10 Dạng tích phân hay gặp trong các kì thi Đại học – Cao đẳng - Thanh Tùng

GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  
Trang 1 
 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI 
 ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 
 Trong các các kì thi Đại Học – Cao Đẳng câu tích phân luôn mặc định xuất hiện trong đề thi môn Toán. 
Tích phân không phải là câu hỏi khó, đây là một bài toán “nhẹ nhàng”, mang tính chất “cho điểm”. Vì vậy 
việc mất điểm sẽ trở nên “vô duyên” với những ai đã bỏ chút thời gian đọc tài liệu. Ở bài viết nhỏ này sẽ 
cung cấp tới các em các dạng tích phân thường xuyên xuất hiện trong các kì thi Đại Học - Cao Đẳng ( và 
đề thi cũng sẽ không nằm ngoài các dạng này). Với cách giải tổng quát cho các dạng, các ví dụ minh họa đi 
kèm, cùng với lượng bài tập đa dạng, phong phú. Mong rằng sau khi đọc tài liệu, việc đứng trước một bài 
toán tích phân sẽ không còn là rào cản đối với các em . Chúc các em thành công ! 
 Trong bài viết này sẽ giới thiệu tới các em 8 phần: Trang 
 I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN  1 
 II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ 2 
 III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.. 3 –12– 26 
 IV. 10 DẠNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG... 27 – 81 
 V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN.. 82 – 93 
 VI. CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCH PHÂN TRUY HỒI..94 – 102 - 106 
 VII. DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA knC ...107 - 110 
 VIII. KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẠI HỌC 111- 114 
I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN 
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  
Trang 2 
II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
 Điều kiện tiên quyết để làm tốt phần tích phân là chúng ta phải nhớ và hiểu được cách 
vận dụng các công thức nguyên hàm sau: (chỉ cần hiểu 8 công thức thì sẽ biết cách suy 
luận ra các công thức còn lại) 
1
( 1))
1
uu du C

 


   
1
   
 2
11
1
1; .
1 1
1 1; ;
1
ax bxx dx C ax b dx Ca
du dudu u C C Cu u u u
 
 
 






 




      
          
) lndu u C
u
 2
ln
1 ln
dx x Cx
dx ax b Cax b a


 


 
   
)
ln
u
u aa du C
a
 3
;
ln
1;
x
x u u
x x ax b ax b
aa dx C e du e C
a
e dx e C e dx e C
a
 

 


    
    
) sin cosudu u C  4
sin cos
1sin( ) cos( )
xdx x C
ax b dx ax b C
a





  
    
) cos sinudu u C 5
cos sin
1cos( ) sin( )
xdx x C
ax b dx ax b C
a





 
   
2) cotsin
du u C
u
  6
2
2
cot
sin
1 cot( )
sin ( )
dx x C
x
dx ax b C
ax b a






  
     
2) tancos
du u C
u
 7
2
2
tan
cos
1 tan( )
cos ( )
dx x Cx
dx ax b Cax b a






 
   
2 2
11 1 1) ln
2 2
du u adu C
u a a u a u a a u a
    
 
    8
2 2
2 2
1 ln2
1 ln
2
du u a Ca u a u a
dx x a C
x a a x a

 


    
   
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  
Trang 3 
III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 
1. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ 
 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ ( )( )
f xI dxg x


