Ôn tập Hình học 10 - Chương 2: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng

§1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị tâm O. Xét góc nhọn a = . Giả sử M(x; y).
	sina = y (tung độ)
	cosa = x (hoành độ)
	tana = 	(x ¹ 0)	
	cota = 	(y ¹ 0)
	Chú ý:	– Nếu a tù thì cosa < 0, tana < 0, cota < 0.
	– tana chỉ xác định khi a ¹ 900, cota chỉ xác định khi a ¹ 00 và a ¹ 1800.
2. Các hệ thức lượng giác:
a) Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, hai góc phụ nhau
Góc phụ nhau
Góc bù nhau
b) Các hệ thức lượng giác cơ bản:
Chú ý:	.
3.Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:
00
300
450
600
900
1800
sina
0
1
0
cosa
1
0
–1
tana
0
1
||
0
cota
 ||	
1
0
||
4. Góc giữa hai véc tơ: 
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Ví dụ 1: Cho góc . Hãy tính 
Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có . Hãy tính các giá trị lượng giác của góc A.
Dạng 2: Biết giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị lượng giác của các góc còn lại
Ví dụ 1: Cho , với tính các giá trị lượng giác còn lại của x.
Ví dụ 2: Cho . Tính 
Dạng 3: Chứng minh các hệ thức về giá trị lượng giác
Phương pháp: 
Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác của một góc
Dựa vào tính chất tổng 3 góc trong một tam giác
Sử dụng các hệ thức lượng giác ở phần lý thuyết.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
Ví dụ 3: Chứng minh rằng biểu thức sau độc lập với x,y: 
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Hãy xác định điểm M, N, P, Q trên nửa đường tròn đơn vị sao cho: 
Bài 2: Hãy tính giá trị lượng giác của các góc ở câu 1.
Bài 3: Cho tam giác ABC, chứng minh:
	a) 	b) 
Bài 4: Cho ABC là tam giác đều, trọng tâm G. Hãy cho biết số đo và giá trị lượng giác của các góc sau:
	a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 5: Cho góc x với . Hãy tính giá trị của biểu thức 
Bài 6: Tính các giá trị hàm số lượng giác khác của góc biết :
	a) 	b) 
	c) 
Bài 7: Chứng minh các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	c) 
Bài 8: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc x
 Ghi chú: 
§ 1. Nguyễn Mộng Hy: 
§ 2. Trần Thành Minh: 
§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ
A. LÝ THUYẾT
1. Góc giữa hai vectơ
	Cho . Từ một điểm O bất kì vẽ . 
	Khi đó với 00 £ £ 1800.
	Chú ý:
	+ = 900 Û 	
	+ = 00 Û cùng hướng	
	+ = 1800 Û ngược hướng
	+ 	
2. Tích vô hướng của hai vectơ
	· Định nghĩa:	.
	Đặc biệt:	.
	· Tính chất:	Với bất kì và "kÎR, ta có:
	+ ;	 ;	
	 ;	 .
	+ ;	 ;	 .
	+ > 0 Û nhọn 	+ < 0 Û tù
 	 = 0 Û vuông.
	*) Công thức hình chiếu: Cho hai véc tơ bất kì . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, D xuống đường thẳng AB. Ta có công thức: 
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: Cho = (a1, a2), = (b1, b2). Khi đó: .
4. Ứng dụng của tích vô hướng: Cho = (a1, a2), = (b1, b2). Khi đó: 
	a) Tính độ dài của véc tơ: ;	
	Suy ra: Cho . Khi đó: 	.
	b) Tính góc giữa hai véc tơ: Chú ý: 	
5. Áp dụng:
Bài toán 1: Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn ( A, B cố định, k là hằng số)
Bài toán 2: phương tích của một điểm với một đường tròn.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai véc tơ
Phương pháp: Áp dụng công thức của định nghĩa
Chú ý: 
Xác định góc giữa hai véc tơ phai đưa hai véc tơ về chung gốc
Khi hai véc tơ cùng phương, phân biệt hai trường hợp góc của chúng bằng 0o hay 180o
Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính: 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Cạnh AB=5dm. Tính 
Dạng2: Chứng minh sự vuông góc và sự cùng phương bằng phương pháp tọa độ
Phương pháp:
Điều kiện vuông góc: 
Điều kiện cùng phương: , cùng phương 
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho 4 điểm A(-2;1), B(1;2), C(3;-4), D(0; -5). Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Ví dụ 2: Trong mp tọa độ cho hai điểm A(-1;2) và B(4,5; 3). Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Dạng 3: Các bài toán liên quan đến độ dài véc tơ, khoảng cách hai điểm, góc giữa hai véc tơ
Chú ý: Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A(0;3), B(-1;0), C(3;0)
Tính độ dài 3 cạnh của tam giác.
