâng caân:
Goùc BCF=FBA(Cuøng chaén cung BF) maø goùc FBA=45o (tính chaát hình vuoâng)
ÞGoùc BCF=45o.
Goùc BFC=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)Þñpcm.
·C/m F laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DBDC.ta C/m F caùch ñeàu caùc ñænh B;C;D
Do DBFC vuoâng caân neân BC=FC.
 A
 B O C
 F I
 D
Hình 7
 G E
Xeùt hai tam giaùc FEB vaø FED coù:E F chung;
Goùc BE F=FED =45o;BE=ED(hai caïnh cuûa hình vuoâng ABED).ÞDBFE=DE FD ÞBF=FDÞBF=FC=FD.Þñpcm.
3/C/m GE FB noäi tieáp:
 Do DBFC vuoâng caân ôû F ÞCung BF=FC=90o. Þsñgoùc GBF=Sñ cung BF=.90o=45o.(Goùc giöõa tieáp tuyeán BG vaø daây BF)
Maø goùc FED=45o(tính chaát hình vuoâng)ÞGoùc FED=GBF=45o.ta laïi coù goùc FED+FEG=2vÞGoùc GBF+FEG=2v ÞGEFB noäi tieáp.
4/ C/m· C;F;G thaúng haøng:Do GEFB noäi tieáp ÞGoùc BFG=BEG maø BEG=1vÞBFG=1v.Do DBFG vuoâng caân ôû FÞGoùc BFC=1v.ÞGoùc BFG+CFB=2vÞG;F;C thaúng haøng. C/m G cuõng naèm treân :Do GBC=GDC=1vÞtaâm ñöôøng troøn ngt töù giaùc BGDC laø FÞG naèn treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DBCD. ·Deã daøng c/m ñöôïc Iº F.
Baøi 8:
Cho DABC coù 3 goùc nhoïn noäi tieáp trong (O).Tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa ñöôøng troøn caét nhau taïi D.Töø D keû ñöôøng thaúng song song vôùi AB,ñöôøng naøy caét ñöôøng troøn ôû E vaø F,caét AC ôû I(E naèm treân cung nhoû BC).
C/m BDCO noäi tieáp.
C/m: DC2=DE.DF.
C/m:DOIC noäi tieáp.
Chöùng toû I laø trung ñieåm FE.
1/C/m:BDCO noäi tieáp(Duøng toång hai goùc ñoái)
2/C/m:DC2=DE.DF.
Xeùt hai tam giaùc:DEC vaø DCF coù goùc D chung.
SñgoùcECD=sñ cung EC(Goùc giöõa tieáp tuyeán vaø moät daây)
Sñ goùc E FC=sñ cung EC(Goùc noäi tieáp)Þgoùc ECD=DFC.
ÞDDCE ∽DDFCÞñpcm.
3/C/m DOIC noäi tieáp:
 A
 F
 O I
 B C
 E
 D
Hình 8
Ta coù: sñgoùc BAC=sñcung BC(Goùc noäi tieáp) (1)
Sñ goùc BOC=sñcung BC(Goùc ôû taâm);OB=OC;DB=DC(tính chaát hai tieáp tuyeán caét nhau);OD chungÞDBOD=DCODÞGoùc BOD=COD
Þ2sñ goùcDOC=sñ cung BC Þsñgoùc DOC=sñcungBC (2)
Töø (1)vaø (2)ÞGoùc DOC=BAC.
Do DF//ABÞgoùc BAC=DIC(Ñoàng vò) ÞGoùc DOC=DICÞ Hai ñieåm O vaø I cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng Dc nhöõng goùc baèng nhauÞñpcm
4/Chöùng toû I laø trung ñieåm EF:
Do DOIC noäi tieáp Þ goùc OID=OCD(cuøng chaén cung OD)
Maø Goùc OCD=1v(tính chaát tieáp tuyeán)ÞGoùc OID=1v hay OI^ID ÞOI^FE.Baùn kính OI vuoâng goùc vôùi daây cung EFÞI laø trung ñieåmEF.
 ÐÏ(&(ÐÏ 
Baøi 9:
 Cho (O),daây cung AB.Töø ñieåm M baát kyø treân cung AB(M¹A vaø M¹B),keû daây cung MN vuoâng goùc vôùi AB taïi H.Goïi MQ laø ñöôøng cao cuûa tam giaùc MAN.
C/m 4 ñieåm A;M;H;Q cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
C/m:NQ.NA=NH.NM
C/m Mn laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ.