  (*) 
Chú thích: Sơ đồ trên được hiểu như sau : 
 Khi đứng trước một bài toán tích phân có dạng hữu tỉ trước tiên ta quan tâm tới bậc của tử số và mẫu số. 
*) Nếu bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, khi đó ta chú ý tới bậc dưới mẫu số. Cụ thể: 
 ++) Nếu bậc dưới mẫu số bằng 1 ta có luôn công thức trong bảng nguyên hàm và đưa ra được đáp số. 
 ++) Nếu bậc dưới mẫu số bằng 2 ta quan tâm tới  hay “tính có nghiệm” của phương trình dưới mẫu. 
 +) Nếu 0  tức khi đó ta sẽ phân tích dưới mẫu thành tích và dùng kĩ thuật tách ghép để tách thành 
 hai biểu thức có mẫu bậc 1 (quay về trường hợp mẫu số có bậc bằng 1). 
 +) Nếu 0  tức khi đó ta sẽ phân tích dưới mẫu thành hằng đẳng thức và dùng kĩ thuật tách ghép để 
 đưa tích phân về dạng đã biết. 
 +) Nếu 0  tức khi đó ta không thể phân tích dưới mẫu số thành tích và hằng đẳng thức được. 
 -) Nếu trên tử là hằng số khác 0 ta sẽ dùng phương pháp lượng giác hóa để chuyển về dạng cơ bản 
 ( theo cách đổi biến ở sơ đồ trên). 
 -) Nếu trên tử có dạng bậc nhất ta sẽ chuyển về bậc 0 ( hằng số hay số tự do) bằng kĩ thuật vi phân 
 như cách trình bày ở sơ đồ và quay về trường hợp trước đó (tử là hằng số khác 0 ). 
 ++) Nếu bậc của mẫu số lớn hơn 2 ta sẽ tìm cách giảm bậc bằng phương pháp đổi biến hoặc các kĩ thuật: 
 Nhân, chia, tách ghép (đồng nhất hệ số), vi phân 
*) Nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số thì ta chuyển sang TH2 (trường hợp 2). 
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  
Trang 4 
CHÚ Ý : 
Việc đồng nhất hệ số dựa theo cách phân tích sau: 
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2( ) ... ...
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m n n
m n m n
A B x CA A B x C B x Cf x
ax b cx dx e ax b ax b ax b cx dx e cx dx e cx dx e
 
       
           
Sau đó quy đồng bỏ mẫu, dùng tính chất “hai đa thức bằng nhau khi các hệ số tương ứng của chúng bằng 
nhau” từ đó tìm được các ,i jA B , jC ( 1, ; 1, )i m j n  hoặc có thể dùng cách chọn x để tìm các ,i jA B , jC . 
Các ví dụ minh họa 
Ví dụ 1. Tính tích phân 
2
2
0 2
dxI
x x k

  với : 1) 
3
4
k  2) 1k  3) 4k  
Giải: 1) Với 3
4
k  thì : 
22 2 2 2
2
20 0 0 0 0
4 (2 3) (2 1) 2 2 2 12 ln3 4 8 3 (2 1)(2 3) 2 1 2 3 2 32
4
dx dx x x xI dx dx
x x x x x x xx x
                   
   
15ln
7
2) Với 1k  thì : 
22 2
2 2
00 0
1
2 1 ( 1) 1
dx dxI
x x x x
    
    
2
3
3) Với 4k  thì : 
2 2
2 2
0 02 4 ( 1) 3
dx dxI
x x x
 
     
 Đặt 1 3 tanx t  với ;
2 2
t     
 
2
2
3 3.(1 tan )
cos
dtdx t dt
t
    và : 0 2x  thì :
6 3
t   
 Khi đó 
23 3
3
2
6
6 6
3.(1 tan ) 3 3
3.(tan 1) 3 3
t dtI dt t
t
 


 

   
 
3
18
 
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau: 
 1) 
2
1
1
3
4 1
I dx
x

 2) 
0
2 2
1 2 3
dxI
x x

  3) 
1
3 2
0 6 9
dxI
x x

  4) 
1
4 2
0 2 2
dxI
x x

  
 5) 
1
5 2
0
4 5
2
xI dx
x x


  6) 
2
6 2
1
3 2
4 4 1
xI dx
x x


  7) 
2
7 2
1
3
2 4
xI dx
x x


  
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  
Trang 5 
Giải: 1) 
22
1
11
3 3 ln 4 1
4 1 4
I dx x
x
   