Tính góc lớn nhất của tam giác.
Ví dụ 2: Trong mp(Oxy) cho hai điểm B(-1;3), C(3;1). Tìm tọa độ điểm A sao cho ABC là tam giác vuông cân tại A. 
Dạng 4: Chứng minh các bài toán về véc tơ có liên quan đến tích vô hướng. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B cố định và M là điểm bất kỳ. Gọi H là hình chiếu của M lên AB và I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và A’, B’, C’theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng 
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, đường cao BB’ và CC’ cắt nhau tại H. Chứng minh rằng AH vuông góc với BC.
Dạng 5: Sử dụng công thức hình chiếu
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và . Tính 3 cạnh của tam giác.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức 
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có 3 đường cao là AA’, BB’, CC’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh: 
Dạng6: Chứng minh hệ thức giữa các độ dài
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có . Tính cạnh BC.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với trọng tâm G, BC=a, CA=b, AB=c.
Chứng minh rằng 
Tính AG theo 3 cạnh a,b,c.
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh bằng a. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có: 
Dạng 7: Tìm tập hợp điểm
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn:
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện:
Dạng 8: Tính phương tích, tính đoạn tiếp tuyến
Ví dụ 1: Cho 4 điểm A(-2;1), B(4;7), M(0;2), N(-3;-5). Tính phương tích của các điểm M, N đối với đường tròn đường kính AB.
Ví dụ 2: Cho 4 điểm A(-2;-1), B(-1;4), C(4;3), D(5;-2). Chứng minh rằng điểm M ở ngoài đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tính đoạn tiếp tuyến MT vẽ từ M đến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( T là tiếp điểm ).
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho ABC là tam giác vuông cân tại A có cạnh góc vuông bằng a.
Hãy tính và 
Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Hãy tính các biểu thức sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	
Bài 3: Tính với:
Bài 4: Hãy xác định giá trị của m để hai cặp véc tơ sau đây vuông góc
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm A(0;0), B(1;0). Hãy tìm điểm C để cho ABC là tam giác đều.
Bài 6: Trong mp tạo độ cho A(-1;1), B(3;2). Hãy tìm điểm C trên Ox có tọa độ nguyên sao cho tam giác ABC vuông tại C.
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là trung điểm của AB và G là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng OG vuông góc với CD.
Bài 8: Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng có giá trị không đổi, tính giá trị này.
Bài 9: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a có tâm O. Dùng công thức hình chiếu tính các tích vô hướng sau:
Bài 10: Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn: 
Bài 11: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng: 
Bài 12: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=4, AD=3 và điểm M thỏa mãn . Định k để hai đường thẳng AC và DM vuông góc.
Bài 13: cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AC; trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE=AB. Chứng minh rằng đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADE vuông góc với BC.
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A, D thuộc tia AC và AD=3AC và G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng 
Bài 15: Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng: 
Từ công thức trên suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc là 
Bài 16: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện:
Bài 17: Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng a. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện 
 Ghi chú: 
§ 1. Nguyễn Mộng Hy: 
§ 2. Trần Thành Minh: 
§3. CÁC HỆ THỨC TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
A. LÝ THUYẾT
Cho DABC có:	– độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
	– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc 
	– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc 
	– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
	– nửa chu vi tam giác: p
	– diện tích tam giác: S	
1. Định lí côsin
	;	;	
2. Định lí sin
3. Độ dài trung tuyến
	;	;	
4. Diện tích tam giác
	S = = 	
	 = = = (công thức Hê–rông)
	Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
	Cho DABC vuông tại A, AH là đường cao.
	· (định lí Pi–ta–go)	
	· ,	
	· ,	
	· 	
	· ; 
6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
	Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. 
	· Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD. 	
