Phát hiện và giải quyết các sai lầm của học sinh lớp 8 thường mắc phải khi giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

TÊN CHỦ ĐỀ : PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT CÁC SAI LẦM CỦA HỌC 
SINH LỚP 8 THƯỜNG MẮC PHẢI KHI GIẢI BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA 
THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
I) Lí do chọn chủ đề: 
Phân tích đa thức thành nhân tử là mảng kiến thức quan trọng trong quá trình học và giải toán, nó 
có vị trí then chốt để giải một số dạng toán khác liên quan, có ảnh hưởng nhiều tới quá trình học và giải 
toán ở những phân môn tiếp theo. Nếu học không tốt, thực hành không thành thạo sẽ dẫn đến hiện 
tượng học kém rồi sinh ra chán học sau này. Do vậy việc củng cố kiến thức, hướng dẫn học sinh phát 
hiện và khắc phục những sai lầm đối với học sinh lớp 8 là quan trọng và cần thiết. 
II) Mục đích, ý nghĩa: 
Giúp học sinh phát hiện những sai lầm trong quá trình giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân 
tử, chỉ ra các thiếu xót còn tồn tại trong quá trình thực hiện, tạo cơ sở, nền móng vững chắc để học tiếp 
các phần kiến thức có liên quan sau này. Giúp các em chủ động tự tin trong việc học toán. 
III) Một số nguyên nhân dẫn tới sai lầm thường gặp ở học sinh 
 Đổi dấu sai 
 Phân tích chưa triệt để 
 Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung 
 Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu 
 Nhóm các hạng tử chưa hợp lí 
 Đặt dấu ngoặc sai 
IV) Nguyên nhân: 
 Chưa nắm vững quy tắc đổi dấu 
 Chưa nắm vững quy tắc dấu ngoặc 
 Sự cẩu thả 
 Rỗng kiến thức nên lúng túng trong quá trình thực hiện 
V) Một số giải pháp: 
 Chỉ ra cho học sinh thấy những sai sót thường mắc phải 
 Có biện pháp củng cố kiến thức kịp thời các kiến thức cần thiết để tránh mắc những sai lầm lần 
sau 
 Nhắc nhở các em cần cẩn thận hơn trong quá trình thực hành 
VI) Những ví dụ điển hình: 
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử. 
Các sai lầm học sinh thường mắc phải : 
9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai ) 
= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) 
= (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai ) 
Sai lầm của học ở đây là: 
Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 
= (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) 
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: 
Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số và nhân tử chung của các 
biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất). Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một 
tích. 
Chú ý: Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách tổng quát, tích không đổi khi ta 
đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó). 
Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử. 
(BT- 28a)-SBT-tr6) 
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A2 – B2 
Các sai lầm học sinh thường mắc phải :(x + y)2 – (x – y)2 
= (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) 
= 0.(2x) = 0 (kết quả sai) 
Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc 
Lời giải đúng(x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] 
= (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy 
Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: 
- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu 
- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương của một hiệu. 
Khai thác bài toán: 
Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các em làm bài tập dưới dạng phức tạp hơn. 
- Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài toán 
Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (BT-44b)-SGK-tr20) 
- Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” bởi mũ “6” ta có bài toán 
Phân tích a6 –b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) 
Ví dụ 3:: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. (Bài 47-SGK-tr22) 
Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y) 
Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y ) 
Lời giải sai: x2 – xy + x – y = x2 – xy) + (x – y) 
= x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 0) x(x – y) 
Các sai lầm học sinh thường mắc phải : Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung (HS cho rằng ở ngoặc 
thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn lại là số 0) 
Lời giải đúng: 
x2 – xy + x – y = x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) 
* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức: 
Ví dụ 4: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. 