3 7ln
4 3
2) 
0
2 2
1 2 3
dxI
x x

 
0
1 ( 1)(2 3)
dx
x x
 
 
1
5
0
1
(2 3) 2( 1)
( 1)(2 3)
x x dx
x x
  
  
00
1 1
1 1 2 1 1 1 1ln ln
5 1 2 3 5 2 3 5 6
xdx
x x x 
         
ln 6
5
 
3) 
11 1
3 2 2
00 0
1
6 9 ( 3) 3
dx dxI
x x x x
    
    
1
12
4) 
1 1
4 2 2
0 02 2 ( 1) 1
dx dxI
x x x
 
     
 Đặt 1 tanx t  với ;
2 2
t     
 
2
2 (1 tan )cos
dtdx t dt
t
    và : 0 1x  thì : 0
4
t   
 Khi đó 
0 02
0
4 2
4
4 4
(1 tan )
tan 1
t dtI dt t
t

 

 

   
  4
 
5)  
1 1 1
1
5 2 0
0 0 0
4 5 ( 1) 3( 2) 1 3 ln 2 3ln 1
2 ( 1)( 2) 2 1
x x xI dx dx dx x x
x x x x x x
                      
4 ln 2 
 Chú ý: Việc phân tích 4 5 1 3( 2)x x x     có được là do ta đi tìm hệ số ,a b thỏa mãn: 
 4 5 ( 1) ( 2) 4 5 ( ) 2x a x b x x a b x a b           khi đó 
4 1
2 5 3
a b a
a b b
   
 
    
6) 
 2 2 2
6 2 2 2
1 1 1
3 72 13 2 3 72 2
4 4 1 (2 1) 2(2 1) 2(2 1)
xxI dx dx dx
x x x x x
   
         
   
2
1
3 7ln 2 1
4 4(2 1)
x
x
 
     
 3 7ln 3
2 6
 
7) 
 2 2 2 2
7 2 2 2 2
1 1 1 1
1 2 2 43 1 (2 2) 12 4 4
2 4 2 4 2 2 4 2 4 2
xx x dxI dx dx dx A B
x x x x x x x x   
  
     
           (*) 
 +) Tính 
2 2 2 22
2 2 1
1 1
(2 2) ( 2 4) ln 2 4
2 4 2 4
x d x xA dx x x
x x x x  
  
     
     2 ln 2 (1) 
 +) Tính 
2 2
2 2
1 12 4 ( 1) 3
dx dxB
x x x 
 
     
 Đặt 1 3 tanx t  với ;
2 2
t     
 
2
2
3 3.(1 tan )
cos
dtdx t dt
t
    và : 1 2x   thì : 0
3
t  
23 3
3
2 0
0 0
3.(1 tan ) 33 3
tan 1 3
t dtB dt t
t
 



   
  (2) . Thay (1) và (2) vào (*) ta được: 7I 
4 3ln 2
3
 
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  
Trang 6 
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau: 
 1) 
2 3 2
1
1
2 2 4
2 1
x x xI dx
x
  

 2) 
1 4 3 2
2 2
0
2 4 2
2 3
x x x xI dx
x x
   

  3) 
2 3 2
3 2
1
4 4 7 2
4 4 1
x x xI dx
x x
  

  
 4) 
1 2
4 2
0
( 1)
1
xI dx
x


 ( D – 2013) 5) 
2 2
5 2
0
2 1
2 4
x xI dx
x x
 

  
Giải: 
1) 
22 23 2 3
2
1
1 1 1
2 2 4 5 51 ln 2 1
2 1 2 1 3 2
x x x xI dx x dx x x
x x
                   
  
10 5 ln 3
3 2
 
2) 
1 1 14 3 2
2 2
2 2 2
0 0 0
2 4 2 5 2( 1) ( 3)1 1
2 3 2 3 ( 1)( 3)
x x x x x x xI dx x dx x dx
x x x x x x
                          
