Hình không gian - Phương trình mặt phẳng

GV: Huỳnh thành Toán Hình 12 0909077549 
1 
1. ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng 
Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản : 
. Xác định 1 điểm và 1 VTPT 
. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D. 
Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau: 
Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n =(A;B;C) 
 A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 
 Ax + By + Cz + D = 0 
Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q) 
- Từ ptmp(Q) VTPT n Q = (A;B;C) 
- Vì (P) // (Q)  VTPT n P = n Q = (A;B;C) 
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P 
Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d 
- Từ (d) VTCP u d = (A;B;C) 
- Vì (P) vuông góc với (d) Chọn VTPT n P=u d =(A;B;C) 
Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n P. 
Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và  (Q) ,  (R) 
- Từ pt mp (Q) và (R) VTPT n Q ; VTPT n R 
- Vì (P)  (Q) và  (R) VTPT n P  Qn và n P  n R 
Chọn n P = [ n Q; n R] 
- Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n P = [ n Q; n R] 
Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng 
- Tính AB , AC và a = [ AB , AC ] 
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P= a = [ AB , AC ] 
Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và  (Q) 
- Tính AB , vtpt n Q và tính [ AB , n Q] 
- Vì A, B (P) ; (Q)  (P) nên chọn n P=[ AB , n Q] 
- Viết ptmp (P) 
Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ;  (Q) và // với dt (d) 
- Tính VTPT n Q của mp (Q); VTCP u d của đường thẳng (d). 
- Tính [u d, n Q] 
- Vì (P)  (Q) và // (d) nên VTPT n P = [u d, n Q] 
- Từ đó viết được PT mp (p) 
GV: Huỳnh thành Toán Hình 12 0909077549 
2 
Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB. 
- Tình trung điểm I của ABvà AB 
- Mp (P) đi qua I và nhận AB làm VTPT. 
Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A 
- Tính VTCP u d của đường thẳng (d) và tìm điểm M(d) 
- Tính AM và [u d, AM ] 
- Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n P =[u d, AM ]. 
Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ( ) 
- Từ (d)  VTCP u d và điểm M (d) 
- Từ ( ) VTCP u và tính [u d, u  ] 
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n = [u d, u  ]. 
Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và  (Q) 
- Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) 
- Từ (Q) VTPT n Q và tính [u d, n Q] 
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n =[u d, n Q]. 
Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h 
- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0 
( theo pt của mp (Q) , trong đó D DQ) 
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D 
- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm. 
Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h 
- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A
2
 + B
2
 + C
2
 >0 
- Từ (d)  VTCP u d và điểm M (d) 
- Vì (d) nằm trong (P)  u d. n P=0 (1) 
- PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 
- d(A,(P)) = h (2) 
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). 
Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc   900 
- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A
2
 + B
2
 + C
2
 >0 
- Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d) 
- Vì d  (P)  u d. n P=0 (1) 
- Tính cos ((P),(Q)) (2) 
- Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). 
GV: Huỳnh thành Toán Hình 12 0909077549 
3 
Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( )một góc   900 
- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A;B;C) với đk là A
2
 + B
2
 + C
2
 >0 
- Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d) 
- Vì d  (P)  u d. n P=0 (1) 
- Tính sin ((P),(  )) (2) 
- Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). 
Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất 
- Gọi H là hình chiếu  của A lên (d) 
- Ta có : d(A,(P)) = AK AH 
(tính chất đường vuông góc và đường xiên) 
Do đó d(A(P)) max AK = AH KH 
- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT 
Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) 
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) 
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 
 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ). 
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R tìm được D' 
- Từ đó ta có Pt (P) cần tìm 
 Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán 
kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước). 
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) 
- Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = 
2r tính r. 
- d(I,(P)) = 
2 2R r (1) 
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 
 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ) 
- Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm được D' viết được pt (P). 
Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) 
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) 
- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A;B;C) với đk là A
2
 + B
2
 + C
2
 >0 
- Từ (d)  VTCP u d và điểm M (d) 
- d  (P)  u d. n P=0 (1) 
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) 
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P). 
GV: Huỳnh thành Toán Hình 12 0909077549 
4 
Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có 
bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước) 
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) 
- Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = 
2r tính r. 
- Vì d  (P)  u d. n P=0 (1) 
- Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A
2
 + B
2
 + C
2
 >0, 
 chọn M trên đường thẳng d. =>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 
- Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) 
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P). 
Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có 
bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm). 
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) 
- Bán kính r = 
2 2( ,( ))R d I p để r min d(I,(P)) max 
- Gọi H là hình chiếu  của I lên (d) ; K là hình chiếu  của I lên (P) 
- Ta có: d(I,(P))= IK Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên) 
- Do đó: d(I,(P)) max AK = AH KH 
- PT mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT 
GV: Huỳnh thành Toán Hình 12 0909077549 
5 
2. ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng 
 Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc. 
Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u =(a,b,c) 
 PP: phương trình tham số của đường thẳng d là: 
 (d): 
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
 

