Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học: 2015 - 2016 môn Toán

Đề thi môn: TOÁN (chuyên)
Ngày thi: 3/6/2015
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm có 01 trang)
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Năm học: 2015-2016
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC
Câu 1 (2,0 điểm)
	a. Tính	
	b. Rút gọn biểu thức: , (với ).
Câu 2 (1,0 điểm)
Cho phương trình: , (1) với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: .
Câu 3 (2,0 điểm)
	a. Giải phương trình: .
	b. Giải hệ phương trình: 
Câu 4 (1,0 điểm)
	a. Chứng minh rằng trong ba số chính phương tùy ý luôn tồn tại hai số mà hiệu của chúng chia hết 	cho 4.
b. Giải phương trình nghiệm nguyên: .
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB < AC. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại E; AE cắt đường tròn (O) tại D (khác điểm A). Kẻ đường thẳng (d) qua điểm E và song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), đường thẳng (d) cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại N (khác điểm A).
a. Chứng minh rằng: và .
b. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp của ba tam giác ABC, EBP, ECQ cùng đi qua một điểm.
c. Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác BCQP.
d. Chứng minh tứ giác BCND là hình thang cân.
Câu 6 (1,0 điểm)
	a. Chứng minh rằng: , với a, b là hai số dương.
	b. Cho a, b là hai số dương thỏa mãn .
	 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Hết
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: .SBD: .
Họ và tên giám thị 1: .. chữ kí: ....
Họ và tên giám thị 2: .. chữ kí: ....
GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TOÁN CHUYÊN TUYỂN SINH 10 TỈNH BÌNH PHƯỚC
NĂM HỌC 2013-2014
Câu 1 (2,0 điểm)
a. Tính	
Giải
Ta có 
b. Rút gọn biểu thức: , (với ).
Giải
Ta có 
Vậy 
Câu 2 (1,0 điểm)
Cho phương trình: , (1) với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: .
Giải
+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
.
+) Với phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt . 
Áp dụng định lí Viet ta có: 
+) Ta có 
So sánh với các điều kiện ta có giá trị m thỏa mãn là .
Câu 3 (2,0 điểm)
a. Giải phương trình: .
Giải
Cách 1:
+) ĐK: 
+) Ta có 
+) KL: Phương trình có một nghiệm .
Cách 2:
+) ĐK: 
+) Ta có: 
+) Ta giải phương trình: 
Dể thấy PT chĩ có một nghiệm duy nhất là 
b. Giải hệ phương trình: 
Giải
+) Ta có 
+) Trường hợp 1: , kết hợp với phương trình (2) ta có hệ 
+) Trường hợp 2: , kết hợp với phương trình (2) ta có hệ 
+) Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm: , .
Câu 4 (1,0 điểm)
a. Chứng minh rằng trong ba số chính phương tùy ý luôn tồn tại hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 4.
Giải
+) Vì một số nguyên bất kỳ phải là số chẵn hoặc là số lẻ. Do đó theo nguyên lý Đirichlet trong 3 số nguyên bất kỳ luôn chọn ra được 2 số có cùng tính chẵn lẻ.
+) Áp dụng ta có trong 3 số chính phương bất kỳ luôn chọn ra được hai số có cùng tính chẵn lẻ. Gọi 2 số chính phương được chọn ra đó là và . Khi đó ta có .
+) Vì và cùng tính chẵn lẻ nên a, b cũng cùng tính chẵn lẻ. Do đó là số chẵn và cũng là số chẵn , (đpcm).
b. Giải phương trình nghiệm nguyên: .
Giải
+) Ta có PT .
Do đó ta có 4 trường hợp sau:
+) TH1: ,(loại).
+) TH2: ,(loại).
+) TH3: ,(loại).
+) TH4: ,(loại).
+) Kết luận: Phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Câu 5 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB < AC. Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại E; AE cắt đường tròn (O) tại D (khác điểm A). Kẻ đường thẳng (d) qua điểm E và song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), đường thẳng (d) cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) tại N (khác điểm A).
a. Chứng minh rằng: và .
b. Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp của ba tam giác ABC, EBP, ECQ cùng đi qua một điểm.
c. Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác BCQP.
d. Chứng minh tứ giác BCND là hình thang cân.
Hình vẽ:
Chứng minh rằng: và .
Giải:
+) Nối BD
+) Ta có: (1)
 +) Ta có: (2)
 +) Từ (1) và (2) 
 (đpcm)
 +) Chứng minh tương tự ta được: (3)
 (4)
 +) Từ (3) và (4) kết hợp với (đpcm)
Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp của ba tam giác ABC, EBP, ECQ cùng đi qua một điểm.
Giải
+) Ta có: (sole trong)
 Mà: 
 Tứ giác BDEP nội tiếp được
+) Chứng minh tương tự, ta được: Tứ giác DCQE nội tiếp được
 Các đường tròn ngoại tiếp của ba tam giác ABC, EBP, ECQ cùng đi qua điểm D
Chứng minh E là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác BCQP.
Giải:
+) Ta có: 
Mà: 
Mà ta lại có: (sole trong)
 cân tại E
 (5)
+) Chứng minh tương tự, ta được: (6)
+) Từ (5) và (6) E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BPQC
Chứng minh tứ giác BCND là hình thang cân
Giải:
+) Theo như câu (a), ta có: 
+) Áp dụng định lý cho tứ giác ABCD, ta được:
 (7)
+) Ta có: Tứ giác ABCD nội tiếp (8)
+) Từ (7) và (8) 
+) Ta có: 
 Mà 
Tứ giác BCDN là hình thang cân (đpcm)
Câu 6 (1,0 điểm)
a. Chứng minh rằng: , với a, b là hai số dương.
Giải
Ta có bất đẳng thức 
Ta thấy với a, b là hai số dương nên bất đẳng thức đã cho luôn đúng.
Dấu “=” xảy ra khi a = b.
b. Cho a, b là hai số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải
Cách 1
+) Áp dụng bất đẳng thức đã chứng minh ở câu (a) ta có: mà theo giả thiết 
Do đó 
+) Mặt khác ta có: 
+) Do đó 
+) Dấu “=” xảy ra 
+) Vậy giá trị nhỏ nhất của F là bằng , đạt được khi .
Cách 2
+) Ta có 
+) Ta luôn có bất đẳng thức: , (*) với mọi a, b > 0. Thật vậy (*)
, (luôn đúng).
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: .
+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: .
+) Do đó . Dấu “=” xảy ra 
+) Vậy giá trị nhỏ nhất của F là bằng , đạt được khi .