Toán học - Chuyên đề 1: Sự biến thiên của hàm số

ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
XuNha 1 
CHUYÊN ĐỀ 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ 
CÁC EM XEM BÀI GIẢNG TẠI 
https://www.youtube.com/watch?v=3lpYKfAHXR4&index=1&list=PLyaLUur87xViz0aKMBVUKOk
yvmzpFJQg9 
https://www.youtube.com/watch?v=Cbx8smX2cTg&index=2&list=PLyaLUur87xViz0aKMBVUKOky
vmzpFJQg9 
ĐIỀU CHỈNH NHỎ ÂM THANH ĐỂ DỄ NGHE HƠN 
“Biết cách học thì bớt cực nhọc” 
DẠNG TOÁN 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ 
Xét chiều biến thiên của hàm số nghĩa là tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho. Các 
em làm theo 3 bước sau: 
1. Định nghĩa: Gọi K là khoảng  ;a b hoặc đoạn  ;a b hoặc nửa khoảng    ; , ;a b a b và hàm 
số  f x xác định trên K. 
Hàm số  y f x đồng biến(tăng) trên K nếu
   1 2 1 2 1 2, :x x K x x f x f x     
Hàm số  y f x nghịch biến(giảm) trên K nếu : 1 2 1 2, :x x K x x      1 2f x f x  . 
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là hàm số đơn điệu trên K. 
2. Định lí 1: 
Cho hàm số  y f x có đạo hàm trên  ;a b . 
 Nếu    0, ;f x x a b    thì hàm số  f x đồng biến trên  ;a b . 
 Nếu    0, ;f x x a b    thì hàm số  f x nghịch biến trên  ;a b . 
2. Định lí 2: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K) 
Cho hàm số  y f x có đạo hàm trên  ;a b . 
 Hàm số  f x đồng biến trên  ;a b     0, ;f x x a b    và phương trình   0f x  
có hữu hạn nghiệm thuộc  ;a b . 
 Hàm số  f x nghịch biến trên  ;a b    0, ;f x x a b    và phương trình 
  0f x  có hữu hạn nghiệm thuộc  ;a b . 
3. Định lí 3: (mở rộng vùng đơn điệu) 
 Nếu hàm  f x đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng  ;a b và  f x liên tục trên nửa 
đoạn  ;a b thì  f x sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn  ;a b . 
 Nếu hàm  f x đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng  ;a b và  f x liên tục trên nửa 
đoạn  ;a b thì  f x sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn  ;a b . 
 Nếu hàm  f x đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng  ;a b và  f x liên tục trên đoạn 
 ;a b thì  f x sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên đoạn  ;a b . 
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
XuNha 2 
 Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số . 
 Bước 2: Tính đạo hàm 𝑦′, giải phương trình 𝑦′ = 0 tìm nghiệm. Và tìm các điểm mà 𝑦′ không xác định. 
 Bước 3: Vẽ bảng biến thiên xét dấu đạo hàm 𝑦′ và kết luận. 
BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI 
Bài 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau đây 
a)    3 22 7 1y x x x 
Tập xác định D  . 
Tính đạo hàm 23 4 7y x x    ; giải 
2
1
0 3 4 7 0 7
.
3
x
y x x
x
 
      
 

Bảng biến thiên 
 Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1  và 
7
;
3
 
 
 
. 
 Hàm số nghịch biến trên 
7
1;
3
 
 
 
. 
 b)    3 2
1
1
3
y x x x 
 Tập xác định D  . 
Tính đạo hàm 2 2 1y x x    ; giải 20 2 1 0 1y x x x        . 
 Bảng biến thiên 
Vậy hàm số đồng biến trên . 
c) 
3 2 1y x x x     
 Tập xác định D  . 
 Tính đạo hàm 23 2 1y x x     ; giải 0y   vô nghiệm 
 Bảng biến thiên 
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
XuNha 3 
 Hàm số nghịch biến trên . 
 d)   4 22 1y x x 
 Tập xác định D  . 
 Tính đạo hàm 34 4y x x   ; giải 3
0
0 4 4 0 1
1
x
y x x x
x