   
11 3
2
0 0
2 11 2ln 3 ln 1
3 1 3
xx dx x x x
x x
                     
 
22 ln 3 ln 2
3
  
3) 
2 2 2 23 2
3 2 2 2 2
1 1 1 1
4 4 7 2 6 2 3(2 1) 1 3 1
4 4 1 4 4 1 (2 1) 2 1 (2 1)
x x x x xI dx x dx x dx x dx
x x x x x x x
                                
    
22
1
3 1ln 2 1
2 2 2(2 1)
x x
x
 
      
11 3 ln 3
6 2
 
4) 
1 2
4 2
0
( 1)
1
xI dx
x


 ( D – 2013) 
  
1 1 1 1 1 12 2 12
4 2 2 2 2 0
0 0 0 0 0 0
1 2 2 2 ( 1)1 ln( 1)
1 1 1 1
x x x x d xI dx dx dx dx dx x x
x x x x
                       
1 ln 2 
5) 
2 2 22
5 2 2 2
0 0 0
3 (2 2) 62 1 3 9 22 2
2 4 2 4 2 4
xx x xI dx dx dx
x x x x x x
                    
 
   
 2 2 222 2
0 0 0
3 ( 2 4)2 6
2 2 4 2 4
d x x dxdx
x x x x
 
  
     
2
2
0
3 32 ln( 2 4) 6 4 ln 3 6
2 2
x x x I I         
 
 (*) 
 Tính 2 22 2
0 02 4 ( 1) 3
dx dxI
x x x
 
     
Đặt 1 3 tanx t  (với ;
2 2
t     
 
) 
2
2
2 2
3 3(1 tan )
cos
( 1) 3 3(1 tan )
dx dt t dt
t
x t

   
    
 và : 0 2x  thì :
6 3
t  
23 3 3
2
66 6
3(1 tan ) 3 3 3
3(1 tan ) 3 3 18
t dtI dt t
t
  
 

    
  (2*). Thay (2*) vào (*) ta được: 5I 
3 34 ln 3
2 3

  
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  
Trang 7 
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau: 
 1) 
1 3
1 4 2
0 3 2
xI dx
x x

  (B – 2012) 2) 
1 7
2 4 2
0 (3 2 )
xI dx
x

 3) 
2 2
3 4 2
1
1
( 3 2)
xI dx
x x x


  
 4) 
2
4 2 2
1
2 3
( 2 )( 4 3)
xI dx
x x x x


   5) 
1 2
5 4 3 2
2
1
4 6 4 1
xI dx
x x x x




    6) 
2
6 3 5
1
dxI
x x

 
 7) 
1
7 3
0 (1 2 )
xI dx
x

 8)  
2
8 2014
1 1
dxI
x x

 9) 
0 2
9 8
1 (1 )
x dxI
x

 
Giải: 1) 
1 3
1 4 2
0 3 2
xI dx
x x

  (B – 2012) Đặt 
2t x 2dt xdx  hay 
2
dtxdx  
và : 0 1x  thì : 0 1t  
1 1 1 12
1 4 2 2
0 0 0 0
. 1 . 1 2( 1) ( 2) 1 2 1
3 2 2 3 2 2 ( 1)( 2) 2 2 1
x xdx t dt t tI dt dt
x x t t t t t t
                    
1
0
1ln 2 ln 1
2
t t      
 
3ln 3 ln 2
2
 
2) 
1 7
2 4 2
0 (3 2 )
xI dx
x

 Đặt 
3 3
4
4
18
83 2
3
2
dt x dx x dx dt
t x
tx
        
 

 và : 0 1x  thì : 3 1t  
 Khi đó 
1 1 1 37 4
3
2 4 2 4 2 2 2
0 0 3 1
3
1 1 32.
(3 2 ) (3 2 ) 8 16
t
x x tI dx x dx dt dt
x x t t