	PM/(O) = 	
	· Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT. 
	PM/(O) = 
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tính toán các yếu tố trong tam giác dựa vào các yếu tố đã cho
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có b=6, c=5 và . Tính a, sinA và diện tích tam giác ABC.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có . Tính cạnh AC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AC=100, , AB=96. Tính góc B của tam giác, biết rằng góc A nhỏ hơn 25o.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có 3 cạnh BC=a=7, AC=b=4, AB=c=2. Hãy tính 3 góc của tam giác.
Dạng2: Giải tam giác
Tương ứng với 3 trường hợp bằng nhau của tam giác, để giải tam giác ta có 3 trường hợp cơ bản:
Cho biết 3 cạnh (c.c.c)
Cho biết hai cạnh và góc xen giữa ( c.g.c)
Cho biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó ( g.c.g)
Các trường hợp còn lại ta đưa về 3 trường hợp trên.
Ví dụ 1: Giải tam giác ABC biết a=2,b=3,c=4.
Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết 
Ví dụ 3: Giải tam giác ABC biết 
Dạng 3: Chứng minh các biểu thức liên quan đén cạnh, góc, độ dài trung tuyến, đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp và diện tích tam giác.
Phương pháp: Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác thường, tam giác vuông và các công thức liên quan.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có: . Hãy suy ra các hệ thức tương tự.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng
Nếu thì 
Nếu thì và 
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC có . Tính cạnh b.
Bài 2: Cho tam giác ABC có . Hãy tính các góc A, B, C.
Bài 3: Cho một hình bình hành có hai cạnh 30 cm và 70 cm và có một góc bằng 65o. Hãy tính hai đường chéo của hình bình hành.
Bài 4: Một cái cọc cao 40m được đóng trên một triền dốc thẳng nghiêng với chiều ngang một góc 17o. Người ta nối một dây cáp từ đỉnh cọc đến cuối dốc. Tìm chiều dài của dây cáp cho biết đoạn đường từ đáy cọc đến cuối dốc bằng 72m.
Bài 5: Cho tam giác ABC có . Tính các cạnh và góc còn lại của tam giác ABC.
Bài 6: Cho tam giác ABC có . Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác.
Bài 7: Cho tam giác ABC có . Tính các cạnh và các góc còn lại của tam giác
Bài 8: Cho tam giác ABC có a=2,20 cm, b=1,30cm và . Hãy tính diện tích tam giác ABC.
Bài 9: Cho tam giác ABC có a=5 cm, b=3 cm và . Tính diện tích tam giác ABC. Tính góc C.
Bài 10: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
	a) 	b) 
	c) 
Bài 11: Chứng minh rằng: 
Bài 12: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 6 cm, E là trung điểm của CD. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE và các góc của tam giác này.
Bài 13: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Một đường tròn có bán kính bằng qua hai đỉnh A, C và cắt cạnh BC tại E. Tính đoạn AE và góc BAE.
Bài 14: Cho tam giác ABC có . AD là phân giác trong của góc A (D thuộc cạnh BC). Chứng minh rằng tổng hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và tam giác ADC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 15: Cho tam giác ABC và điểm M thuộc cạnh BC. Biết rằng Chứng minh rằng 
Bài 16: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là .
Bài 17: Tam giác ABC có 3 cạnh là BC=a, CA=b, AB=c và trung tuyến . Chứng minh rằng:
	a) 	b) 
Bài 18: Cho tam giác ABC nhọn có AB=3cm, AC=4 cm và diện tích . Tính cạnh BC và đường cao AH của tam giác.
Bài 19: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, O là tâm hình vuông và E là trung điểm của AB. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, diện tích và các góc của tam giác OCE.
Bài 20: Cho tam giác ABC chứng minh: 
Bài 21: Tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c và các cạnh thỏa mãn . Chứng minh rằng hai trung tuyến vẽ từ B và C vuông góc với nhau.
Bài 22: 
Cho tam giác MPQ có trung tuyến MR. Chứng minh: 
Cho tam giác ABC vuông tại A và BC=6. Trên đường thẳng BC lấy hai điểm D và E sao cho BD=BE=1. Chứng minh rằng: 
 Ghi chú: 
§ 1. Nguyễn Mộng Hy: 
§ 2. Trần Thành Minh: 12- 22