      

  
 Bảng biến thiên 
 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng  ; 1  và  0;1 . 
 Hàm số đồng biến trên từng khoảng  1;0 và  1; . 
e)   4 2
1 1
2
4 2
y x x 
 Tập xác định D  . 
 Tính đạo hàm 3y x x   ; giải 30 0 0y x x x       
 Bảng biến thiên 
 Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0 . 
 Hàm số đồng biến trên từng khoảng  0; . 
f) 



3
2 1
x
y
x
 Tập xác định 
1
2
\D
 
  
 
. 
 Tính đạo hàm 
 
2
7
0
2 1
y x D
x

    

 Bảng biến thiên 
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
XuNha 4 
 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng 
1
;
2
 
 
 
 và 
1
;
2
 
 
 
g) 
 


2
1
1
x x
y
x
 Tập xác định  \ 1D   . Tính đạo hàm 
 
2
2
2
1
x x
y
x

 

; giải 2
0
0 2 0
2.
x
y x x
x

        
 Bảng biến thiên 
 Hàm số đồng biến trên từng khoảng  ; 2  và  0; . 
 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng  2; 1  và  1;0 . 
h) 
22y x x  
Tập xác định  0;2D  . Tính 
2
1
2
x
y
x x

 

; 
giải 
2
2
0 21 2 0
0 0 1
11 02
xx x x
y x
xxx x
    
        
   
. 
Bảng biến thiên 
Hàm số đồng biến trên khoảng  0;1 . 
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng  1;2 . 
Bài 2: Chứng minh hàm số 
3 26 12 4y x x x    đồng biến trên . 
Hướng dẫn giải: D  . Tính đạo hàm 23 12 12y x x    
Ta có: 
3 0
0
0
a
y x
 
   
 
 và 0y  chỉ có 1 nghiệm 2x  . 
y đồng biến trên . 
Chú ý: Các em cũng có thể vẽ bảng biến thiên và kết luận. 
Bài 3: Chứng minh hàm số 
3 2 siny x x x    nghịch biến trên . 
Hướng dẫn giải: D  . Tính đạo hàm 23 2 cosy x x     
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
XuNha 5 
Ta có: 
2 23 2 2, 3 2 cos 2 cos 0, 0x x x x x x y x                    
y nghịch biến trên . 
Bài 4: Chứng minh hàm số 21y x  nghịch biến trên  0;1 . 
Hướng dẫn giải:  1;1D   . Tính đạo hàm 
21
x
y
x

 

2
2
1 11 0
0 0 0
001
xx x
y x
xxx
     
        
   
. 
Bảng biến thiên 
Từ bảng biến thiên ta suy ra đpcm. 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
a)
3 23 2   y x x b) 
3 23 3 2   y x x x 
c) 
4 34 10   y x x d)
3 1
1



x
y
x
e)
1
2
 

y x
x
 f)   23 3 2   y x x x 
Đáp số: 
a) Hàm số đồng biến trên  0;2 . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng  ;0 và  2; . 
b) Hàm số đồng biến trên . 
c) Hàm số đồng biến trên từng khoảng  ; 3  và  0; 3 . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng 
 3;0 và  3; . 
d) Hàm số đồng biến trên từng khoảng  ;1 và  1; . 
e) Hàm số đồng biến trên từng khoảng  ;1 và  3; . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng  1;2 và 
 2;3 . 
f) Hàm số đồng biến trên khoảng  3;0 . Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1 . 
Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau 
a)    
5 4
2 2 1y x x   b) 24y x  c) 2 1 3y x x    
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
XuNha 6 
d)
22y x x  e)  2cos , 0;y x x x    f) siny x x  
g)
2 20  y x x h)
2
1


x
y
x
Đáp số 
a) Hàm số đồng biến trên từng khoảng 
7
;
6
 
  
 
 và 
1
;
2
 
  
 