    
     
33
2
1 1
1 3 1 1 3 ln
16 16
dt t
t t t
           
   
2 ln 3
16
 
3) 
2 2
3 4 2
1
1
( 3 2)
xI dx
x x x


  Đặt 
2 2
2
dtt x dt xdx xdx     và :1 2x  thì :1 2t  
 Khi đó 
2 22
3 2 4 2 2
1 1
( 1) 1 1.
( 3 2) 2 ( 3 2)
x tI xdx dt
x x x t t t
 
 
     
Lúc này ta sẽ phân tích 2
1
( 3 2)
t
t t t

 
 thành tổng các phân thức có mẫu bậc 1 bằng phương pháp đồng nhất 
hệ số . Cụ thể: 2
1 1
( 3 2) ( 1)( 2) 1 2
t t A B C
t t t t t t t t t
 
   
     
 1 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)t A t t Bt t Ct t         (*) 
Việc tìm , ,A B C có thể làm theo 2 cách : 
 Cách 1: 2(*) 1 ( ) (3 2 ) 2t A B C t A B C t A         khi đó 
1
0 2
3 2 1 2
2 1 3
2
AA B C
A B C B
A C
    
      
     

www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  
Trang 8 
Cách 2: +) Chọn 0t  thì (*) có dạng: 11 2
2
A A     
 +) Chọn 1t   thì (*) có dạng: 2 2B B     
 +) Chọn 2t   thì (*) có dạng: 33 2
2
C C     
 Vậy 
22
3
1 1
1 1 2 3 1 3ln ln( 1) ln( 2)
2 2 1 2( 2) 4 4
I dt t t t
t t t
                   
 
7 ln 3 11.ln 2
4
 
4) 
2 2 2
4 2 2 2 2
1 1 1
2 3 2 3 2 3
( 2 )( 4 3) ( 2)( 1)( 3) ( 3 )( 3 2)
x x xI dx dx dx
x x x x x x x x x x x x
  
  
           
 Cách 1: (đổi biến) 
 Đặt 2 3t x x  (2 3)dt x dx   và :1 2x  thì : 4 10t  
 Khi đó 
1010 10
4
4 4 4
1 1 1 1 ln
( 2) 2 2 2 2
dt tI dt
t t t t t
          
1 15ln
2 12
 Cách 2: (tách ghép và sử dụng kĩ thuật vi phân) 
2 22 2 2
4 2 2 2 2
1 1 1
( 3 2) ( 3 ) (2 3)1 1 (2 3) (2 3)
2 ( 3 )( 3 2) 2 3 3 2
x x x x x x dx x dxI dx
x x x x x x x x
                  
   
22 22 2 2
2 2 2
1 1 1
1 ( 3 ) ( 3 2) 1 3ln
2 3 3 2 2 3 2
d x x d x x x x
x x x x x x
    
         
  
1 15ln
2 12
5) 
1 2
5 4 3 2
2
1
4 6 4 1
xI dx
x x x x




    Chia cả tử và mẫu trong biểu thức tích phân cho 
2x ta được: 
1 1 22
5
2 22 2
2 2
11 11
4 1 1 14 6 4 6
dx
xxI dx
x x x x
x x x x
 
 
   
  
             
   
  
Cách 1: (đổi biến) Đặt 1t x
x
  
2
2 2
2
11
1 2
dt dx
x
t x
x
       
   
 và : 2 1x    thì 5: 2
2
t    
 Khi đó 
22 2 2
5 2 2 2 55 5 5
22 2 2
1
( 2) 4 6 4 4 ( 2) 2
dt dt dtI
t t t t t t
  

  
     
        
1
36
 Cách 2: (tách ghép và sử dụng kĩ thuật vi phân – dành cho những ai có kĩ năng phân tích tốt) 
1
1 12
5 2 2
2 2
2
1 11 2
1
11 1 1 24 4 2
dx d x
x xI
xx x x xx x x

