Tuyển tập 42 Hệ phương trình Ôn thi Đại học 2015

Hệ Phương Trình 
Ôn Thi ĐẠI HỌC 
2015 
Tác giả : Nguyễn Thế Duy 
Lời nói đầu : Cũng như tiêu đề của bài viết , thì ở bài viết này gồm 42 hệ phương trình vô tỷ ôn thi 
ĐẠI HỌC năm 2015 gồm : 
1) Phần I. Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số. 
2) Phần II. Các bài toán sử dụng phương pháp đánh giá. 
3) Phần III. Phân tích hướng đi hai bài toán Khối A và Khối B năm 2014. 
Toàn bộ các bài toán dưới đây là do sưu tầm trên các mạng xã hội và lời giải là do tác giả của bài viết 
Nguyễn Thế Duy trình bày. Hi vọng và mong muốn các bạn có được nhiều phương pháp giải hệ cũng 
như những phương án đối mặt khi gặp nó để biến bài toán hệ phương trình trở nên đơn giản hóa và 
giải quyết nó một cách dễ dàng. 
Phần I. Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số. 
Bài toán 1. Giải hệ phương trình :  
2 2
2 2 2
2 1
,
1
1 2
x y
xy x y xy x y
x y x x
x y
 
   
     
 
 Lời giải. Điều kiện : 0 ; 0x y xy   
Phương trình đầu của hệ phương trình được viết lại thành : 
   
     
2 2
2 2
2 12 1 2
0 2 0
1 1 2 1 1
0
0
x y xy x y
xy x y xy xy x y
x y x y x y x y
x y x yxy x y
   
      
 
       
    
    
 Với 1x y  thế xuống phương trình hai chúng ta có : 
2
2 7 1 7
3 33 4 1 0
2 7 1 7
3 3
x y
x x
x y
  
  
   
  
  

 Với   2 2x y x y    thế xuống phương trình hai chúng ta có : 
 
2
2 2 2
2 22 2
1 11
1 2 2 1 0
01
x x
x x x y x ptvn
yx yx y
   
            
   
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm :   2 7 1 7 2 7 1 7, ; ; ;
3 3 3 3
x y
      
    
   
   
  
Bài toán 2. Giải hệ phương trình : 
   
 
3 3 2
2
3 6 3 4 0
,
1 1 6 6 5 12
x y x x y
x y
x y x y x x y
      

       
 Lời giải. Điều kiện : ; 1x y   
Phương trình một tương đương với : 
   
3
3 2 3 33 6 4 3 1 3 1 3 1x x x y y x x y y y x              
Thế vào phương trình hai ta được : 
Tuyển tập 42 Hệ phương trình ÔN THI ĐẠI HỌC 2015 
Tác giả : Nguyễn Thế Duy 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
   
       
 
2
2
1 2 6 7 7 12
1 2 2 6 7 3 2 8
1 6
2 4 0
2 2 7 3
x x x x x x
x x x x x x
x x
x x
x x
       
          
  
      
    
Do 2x  nên 
2 0
6 0
x
x
  

 
 suy ra : 
1 6 2 2 6 6 1
4 0
2 22 2 7 3 2 2 7 3 2 2
x x x x x x
x
x x x x x
       
          
            
Từ đó suy ra    , 2, 3x y  là nghiệm duy nhất của hệ phương trình  
Bài toán 3. Giải hệ phương trình :  
2 2
2 2
2 1 3 2
,
4 4 6 3 2 0
x xy x x y y x y
x y
x y xy x y
         

     
 Lời giải. Điều kiện : 2 22 1 0 ; 3 0x xy x x y y       
Xử lý phương trình hai chúng ta có : 
   2 2
2 1
4 4 6 3 2 0 2 1 2 2 0
2 2
y x
x y xy x y x y x y
y x
  
             
 
 Với 2 2y x  thế xuống phương trình hai thì : 
   
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2 2
3
4 1 4 2 3 3
4 1 4 2
1 1
4 1 4 2 2 4 1 3
0
2 4 1 3 1 1
4 4 1 3 1
x x x x x x
x x x x
x x x x x x x
x x
x
x x x x x
x x x x
       
    
           
 
       
   
 Với 2 1y x  thế xuống phương trình hai thì : 2 24 1 4 3 2 3 1x x x x      . Ý 
tưởng giải tương tự trường hợp trên ta được 
2
3
x  
Do đó hệ phương trình có nghiệm     2 1, 1, 0 ; ,
3 3
x y
 
  
 