. Hàm số nghịch biến trên 
7 1
;
6 2
 
  
 
. 
b) Hàm số đồng biến trên  2;0 và nghịch biến trên  0;2 . 
c) Hàm số đồng biến trên 
1
;3
2
 
 
 
. 
d) Hàm số đồng biến trên  1;1 . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng  2; 1  và  1; 2 . 
e) Hàm số đồng biến trên từng khoảng 0;
6
 
 
 
 và 
5
;
6
 
 
 
. Hàm số nghịch biến trên 
5
;
6 6
  
 
 
. 
f) Không kết luận được về khoảng đồng biến, nghịch biến. 
g) Hàm số đồng biến trên  5; và nghịch biến trên  ; 4  . 
h) Hàm số đồng biến trên . 
Bài 3. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau 
a) 
3
2 1
3
x
y x x    b) 
4
22 2
4
x
y x   c) 
2 1
1



x
y
x
 d)
2
1


x
y
x
e)
2
3
1



x
y
x
 f) sin 2
2 2
  
     
 
y x x x g)  2sin cos2 , 0;  y x x x 
Đáp số 
a) Hàm số đồng biến trên . 
b) Hàm số đồng biến trên các khoảng  2;0 và  2; , nghịch biến trên  ; 2  và  0;2 . 
c) Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1  và  1;  . 
d) Hàm số đồng biến trên các khoảng  0;1 và  1;2 , nghịch biến trên  ;0 và  2; . 
e) Hàm số đồng biến trên 
1
;
3
 
 
 
, nghịch biến trên 
1
;
3
 
 
 
. 
f) Hàm số đồng biến trên ;
6 6
  
 
 
, nghịch biến trên ;
2 6
  
  
 
 và ;
6 2
  
 
 
. 
g) Hàm số đồng biến trên các khoảng 0;
6
 
 
 
 và 
5
;
2 6
  
 
 
, nghịch biến trên các khoảng ;
6 2
  
 
 
 và 
5
;
6


 
 
 
. 
DẠNG 2: BÀI TOÁN VỀ SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM BẬC BA: 
𝒚 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝒅 (𝒂 ≠ 𝟎). 
 Hàm 𝑦 đồng biến trên ℝ ⇔ 𝑦′ ≥ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ. 
 Hàm 𝑦 nghịch biến trên ℝ ⇔ 𝑦′ ≤ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ. 
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
XuNha 7 
 Dấu của tam thức bậc hai:  2( ) 0f x ax bx c a    
0
( ) 0,
0

    
 
a
f x x
0 0
( ) 0,
0 0
  
     
    
a a
f x x 
Chú ý: Nếu hệ số a chứa tham số thì ta phải xét 2 trường hợp a = 0 và a khác 0. 
BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI 
Bài 1: Tìm m để hàm số    3 23 6 1y x mx mx đồng biến trên . 
Giải : D 
23 6 6y x mx m    . 
Hàm số đồng biến trên 
2
3 00
0, 0 2
0 9 18 0
a
y x m
m m
 
         
    
. 
Vậy với 0 2m  thì hàm số đồng biến trên . 
Bài 2: Tìm tham số m để hàm số    3 2
1
1 3 4
3

