10 Bài toán dãy số và phân số nâng cao Lớp 5

Giải 10 Bài toán dãy số và phân số
nâng cao lớp 5
Bài 1: 
Cho tổng : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50.
a/ Không làm phéo tinh, Đoán xem tổng trên là số lẻ hay chẵn ?
b/ Nếu liên tục thay hai số bất kì bằng hiệu của chúng, Liệu có thể được kết quả 
 tổng = 0 hay không?
Bài giải: 
*a/ Đặt A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50. 
Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 có 50 số, trong đó số các số lẻ bằng số các số chẵn nên có 50 : 2 = 25 (số lẻ). à Vậy A là một số lẻ. 
*b/ Gọi a và b là hai số bất kì của A, khi thay tổng a + b bằng hiệu a - b thì A giảm đi: 
(a + b) - (a - b) = 2 x b; (tức là giảm đi một số chẵn). Hiệu của một số lẻ và một số chẵn luôn là một số lẻ nên sau mỗi lần thay, tổng mới vẫn là một số lẻ. 
 è Vậy không bao giờ nhận được kết quả là 0.
Bài 2: 
Tí có một số bi không quá 80 viên, trong đó số bi đỏ gấp 5 lần số bi xanh. Nếu Tí có thêm 3 viên bi xanh nữa thì số bi đỏ gấp 4 lần số bi xanh. Hỏi lúc đầu Tí có mấy viên bi đỏ, mấy viên bi xanh ?
Bài giải:
 Bài này có nhiều cách giải khác nhau, xin nêu một cách giải như sau
Ta thấy: Số bi xanh lúc đầu bằng 1/5 số bi đỏ.
Sau khi Tí có thêm 3 viên bi xanh nữa thì số bi xanh lúc đó bằng 1/4 số bi đỏ.
Do đó 3 viên bi ứng với số phần của số bi đỏ là:
Vậy số bi đỏ của Tí lúc đầu là:
Số bi xanh của Tí lúc đầu là : 60 : 5 = 12 (viên)
Vậy lúc đầu Tí có 60 viên bi đỏ và 12 viên bi xanh.
Vì 60 + 12 = 72 nên kết quả này thỏa mãn giả thiết về số bi của Tí không có quá 80 viên. è ĐA 60 đỏ; 12 xanh
Bài 3:  Cho 7 phân số:
Thăng chọn được hai phân số mà tổng có giá trị lớn nhất. Long chọn hai phân số mà tổng có giá trị nhỏ nhất. Tính tổng 4 số mà Thăng và Long đã chọn.
Bài giải:
Vậy ta sắp xếp được các phân số như sau :
Tổng hai phân số có giá trị lớn nhất là : 
Tổng hai phân số có giá trị nhỏ nhất là: 
Do đó tổng bốn phân số mà Thăng và Long đã chọn là:
Bài 4: 
Viết liên tiếp các số từ trái sang phải theo cách sau : Số đầu tiên là 1, số thứ hai là 2, số thứ ba là chữ số tận cùng của tổng số thứ nhất và số thứ hai, số thứ tư là chữ số tận cùng của tổng số thứ hai và số thứ ba. Cứ tiếp tục như thế ta được dãy các số như sau : 1235831459437......
Trong dãy trên có xuất hiện số 2015 hay không ?
Bài giải:
Giả sử trong số tạo bởi cách viết như trên có xuất hiện nhóm chữ 2015 thì ta có : 
2 + 0 = 2 ; mà số có chữ số tiếp theo ở đây là 1 (vô lí).
èVậy trong dãy trên không thể xuất hiện số 2015.
Bài 5: 
Tìm một số tự nhiên sao cho khi lấy 1/3 số đó chia cho 1/17 số đó thì có dư là 100.
Bài giải:
Vì 17 x 3 = 51 nên để dễ lí luận, ta giả sử số tự nhiên cần tìm được chia ra thành 51 phần bằng nhau. Khi ấy 1/3 số đó là 51: 3 = 17 (phần); 1/17 số đó là 51: 17 = 3 (phần). 
Vì 17: 3 = 5 (dư 2) nên 2 phần của số đó có giá trị là 100 
è suy ra số đó là: 100: 2 x 51 = 2550. 
Bài 6: 
Cho phân số: 
; Hỏi:
a) Có thể xóa đi trong tử số và mẫu số những số nào mà giá trị của phân số vẫn không thay đổi không?
b) Nếu ta thêm số 2010 vào mẫu số thì phải thêm số tự nhiên nào vào tử số để phân số không đổi?