  
Bài toán 4. Giải hệ phương trình : 
   
   
 
2
2
,
1 4
xy x y xy x y y
x y
x y xy x x

     

     

 Lời giải. Điều kiện :    , 0 ; 2 0x y xy x y xy     
Chúng ta có : 
         
   
       
2 2 0
2
2 10 0
2 2
xy x y xy x y y xy x y xy y x y
x y
x y y xy x y y xy
x yxy x y xy y x yxy x y xy y
             
 
                 

Từ phương trình hai :  
2
2 4 41 1 2 2
1 1
y xy x x x x
x x
 
           
  
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Hay nói cách khác : 
   
2 1
2 0 0
2
y xy
y xy
x yxy x y xy y
 
     
   
Do đó từ phương trình một 0x y  suy ra thế xuống phương trình hai ta được : 
3 2
10
1 172 3 4 0
2
x yx y
x x x x y
     
       
Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể trên  
Bài toán 5. Giải hệ phương trình : 
   
 
2 2
2 2
2 1 2 2 6 2
,
1 5
x xy y y
x y
x y y
      

   
 Lời giải. Điều kiện : 1 ; 2xy y    
Cộng chéo theo vế của hệ phương trình ta được : 
   
   
   
2 22 2
2 2 2 2
5 2 1 2 2 6 2 1
5 2 1 2 2 7 2 2 2 2
1 2 1 1 2 1 0
1 1
1 0 1 1 0
1 2 1 2
x xy y y x y y
x xy y y x y xy y
xy y y xy xy y xy y
xy y
xy y xy y
xy y xy y
          
           
              
  
          
       
Với 1xy y  kết hợp với phương trình hai chúng ta có : 
       
2 2
1
1 1
1 5 , 2,1 ; 1 2, 1 ; 2 1,
2 2 21 ; 2
xy y
x y y x y
xy y
  
    
             
       

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể trên  
Bài toán 6. Giải hệ phương trình : 
   
 
 
2 22 4 3 4 1 3 1 2
,
1 2 2 1
y xy y x y y x
x y
y y x y x
       

     

 Lời giải. Điều kiện : 1 ; 2y y x  
Bình phương phương trình hai ta được :         12 1 2 1 1 2
4
y y x y y x       
Phương trình một được viết lại thành :        22 3 1 4 1 3 1 1 2y y x y y y y x        
Từ hai điều trên suy ra : 
 
 2
2
1 3
2 3 1 2 1 1 2 1 3 1 524 1
4
y
y y y y y y y
yy
  
            
  
  
Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm   41 5 23, , ; , 2
72 4 24
x y
   
    
   
 
Bài toán 7. Giải hệ phương trình : 
 
 
3 1 2 2 1 8
,
5 2 9
x y x y x y
x y
x x y y
      

   
 Lời giải. Điều kiện : ; 2 1x y y  
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Đặt 
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2 1
2 1 3 2 2
2 1
, 0 9 4 4
a x y x a b
x y a
b y x y b a
y b
a b x y a b
     
     
         
      

 khi đó hệ phương trình trở thành : 
   
   
2 2 2 2
2 2 2 22 2
2 1 12 1 2 1 8
12 1 2 1 82 1 4
a b aa b a b a b
ba b a b a ba a b
            
   
          
Do đó suy ra : 
1 2
2 1 1 1
x y x
y y
    
 
    
 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình  
Bài toán 8. Giải hệ phương trình : 
   
 
       

   
2 2
1 1 2
,
8 8 8
y x y x y y x
x y
x y y x
 Lời giải. Điều kiện :   0x y và  8x 
Đặt 
  
  

2 2
a x y
a b x
b y
 khi đó phương trình một của hệ phương trình trở thành : 
                    2 2 2 21 1 2 1 1 2 0b a a b a b a b a b 
Phương trình hai của hệ phương trình được viết lại thành : 
   
 
          
            
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
8 8 8 8 16 8 64 8
2 8 8 0 8 0 8
x y y x x y x y y x
x x y y x y x y
 Với 
 

 
2
1
8
a
x y
ta có : 
        
   
        
2 2
1 1 4,5
3, 58 1 8
x y x y x
yx y y y
 Với 
 

 
2
1
8
b
x y
ta có : 
    
 
   
2
1 3
18
y x
yx y
 Với        2 0 2 0a b x y y phương trình vô nghiệm vì    0x y y 
Kết hợp với điều ta được nghiệm của hệ phương trình là    
 
  
 