     y x m x m x m nghịch biến trên ℝ. 
Giải: D . Tính đạo hàm  2 2 1 3y x m x m       
Hàm 𝑦 nghịch biến trên ℝ ⇔ 𝑦′ ≤ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ ⇔ {
𝑎 = −1 < 0 (𝑙𝑢ô𝑛 đú𝑛𝑔)
∆′= 𝑚2 − 𝑚 − 2 ≤ 0
⇔ −1 ≤ 𝑚 ≤ 2. 
Vậy 1 2m   thoả yêu cầu bài toán. 
Bài 3: Tìm tham số m để hàm 
3 23 5   y mx x mx nghịch biến trên tập xác định. 
Giải: Tập xác định 𝐷 = ℝ. Tính đạo hàm 29 2   y mx x m 
Hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ 𝑦′ ≤ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ ⇔  29 2 0, *    mx x m x 
Trường hợp 1 : Hệ số 9 0 0  m m thay vào (*) ta có 2 0 x (không thỏa với  x ) nên loại m=0. 
Trường hợp 2 : 0m . Ta có 
 
2
0
3 0
1 1
1 9 0
3 3
*
; ;
m
a m
mm

  
      
            
   
 ⇔ 𝑚 ≤ −
1
3
. 
Bài 4: Tìm m để hàm số       2 3 21 1 ( 1) 3 5
3
y m x m x x nghịch biến trên . 
Giải: D  . Tính đạo hàm    2 21 2 1 3     y m x m x . 
Hàm số nghịch biến trên      2 20, 1 2 1 3 0, *           y x m x m x x . 
 Trường hợp 1: 
2 1 0 1m m     . 
Với 1m  thay vào (*) ta có 4 3 0 x (không thỏa với  x ) nên loại m = 1. 
Với 1m   thay vào (*) ta có thì 3 0  (thỏa với  x ) nên nhận m = -1. 
 Trường hợp 2: 
2 1 0 1m m     . Khi đó: 
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
XuNha 8 
2
2
1 1
0 1 0
0, 1
0 2 2 4 0
2
m
a m
y x m
m m
m
  
    
          
        
không tồn tại m. 
Vậy m = -1 thì hàm số nghịch biến trên . 
Bài 5 : Tìm tham số m để hàm    3 2 2
2
2 2 5 5
3

      
m
y x m x m x m đồng biến trên tập xác định. 
Giải: Tập xác định 𝐷 = ℝ. Tính đạo hàm    22 2 2 2 5      y m x m x m 
Hàm số đồng biến trên ℝ    20 2 2 2 2 5 0, ,y x m x m x m x             (*) 
Trường hợp 1: Nếu 2 0 2m m     thay vào (*) ta có 1 > 0(𝑙𝑢𝑛 đú𝑛𝑔 𝑣ớ𝑖 ∀𝑥 ∈ ℝ) (nhận m = -2). 
Trường hợp 2: Nếu 2 m . Khi đó 
 𝑦′ ≥ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ ⇔ {
𝑎 = 𝑚 + 2 > 0
∆′= (𝑚 + 2)(−𝑚 − 3) ≤ 0
2m   . 
Kết hợp 2 trường hơp ta có 𝑚 ≥ −2 thỏa yêu cầu bài toán. 
Bài 6 : Tìm m để hàm số      
3
2 22 2 3 1
3
      
x
y m m x m x m đồng biến trên . 
Hướng dẫn giải: 
Hàm số xác định trên ,      2' 2 2 2 3 1     y m x m x m 
Hàm số đồng biến trên ℝ      20 2 2 2 3 1 0, ,y x m x m x m x             (*) 
Trường hợp 1: 2 m thay vào (*) ta có 7 0 (thỏa với x  ) nên nhận 2 m . 
Trường hợp 2: 2 m 
 
  
2 0 1
* 2
' 2 4 1 0 4
m
m
m m
 
     
    
. Kết luận: 
1
2
4
   m . 
Bài 7 : Tìm tham số a để hàm số:  3 2
1 1
sin cos sin 2
3 2
y x a a x x a    đồng biến trên . 
Hướng dẫn giải: 
Hàm số đồng biến trên ' 0, 1 sin 2 0 sin 2 1
4
y x a a a k

