Toán - Phương trình nghiệm nguyên

Bài 1:
Tồn tại hay không các số nguyên tố a,b,c sao cho: ab+2011=c
Bài 2:
Tìm 2011 số nguyên tố sao cho tích các số nguyên tố này bằng tổng các lũy thừa bậc 2010 của chúng
Bài 3: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
Bài 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
Bài 5 : Tìm các số nguyên không âm x, y sao cho :
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :
Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:
Bài 8: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì:
 A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + là số chính phương.
Bài 1:
ab+2001=c
Nếu c=2 loại
c>2 nên c lẻ hay ab chẵn
Suy ra a=2 do vậy 2b+2011 nguyên tố
Nếu b=2 suy ra 4+2011=2015 loại
Nếu b>2 nên b=2k+1→22k+1+2011≡0(mod3) loại
Vậy không tồn tại a,b,c thỏa đề
Bài 2: Gọi các số nguyên tố là a1,a2,...,a2011 (chú ý 2011P)
Suy ra a20111+a20112+...+a20112011=a1.a2....a2011
Nếu trong các số trên không có số nào là 2011 suy ra theo định lý Fermat nhỏ
Vt≡0(mod2011)
Do vậy 2011|VP nên có một số số chia hết cho 2011 và giả sử có k (k>0) số không chia hết cho 2011 với 0<k<2011
Suy ra áp dụng Fermat nhỏ VT≡k(mod2011) mà k<2011→k không chia hết cho 2011 do vậy k=0 suy ra a1=a2=...=a2011=2011
Vậy có các nghiệm là (a1,a2,...,a2011)=(2011,2011,...,2011)
Bài 3:
Viết thành phương trình bậc hai đối với x:
 (2)
Điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm nguyên là là số chính phương 
 (3)
 Giải (3) với nghiệm nguyên ta được 
Với y = 5 thay vào (2) được . Ta có: 
Với y = -3 thay vào (2) được . Ta có 
Đáp số: (-8 ; 5), (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3)
Bài 4
Điều kiện: 
Xét hai trương hợp:
Với x = 1 thì y =2.
Với thì 
Do đó:. Do nên có thể đặt x – 1 = với t nguyên dương.
Ta có: 
Kếtt luận: nghiệm của phương trình là: (1 ; 2), ( ; 2t) với t là số nguyên dương tùy ý.
 Bài 5
Nếu y = 0 thì x = 1 
Nếu y 1 thì từ phương trình đã cho ta suy ra y < x < y + 1, vô lí
Bài 6
Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thể giả sử Từ phương trình đã cho ta suy ra Suy ra 
 (1)
Vì là số vô tỉ nên từ (1) ta suy ra :
 x – y – z = 4yz – 12 = 0 yz = 3 y = 3, z = 1 và x = y + z =4
Đáp số : phương trình có 2 nghiệm là (4; 3; 1) và (4; 1; 3)
Bài 7 :
Giải:
Ta có: 
Bình phương hai vế rồi chuyển vế:
Bình phương hai vế rồi chuyển vế:
Bình phương hai vế:
Ta biết rằng với x nguyên thì hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Do nên không là số vô tỉ. Do đó là số nguyên và là số tự nhiên.
Ta có: 
Hai số tự nhiên liên tiếp và có tích là số chính phương nên số nhỏ bằng 0:
 = 0 
Suy ra: x = 0; y = 0 thỏa mãn phương trình đã cho.
Nghiệm của phương trình là (0 ; 0)
Bài 8:
đ