9 7
, 3,1 ; ,
2 2
x y  
Bài toán 9. Giải hệ phương trình : 
 
 
 
     

       
2
2 2
2 4
,
8 4 1 4 1
x y x y xy
x y
xy x y x y x y y x
 Lời giải. Điều kiện : , 1x y 
Phương trình một được viết lại thành :          2 24 2 4 2 1x y x y xy x y xy 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 
 
 
 
    
        
   

2
2 2
2
2 2 1 4 4
4 1 4 1 4 8
2 2 1 4 4
x y x y
x y y x x y x y
y x y x
Từ điều trên và kết hợp với phương trình hai đa được : 
                          2 28 2 4 8 6 2 16 12 2xy x y x y x y x y xy x y x y 
Từ  1 và  2 suy ra :                     
2
4 12 16 0 4 0 4x y x y x y x y x y 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 
  


    
  

2 1
2 1 2
4
x y
y x x y
x y
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình  
Bài toán 10. Giải hệ phương trình :  
      

  
2
2 1 5
,
2
x y y x y
x y
y xy y
 Lời giải. Điều kiện :   0x y 
Đặt 
  
    
 
2 2 1
2 1
a x y
a b x y
b y
, khi đó phương trình một trở thành :    2 2 4a b a b 
Từ cách đặt, ta có : 
   
     
              
    
2
2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 2 2 12 12 1
a x y x y a
a b a b x y x y y xy y y
y bb y
Mặt khác , từ phương trình hai :   22 2 2 4xy y y nên suy ra   2 2 2 2 3a b a b . 
Do đó ta có hệ phương trình : 
      
    
    
2 2
2 2 2 2
4 2
1
13
a b a b x
a b
ya b a b
 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu  
Bài toán 11. Giải hệ phương trình : 
 
 
 
       

     
2
2 2
1
,
3 2 2 3 1 0
x y y y x y x xy y
x y
x y x x x y
 Lời giải. Điều kiện :   1x y 
Đặt 
  


a x y
b y
khi đó phương trình một trở thành : 
                         
2
1 1 1 1 1ab a b ab a b ab a b a b a b ab a b 
Với   1ab a b ta có : 
     
 
                
 
2 2
1
1 1 1 1 1 0
1
y
xy y x y y xy y x x y y y
x y
Đặt      21 0 1t y y t thế xuống phương trình hai chúng ta có : 
       
 
 
 
   
             
   

2
2 2 2 2
1 1 2
1 3 2 2 3 0 1 3 1 2 0
1 1 1
x y
x t x x x t t x t x
x y
TH1. Với  1y thế vào phương trình   ta có :  1x hoặc  2x 
TH2. Với   1x y thế vào phương trình   ta có : 
                       
3 2
1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 0 1y y y y y y y 
                   
3 2
1 1 1 1 1 1 2 1 1 0y y y y y vô nghiệm vì  0VT 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm      , 1,1 ; 2,1x y  
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài toán 12. Giải hệ phương trình : 
 
 
 
     

      
3
3 2 2 2
2 1 2 1
,
2 2
y y x y y
x y
y y y y y x y y x
 Lời giải. Điều kiện : x y . Khi đó phương trình hai có dạng : 
 
   
       
    

2 1
2 0
2
y y x y
y y x y y y x y
y y x y
Xử lý phương trình một chúng ta được : 
     
  
       
    
2
2
1
1 1 2 1 0
1 2
y
y y y y x y
y y x y
 Với  1y thế xuống phương trình hai suy ra  0x 
 Với     2 1 2y y x y ta có : 
1. Hệ phương trình : 
   
           
 
      
2 2
2
1 2 1 2
2 1 02 2 2
y y x y y y x y
y y yy y x y
2. Hệ phương trình : 
           
 
        
2 2
3 2
1 2 1 2
3 4 02 2 4
y y x y y y x y
y y yy y x y
Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ phương trình ban đầu thỏa mãn điều trên  
Bài toán 13. Giải hệ phương trình : 
   
 
      

     
2 2
1 1 9
,
2 4 17
x x y x y x
x y
x x x xy xy y
 Lời giải. Điều kiện : x y và  0x 
Đặt 
  


a x y
b x
khi đó phương trình một trở thành :       2 21 1 9a b b a 
Mặt khác phương trình hai được biểu diễn dưới dạng : 
            
2 2
2 2 22 2 21 2 21x xy x y ab a b 
Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương 
 
   
    

    
2 2
9
2 21 2
ab a b a b
ab a b ab
Đặt 
  


t a b
u ab
, do đó ta có : 
 