Lời giải sai: x-2 – 2x – 4y2 – 4y = (x
2 – 4y2) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) 
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) 
= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai) 
Các sai lầm học sinh thường mắc phải : 
Nhóm x-2 – 2x – 4y2 – 4y =(x
2 – 4y2) – (2x – 4y) (đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai) 
Lời giải đúng: x-2 – 2x – 4y2 – 4y = (x
2 – 4y2) – (2x + 4y ) 
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) 
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: 
Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại 
cách đặt dấu khi thực hiện nhóm. 
Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần chú ý cách nhóm và kiểm tra 
lại kết quả sau khi nhóm. 
Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử không 
thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại. 
Ví dụ 5: Phân tích đa thức x4 - 9x3 + x2– 9x thành nhân tử. ( ?2 -SGK-tr22) 
Các sai lầm học sinh thường mắc phải 
* x4 - 9x3 + x2– 9x = x(x3 - 9x2 + x– 9) (phân tích chưa triệt để) 
* x4 - 9x3 + x2– 9x (x4 - 9x3) +( x2– 9x) 
= x3(x – 9) + x(x – 9 ) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để) 
Lời giải đúng: x4 - 9x3 + x2– 9x (x4 - 9x3) +( x2– 9x) 
= x3(x – 9) + x(x – 9 ) = (x – 9)(x3 + x ) = x(x – 9)(x + 1 ) 
Ví dụ 6: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. (BT-39e - SGK-tr19) 
* Giáo viên gợi ý: 
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 (Đáp án: 2) 
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) 
(Đáp án: (x – y) hoặc (y – x)) 
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) hoặc (x – y) 
Cách 1: Đổi dấu tích - 8y(y - x) = 8y(x – y) 
Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x - y) = -10x(y - x) (Hs tự giải) 
Giải: 
 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) 
 = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y 
 = 2(x – y)(5x + 4y) 
Ví dụ 7: Phân tích đa thức 8x3 – y3 thành nhân tử (Cho Hs giải) 
* Giáo viên gợi ý: 
- Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào? (Đáp án: A3 – B3) 
* Lời giải sai: 8x3 – y3 = (2x)3 – y 3 = (2x – y)(2x2 + 2x . y + y2) 
* Sai lầm của học sinh: Thực hiện thiếu dấu ngoặc 
* Lời giải đúng: 8x3 – y3 = (2x)3 – y 3 = (2x – y)[ (2x)2 + 2x . y + y2] 
c) Nhận xét 
Giáo viên cho học sinh thấy được: 
- Các sai lầm dễ mắc phải: 
+ Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu 
+ Cho học sinh thấy được sự giống nhau và khác nhau của các dạng như hiệu hai bình phương và tổng 
hai bình phương, tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương để tránh nhầm lẫn. 
- Rèn kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà 
sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp. 
Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. (Bài tập 47a –SGK - tr22) 
* Giáo viên gợi ý: 
Cách 1: Nhóm (x2 – xy) và (x – y) 
Cách 2: Nhóm (x2 + x) và (– xy – y) 
* Lời giải sai: x2 – xy + x – y 
 = (x2 – xy) + (x – y) 
 = x(x – y) + (x – y) 
 = (x – y)(x + 0) (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1) 
* Sai lầm của học sinh: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung 
(HS cho rằng ở ngoặc thứ 2 khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn lại là số 0) 
* Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) 
 = x(x – y) + 1.(x – y) 
 = (x – y)(x + 1) 
Ví dụ 9: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử 
* Giáo viên gợi ý: Nhóm 3 hạng tử đầu với nhau 
* Lời giải sai: x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – 2y2 (Thiếu dấu ngoặc) 
 = (x – 1)2 - 2y2 (Không thể phân tích tiếp) 
* Sai lầm của học sinh: Thực hiện thiếu dấu ngoặc 
* Lời giải đúng: x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 
 = (x – 1)2 – (2y)2 
 = (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y) 
Ví dụ 10: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử. 