 
 

        
       
                 
     
 
1
36
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  
Trang 9 
6) 
2 2
6 3 5 3 2
1 1 (1 )
dx dxI
x x x x
 
   
 Cách 1: (đổi biến) 
 Đặt 2t x 2
2
dtdt xdx xdx    và :1 2x  thì :1 4t  
 Khi đó 
2 4
6 4 2 2
1 1
1
(1 ) 2 ( 1)
xdx dtI
x x t t
  
  
4
2
1
1 ( 1)
2 ( 1)
t t dt
t t
 

4 4
2 2
1 1
1 1 1 1 1 ( 1)
2 ( 1) 2 ( 1)
t tdt dt
t t t t t t
    
          
  
44
2
1 1
1 1 1 1 1 1 1ln
2 1 2
tdt
t t t t t
              

3 1 5ln
8 2 8
 
 Cách 2: (Dùng kĩ thuật tách ghép) 
2 22 2
6 3 2 3 2
1 1
(1 ) 1 1
(1 ) (1 )
x xI dx dx
x x x x x
  
     
 
2 22 2
3 2 3 2
1 1
1 (1 ) 1 1
(1 ) 1
x x xdx dx
x x x x x x
             
  
2 2 2
3 2
1 1
1 1 1 (1 )
2 1
d xdx
x x x
       
2
2
2
1
1 1 3 1 5ln ln(1 ) ln 2 ln
2 2 8 2 2
x x
x
           
3 1 5ln
8 2 8
 
7) 
11 1 1
7 3 3 2 3 2
0 0 0 0
1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
(1 2 ) 2 (1 2 ) 2 (1 2 ) (1 2 ) 2 2(1 2 ) 4(1 2 )
x xI dx dx dx
x x x x x x
    
                  
  
1
18
8) 
 
2
8 2014
1 1
dxI
x x

 
 Đặt 2014 2013 20131 2014
2014
dtt x dt x dx x dx      và :1 2x  thì 2014: 2 1 2t   
 Khi đó 
 
2014 20142 1 2 1 22013
8 2014 2014
1 2 2
1 1 1 1
2014 ( 1) 2014 11
x dx dtI dt
t t t tx x
 
          
20141 2
2
1 1ln
2014
t
t


 
20142015ln 2 ln(1 2 )
2014
  
9) 
0 2
9 8
1 (1 )
x dxI
x

 Đặt 1t x dt dx     và : 1 0x   thì :1 2t  
 Khi đó 
22 2 22 2
9 8 8 8 7 6 7 6 5
1 1 1 1
(1 ) 1 2 1 2 1 1 1 1
7 3 5
t dt t tI dt dt
t t t t t t t t
                  
     
33
4480
Ví dụ 5. Tính các tích phân sau: 1) 
2 2
1 3
1
1xI dx
x

  2) 
ln 2
3
2
0
1xI e dx  
Giải: 
1) 
2 2
1 3
1
1xI dx
x

  Đặt 2 2 2 2 21 1 1
tdt xdx
t x t x
x t

      
 
 và cận : 0 3t  
2 2 3 32 2 2
1 3 4 2 2 2 2
1 1 0 0
1 1. .
( 1) (1 )
x x xdx t tdt tI dx dt
x x t t
 
    
     
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  
Trang 10 
 Đặt 22tan (1 tan )cos
dut u dt u du
u
     và cận : 0
3
u  
2 2 2 23 3 3 3
2 2
1 2 2 2 2
0 0 0 0
tan .(1 tan ) tan sin .cos sin
(1 tan ) 1 tan cos
u u du u uI du udu udu
u u u
   

    
     
3 3
0 0
1 cos 2 1 1 3sin 2
2 2 4 6 8
u du u u
 
        
 
