Ôn thi học sinh giỏi khối 9

THI HOC SINH GIOI LOP 9 MON DAI SO 
Nguyen Van Nho, soạn ngày 6.3.2017 (TG : 120 ph) 
Câu 1: 
a) Giải phương trình: 2 2
1 12 3 16 0x x
xx
   
       
   
. 
b) Tìm m để tổng các bình phương các nghiệm của phương trình sau đây nhỏ nhất: 
 2 2 1 4 3 0x m x m     . 
Câu 2: 
Tìm tập hợp các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa: 
2 2
3 2x 3x 11
1 3x 2x 5
xy
x
  

   
. 
Câu 3: 
Cho bốn số nguyên dương bất kì , , ,a b c d . Chứng minh rằng số 
a b c dA
a b c a b d b c d a c d
   
       
 không phải là một số nguyên. 
Câu 4. 
 Cho parabol (P): 2 y x và đường thẳng (d) đi qua điểm (0; 1)I và có hệ số góc là 
k . Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d). Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là 1 2;x x . 
 1) Tìm k để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung. 
2) Chứng minh rằng  3 31 2 2   x x k R . 
Câu 5. 
Giải hệ phương trình: 
2 3 2
4 2
1
(2 1) 1
     

   
x x y xy xy y
x y xy x
HD 
Câu 1. a) Đặt 1t x
x
  . Đáp số 
??
?
? ?
?
2
1
2
x
x
. 
b) Đặt điều kiện để pt đã cho có nghiệm. Để ý : 
 22 2 21 2 4 4 7 2 1 6 6A x x m m m         . 
Câu 2. Biểu thức y có nghĩa khi và chỉ khi 
? ??
? ? ??
? ? ??
? ? ? ? ? ??
2
2 2
3 2x 0
3x 11 0
1 0
1 3x 2x 5 0
x
x 2
2
3
2
11
3
1
1 0
3x 2x 5 0
x
x
x
x



  
 


  
   
1 1x    . 
Câu 3. Vì , , ,a b c d Z  nên 
a b c dA
a b c a b d b c d a c d
   
       
a b c d
a b c d a b c d a b c d a b c d
   
           
1 
Ta lại có 
, , 0
1
x y z
x
y
 




x x z
y y z

 

. Thật vậy, 1x
y
 x y  
xz yz  xy xz xy yz       x y z y x z    
x x z
y y z

 

. 
Từ đó: 
a a d
a b c a b c d


    
, 
 b b c
a b d a b c d


    
, 
 c a c
b c d a b c d


    
, 
 d d b
a c d a b c d


    
. 
Suy ra 2A  . 
Như vậy, 1 2A  , do đó A không phải là một số nguyên. 
Câu 4. 
 1) + Đường thẳng (d) có pt: 1y kx  . 
 + PT tương giao (d) và (P): 2 21 1 0x kx x kx       . (*) 
+ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x vì  2 4 0k k    . 
+ Trung điểm M của AB có hoành độ là 1 2
2 2
 

x x k
; 
M nằm trên trục tung  0 02

  
k k . 
 2) Theo ĐL Viết ta có: 1 2 ,x x k   1 2 1x x   . Khi đó : 
3 3 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )x x x x x x x x       = 
2
1 2 1 2 1 2. ( )x x x x x x   . 
Ta lại có 
  2 2 21 2 1 2 1 24 4x x x x x x k      
Từ đó : 3 31 2?x x = 
2 24( 1) 2k k   , k R . 
(Đẳng thức xảy ra khi k = 0). 
Câu 5. 
Ta có 
2 3 2
4 2
1
(2 1) 1
     

   
x x y xy xy y
x y xy x ? ?
2 2
22
( ) ( ) 1
1
? ? ? ? ? ??? ?
? ? ???
x y xy x y xy
x y xy
Đặt 
2a x y
b xy
  


. Hệ trở thành: 
2
1
1
a ab b
a b
  

 
 (*) 
Hệ 
3 2 2
2 2
2 0 ( 2) 0
(*)
1 1
a a a a a a
b a b a
         
     
Từ đó tìm ra  ( ; ) (0; 1); (1; 0); ( 2; 3)a b    . 
Với ( ; ) (0; 1)a b  ta có hệ 
2 0
1
1
x y
x y
xy
  
  

. 
Với ( ; ) (1; 0)a b  ta có hệ 
2 1
( ; ) (0; 1);(1;0);( 1;0)
0
x y
x y
xy
  
   

. 
Với ( ; ) ( 2; 3)a b    ta có hệ 
2
3 2
3 3
2
1; 3
3 2 3 0 ( 1)( 3) 0
y yx y
x yx x
xy x x x x x
                
          
. 
Kết luận: Hệ có 5 nghiệm  ( ; ) (1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3)x y     .