 
  
 với t R 
* Chú ý : Nếu cả a, b, c  0 thì (d) có PT chính tắc 0 0 0
x x y y z z
a b c
  
  
* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó 
là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d. 
Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B 
- Tính AB 
- Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận AB làm VTCP 
Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng ( ) 
- Từ pt( ) VTCP u  
- Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u  làm VTCP 
Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và  (P) 
- Tìm VTPT của mp(P) là n P 
- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u d = n P 
Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2) 
- Từ (d1),(d2) 1 2 1 2, à u à uVTCPd d l v => tính [ 1u , 2u ]. 
- Vì (d)  (d1),(d2) nên có VTCP u d= [ 1u , 2u ] 
- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u d= [ 1u , 2u ] 
Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp 
(P):Ax + By + Cz + D = 0 
(Q):A
'
x + B
'
y + C
'
z + D
'
 = 0 
- Từ (P) và (Q)  n P , n Q 
- Tính [ n P , n Q] 
- Xét hệ '' ' '
Ax + By + Cz +D =0
A 0x B y C z D


   
. Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó Md 
- Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u d =[ n P , n Q]. 
GV: Huỳnh thành Toán Hình 12 0909077549 
6 
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) 
 Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P) 
 - Hình chiếu cần tìm d' = (P) (Q) 
 Cách 2: + Tìm A = ( )d P ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) 
 + Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P) 
 + Viết phương trình d' đi qua M, H 
Dạng 8: Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2: 
 Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 
 * Tìm B = 2( ) d 
 * Đường thẳng cần tìm đi qua A, B 
 Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 
 - Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2 
 - Đường thẳng cần tìm d =   
Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3 
 - Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2 
 - Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3 
 - Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q 
Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2 
Cách 1 : - Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 
 - Tìm giao điểm B = 2( ) d 
 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B 
Cách 2 : * Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 
 * Viết pt mp ( ) qua A và chứa d1 
 * Đường thẳng cần tìm d =   
Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) , cắt đường thẳng d' 
Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) 
 - Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d' 
 - Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q 
Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) 
 * Tìm B = ( ) 'P d 
 * Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B 
GV: Huỳnh thành Toán Hình 12 0909077549 
7 
Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước. 
 - Tìm giao điểm A=d1 ( )P và B=d2 ( )P 
 - Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B 
Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của 
(P) và d'. 
 * Tìm giao điểm I' = d' ( )P 
 * Tìm VTCP u của d' và VTPT n của (P) và tính [u,n]v  
 * Viết ptđt d qua I và có VTCP v 
Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 : 
 - Gọi 0 0 0 1( , , )M x at y bt z ct d    , ; và 
' ' '
0 0 0 2( ' ', ' ', ' ')N x a t y b t z c t d    
 là các chân đường vuông góc chung của d1, d2 
 - Ta có hệ 
11
2 2
. 0
, '
. 0
MN d MN u
t t
MN d MN u
  
  
  
. 
 - Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N. 
 ( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông 
góc) 
Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1,d2 . 
 * Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P) 
 * Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P) 
 * Đường thẳng d = ( ) ( )Q R 
Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 . 
 - Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 
 - Tìm giao điểm B = 1( ) d 
 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B 
Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc 
0 0(0 ;90 ) (= 300, 450, 600) 
 * Gọi VTCP của d là 
2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c    
 * Vì 11 . 0d d u u   =>phương trình (1) ; Vì 
2
2
.
.
u u
cos
u u
  => phương trình (2) 
 Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d. 
( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc 
0 0(0 ;90 ) thì có
.
.
P
P
u u
sin
u u
  ) 
GV: Huỳnh thành Toán Hình 12 0909077549 
8 
Dạng 18: Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc 
0 0(0 ;90 ) . 
 - Gọi VTCP của d là 
2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c    
 - Vì d//(P) nên . 0pu n  => phương trình (1). 
 - Vì 
1
1
1
.
( , )
.
u u
cos d d cos
u u
  nên có phương trình (2). 
 - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp 
( ; ; )u a b c
Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 góc 
0 0(0 ;90 ) . 
 - Gọi VTCP của d là 
2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c    
 - Vì d(P) nên . 0pu n  => phương trình (1). 
 - Vì 
1
1
1
.
( , )
.
u u
cos d d cos
u u
  nên có phương trình (2). 
 - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp 
( ; ; )u a b c 
Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h. 
 * Gọi VTCP của d là 
2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c    
 * Vì d 1d nên 1. 0u n  => phương trình (1). 
 * Vì 
[ , ]
( , )
u
u AM
d M d h h   => phương trình (2) 
 *Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp 
( ; ; )u a b c 
 Chóc c¸c em «n tËp tèt, ®¹t kÕt qu¶ cao!!! 
G¹o ®em vµo gi· bao ®au ®ín, 
G¹o gi· xong råi tr¾ng tùa b«ng. 
Sèng ë trªn ®êi ng-êi còng vËy, 
Gian nan rÌn luyÖn míi thµnh c«ng! 
Hå ChÝ Minh!