 
 
        
   
           
2 22 2
9 1 9 2
32 21 2 2 21 2
ut t t u u
tu t u u t u
Vậy nên  ,x y x là nghiệm của phương trình : 
     
      
       
2
1 1 4
3 2 0
2 3 3
X x x
X X or
X y y
Dựa vào điều kiện kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm       , 1, 3 ; 4, 3x y  
Bài toán 14. Giải hệ phương trình :  
3 3 2 2
3 2 33
3 3 3
,2 1
3 36 1 27
x y x y xy x y
x yx
x y x y
x
     

 
   

 Lời giải. Điều kiện : ,x y  
Chúng ta có : 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
   
   
3 3 2 2 2 2
2 2 2 2 3 3
3 3 3 3 3 0
3 1 0 3 9 27
x y x y xy x y x y x y x y
x y x y x y x y x y
          
          
Thế vào phương trình hai ta được : 
 
   
   
       
   
         
3 33 2 6 3 2 3 2 6 3 2 2
2 2
2
2 2
3 36 3 2 6 3 2 2 2
2
2 2
3 36 3 2 6 3 2 2 2 2
3 4 1 2 3 3 1 2
1 3 1
1 3 1
2 2
1 3 1 0
2 2 0
x x x x x x x x x x x x x
x x x
x x
x x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x x ptvn
             
  
   
       
   


         

Do đó hệ phương trình có nghiệm là :   1 1 1 1 1, 1, ; , ; ,
3 3 3 3 3 3 3
x y
    
       
     
 
Bài toán 15. Giải hệ phương trình : 
   
   
 
4 2 2 3 22 16 2
,
2 1 2 11
x x y y x
x y
x y x x y
   

     
 Lời giải. Điều kiện : 0 ; 11 0x x y    
Phương trình một đã cho trở thành : 
   
     
6 4 2 3 2 3 6 3 2 2 2
2 4 2 2 2 2 2 2
2 16 2 2 8 2 0
2 2 2 4 2 0 2
x x y y x y x y x y x y
x y x x y y x y x y x y
       
        
Với 2 2x y thế xuống phương trình hai chúng ta có : 
   
   
2 2
2 2
2
2 1 2 22 0
2 3 1 2 22 5
1 31
1 3 0
1 2 22 5
x x x x x x
x x x x x
x xx
x x
x x x
       
        
 
     
   
Mặt khác : 
 
2
2 2
3 1 2 22 4 1
3 3 0 0
1 12 22 5 2 22 5
x x x
x x x
x xx x x x
   
        
      
Do đó 
1
1
2
x y   là nghiệm duy nhất của hệ phương trình  
Bài toán 16. Giải hệ phương trình : 
   
2
2 2
1 2 0
,
2 3 2 0
y x y x x xy
x y
x y xy x
      

    
 Lời giải. Điều kiện : 2x y 
Xét phương trình một , ta có : 
       
       
2 21 2 0 1 2 1 1 1
1 1 2 1 2 1 2
y x y x x xy y x y y x x y
y x x y x x y x x y
              
           
Mặt khác , từ phương trình hai :  
2
3 2 0 0x x y x      hay 1 2 0x x y    suy ra 
2 21 1 2 2 2 2
x y
y x x y x y x y
x y xy x y
 
          
   
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Kết hợp với phương trình hai ta được : 
2 2
2 2
2 2
2
2 3 2 0
0
; 2
x y xy x y
x
x y xy x
y
x y x y
    
  
      
  

Vậy    , 2, 0x y  là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu  
Bài toán 17. Giải hệ phương trình : 
   
     
 
2
2 2 2 2
1 1 1 2
,
4 1 6 5 1 1 1 1
y x y
x y
x y x x x y
     

           
 
 Lời giải. Điều kiện : 2 1 ; 1x y  
Đặt 
2 22
2
11 0
11 0
x aa x
y bb y
      
 
     
 hệ phương trình đã cho trở thành : 
 
   
   
2 2 3 2 3
3 2 2 3 2 2 3 22 2
22 3
2 33 2 2 3 2 3
2 2 2
4 6 5 4 3 3 54 5 6 5 1
32 33 0
127 5 3 0 2
a b b ab b ab b
a ab a b a ab ab b a ba b a a ab
a bab b aa b a b
bab ba ab a b b ab b
         
   
              
         
      
          
Với 
3
1
a
b
 


khi đó ta có :      
2 21 3 10
, 10,2 ; 10,2
21 1
x x
x y
yy
    
    
   