Haï ñoaïn thaúng MP vuoâng goùc vôùi BN;xaùc ñònh vò trí cuûa M treân cung AB ñeå MQ.AN+MP.BN coù giaùc trò lôùn nhaát.
 Giaûi:Coù 2 hình veõ,caùch c/m töông töï.Sau ñaây chæ C/m treân hình 9-a.
Hình 9b
Hình 9a
 M
 P
A I H B
 Q O
 N
1/ C/m:A,Q,H,M cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.(Tuyø vaøo hình veõ ñeå söû duïng moät trong caùc phöông phaùp sau:-Cuøng laøm vôùi hai ñaøu moät goùc vuoâng.
 -Toång hai goùc ñoái.
2/C/m: NQ.NA=NH.NM.
Xeùt hai Dvuoâng NQM vaø DNAH ñoàng daïng.
3/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ. Coù hai caùch:
Caùch 1:Goïi giao ñieåm MQ vaø AB laø I.C/m tam giaùc MIB caân ôû M
Caùch 2: Goùc QMN=NAH(Cuøng phuï vôùi goùc ANH)
 Goùc NAH=NMB(Cuøng chaén cung NB)Þñpcm
4/ xaùc ñònh vò trí cuûa M treân cung AB ñeå MQ.AN+MP.BN coù giaùc trò lôùn nhaát.
 Ta coù 2SDMAN=MQ.AN
 2SDMBN=MP.BN.
 2SDMAN + 2SDMBN = MQ.AN+MP.BN
 Ta laïi coù: 2SDMAN + 2SDMBN =2(SDMAN + SDMBN)=2SAMBN=2.=AB.MN
Vaäy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN
Maø AB khoâng ñoåi neân tích AB.MN lôùn nhaát ÛMN lôùn nhaátÛMN laø ñöôøng kính
ÛM laø ñieåm chính giöõa cung AB.
Baøi 10:
 Cho (O;R) vaø (I;r) tieáp xuùc ngoaøi taïi A (R> r) .Döïng tieáp tuyeán chung ngoaøi BC (B naèm treân ñöôøng troøn taâm O vaø C naèm treân ñö ôøng troøn taâm (I).Tieáp tuyeán BC caét tieáp tuyeán taïi A cuûa hai ñöôøng troøn ôû E.	
1/ Chöùng minh tam giaùc ABC vuoâng ôû A.	
2/ O E caét AB ôû N ; IE caét AC taïi F .Chöùng minh N;E;F;A cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn . 
3/ Chöùng toû : BC2= 4 Rr
4/ Tính dieän tích töù giaùc BCIO theo R;r 
Giaûi:
1/C/m DABC vuoâng: Do BE vaø AE laø hai tieáp tuyeán caét nhau neânAE=BE; Töông töï AE=ECÞAE=EB=EC=BC.ÞDABC vuoâng ôû A.
2/C/m A;E;N;F cuøng naèm treân
-Theo tính chaát hai tieáp tuyeán caét nhau thì EO laø phaân giaùc cuûa tam giaùc caân
 B E
 C
 N F
 O A I
Hình 10
AEBÞEO laø ñöôøng trung tröïc cuûa AB hay OE^AB hay goùc ENA=1v
Töông töï goùc EFA=2vÞtoång hai goùc ñoáiÞ4 ñieåm
3/C/m BC2=4Rr.
Ta coù töù giaùc FANE coù 3 goùc vuoâng(Cmt)ÞFANE laø hình vuoângÞDOEI vuoâng ôû E vaø EA^OI(Tính chaát tieáp tuyeán).Aùp duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng coù: AH2=OA.AI(Bình phöông ñöôøng cao baèng tích hai hình chieáu)
Maø AH=vaø OA=R;AI=rÞRrÞBC2=Rr
4/SBCIO=? Ta coù BCIO laø hình thang vuoâng ÞSBCIO=
ÞS=
 ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 11:
 Treân hai caïnh goùc vuoâng xOy laáy hai ñieåm A vaø B sao cho OA=OB. Moät ñöôøng thaúng qua A caét OB taïi M(M naèm treân ñoaïn OB).Töø B haï ñöôøng vuoâng goùc vôùi AM taïi H,caét AO keùo daøi taïi I.
C/m OMHI noäi tieáp.
Tính goùc OMI.
Töø O veõ ñöôøng vuoâng goùc vôùi BI taïi K.C/m OK=KH
Tìm taäp hôïp caùc ñieåm K khi M thay ñoåi treân OB.