             
Bài 8: ĐH khối A-2013: Tìm m để hàm số 
3 23 3 1y x x mx     nghịch biến trên  0; . 
Cách giải 1: Dùng tam thức bậc 2. Tính đạo hàm 23 6 3    y x x m 
Tính ∆′= 9(𝑚 + 1). Xét 2 trường hợp 
Trường hợp 1: ∆′≤ 0 ⇔ 𝑚 ≤ −1. Ta có ∆′≤ 0 và hệ số 3 0  a nên hàm số nghịch biến trên ℝ. Suy ra 
hàm số cũng nghịch biến trên  0; . Vậy nhận 𝑚 ≤ −1. 
Trường hợp 2: ∆′> 0 ⇔ 𝑚 > −1. Phương trình 0 y có 2 nghiệm 1 21 1 , 1 1     x m x m . Vẽ 
bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng  1; x và  2;x . Vậy để hàm số nghịch biến 
trên  0; thì 2 0 1 1 0    x m (vô lí). Loại trường hợp 2. 
Vậy đáp số 𝑚 ≤ −1. 
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
XuNha 9 
Cách giải 2: 
Bài 9: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 
3 23 4   y x x mx đồng biến trên  ;0 . 
Hướng dẫn giải và đáp số 
Cách 1: Dùng tam thức bậc 2 
2' 3 6  y x x m có  ' 3 3  m . Xét 2 trường hợp: 
Trường hợp 1: ∆′≤ 0 ⇔ 𝑚 ≤ −3. Ta có ∆′≤ 0 và hệ số 3 0 a nên hàm số đồng biến trên nên hàm 
số cũng đồng biến trên  ;0 . Vậy 3 m thỏa đề bài. 
Trường hợp 2: ∆′> 0 ⇔ 𝑚 > −3. Phương trình 0 y có 2 nghiệm phân biệt  1 2 1 2, x x x x . Với 
   
1 2
3 3 3 3 3 3
,
3 3
     
 
m m
x x .Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng    1 2; , ; x x . Do 
đó hàm số đồng biến trên  
 
1 2
3 3 3
;0 0 0
3
  
     
m
x x (vô nghiệm m). 
Vậy 3 m . 
Cách 2: Khảo sát sự biến thiên hàm số 
   2 2' 3 6 0, ;0 3 6 , ;0            y x x m x x x m x . 
Khảo sát hàm số    23 6 , ;0   g x x x x . 
Bài 10: Tìm tham số m để hàm số    3 22 3 2 1 6 1 1     y x m x m m x đồng biến trên  2; . 
Hướng dẫn giải và đáp số 
Bài 11: Tìm tham số m để hàm số  3 22 3 6 1 4y x x m x m     nghịch biến trên  2;0 . 
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
XuNha 10 
Giải: Tính đạo hàm    2 26 6 6 1 6 1        y x x m x x m . Tính 4 3   m . 
Trường hợp 1: Nếu 
3
0 4 3 0
4
        m m . Khi đó, 
6 0
0,
0
 
 
 
a
y ∀x ∈ R. Suy ra hàm số 
nghịch biến trên nên cũng nghịch biến trên  2;0 . Nhận 
3
4
 m . 
Trường hợp 2: Nếu 
3
0
4
    m . Khi đó phương trình ' 0y có 2 nghiệm phân biệt 1 2,x x với 
   1 2
1 1
1 4 3 ; 1 4 3
2 2
         x m x m .Và hàm số nghịch biến trên  1 2;x x . 
Suy ra hàm số nghịch biến trên  2;0    1 2' 0, 2;0 2 0 *         y x x x 
   1
1
2 1 4 3 2 4 3 3 3 2
2
x m m m                
   2
1
0 1 4 3 0 4 3 1 1 3
2
x m m m              . Từ (2) và (3) và điều kiện 
3
4
m   thì 
3m   . 
Kết luận  
3
; 3 ;
4
m
 
     
 
