10 Bài toán hay về tam giác

HD gải 10 Bài toán hay về tam giác
µBài 1:
            Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho BE gấp đôi AE; trên cạnh AC ta lấy điểm D sao cho CD gấp đôi AD. Nối E với D ta được hình tam giác AED có diện tích 5 cm2. Hãy tính diện tích hình tứ giác BCDE.
Hướng giải: Xét các cặp tam giác có cùng đỉnh và có tỉ lệ 2 đáy tương ứngàsuy ra tỉ lệ S:
 S∆BDE  = 2S ∆AED = 5 x 2 = 10 (cm2)
   S∆ABD = 10 + 5 = 15 (cm2)
   S∆BDC = 2 S∆ABD = 15 x 2 = 30 (cm2)
   è SBCDE = S∆BDE + S∆BDC
                 = 10   +   30 = 40 cm2
µBài 2: 
            Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm I, sao cho IB=IC. 
Nối AI, trên đoạn AI lấy điểm M để có MI=1/2AM. 
Nối và kéo dài đoạn CM cắt cạnh AB tại N. 
So sánh diện tích 2 hình tam giác AMN và BMN.
                        (Phỏng theo đề thi HSG Toán cấp Tỉnh An Giang khoảng năm 1983_1984)
            Giải
Ta có S∆MIC= 1/2 S∆MCA         (2 tam giác có IM= 1/2 AM; cùng đường cao kẻ từ C).
           S∆MIC=S∆MIB                  (2 tam giác có IB=IC; cùng đường cao kẻ từ M).
        Cho ta:      S∆AMC= S∆BMC       (SBMC=SMIC+SMIB).
        Hai tam giác AMC và BMC có chung đáy MC. Nên 2 đường cao kẻ từ A và từ B xuống cạnh đáy MC bằng nhau.
        Hai đường cào này cũng chính là 2 đường cao của 2 tam giác AMN và BMN. Hai tam giác này lại có cạnh đáy chung là MN.
    è    Vậy:                 S∆AMN=S∆BMN 
µBài 3:
            Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NA < NC. Tìm điểm M trên BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác ABC làm 2 phần có diện tích bằng nhau?
        Gợi ý tìm cách giải
Nếu N là điểm K trung điểm của AC thì NB (KB) sẽ chia hình tam giác ABC làm 2 hình tam giác có diện tích bằng nhau. Do NA < NC nên điểm M phải nằm trên BC.
Qua hình vẽ cho ta thấy điểm M trên BC thế nào để NM và KB kết hợp với 2 cạnh của ABC để có 2 hình tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau thì M chính là điểm cần tìm.
            Giải
Lấy K là trung điểm của AC. Nối BK.
Ta có S∆ABK = S∆CBK   (K trung điểm AC)   
   ==>  S∆ABK = 1/2 S∆ABC
Từ K kẻ đoạn thẳng song song với NB cắt BC tại M.
Trong hình thang NBMK cặp tam giác NOK và BOM có diện tích bằng nhau.
         (SNBK=SNBM ; SNOK=SNBK – SNBO ; SBOM= SNBM – SNBO ==>  SNOK=SBOM )
Tứ giác ABMN có:   SABMN = S∆ABK + S∆BOM – S∆NOK = S∆ABK =   S∆ABC
 è Vậy M chính là điểm cần tìm.
µBài 4: (So sánh diện tích 2 tam giác).
  Cho hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của cạnh AD. Đoạn thẳng AC cắt BM tại N.
    a, Diện tích tam giác BMC gấp mấy lần Diện tích tam giác AMB?
    b, Diện tích tam giác BNC gấp mấy lần diện tích tam giác ANB ? Tính diện tích hình vuông ABCD biết diện tích tam giác ANB bằng 1,5 dm2
     Giải
a)   Theo đề bài : AM = 1/2 AD nên AM = 1/2 BC.--> Ta có :
 S∆AMB = 1/2  S∆BMC  ( vì cạnh đáy AM = 1/2BC, chiều cao từ M xuống BC bằng chiều cao BA)   hay S∆BMC = 2 x S∆AMB
b)  Từ câu a:  S∆BMC = 2 x S∆AMB  mà hai tam giác này chung đáy MB ànên chiều cao  CI gấp đôi chiều cao AH. Mặt khác tam giác BNC và ANC có chung đáy NB, chiều cao CI = 2 x AH
                              Suy ra S∆BNC = 2 x S∆ANB
 S∆ABC = 1/2 sABCD  ( .....)