Giaûi:
1/C/m OMHI noäi tieáp:
Söû duïng toång hai goùc ñoái.
2/Tính goùc OMI
Do OB^AI;AH^AB(gt) vaø OBÇAH=M
Neân M laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABI
ÞIM laø ñöôøng cao thöù 3 ÞIM^AB
Þgoùc OIM=ABO(Goùc coù caïnh töông öùng vuoâng goùc)
 A
Maø D vuoâng OAB coù OA=OB ÞDOAB vuoâng caân ôû O Þgoùc OBA=45oÞgoùc OMI=45o
3/C/m OK=KH
Ta coù OHK=HOB+HBO
(Goùc ngoaøi DOHB)
Do AOHB noäi tieáp(Vì goùc AOB=AHB=1v) ÞGoùc HOB=HAB (Cuøng chaén cung HB) vaø OBH=OAH(Cuøng chaén
 O M B
 H
 K
 I
Hình 11
Cuøng chaén cung OH)ÞOHK=HAB+HAO=OAB=45o.
ÞDOKH vuoâng caân ôû KÞOH=KH 
4/Taäp hôïp caùc ñieåm K
Do OK^KBÞ OKB=1v;OB khoâng ñoåi khi M di ñoäng ÞK naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính OB.
Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K laø ñieåm chính giöõa cung AB.Vaäy quyõ tích ñieåm K laø ñöôøng troøn ñöôøng kính OB.
 ÐÏ(&(ÐÏBaøi 12:
 Cho (O) ñöôøng kính AB vaø daây CD vuoâng goùc vôùi AB taïi F.Treân cung BC laáy ñieåm M.Noái A vôùi M caét CD taïi E.
C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD.
C/m EFBM noäi tieáp.
Chöùng toû:AC2=AE.AM
Goïi giao ñieåm CB vôùi AM laø N;MD vôùi AB laø I.C/m NI//CD
Chöùng minh N laø taâm ñöôøng treøon noäi tieáp DCIM
Giaûi:
1/C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD
Do AB^CD ÞAB laø phaân giaùc cuûa tam giaùc caân COD.Þ COA=AOD.
Caùc goùc ôû taâm AOC vaø AOD baèng nhau neân caùc cung bò chaén baèng nhau Þcung AC=ADÞcaùc goùc noäi tieáp chaén caùc cung naøy baèng nhau.Vaäy CMA=AMD.
2/C/m EFBM noäi tieáp.
Ta coù AMB=1v(Goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)
EFB=1v(Do AB^EF)
 C
 N M
 A F O B 
 I
 D
ÞAMB+EFB=2vÞñpcm.
3/C/m AC2=AE.AM
C/m hai DACE∽DAMC (A chung;goùc ACD=AMD cuøng chaén cung AD vaø AMD=CMA cmt ÞACE=AMC)
4/C/m NI//CD. Do cung AC=AD ÞCBA=AMD(Goùc noäi tieáp chaén caùc cung baèng nhau) hay NMI=NBIÞM vaø B cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng NI nhöõng goùc baèng nhauÞMNIB noäi tieápÞNMB+NIM=2v. maø NMB=1v(cmt)ÞNIB=1v hay NI^AB.Maø CD^AB(gt) ÞNI//CD.
5/Chöùng toû N laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp DICM.
Ta phaûi C/m N laø giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa DCIM.
Theo c/m ta coù MN laø phaân giaùc cuûa CMI
Do MNIB noäi tieáp(cmt) ÞNIM=NBM(cuøng chaén cung MN) 
 Goùc MBC=MAC(cuøng chaén cung CM)
Ta laïi coù CAN=1v(goùc noäi tieápACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)ÞACNI noäi tieápÞCAN=CIN(cuøng chaén cung CN)ÞCIN=NIMÞIN laø phaân giaùc CIM
Vaäy N laø taâm ñöôøng troøn
 Baøi 13:
 Cho (O) vaø ñieåm A naèm ngoaøi ñöôøng troøn.Veõ caùc tieáp tuyeán AB;AC vaø caùt tuyeán ADE.Goïi H laø trung ñieåm DE.
C/m A;B;H;O;C cuøng naèm treân 1 ñöôøng troøn.
C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC.
Goïi I laø giao ñieåm cuûa BC vaø DE.C/m AB2=AI.AH.
BH caét (O) ôû K.C/m AE//CK.