. 
Bài 12: Tìm tham số m để hàm số    3 2 21 2 3 2 1y x m x m m x       đồng biến trên  0; . 
Hướng dẫn giải và đáp số 
Ta nhận thấy  2' 7 1 0m m     
Hàm số đồng biến trên    0; ' 0, 0; ' 0y x y        có 2 nghiệm 1 2 0x x  
   22 2
1 01 '
0 ' 1 1 2
3 7 1 5
mm
x m m
m m m
    
         
   
. 
HÀM BẬC BA ĐỒNG BIẾN(NGHỊCH BIẾN) TRÊN KHOẢNG CÓ ĐỘ DÀI k CHO TRƯỚC 
Phương pháp : 
Bước 1 : Tìm TXĐ. Tính yvà y (hoặc y ). 
Bước 2 : Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến) (1) 
Bước 3 : 
+ Gọi 1 2,x x lần lượt là hai nghiệm của phương trình 0y  . 
+ Biến đổi       
2
2
1 2 1 2 1 2
4x x k x x x x k
(2). 
Bước 4: Sử dụng định lý Vi-et biến đổi (2) thành phương trình theo tham số m rồi giải phương trình đó. 
Bước 5: Kết hợp kết quả ở Bước 2 và Bước 4 để kết luận. 
Định lý Vi-et :Cho phương trình bậc hai 2 0 ( 0)ax bx c a    có hai nghiệm 1 2,x x . Theo Vi-et ta có: 
1 2
1 2.
b
S x x
a
c
P x x
a

  

  

ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
XuNha 11 
Bài 13 : Tìm m để       3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 4. 
Giải: D  . Đạo hàm       2 2( 1) ( 3)y x m x m có 2 4 0,y m m m      
0y  luôn có hai nghiệm phân biệt 1x và 2x  1 2x x với mọi m . (1) 
Hàm số đồng biến trên đoạn  1 2;x x có độ dài 1 2x x . Áp dụng định lí Viet ta có : 
 1 2
1 2
2 1
. ( 3)
x x m
x x m
   

  
. 
Theo để bài ta có : 
     
 
                       
22
2
1 2 1 2 1 2
0
4 4 16 2 1 4 3 16 0
1
m
x x x x x x m m m m
m
(2). 
Từ (1) và (2) suy ra 0m  hoặc 1m  thoả yêu cầu bài toán. 
Bài 14 : Tìm m để hàm số 
3 23   y x x mx m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. 
Hướng dẫn giải 
Tập xác định 𝐷 = ℝ. Đạo hàm 23 6   y x x m . Tính 9 3  y m . 
Trường hợp 1 : Nếu 0 3   y m . Khi đó 
0
0,
1 0
 
 
 
y
y
a
 ∀𝑥 ∈ ℝ, suy ra hàm số đồng biến trên ℝ. 
Không thỏa đề bài nên loại 3m . 
Trường hợp 2 : Nếu 0 3   y m thì phương trình 0 y có 2 nghiệm phân biệt  1 2 1 2, x x x x . Hàm 
số nghịch biến trên đoạn  1 2;x x có độ dài 1 2x x . Áp dụng định lí Viet ta có : 1 2 1 22; .
3
   
m
x x x x . 
Theo giả thiết  
2
1 2 1 2 1 2
9
1 4 1
4
       x x x x x x m . Vậy kết luận 
9
4
m . 
Bài 15 : Tìm tham số m để hàm số 
3 23y x x mx m    nghịch biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1. 
Hướng dẫn giải 
Tập xác định 𝐷 = ℝ. Đạo hàm 23 6   y x x m . Tính 9 3  y m . 
Trường hợp 1 : Nếu 0 3   y m . Khi đó 
0
0,
1 0
 