* Gợi ý: Nhóm hạng tử 1 và hạng tử 3, nhóm hạng tử 2 và hạng tử 4 
* Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y 
 = (x2 – 4y2) – (2x – 4y) (đặt dấu sai) 
 = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) 
 = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai) 
* Sai lầm của học sinh: 
Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2)-(2x – 4y)(đặt dấu sai ở ngoặc thứ 2) 
* Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) + (– 2x – 4y) 
 = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) 
 = (x + 2y)(x – 2y – 2) 
c) Nhận xét 
Qua các ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: 
- Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “–” hoặc dấu cộng “+” ở trước dấu ngoặc. 
- Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần chú ý cách nhóm và kiểm tra 
lại kết quả sau khi nhóm. 
Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử 
không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó có thể đã sai, phải thực hiện lại. 
Chú y: Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách tổng quát, tích không đổi khi ta 
đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó). 
Giáo án thực hành: 
Tuần: 7 
Ngày: .. 
TIẾT 14: LUYỆN TẬP 
1. MỤC TIÊU: 
 a. Kiến thức: Rèn luyện kỹ năng giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử. 
 b. Kỹ năng: Học sinh giải thành thạo loại bài tập phân tích đa thức thành nhân tử . 
 c. Thái độ: Giới thiệu cho học sinh phương pháp tách hạng tử, thêm bớt hạng tử. 
 2. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS 
 a . Giáo viên: Giáo án , bảng phụ. 
 b. Học sinh: Học và làm bài đã cho 
3. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY: 
a.Kiểm tr a bài cũ:(2Phút) 
 1) Câu hỏi: Nêu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 * Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta làm như thế nào? 
- Đặt nhân tử chung( nếu có thể) 
- Dùng hằng đẳng thức ( nếu có ) (3đ) 
- Nhóm nhiều hạng tử để mỗi nhóm có nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. 
b. Bài mới (NỘI DUNG LUYỆN TẬP) - (35 Phút) 
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS NỘI DUNG 
Bài tập 1 Gv đưa đề bài 
a) ? Nhận xét đặc điểm các nhân tử 
HS: x – y = -(y – x) 
? Ta có thể biến đổi (y – x)2 như thế nào? 
b) ? Các hạng tử của đa thức có gì đặc biệt 
HS: (x + y)2 – (x – y)2 cho dưới dạng một hằng 
đẳng thức 
? Hãy áp dụng hằng đẳng thức để thực hiện 
yêu cầu 
Bài tập 2 Gv đưa đề bài 
? Nhận xét các hạng tử của đa thức 
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử. 
a) 9x(x – y) – 10(y – x)2 
b) (x + y)2 – (x – y)2 
 Lời giải: 
a) Ta có: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 
= (x – y)[9x – 10(x – y)] 
= (x – y)(10y – x) 
b) (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] 
= (x + y – x + y)(x + y + x – y) 
= 2y.2x 
= 4xy 
Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. 
a) x2 – xy + x – y 
? Ta có thể vận dụng phương pháp nào để giải 
HS: Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử 
GV: Hãy thực hiện điều đó 
Bài tập 3: Gv đưa đề bài 
a) ? Nhận xét các hạng tử của đa thức 
? Ta có thể vận dụng phương pháp nào để giải 
HS: Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử 
? Có thể nhóm các hạng tử theo các phương 
án nào 
HS: ...... 
b) (x – y) và (y – x) có quan hệ thế nào? 
HS: (x – y) = - (y – x) 
? Ta có thể biến đổi (x – y) hoặc ( y – x) thế 
nào 
HS: đổi dấu (x – y) hoặc ( y – x) 
Bài tập 4: Gv đưa đề bài 
? Ta có thể vận dụng phương pháp nào để giải 
HS: Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử 
? Có thể nhóm các hạng tử theo các phương 
án nào 
HS: ...... 