Hình 13
 B
 E H 
 I D
 O A
 K C
1/C/m:A;B;O;C;H cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn: H laø trung ñieåm EBÞOH^ED(ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm cuûa daây )ÞAHO=1v. Maø OBA=OCA=1v (Tính chaát tieáp tuyeán) ÞA;B;O;H;C cuøng naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính OA.
2/C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC.
Do AB;AC laø 2 tieáp tuyeán caét nhau ÞBAO=OAC vaø AB=AC
Þcung AB=AC(hai daây baêøng nhau cuûa ñöôøng troøn ñkOA) maø BHA=BOA(Cuøng chaén cung AB) vaø COA=CHA(cuøng chaén cung AC) maø cung AB=AC ÞCOA=BOHÞ CHA=AHBÞñpcm.
3/Xeùt hai tam giaùc ABH vaø AIB (coù A chung vaø CBA=BHA hai goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau) ÞDABH∽DAIBÞñpcm.
4/C/m AE//CK.
Do goùc BHA=BCA(cuøng chaén cung AB) vaø sñ BKC=Sñ cungBC(goùc noäi tieáp)
Sñ BCA=sñ cung BC(goùc giöõa tt vaø 1 daây)
ÞBHA=BKCÞCK//AB
 ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 14:
 Cho (O) ñöôøng kính AB=2R;xy laø tieáp tuyeán vôùi (O) taïi B. CD laø 1 ñöôøng kính baát kyø.Goïi giao ñieåm cuûa AC;AD vôùi xy theo thöù töï laø M;N.
Cmr:MCDN noäi tieáp.
Chöùng toû:AC.AM=AD.AN
Goïi I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc MCDN vaø H laø trung ñieåm MN.Cmr:AOIH laø hình bình haønh.
Khi ñöôøng kính CD quay xung quanh ñieåm O thì I di ñoäng treân ñöôøng naøo?
1/ C/m MCDN noäi tieáp:
DAOC caân ôû OÞOCA=CAO; goùc 
CAO=ANB(cuøng phuï vôùi goùc AMB)Þgoùc ACD=ANM.
Maø goùc ACD+DCM=2v
ÞDCM+DNM=2vÞ DCMB noäi tieáp.
2/C/m: AC.AM=AD.AN
Haõy c/m DACD∽DANM.
3/C/m AOIH laø hình bình haønh.
Xaùc ñònh I:I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc MCDNÞI laø giao ñieåm döôøng trung tröïc cuûa CD vaø
 M
 C
 A O B
 K
 D 
 H I
 N
Hình 14
MNÞIH^MN laø IO^CD.Do AB^MN;IH^MNÞAO//IH. Vaäy caùch döïng I:Töø O döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi CD.Töø trung ñieåm H cuûa MN döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi MN.Hai ñöôøng naøy caùch nhau ôû I.
 ·Do H laø trung ñieåm MNÞAhlaø trung tuyeán cuûa Dvuoâng AMNÞANM=NAH.Maø ANM=BAM=ACD(cmt)ÞDAH=ACD.
 Goïi K laø giao ñieåm AH vaø DO do ADC+ACD=1vÞDAK+ADK=1v hay DAKD vuoâng ôû KÞAH^CD maø OI^CDÞOI//AH vaäy AHIO laø hình bình haønh.
4/Quyõ tích ñieåm I:
Do AOIH laø hình bình haønh ÞIH=AO=R khoâng ñoåiÞCD quay xung quanh O thì I naèm treân ñöôøng thaúng // vôùi xy vaø caùch xy moät khoaûng baèng R
 	ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 15:
 Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Goïi D laø 1 ñieåm treân cung nhoû BC.Keû DE;DF;DG laàn löôït vuoâng goùc vôùi caùc caïnh AB;BC;AC.Goïi H laø hình chieáu cuûa D leân tieáp tuyeán Ax cuûa (O).
C/m AHED noäi tieáp
Goïi giao ñieåm cuûa AH vôùi HB vaø vôùi (O) laø P vaø Q;ED caét (O) taïi M.C/m HA.DP=PA.DE
C/m:QM=AB
C/m DE.DG=DF.DH
C/m:E;F;G thaúng haøng.(ñöôøng thaúng Sim sôn)
1/C/m AHED noäi tieáp(Söû duïng hai ñieåm H;E cuøng laøm haønh vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng AD)
2/C/m HA.DP=PA.DE
Xeùt hai tam giaùc vuoâng ñoàng daïng:
HAP vaø EPD (Coù HPA=EPD ññ)
3/C/m QM=AB:
Do DHPA∽DEDPÞHAB=HDM