  S∆ABC = 1.5 x (1+2) = 4,5 (dm2) è SABCD = 4,5 x 2 =  9 (dm2)
µBài 5: Tính độ dài đoạn thẳng
            Cho tam giác ABC có BC = 8 cm. Trên cạnh AC lấy điểm chính giữa D. Nối B với D. Trên BD lấy điểm E sao cho BE gấp đôi ED. Nối AE, kéo dài cắt BC ở M. Tính độ dài đoạn BM. 
 Giải
S∆AED = S∆EDC  (AD=DC ; chung dường cao kẻ từ E)
SAED = ½ SAEB  (ED = ½ BE ; chung đường cao kẻ từ A)
Suy ra    SABE = SAEC
Mà 2 tam giác này có chung đáy AE nên dường cao kẻ từ B và đường cao kẻ từ C xuống AM  bằng nhau.
2 đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác BEM và CEM và có chung đáy EM.
 à Suy ra      SBEM = SCEM
 è Vậy     BM = MC = 8 : 2 = 4 (cm)
µ Bài 6:
        Cho hình tam giác ABC. Trên AB lấy điểm M sao cho AM = 1/3 AB. Trên AC lấy điểm N sao cho AN = 1/4 AC. Nối M với C, nối N với B cắt nhau tại O. Hãy so sánh diện tích tam giác BOC và diện tich tam giác ABC.
                                                                               Giải                                
Nối A với O. Ta có:  S∆ ABN = 1/3 S∆ BNC  nên đường cao kẻ từ A và C xuống NB có tỉ lệ 1/3
Suy ra  S∆ ABO = 1/3 S∆ BOC (chung đáy OB)
Tương tự:
SAMC = 1/2SBMC nên dường cao kẻ từ A và B xuống MC có tỉ lệ 1/2
Suy ra      SAOC = 1/2 SBOC (chung đáy OC)
Từ đó ta có:  SAOC + SAOB = (1/3+1/2)SBOC = 5/6 SBOC
S∆ AOC + S∆ AOB  có 5 phần thì S∆ BOC có 6 phần và S∆ ABC có 5+6 = 11 phần
è Vậy:     AOCB = 6/11 SABC
µ Bài 7: Tính độ dài
        Cho tam giác ABC có diện tích bằng 900 cm2  và cạnh BC = 45 cm. 
M là một điểm trên AB sao cho
 MB = 1/3 AB. Từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N. 
Tính Độ dài đoạn MN.
  Giải                             
Ta có:
SCMB = 1/2 SAMC (chung đường cao kẻ từ C, đáy MB=1/2AM) =>  SCMB = 300 cm2  
=> Đường cao MI = 300 x 2 : 45 = 13  1/3 (cm)             (hỗn số)
Hình thang NMBC cho ta SCMB = SCNB = 300 cm2   (chung đáy CB, đường cao bằng đường cao hình thang)
=>SANB = 900 – 300 = 600 (cm2)
Mặt khác SNMB = 1/2 SNMA   => SNMB = 600 : 3 = 200 (cm2) 
Mà tam giác NMB có đáy NM và đường cao bằng đường cao MI.
Độ dài đoạn MN = 200 x 2 : 13 1/3 = 30 (cm) è Đáp số:   MN = 30cm
µBài 8: Diện tích tam giác
        Cho hình tam giác ABC có điểm N là điểm chính giữa cạnh AC . Trên hình đó có hình thangBMNE. Nối B với N, nối E với M, hai đoạn thẳng này gặp nhau tại điểm O 
a/ So sánh diện tích 2 hình tam giác 
 OMB và OEN
b/ So sánh diện tích hình tam giác EMC với diện tích hình AEMB   
                        ( Đề thi HSG toàn quốc 1984 - 1985 )
(Chưa biết 2 điểm M và E của hình thang BMNE)
Điểm E nằm trên đoạn AN , điểm M nằm trên BC, BE là đáy lớn MN là đáy bé, BN và ME là 2 đường chéo hình thang.