?Hãy thực giải bài tập trên 
HS: thực hiện 
Có những đa thức ta không thể áp dụng được 
ngay các phương pháp đã học để phân tích 
thành nhân tử Có những đa thức ta phải tách 
hạng tử nào đó thì mới có thể phân tích được 
đa thức đó thành nhân tử, đó chính là nội 
dung bài 53 
Đây là 1 tam thức bậc 2 có dạng. 
a2 + bx + c 
a/ a = 1 , b= - 3 , c= 2 
 Lập tích : a.c = 1.2 = 2 
 Ta tách - 3x = - x - 2x 
 c/ Lập tích a.c= 1.6 
 6 = 1.6 = (- 1) . (- 6 ) = (- 2 ).(- 3) 
Vậy tổng quát lên ta có : 
 a2 + bx + c = a2 + b1x + b2x + c 
Phải có 
b) x2 – 2x – 4y2 – 4y 
Lời giải: 
a) x2 – xy + x – y = x2 – xy) + (x – y) 
= x(x – y) + 1.(x – y) 
= (x – y)(x + 1) 
b) x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x
2 – 4y2) – (2x + 4y ) 
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) 
= (x + 2y)(x – 2y – 2) 
Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. 
a) x4 - 9x3 + x2– 9x 
b) 10x(x – y) – 8y(y – x) 
Lời giải: 
a) x4 - 9x3 + x2– 9x = (x4 - 9x3) +( x2– 9x) 
= x3(x – 9) + x(x – 9 ) 
= (x – 9)(x3 + x ) = x(x – 9)(x + 1) 
b) 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) 
= 2(x – y).5x+2(x – y).4y 
= 2(x – y)(5x + 4y) 
Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) x2 – 2x – 4y2 – 4y 
b) x2 – 2x + 1 – 4y2 
Lời giải: 
a) x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) + (– 2x – 4y) 
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) 
= (x + 2y)(x – 2y – 2) 
b) x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 
= (x – 1)2 – (2y)2 
= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y) 
Bài tập 5: (Bài 53/ SGK- 24) Phân tích đa thức thành 
nhân tử 
Lời giải: 
a) x2 - 3x + 2 = x2 - x - 2x + 2 
= x( x - 1) - 2( x - 1) 
= ( x - 1)( x - 2 ) 
 * Cách 2:. x2 - 3x + 2 = x2 - 4 - 3x + 6 
= (x2 - 4) -(3x - 6) 
= (x - 2) ( x + 2 - 3 ) 
= ( x - 2 ) ( x - 1 ) 
b) x2 + x – 6 = x2 + x + 2 - 4 
 b1 + b2 = b 
và b1 . b2= a.c 
Đọc gợi ý trong SGK 
Ta nhận thấy x4 = ( x2)2 ; 4 = 2 2 
- 
=(x2 - 4) + (x + 2) 
= (x - 2)(x + 2) + (x + 2) 
= (x + 2)(x – 2 + 1) 
=(x - 2)(x - 1) 
c/ x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6 
= x( x +2)+ 3(x + 2) = ( x + 2 ) ( x + 3 ) 
c) Củng cố: 
GV: Vậy để phân tích đa thức thành nhân tử ta có các phương pháp sau: 
- Đặt nhân tử chung 
- Dùng hằng đẳng thức 
- Nhóm hạng tử 
- Phối hợp nhiều phương pháp 
- Tách hạng tử 
- Thêm bớt hạng tử. 
Chú ý: 
- Lưu ý quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích (một cách tổng quát, tích 
không đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó) 
- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số và nhân tử chung 
của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) 
- Nắm vững các hằng đẳng thức để vận dụng vào giải bài tập 
- Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử 
không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó có thể đã sai, phải thực hiện lại. 
- Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách tổng quát, tích không đổi khi 
ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó). 
d) Hướng dẫn học ở nhà: ( 2Phút) 
 - ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 - Làm các bài tập còn lại 
* Rút kinh nghiệm sau giờ dạy: 
- Về Thời gian ............................................................................................................................................... 
- Về Kiến thức : ............................................................................................................................................ 
- Về Phương pháp : .......................................................................................................................................