Bài giải:
= 45 / 270 = 1/6
 Tính ra: .
a) Để giá trị của phân số không đổi thì ta phải xóa những số ở mẫu mà tổng của nó gấp 6 lần tổng của những số xóa đi ở tử. Khi đó tổng các số còn lại ở mẫu cũng gấp 6 lần tổng các số còn lại ở tử. à Vì vậy đổi vai trò các số bị xóa với các số còn lại ở tử và mẫu thì ta sẽ có thêm phương án xóa. 
xin giới thiệu một số cách (số các số bị xóa ở mẫu tăng dần và tổng chia hết cho 6):
Xoá ở Mẫu
Xoá ở tử
 12; 
2; 
 18
3 (hoặc 2 & 1 )
 24 (hoặc 11 & 13 )
4 (hoặc 3 & 1) 
 11 & 25
6 (hoặc 1 & 5 ); (hoặc 2 & 4) 
13 & 23; (hoặc 14 & 22) 
6 (hoặc 1 & 5 ); (hoặc 2 & 4 )
15 & 21: (hoặc 16 & 20) 
6 (hoặc 1 & 5 ); (hoặc 2 & 4)
11 +12 + 13
6 (hoặc 1 & 5 ); (hoặc 2 & 4
11 & 19 (hoặc 12 & 18 ); (hoặc 13 & 17)
5 (hoặc 1 & 4 ); (hoặc 2 & 3)
11 & 21; (hoặc 12 & 20 ); (hoặc 13 & 19)
5 (hoặc 1 & 4 ); (hoặc 2 & 3)
11 +12 & 19; (hoặc 11+ 13 & 18) 
7 (hoặc 1 & 6 ); (hoặc 2 & 5).
Các bạn hãy kể tiếp thử xem được bao nhiêu cách nữa?
Như vậy, có nhiều cách sao cho số (hoặc tổng các số) xoá di ở mầu là bội của 6; Còn tử thì xoá đi số là ước tương ứng.
b) Để giá trị phân số không đổi, ta thêm một số nào đó vào tử bằng 1/6 số thêm vào mẫu. èVậy nếu thêm 2010 vào mẫu thì số phải thêm vào tử là: 2010: 6 = 335.
Bài 7: 
Người ta lấy tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 30 để chia cho 1 000 000. 
Bạn hãy cho biết:
a) Phép chia có dư không?
b) Thương là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là bao nhiêu?
Bài giải:
a/ Xét tích A = 1 x 2 x 3 x ... x 29 x 30,
 trong đó các thừa số chia hết cho 5 là 5, 10, 15, 20, 25, 30; mà 25 = 5 x 5 do đó có thể coi là có 7 thừa số chia hết cho 5. Mỗi thừa số này nhân với một số chẵn cho ta một số có tận cùng là số 0. Trong tích A có các thừa số là số chẵn và không chia hết cho 5 là: 2, 4, 6, 8, 12, . . . , 26, 28 (có 12 số). 
à Như vật trong tích A có ít nhất 7 cặp số có tích tận cùng là 0, do đó tích A có tận cùng là 7 chữ số 0.
b/ Số 1 000 000 có tận cùng là 6 chữ số 0 nên A chia hết cho 1 000 000 và thương là số tự nhiên có tận cùng là chữ số 0.
Bài 8: 
Cho A = 2004 x 2004 x ... x 2004 (A gồm 2003 thừa số) 
 và B = 2003 x 2003 x ... x 2003 (B gồm 2004 thừa số). 
Hãy cho biết A + B có chia hết cho 5 hay không? Vì sao?
Bài giải: 
A = (2004 x 2004 x ... x 2004) x 2004 = C x 2004 (C có 2002 thừa số 2004). 
C có tận cùng là 6 nhân với 2004 nên A có tận cùng là 4 (vì 6 x 4 = 24).
B = 2003 x 2003 x ... x 2003 (gồm 2004 thừa số) 
 = (2003 x 2003 x 2003 x 2003) x ... x (2003 x 2003 x 2003 x 2003). 
Vì 2004 : 4 = 501 (nhòm) nên B có 501 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 thừa số 2003. Tận cùng của mỗi nhóm là 1 (vì 3 x 3 = 9 ; 9 x 3 = 27 ; 27 x 3 = 81). Vậy tận cùng của A + B là 4 + 1 = 5. 
è Vậy A + B chia hết cho 5.
Bài 9: 
Cho băng giấy gồm 13 ô với số ở ô thứ hai là 112 và số ở ô thứ bảy là 215.
Biết rằng tổng của ba số ở ba ô liên tiếp luôn bằng 428. Tính tổng của các chữ số trên băng giấy đó.
Bài giải: 
chia các ô thành các nhóm 3 ô, mỗi nhóm đánh số thứ tự như sau:
Tổng các số của mỗi nhóm 3 ô liên tiếp là 428. Như vậy ta thấy các số viết ở ô số 1 là 215, ở ô số 2 là 112, ở ô số 3 là :
428 - (215 + 112) = 101.
è Ta có băng giấy ghi số như sau:
Tổng các chữ số của mỗi nhóm 3 ô là:
2 + 1 + 5 + 1 + 1 + 2 + 1 + 0 + 1 = 14.
è Có tất cả 4 nhóm 3 ô và một số ở ô số 1 nên tổng các chữ số trên băng giấy là : 
 14 x 4 + 2 + 1 + 5 = 64. 
Bài 10: Tìm các chữ số a và b thỏa mãn : 
Bài giải:
Vì 1/3 là phân số tối giản nên a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3.
Giả sử a chia hết cho 3, vì 1/a 3 mà a < 10 do đó a = 6 ; 9.
 è Vậy a = b = 6.
PHH sưu tâm & chỉnh lí 10/ 2015