 
Bài toán 18. Giải hệ phương trình : 
   
 
 
3
2 3 3 2
2 2 1
,
8 8 2 3 8 2 3 1
x x y x y y y
x y
x y x y y x x
     

      

 Lời giải. Điều kiện : 0 ; 0x y y   
Từ phương trình một chúng ta có : 
     
     
2 2 22 2 2 2 0
2 0 1
2 02
2
x x y x y y y x xy y x y y
x y
x y
x y x y
x yx y y
x y y
           
 
 
              
Mặt khác với điều kiện : 0 ; 0x y y   thì 
1
0
2
x y y
x y y
   
 
 nên   vô nghiệm 
Với 0x y  thì phương trình hai trở thành : 
   
 
 
2 2
2 2 2
2
2
8 8 3 8 2 3 1 4 2 3 1 2 1
1
3 132 2 3 1 1 4
12 2 3 1 4 1 7 1
4
x x x x x x x x x
xx x
x x x x
          

    
  
        
Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm :   3 13 3 13 7 1 7 1, ; ; ;
4 4 4 4
x y
      
    
   
   
  
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Bài toán 19. Giải hệ phương trình : 
 
 
2
2
1 1
,
2 1 1 0
x y x x x y
x y
x x y y x

      

     
 Lời giải. Điều kiện : 1 ; 1 0x x y x     
Đặt 21 0 1t x x t      khi đó phương trình một trở thành : 
 
 
       
2 2 2 2 2 2
22
2 2
1 1 1 1
1 1
0 0
1 1 1 1
t t y t t y t t y t t y
t t y t y t
y t y t y t y t
t t y t t t y t
              
     
         
         
Từ phương trình hai chúng ta có : 
   
2
2 21 1 1 0 0 0;1 0x y y x y y y y t                
Do đó suy ra được :    21 1 1 0y t t t y t        hay nói cách khác từ phương trình một 
ta có : 1y t y x    thế xuống phương trình hai thì : 
   
   2 32
1 0 1 0 5 5 5 1
, 1, 0 ; ,
2 22 1 01 0
y x y x
x y
y yy y y y
           
               
Do vậy hệ phương trình có nghiệm kể trên  
Bài toán 20. Giải hệ phương trình : 
 
 
 
3 4 3 2 2
,
5 2 4 0
y y x x x
x y
x y x y y
      

     
 Lời giải. Điều kiện : ; 2x y x  
Đặt 2 2
0
a x y
a b y
b x y
  
  
  
 khi đó phương trình hai trở thành : 
   
     
2 25 4 0 1 5 4
1 1 4 4 4
a b a b a b b b
a b b b a b x y x y
         
            
Mặt khác , xét phương trình một chúng ta có : 
   
   
   
3
3 2
3
3
3
2 4 2 3 2 2
2 3 2 4 2 2
2 1 2 1 2 1
y y x x x
y y x x x
y y x x y x
       
        
           
Do đó hệ phương trình ban đầu trở thành : 
   
 
2 2
22 2 2 2
4 2 2 2 2 1 2 1 2
1 2 2 1 0 2 1 0
2 31 3 3 1 3 3
22 1 02 1 0 2 1 0
x y x y x y x y y y y y
y x x y x y
y xy y y y y y y y
yx yx y x y
                    
   
              
                
      
               
Kết hợp với điều kiện , hệ phương trình có nghiệm duy nhất    , 3,2x y   
Bài toán 21. Giải hệ phương trình :  2 2
1 2
,
4 9 16 9 7 9
x y x x y
x y
x y xy x y
    

    
 Lời giải. Điều kiện : 1x y  
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Đặt 2 2 1
1
a x y
a b x
b y
  
   
 
khi đó chúng ta có :      2 21 1 2pt a b a b     
Với điều ta đã đặt thì 2 2 2a b xy y y x    mặt khác từ phương trình hai ta có : 
   
2
2 2 2 2
2 2
2 2
4 16 16 9 4 2 9
2 4 3 2 2 2 3
2 4 3 0 2 2 2 3 0
x x xy y y x x a b
x ab a b ab
x ab a b ab
        
     
  
       
Như vậy hệ phương trình đã cho trở thành : 
       2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 3 2 2 2 3 0
a b a b a b a b
or
a b ab a b ab
         
 
        
Giải hai hệ trên bằng phương pháp ẩn phụ cho ta nghiệm của hệ ban đầu là :      , 2,2 ; 2,1x y   
Bài toán 22. Giải hệ phương