 Giải                            
a). BMNE là hình thang nên S∆ MBE = S∆ NBE (có chúng đáy BE, đường cao bằng đường cao hình thang), 2 tam giác này có phần chung là OBE nên à  S∆ OMB= S∆ OEN
b). Do AN=NC nên S∆ ABN = S∆ CBN
S∆ EMC= S∆ CBN – S∆ OMB + S∆ OEN  mà S∆ OMB = S∆ OEN  (cm trên)àSuy ra: S∆ EMC= S∆ CBN
Tương tự:
S∆ AEMB= S∆ ABN – S∆ OEN + S∆ OMB mà S∆ OEN = S∆ OMB (cm trên)àSuy ra: S∆ AEMB= S∆ ABN
Ta đã có SABN=SCBN è Vậy:  S∆ EMC= S tứ giác AEMB    (điều phải chứng minh)
            b).Cach khác (Nhanh hơn)
Do AN=NC nên SABN=SCBN= 1/2 S∆ ABC
S∆ EMC= S∆ CBN – S∆ OMB + S∆ OEN  mà S∆ OMB = S∆ OEN       (cm trên)
Suy ra:  S∆ EMC= S∆ CBN = 1/2 S∆ ABC
 è Vậy:  S∆ EMC= S_AEMB    (điều phải chứng minh)
µBài 9:  
        1).Cho tam giác ABC có diện tích 600cm2. D là trung điểm cạnh BC. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3 AC. AD cắt BE tại M. Tính diện tích tam giác AME.
Giải. 
Ta có:
- S∆ABD = S∆ ACD  (có CD=BD, đường cao chúng từ A và có chúng đáy AD nên 2 đường cao kẻ từ B và C bằng nhau)
à AE=1/3AC hay AE=1/2EC
- S∆ ABE=1/2 S∆ CBE (AE=1/2EC, đường cao chung từ B và có chung đáy EB nên đường cao từ C gấp 2 lần đường cao từ A).
Nên:
S∆ ABM = S∆ ACM  (chung đáy AM, 2 đường cao bằng nhau –cmt-) (1)
S∆ CMD= S∆ BMD  (chung đáy MD, 2 đường cao bằng nhau –cmt-)  (2)
S∆MBC = 2 S∆ MBA (chung đáy MB, cao từ C gấp 2 lần cao từ A)     (3)
Từ (1), (2) và (3) cho ta:
S∆ ABM = S∆ ACM = S∆ CMD = S∆ BMD = 600 : 4 = 150 (cm2)
Mà: 
S∆ ABE =1/3 S∆ ABC = 600:3 = 200 (cm2)                             
 èS∆ AME = S∆ ABE – S∆ ABM = 200-150= 50 (cm2)
µBài 10:
        Cho tam giác ABC. Điểm M trên AC sao cho AM = 1/4 AC. Điểm N trên BC sao cho diện tích tam giác MCN bằng diện tích tứ giác AMNB. Tính tỉ số giữa BN và BC?
Giải
Chọn điểm N trên BC và giả sử S∆ MCN= S∆ AMNB.
Nối AN.
Do AM=1/4AC hay AM=1/3MC
Ta có:  S∆ MNC=3 S∆ AMN  
 (MC=3AM, chung đường cao từ N)
Để S_AMNB = S∆MNC thì :
S∆ ANB=(3-1) S∆ AMN=2S∆ AMN
Diện tích ABC có 3+1+2=6 (phần) thì
 S∆ ANB có 2 phần; hay 
 S∆ ANB = 1/3 S∆ ABC. 
èSuy ra:  BN=1/3BC
 PHH sưu tầm & chỉnh lí 7/10/2015 - Nguồn TK Web toantieuhoc