4 3 3
24
  
2) 
ln 2
3
2
0
1xI e dx  Đặt 
2
3 3
3
3
1 1
1
x
x x
x
t dt e dx
t e t e
e t
       
 
 và cận : 0 1t  
ln 2 ln2 1 1 13 2 3
3
2 3 3 3
0 0 0 0 0
1. .3 11 3 3 1
1 1 1
x x
x
x
e e dx t t dt t dtI e dx dt
e t t t
                 
Ta dùng phương pháp đồng nhất hệ số: 
2
3 2 2
1 1 1 .( 1) ( )( 1)
1 ( 1)( 1) 1 1
A Bt C A t t Bt C t
t t t t t t t

         
      
 2
0
1 1 21 ( ) ( ) 0 ; ;
3 3 3
1
A B
A B t A B C t A C A B C A B C
A C
 
                  
  
 ( Có thể chọn 0t  và 1t   được ba pt 3 ẩn , ,A B C rồi giải tìm được , ,A B C (máy tính có thể giúp ) ) 
Vậy ta có: 3 2 2
1 1 2 1 1 2
1 3( 1) 3( 1) 3 1 1
t t
t t t t t t t
              

1
2 2
0
1 23
1 1
tI dt
t t t
       
1 1 1 12
2 2 2
0 0 0 0
1 (2 1) 11 1 1 ( 1)23 3
1 1 1 2 1 1
t d t t dtdt dt
t t t t t t t t
                        
 
    
1
2
0
13 ln( 1) ln( 1)
2
t t t t J        
 
 3 ln 2 J   (*) với 
1 1
22 2
0 01 1 3
2 2
dt dtJ
t t
t
 
        
   
  
 Đặt 
2
2
22
2
3 3(1 tan )
2cos 21 3 tan
2 2 1 3 3 (1 tan )
2 2 4
udt du du
t
t u
t u
 
 
   
             
 và : 0 1t  thì cận :
6 6
u    
26 6 6
2
66 6
3(1 tan ) 4 2 3 2 3 2 3.
2 3(1 tan ) 3 3 9
uJ du du u
u
  
 

 

    
  (2*) 
Thay (2*) vào (*) ta được : 2I 
2 33 ln 2
9

  
www.VNMATH.com
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  
Trang 11 
Nhận xét: Trong các bài toán đổi biến các em sẽ nhận ra một điều (rất quan trọng trong phần đổi biến), khi 
chúng ta đổi biến thì bước tiếp theo là bước vi phân cả 2 vế. Sau khi làm xong điều này các em sẽ biết ngay 
là bài toán chúng ta đi có đúng hướng hay không. Cụ thể: Nếu sau khi vi phân ta có: ( ) ( )f t dt g x dx thì 
xảy ra 2 khả năng: 
+) Trong đề bài có chứa ( )g x dx (có thể phải thêm bước tách ghép, thêm bớt để nhìn thấy nó) và phần còn 
lại của biểu thức dưới dấu tích phân (nếu có) còn chứa biến x mà ta rút được theo t . Khi đó xác suất ta đi 
theo hướng này đúng là cao. 
+) Trong đề bài không có lượng ( )g x để ta chỉnh (vì dx đi một mình lúc này “không ổn” phải có mặt 
( )g x đi cùng hay phải có ( )g x dx thì ta mới chuyển được theo ( )f t dt ). Khi đó các em nên nghĩ tới việc tự 
nhân thêm vào (đề bài không cho thì ta tự cho) và chỉnh bằng cách nhân với lượng tương ứng ở dưới mẫu số 
và phần phát sinh thêm sau khi nhân cùng với biểu thức trước đó sẽ rút được theo t (ở cả hai bài toán trên 
ta đã tự nhân cả tử và mẫu lần lượt với x và xe ) 
Bài luyện 
 Tính các tích phân sau: 1) 
1
2
0 2
dxI
x x

  ( Đs: 
1 1ln
3 4
) 2) 
1
2 2
0
4 11
5 6
xI dx