 
 
y
y
a
 ∀𝑥 ∈ ℝ, suy ra hàm số đồng biến trên ℝ. 
Không thỏa đề bài nên loại 3m . 
Trường hợp 2 : Nếu 0 3   y m thì phương trình 0 y có 2 nghiệm phân biệt  1 2 1 2, x x x x . Hàm 
số nghịch biến trên đoạn  1 2;x x có độ dài 1 2x x . Áp dụng định lí Viet ta có : 1 2 1 22; .
3
   
m
x x x x . 
Theo giả thiết  
2
1 2 1 2 1 2
9
1 4 1
4
       x x x x x x m . Vậy kết luận 
9
4
m . 
DẠNG 3: BÀI TOÁN VỀ SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM NHẤT BIẾN: 𝒚 =
𝒂𝒙+𝒃
𝒄𝒙+𝒅
 (𝒂𝒅 − 𝒃𝒄 ≠ 𝟎) 
 Hàm 𝑦 đồng biến trên từng khoảng xác định ⇔ 𝑦′ > 0, ∀𝑥 ∈ ℝ\{−
𝑑
𝑐
}. 
(ĐẠO HÀM KHÔNG CÓ DẤU =). 
 Hàm 𝑦 nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ 𝑦′ < 0, ∀𝑥 ∈ ℝ\{−
𝑑
𝑐
} 
(ĐẠO HÀM KHÔNG CÓ DẤU =). 
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
XuNha 12 
BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI 
Bài 1 : Tìm m để hàm số 


1
x m
y
x 
đồng biến trên từng khoảng xác định 
Giải: \ 1D  . Tính đạo hàm 
 
2
1
1
m
y
x
 
 

. 
y đồng biến trên từng khoảng xác định 
 
2
1
0, 0, D 1 0 1
1
m
y x D x m m
x
 
              

. 
Vậy 1m   thoả yêu cầu bài toán. 
Bài 2 : Tìm tham số m để hàm số 
x m
y
x m



 giảm trên từng khoảng xác định. 
Hướng dẫn : Tập xác định 𝐷 = ℝ\{𝑚}. Tính đạo hàm 
 
2
2
 

m
y
x m
Hàm số giảm trên từng khoảng xác định ⇔ 𝑦′ < 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷 ⇔
−2𝑚
(𝑥−𝑚)2
< 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷 
2 0 0   m m . 
Bài 3: Tìm tham số m để hàm 
3 2mx m
y
x m
 


 đồng biến trên từng khoảng xác định. 
Hướng dẫn: Tập xác định 𝐷 = ℝ\{−𝑚}. Đạo hàm 
 
2
2
2 3 
 

m m
y
x m
. 
Hàm số đồng biến trên TKXĐ    20, 2 3 0 ; 3 1;             y x D m m m . 
Bài 4: Tìm tham số m để hàm 
3 2mx m
y
x m
 


 đồng biến trên  2; . 
Hướng dẫn: Tập xác định 𝐷 = ℝ\{−𝑚}. Đạo hàm 
 
2
2
2 3 
 

m m
y
x m
. 
Hàm số đồng biến trên    
 
20, 2 3 0
2; 0, 2; 1
2; 2
y x D m m
y x m
m m
       
          
     
. 
Bài 5: Tìm tham số m để hàm số 
4


mx
y
x m
 nghịch biến trên  ; 1  . 
Hướng dẫn: Tập xác định 𝐷 = ℝ\{−𝑚}. Đạo hàm 
 
2
2
4
 

m
y
x m
. 
Hàm số nghịch biến trên    
 
20, 4 0
; 1 0, ; 1 2 1
; 1 1
y x D m
y x m
m m
      
             
       
. 
Bài 6: Tìm tham số m để hàm số 
x m
y
x m



 giảm trên  2;3 . 
Hướng dẫn: Tập xác định 𝐷 = ℝ\{𝑚}. Đạo hàm 
 
2
2
 

m
y
x m
. 
ThS Đinh Xuân Nhân 098 4321 969 
XuNha 13 
Hàm số giảm trên    